2025年初中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)試題

本試卷共8頁(yè).滿(mǎn)分120分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交

回.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用28鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào),回答非選擇題時(shí)，用0.5毫米黑色

簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上.答案寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.

1.如圖，數(shù)軸上表示一2的點(diǎn)是（）

MNPQ

―?--?--1--A_4--1--

-3-2-10123

A.MB.NC.PD.Q

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了數(shù)軸，弄清數(shù)軸上表示數(shù)的位置是解題的關(guān)鍵.

觀察數(shù)軸得到表示-2的點(diǎn)即可.

【詳解】解：如圖，在數(shù)軸上的點(diǎn)M、N、P、。中，表示一2的點(diǎn)是

故選：A.

2.下列圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）

【答案】R

【解析】

【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形，如果一個(gè)平面圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部

分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形；把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能

夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱(chēng)中心.

根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義和軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解；A.是軸對(duì)稱(chēng)圖形，但不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；

B.是軸對(duì)稱(chēng)圖形，是中心對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意；

C.是軸對(duì)稱(chēng)圖形，但不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；

D.是軸對(duì)稱(chēng)圖形，但不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意.

故選:B.

3.我國(guó)“深藍(lán)2號(hào)”大型智能深海養(yǎng)殖網(wǎng)箱的主體是一個(gè)正六棱柱，其示意圖的主視圖是（）

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，掌握主視圖是從正面看到的圖形成為解題的關(guān)鍵.

根據(jù)主視圖是從正面看到的圖形即可解答.

【詳解】解：根據(jù)三視圖的概念，可知該正六棱柱的主視圖為

故選：C.

4.好客山東以其寬厚仁德的人文情懷、風(fēng)景秀麗的河海山川吸引了來(lái)自世界各地的朋友，據(jù)統(tǒng)計(jì)，山東

省2024年全年接待游客超9億人次.數(shù)據(jù)“9億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.9xl07B.0.9xl08C.9x10*D.0.9xl09

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，將數(shù)據(jù)表示成形式為qxlO"的形式，其中1工1。1<10,〃為整數(shù),

正確確定〃的值是解題的關(guān)鍵.

將“9億”寫(xiě)成axlO”其中〃為整數(shù)的形式即可.

【詳解】解：“9億”=900000000=9x1()8.

故選c.

5.已知。工0,則下列運(yùn)算正確的是（）

A.-2a+3a-5aB.（-2〃）=4a6

C.a2-a=aD.a6+a2=/

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考杳了合并同類(lèi)項(xiàng)、幕的乘方、同底數(shù)制除法等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)運(yùn)算法則成為解題的

關(guān)鍵.

根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)、塞的乘方、同底數(shù)塞除法法則逐項(xiàng)判斷即可解答.

【詳解】解：A.一2。+3[=。，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.（—2//=4/,故該選項(xiàng)正確，符合題意;

C.1與〃不是同類(lèi)項(xiàng)，無(wú)法合并為。，故該詵項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意：

D./+/=/,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：B.

6.某班學(xué)生到山東省博物館參加研學(xué)活動(dòng).博物館為同學(xué)們準(zhǔn)備了以鎮(zhèn)館之寶“亞醮鉞”“蛋殼黑陶

杯”“頌簇”為主題的三款文創(chuàng)產(chǎn)品，每位同學(xué)可從中隨機(jī)抽取一個(gè)作為紀(jì)念品.若抽到每一款的可能

性相等，則甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)抽到“亞醮鉞”的概率是（）

I112

AC

9-6-3-D.3-

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了運(yùn)用列表法求概率，根據(jù)題意正確列表確定所有等可能結(jié)果數(shù)和符合題意的結(jié)果

數(shù)是解題的關(guān)鍵.

先用列表法確定所有等可能結(jié)果數(shù)和符合題意的結(jié)果數(shù)，然后用概率公式計(jì)算即可.

