備戰(zhàn)2025高考數(shù)學(xué)考前必備4—二級(jí)結(jié)論

1：子集的個(gè)數(shù)問(wèn)題

若一個(gè)集合A含有〃個(gè)元素，則集合A有2”個(gè)子集，有（2"1）個(gè)真子集，有（2"1）個(gè)非空子集，

有（2"2）個(gè)非空真子集.

理解：A的子集有2”個(gè)，從每個(gè)元素的取舍來(lái)理解，例如每個(gè)元素都有兩種選擇，貝IJ〃個(gè)元素共有2。種選

擇，該結(jié)論需要掌握并會(huì)靈活應(yīng)用.

對(duì)解決有關(guān)集合的個(gè)數(shù)問(wèn)題，可以直接利用這些公式進(jìn)行計(jì)算.計(jì)算時(shí)要分清這個(gè)集合的元素是從哪里來(lái)的,

有哪些，即若可供選擇的元素有個(gè)，就轉(zhuǎn)化為求這個(gè)元素集合的子集問(wèn)題.另外要注意子集、真子集、子集、

非空真子集之間的聯(lián)系有區(qū)別.

2：子集、交集、并集、補(bǔ)集之間的關(guān)系

A（\B=A^AUB=B^A~B^AC］（C,B）=⑦U（GAU8=/（其中/為全集）.

（1）當(dāng)A=4時(shí)，顯然成立；

（2）當(dāng)時(shí)，圖如圖所示，結(jié)論正確.

這個(gè)結(jié)論通過(guò)集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算與集合的包含關(guān)系的轉(zhuǎn)換解決問(wèn)題.

3.均值不等式鏈

2—公方a2+b'

TjQ>0,〃>0,當(dāng)且僅當(dāng)°沖時(shí)取等號(hào)）

ab

4.兩個(gè)經(jīng)典超越不等式

（1）對(duì)數(shù)形式：x2i+hua>0）,當(dāng)且僅當(dāng)日時(shí)，等號(hào)成立.

（2）指數(shù)形式；/>A-+i（A-eR）,當(dāng)且僅當(dāng)下。時(shí)，等號(hào)成立.

進(jìn)一步可得到一組不等式鏈：/>X+l>A>l+lrLV（.V>0且X/1）

2nOx

Xxe,

上述兩個(gè)經(jīng)典不等式的原型是來(lái)自于泰勒級(jí)數(shù)；：

2!n\(〃+1)!

In(l+x)f?；+^---M?1)"川｝截取片段：d±Al(xGR),ln(l+x)fx(x>l),當(dāng)且僅當(dāng)r=0

時(shí)，等號(hào)成立；進(jìn)而：1心一工1(.。0),當(dāng)且僅當(dāng)戶1時(shí)，等號(hào)成立.

L奇函數(shù)的最值性質(zhì)

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù)，則對(duì)任意的x￡D,都有f(x)+f(x)=O.特別地，

若奇函數(shù)f(x)在D上有最值，則f(x)max+f(x)min=O,且若0￡D,則f(0)=0.

2,函數(shù)周期性問(wèn)題

【結(jié)論闡述】已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù)，則對(duì)任意的x￡D,都有

f(x)+f(x)=O.特別地，若奇函數(shù)f(x)在D上有最值，則f(x)max+f(x)min=O,且若0￡D,則

f(0)=0.已知定義在R上的函數(shù)f(x),若對(duì)任意x￡R,總存在非零常數(shù)T,使得f(x+T)=f(x),

則稱f(x)是周期函數(shù)，T為其一個(gè)周期.除周期函數(shù)的定義外，還有一些常見(jiàn)的與周期函數(shù)

有關(guān)的結(jié)論如下：

(1)如果/U+a)=/U)(a#O),那么兒》是周期函數(shù)，其中的-個(gè)周期7=2”.

1

(2加果/+a尸(t#0)那么J<x)是周期函數(shù)，其中的一個(gè)周期T=2a.

7Wf

(3)如果/(x+a)+/U)=c(a￥O),那么?x)是周期函數(shù)，其中的一個(gè)周期T=2a.

(4汝口果/0)=八*1a),那么人x)是周期函數(shù)，其中的一人周期T=6a.