詳解】解：設(shè)三款鎮(zhèn)館之寶“亞醍鉞”“蛋殼黑陶杯”“頌篋”分別用A、B、。表示：

根據(jù)題意列表如下：

ABC

AA,A4,B4,C

【解析】

【分析】本題主要考杳了正方形的內(nèi)切圓、外切圓、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)

鍵,

如紹：連接A8、力C相交于。，由正方形的內(nèi)切圓的半徑是2,AC=BC=4,OA=OB,再運(yùn)用勾股

定理可得48=2應(yīng)，則0A===最后根據(jù)惘的面積公式求解即可.

【詳解】解：如圖：連接48、OC相交于0,

???正方形的內(nèi)切圓的半徑是2,

AAC=BC=4,OA=OB,

?*-AB=A//1C2+BC2=^42+42=2x/2?OA=OB=^AB=42,

B,

AS中陰影部分的面積是乃?（20『一乃?2?=4〃.

故選D.

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A,C兩點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，四邊形。44c是面積為4的正方形.若函數(shù)

）,二人（.1>0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,則滿(mǎn)足）后2的工的取值范圍為（）

A0<^<2B.x>2C.0<x<4D.x>4

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考杳了正方形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、反比例函數(shù)與不等式等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想

是解題的關(guān)鍵.

由題意可設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（〃,〃），易得〃=2,即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,2）,再結(jié)合反比例函數(shù)圖象即可解

答.

【詳解】解：???四邊形Q45c是面積為4的正方形，設(shè)點(diǎn)8的坐標(biāo)為（仇力），

???從=4,解得：b=2（已舍棄負(fù)值）.

,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,2）,

???函數(shù)）,=K（x>0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,

X

???滿(mǎn)足>22的上的取值范圍為0cxK2.

故選A.

io.在水分、養(yǎng)料等條件一定情況下，某植物的生長(zhǎng)速度y1厘米/天）和光照強(qiáng)度x（勒克斯）之間存

在一定關(guān)系.在低光照強(qiáng)度范圍（200WXV1000）內(nèi)，》與二近似成一次函數(shù)關(guān)系：在中高光照強(qiáng)度范

圍（XN1000）內(nèi)，y與X近似成二次函數(shù)關(guān)系.其部分圖象如圖所示.根據(jù)圖象，下列結(jié)論正確的是

（）

A.當(dāng)XNIOO（BH,曠隨x的增大而減小B.當(dāng)x=2ooo時(shí)，y有最大值

C.當(dāng)），20.6時(shí)，x>1000D.當(dāng)y=0.4時(shí)，x=600

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)、二次函數(shù)與不等式等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的

關(guān)健.

根據(jù)拋物線(xiàn)可直接判斷A選項(xiàng)；根據(jù)拋物線(xiàn)以及相關(guān)數(shù)據(jù)可得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=2000,進(jìn)而判定B

選項(xiàng)；根據(jù)函數(shù)圖象可.判定C選項(xiàng)；根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可判定D選項(xiàng).

【詳解】解：A.當(dāng)XN1000時(shí)，丁隨工的增大先增大、后減小，即A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.由函數(shù)圖象可知：拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=10°°+3°0°=2000,即當(dāng)x=2000時(shí)，丁有最大值，則

2

B選項(xiàng)正確，符合題意；

C.由函數(shù)圖象可知：當(dāng)》20.6討，1000<x<3000,即C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意：

D.當(dāng)y=0.4時(shí)，由圖象知，1對(duì)應(yīng)的值有兩個(gè)，即D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

故選B.

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分.

11.寫(xiě)出使分式k二有意義的工的一個(gè)值______.

2九一3

【答案】1（不唯一）

【解析】

【分析】本題主要考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件為分母不等于零是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)分式有意義的確定X的取值范圍，然后確定X的可能取的值即可.

【詳解】解：???分式一L有意義，

2x-3

3

???21一3。0,解得：X。一.

2

???》的取值可以為x=l.

故答案為：1（不唯一）.

12.在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)P（3,4）向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

【答案】（3,2）

【解析】

【分析】本題主要考查了點(diǎn)的平移，掌握平移規(guī)律“左減右加，上加下減”是解題的關(guān)鍵.

直接運(yùn)用平移規(guī)律“上加下減”即可解答.

【詳解】解：將點(diǎn)尸（3,4）向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)^的坐標(biāo)是（3,4-2）,即（3,2）,

故答案為：（3,2）.

13.若關(guān)于工的一元二次方程f+4x-機(jī)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

【答案】m>-4

【解析】

【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，注意記憶判別式大于0時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，判

別式等于0時(shí)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，判別式小于。時(shí)方程無(wú)實(shí)數(shù)根.根據(jù)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，直接

得到判別式>0,即可求解本題.

【詳解】解：???方程★2+4區(qū)一機(jī)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

A=42-4x1x（-機(jī)）>0,

解得：77?>-4：

故答案為：777>—4.

14.取直線(xiàn)>=一％上一點(diǎn)①過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線(xiàn)，交），=：于點(diǎn)4（%,%）；②過(guò)點(diǎn)&作）'

軸的垂線(xiàn)，交）'=一1于點(diǎn)4（七,%）；如此循環(huán)進(jìn)行下去.按照上面的操作，若點(diǎn)4的坐標(biāo)為（1,一1）,

則點(diǎn)AO25的坐標(biāo)是______.

【答案】

【解析】

【分析】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)規(guī)律探究；根據(jù)題意可以寫(xiě)出點(diǎn)&、A,、4、4的坐標(biāo),

從加可以發(fā)現(xiàn)各點(diǎn)的變化規(guī)律，從血"J以寫(xiě)出點(diǎn)&O25的坐標(biāo).

【詳解】解：???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，-1），

工點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,

???點(diǎn)4的坐標(biāo)為（1,1）,

???點(diǎn)4的縱坐標(biāo)為I,

???點(diǎn)4的坐標(biāo)為

同理點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為一1，

?二點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為（一1,一1）,

點(diǎn)A的坐標(biāo)為。,一1）,

???西個(gè)點(diǎn)一個(gè)循環(huán),

??,2025+4=506余1,

工點(diǎn)41)25的坐標(biāo)與點(diǎn)A相同，是(LT)，

故答案為：(1,-1).

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、規(guī)律型，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利

用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答.

15.如圖，在RtZiA3c中，Z4BC=90°,A8=6,BC=8.點(diǎn)P為邊AC上異于A的一點(diǎn)，以

PA,如為鄰邊作口則線(xiàn)段尸。的最小值是.

【答案】—

5

【解析】

【分析1本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、垂線(xiàn)段最短等知識(shí)點(diǎn)，掌握平行四邊形對(duì)角線(xiàn)相互平分是

解題的關(guān)鍵.

由勾股定理可得4C=10,設(shè)AB與PQ交于點(diǎn)O,過(guò)。作O《_LAC于點(diǎn)耳，由四邊形作P4QN是平行

四邊形得。4=。8=工48=3、OP=OQ=-PQt根據(jù)垂線(xiàn)段最短可得當(dāng)O[J_AC時(shí)，即。與＜重

22

合時(shí)，。[最??；再運(yùn)用.三角函數(shù)求得06,進(jìn)而求得PQ即可解答.

【詳解】解：???在RtZ\ABC中，ZABC=90°,AB=6，8c=8,

,AC=ylAB2+BC2=V62+82=1()，

如國(guó)，設(shè)A8與PQ交于點(diǎn)O,過(guò)。作。61AC于點(diǎn)耳，

44[0=90。，

???川邊形PAQB是平行四邊形,

：.OA=OB=^AB=3.OP=OQ=；PQ

???當(dāng)線(xiàn)段P。長(zhǎng)最小，則線(xiàn)段0P的長(zhǎng)最小，

由垂線(xiàn)段最短可得：O[_LAC時(shí)，即尸與《重合H寸，最小;

???sin/8AP=以二生，

AOAC

，答哈,解得：?！陛?/p>

J1V/J

24

，線(xiàn)段尸。長(zhǎng)最小為2。《二乎,

5

24

故答案為：彳.

三、解答題：本題共8小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

16.(1)計(jì)算:+71；

（2）先化簡(jiǎn)，再求值：（丁-1）1++1）,其中工二2.

【答案】⑴2；(2)X2+X-2.4

【解析】

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，分式化簡(jiǎn)求值.

（I）根據(jù)零指數(shù)，算術(shù)平方根的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可求解;

（2）先根據(jù)分式的加減計(jì)算恬號(hào)內(nèi)的，然后進(jìn)行乘法進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后將字母的值代入求解.

1

【詳解】解：（1）Xy/9+Tt'

3

=1+1

⑵(1)目+1

1X+1

++1)(1)------+------

(X+1X4-1

=(x+2)(x-l)

=x2+R-2;

當(dāng)x=2時(shí)，原式=22+2-2=4.

17.在中，ZABC=90°,ZACB=30°,/3AC的平分線(xiàn)A力交BC于點(diǎn)。.如圖1.

（I）求/AOC的度數(shù)；

（2）已知A8=3,分別以C,。為圓心，以大于」C。的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M,N,作直

2

線(xiàn)MV交Z?C于點(diǎn)石，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)如圖2,求。尸的長(zhǎng).

【答案】（I）ZAZ>C=120°；

（2）DF=2日

【解析】

【分析】本題考查了三角形的外向性質(zhì)，垂直平分線(xiàn)的作法和性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和

性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

（I）由角平分線(xiàn)的定義求得NQA3=，NA4C=3（）。，再利用三角形的外角性質(zhì)求解即可；

2

（2）由作圖知MN是線(xiàn)段CO的垂直平分線(xiàn)，求得OE=CE=，C。，求得4。二」^一二2百，

2cos30°

BD=-AD=-CD=DE,再證明△A￡>3絲△血;，據(jù)此求解即可.

22

【小問(wèn)?詳解】

解：???//3。=90。，Z4CB=30%

???Za4C=60°,

???AO是NB4C的平分線(xiàn)，

???ADAC=ZDAB=-NBAC=30°,

2

???NADC=ZDAB+ZABC=120°；

【小問(wèn)2詳解】

解：由作圖知MV是線(xiàn)段CO的垂直平分線(xiàn)，

???DE=CE=-CDt

2

丁ND4C=NC=30。，

,AD=CD，

VZABC=90°,ZDAB=30°,

AAD=AB=2x/3,BD=-AD=-CD=DE,

cos30022

?：ZADB=/FDE，ZABD=/FED=90°,

J△ADB^AFDE，

???DF=AD=20

18.山東省在能源綠色低碳轉(zhuǎn)型過(guò)程中，探索出一條“以?xún)?chǔ)調(diào)綠”的能源轉(zhuǎn)型路徑.某地結(jié)合實(shí)際情況，

建立了一座圓柱形蓄水池，通過(guò)蓄水發(fā)電實(shí)現(xiàn)低峰蓄能、高峰擇能，助力能源轉(zhuǎn)型.

已知本次注水前蓄水池的水位高度為5米，注水時(shí)水位高度每G時(shí)上升6米.

（I）請(qǐng)寫(xiě)出本次注水過(guò)程中，蓄水池的水位高度y（米）與注水時(shí)間x（小時(shí)）之間的關(guān)系式；

（2）已知蓄水池的底面積為0.4萬(wàn)平方米，每立方米的水可供發(fā)電0.3千瓦時(shí)，求注水多長(zhǎng)時(shí)間可供發(fā)

電4.2萬(wàn)千瓦時(shí)？

【答案】（1）），=6x+5

（2）注水5小時(shí)可供發(fā)電4.2萬(wàn)千瓦時(shí).

【解析】

【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，正確列出函數(shù)解析式和方程是解題的

關(guān)鍵.

<1）根據(jù)蓄水池水位高度等于注水時(shí)水位每小時(shí)升高的高度乘以注水時(shí)間與本次注水前蓄水池的水位

高度的和，據(jù)此列出函數(shù)關(guān)系式即可：

（2）根據(jù)y與x的函數(shù)關(guān)系式以及已知條件列關(guān)于x的一元一次方程并求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：由題意可得：蓄水池的水位高度y（米）與注水時(shí)間x（小時(shí)）之間的關(guān)系式），=6x+5.

【小問(wèn)2詳解】

解：根據(jù)題意，得0.4（6x+5）x0.3=4.2,

解得x=5.

答：注水5小時(shí)可供發(fā)電4.2萬(wàn)千瓦時(shí).

19.在2025年全國(guó)科技活動(dòng)周期間，某?？萍夹〗M對(duì)甲、乙兩個(gè)水產(chǎn)養(yǎng)殖基地水體的pH值進(jìn)行了檢

測(cè)，并對(duì)一天（24小時(shí)）內(nèi)每小時(shí)的pH值進(jìn)行了整理、描述及分析.

【收集數(shù)據(jù)】

甲基地水體的pH值數(shù)據(jù)：

7.27,7.28,7.34,7.35,7.36,7.51,7.53,7.67,7.67,7.67,7.67,7.81,7.81,7.88,7.91,8.01,

8.02,8.03,8.07,8.16,8.17,8.23,8.26,8.26.

乙基地水體的pH值數(shù)據(jù):

7.11,7.12,7.14,7.25,7.36,7.52,7.63,7.67,7.69,7.75,7.77,7.77,7.81,7.84,7.89,8.01,

8.12,8.13,8.14,8.16,8.17,8.18,8.20,8.21.

【整理數(shù)據(jù)】

7.00<x<7.307.30<x<7.607.60<x<7.907.90<x<8.208.20<x<8.50

甲25773

乙429a2

【描述數(shù)據(jù)】

乙蔓堆水體pH值敷掘的.敷分布.方留

【分析數(shù)據(jù)】

平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差

甲7.79b7.81OJO

乙7.787.77c0.13

根據(jù)以上信息解決卜列問(wèn)題:

（I）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖：

（2）填空：b=,c=:

（3）請(qǐng)判斷甲、乙哪個(gè)基地水體的pH值更穩(wěn)定，并說(shuō)明理由；

（4）已知兩基地對(duì)水體pH值的日變化量（pH值最大值與最小值的差）要求為0.5~1,分別判斷并說(shuō)明

該日兩基地的pH值是否符合要求.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）7.67；7.79

（3）甲基地水體的pH值更穩(wěn)定，理由見(jiàn)詳解；

（4）甲符合要求，乙不符合要求.

【解析】

【分析】本題考查了直方圖與統(tǒng)計(jì)表，中位數(shù)及眾數(shù)，方差等知識(shí)點(diǎn).

（I）先求得〃的值，即可補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

<2）根據(jù)中位數(shù)及眾數(shù)的定義求解即可；

（3）根據(jù)方差的意義求解即可；

（4）計(jì)算pH值最大值與最小值的差即可求解.

【小問(wèn)I詳解】

解：根據(jù)題意得。=24-4-2-9-2=7,

【小問(wèn)2詳解】

解：甲基地水體的pH值數(shù)據(jù)中，7.67出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)次數(shù)最多,

則〃=7.67：

乙基地水體的pH值數(shù)據(jù)中，由小到大排列中間兩個(gè)數(shù)為7.77和7.81：

7.77+7.81

貝Ijc=~T~=7.79；

故答案為：7.67；7.79;

【小問(wèn)3詳解】

解：???甲的方差為0.10,乙的方差為0.13,0.10<0.13,

，甲基地水體的pH值更穩(wěn)定；

【小問(wèn)4詳解】

解：甲基地對(duì)水體pH值的日變化量：8.26-7.27=0.99,

乙基地對(duì)水體pH值的日變化量：8.21-7.11=1.1,

，該日兩基地的pH值甲符合要求，乙不符合要求.

20.如圖，在△048中，點(diǎn)A在。O上，邊。3交。。于點(diǎn)C,4。_108于點(diǎn)。.AC是/必。的

平分線(xiàn).

(I)求證：A8為。。的切線(xiàn)；

(2)若。。的半徑為2,/AO8=45°,求C4的長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)解析⑵CB=2>/2-2.

【解析】

【分析】本題考查了切線(xiàn)的判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等.

(I)利用等邊對(duì)等角求得NQAC=NOC4,由角平分線(xiàn)的定義求得ND4C=/B4C,可證明

AB±OA,即可?證明AA為。。的切線(xiàn)：

(2)先證明△OA8等腰三角形，求得08=血。4=2近，據(jù)此求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

證明：???AD_LO8,

???ZDAC+ZACD=90°,

\'OA=OC,

???ZOAC=ZOCA,

???AC是-84。的平分線(xiàn),

???ADAC=ABAC.

???NBAC+/OAC=ZDAC+ZOCA=90°，

即八且OA為半徑，

???AB為00的切線(xiàn)；

【小問(wèn)2詳解】

解：???/AOB=45。，又A8J_O4,

:.△Q4B等腰直角三角形，

的半徑為2,

：.OA=2=OC,

：?OB=yfiOA=2叵，

:,CB=0B-0C=26-2.

21.【問(wèn)題情境】

2025年5月29日“天問(wèn)二號(hào)”成功發(fā)射，開(kāi)啟了小行星伴飛取樣探測(cè)的新篇章.某校航天興趣小組受到

鼓舞，制作了一個(gè)航天器模型，其中某個(gè)部件使用3。打印完成，如圖1.

【問(wèn)題提出】

部件主視圖如圖2所示，由于1的尺寸不易直接測(cè)量，需要設(shè)計(jì)?個(gè)可?以得到/的長(zhǎng)度的方案，以檢測(cè)該

/E面

【方案設(shè)計(jì)】

興趣小組通過(guò)查閱文獻(xiàn)，提出了鋼柱測(cè)量法.

測(cè)量工具：游標(biāo)卡尺、若干個(gè)底面圓半徑相同的鋼柱（圓柱）.

操作步驟：如圖3,將兩個(gè)鋼柱平行放在部件合適位置，使得鋼柱與部件緊密貼合.示意圖如圖4,QO

分別與4C，AO相切于點(diǎn)9,D.用游標(biāo)卡尺測(cè)量出CC的長(zhǎng)度

【訶題解決】

已知ACAD=NCW。'=60。，/的長(zhǎng)度要求是1.9cm?2.1cm.

(I)求NBA。的度數(shù)；

(2)已知鋼柱的底面圓半徑為1cm,現(xiàn)測(cè)得y=7.52cm.根據(jù)以上信息，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該部件/的長(zhǎng)度

是否符合要求.(參考數(shù)據(jù)：6=1.73)

【結(jié)果反思】

(3)本次實(shí)踐過(guò)程借助圓柱將不可測(cè)量的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為可測(cè)量的長(zhǎng)度，能將圓柱換成其他幾何體嗎？如果

能，寫(xiě)出一個(gè)；如果不能，說(shuō)明理由.

【答案】(I)Z<9AB=30°：(2)該部件/的長(zhǎng)度符合要求；(3)見(jiàn)解析

【解析】

【分析】本題考查了切線(xiàn)長(zhǎng)定理，解直角三角形的應(yīng)用.

(I)根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理求解即可；

(2)解直角三角形求得A3=一型一=百，推出4c=BC+AB=l+6,據(jù)此求解即可；

tan30°

(3)能，將圓柱換成正方體.

詳解】解：(I);O。分別與AC,4D相切于點(diǎn)B,D,

/.AB=AD,/.OAB=ZOAD=-ZCAD=30°；

2

(2)???鋼柱的底面圓半徑為1cm,

???BC=OB=1,

VZOAB=30°,NO8A=90。，

OB

???AB=>/3,

tan30°

???AC=8C+AB=l+5

同理AC'=l+Ji，

???/=7.52-20+6卜2.06,

V1.9<2,06<2.1,

???該部件/的長(zhǎng)度符合要求；

（3）能，將圓柱換成正方體.如圖,

設(shè)正方體的梭長(zhǎng)為。，用游標(biāo)卡尺測(cè)量出。尸的K：度兒

BC=BD=a?

???ZC4D=60°,

二AB=--------

AC=6/4-

22.已知二次函數(shù)y=x（x—a）+（x—a）（x—O）+x（x—力），其中〃，人為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù).

（I）當(dāng)。=0、〃=3時(shí)，求此函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸；

（2）當(dāng)〃=2〃時(shí)，若該函數(shù)在OWxKl時(shí)，y隨x的增大而減?。辉?KxW4時(shí)，》'隨工的增大而增

大，求。的取值范圍；

（3）若點(diǎn)A（a,yJ,等,y2}C。,%）均在該函數(shù)的圖象上，是否存在常數(shù)，"，使得

X+"?）%+?=。？若存在，求出用的值；若不存在，說(shuō)明理由

【答案】（I）x=\

（2）1<6/<3

（3）m=4

【解析】

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、因式分解的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)成為解題

的關(guān)鍵.

（1）將〃=0、〃=3代入），=人（工一4）+（工一〃）（工一/2）+X（入一〃）化簡(jiǎn)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可

解答；

（2）〃=2。代入），=乩-。）+（工一。）（/一力）+乩”與化簡(jiǎn)可得），=3/-6公+2。2,然后根據(jù)二次

函數(shù)的性質(zhì)即可解答；

（3）先求出,，%，外，然后代入）1+m）‘2+%=0進(jìn)行求解即可?

【小問(wèn)1詳解】

解：當(dāng)4=0、匕=3時(shí)，二次函數(shù)>=工(工一々)+(工一々)(支一力)+工(工一匕)可化為：

)^=x(x-0)+(x-0)(x-3)+J(X-3)=3X2-6x,

b—6

???此函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=——=-------=1.

2。2x3

【小問(wèn)2詳解】

解：當(dāng)b=2a時(shí)，二次函數(shù)y=x(x-a)+(x-a)(x-Z?)+x(x-〃)可化為：

y=x(x-a)+(x-a)(x-2a)+x(x-2^)=3x2-6冰+2a?,

???他物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為x=--=--=a,

2a2x3

V3>0.

???幗物線(xiàn)開(kāi)口方向向上，

???在OKxKl時(shí)，)，隨x的增大而減??；

???在34工44時(shí)?，y隨X的增大而增大：

?"《3,

/.1<6/<3.

【小問(wèn)3詳解】

/1\

解：???若點(diǎn)A(a,yJ,B、一』，C(。,%)均在該函數(shù)的圖象上，

IZ7

2

y]=a^a-a)+^a-a)^a-b^a^a-b)=a-ab,

y=x(x—a)+(x—a)(x—b)+x(x—b)=3x)-2(a+b)x+龍,

?33")-2(a+6)"

=3X/￡一3+"

(，+〃)2,

=------—+ab

4

1abl,,

=-a~--------b~2+ab

24

1

4

=--(a2-2ab+b2

4、

2

y3=b(b-a)+(b-a)(b-b)+b(b-b)=b-ab；

???y+“+%=0,

/.a2-ab+m2整理得：(a-b『

-;(a-/?)24-Z?-?Z?=0,1--m=0

4

Vc?,b為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù),

.??a-Z?00,

**?1——tn=0，解得：m-4.

4

23.【圖形感知】

如組1,在四邊形43co中，已知/B4O=ZABC=/8DC=90。，AD=2，AB=4.

(I)求C力的長(zhǎng)；

【探究發(fā)現(xiàn)】

老師指導(dǎo)同學(xué)們對(duì)圖1所示的紙片進(jìn)行了折疊探究.

在線(xiàn)段C。上取一點(diǎn)E，連接應(yīng).將四邊形ABE。沿BE翻折得到四邊形A5E。，其中W，川分別

是A,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

(2)其中甲、乙兩位同學(xué)的折桎情況如下：

①甲：點(diǎn)。0恰好落在邊3c上，延長(zhǎng)AD交。。于點(diǎn)尸，如圖2.判斷四邊形OO4N的形狀，并說(shuō)明

理由；

②乙：點(diǎn)4恰好落在邊上，如圖3.求。E的長(zhǎng)；

(3)如圖4,連接DD'交BE于點(diǎn)P，連接CP.當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段。。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段。尸是否存在最小

值？若存在，直接寫(xiě)出；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】（I）。。=4后；（2）①四邊形04A/是