3.不同底的指數(shù)函數(shù)圖像變化規(guī)律

當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)，底數(shù)越大指數(shù)函數(shù)的圖像越靠近y軸：當(dāng)?shù)讛?shù)大于0且小于1時(shí)，底數(shù)越小，指數(shù)函數(shù)的

圖像越靠近)，軸.即如圖1所示的指數(shù)函數(shù)圖像中，底數(shù)的大小關(guān)系為：0<c<d<l<〃<。，即圖1中由V

軸右側(cè)觀察，圖像從下至上，指數(shù)函數(shù)的底數(shù)依次增大.

圖1

4.不同底的對(duì)數(shù)函數(shù)圖像變化規(guī)律

當(dāng)?shù)讛?shù)大于o且小于1時(shí)，底數(shù)越小，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像越靠近X軸：當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)，底數(shù)越大，對(duì)數(shù)函數(shù)

的圖像越靠近X軸.即如圖2所示的對(duì)數(shù)函數(shù)圖像中，底數(shù)的大小關(guān)系為：即圖2中，

在.v軸上側(cè)觀察，圖像從左向右，對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)依次增大.

圖2

5.方程+/（1）=k的根為U,方程X+/（A）=k的根

若函數(shù)）=/（、）是定義在非空數(shù)集。上的單調(diào)函數(shù)，則存在反函數(shù)），:/。）.特別地，y="與丁=10g?x

（〃>0且。工1）互為反函數(shù).

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，兩函數(shù)互為反函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱，即（xoj（xo））與（/（r。），/）分別在函數(shù)

y=f（x）與反函數(shù)y=/（A）的圖像上.

若方程x+/W=k的根為演，方程x+/（x）=k的根為占，則再+x2=k.

1.降累擴(kuò)角公式

①S,,s2nsn,s3?s2n，…也成等差數(shù)列，公差為

cd2(公

o=_n+1Q,\n

②當(dāng)4WO時(shí).212)是〃的二次函數(shù)

｛閑｝

和的③1〃，是等差數(shù)列

k

$奇丫—■一

③〃為奇數(shù)時(shí)，2w:'為偶數(shù)時(shí)，■7

④若｛%｝，｛"｝為項(xiàng)數(shù)相同的等差數(shù)列，且前〃項(xiàng)和分別為S”與7“，則

%二$2"/二（2小一1）§2.7,,

b「T%/b「—（處理方法分別設(shè)S”=A4+8*7；二城+層〃）

單

在等差數(shù)列中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，即％，為+，”，%+2”……為等差數(shù)列，公差

調(diào)為md

性

2.等比數(shù)列的性質(zhì)

設(shè)工為等比數(shù)列｛?,｝的前〃項(xiàng)和，則有如下性質(zhì):

在等比數(shù)列中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比列，即%，%+，”，q+2,“一??為等比數(shù)列，公比為/

從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比數(shù)列，也是與它等間距的兩項(xiàng)的等比中項(xiàng).

項(xiàng)兩積式項(xiàng)數(shù)相同，下標(biāo)利相等，則兩式積相等：即若，〃+〃=「+一則44=/4

的；若加+〃+〃=r+s+，，則知4冊(cè)=a,asa,

性

若｛凡｝，｛m,｝為項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則①｛1。&%｝（其中凡為常數(shù)）為等差數(shù)列；②

質(zhì)

等比數(shù)列的圖像是一列分布的孤立點(diǎn)（當(dāng)gH0時(shí)，4=A，是〃的指數(shù)型函數(shù)）

=aaa

4\2…，B=<4+I《+2,,?2*，C-fl2(l+la2x+2…%則A,A,C成等比數(shù)列

和①若｛〃"｝是4工1的等比數(shù)列，則數(shù)列S“，S2“S“，S3n邑“，…也成等比數(shù)列（其中〃為常數(shù)）；

的"=T且〃為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列S”，邑”-5”，與“-52”，…是常數(shù)列｛0｝,它不是等比數(shù)列；②

性

=2+g=2+g；③在等比數(shù)列｛4｝中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2〃時(shí)，s&=qS蕾;項(xiàng)數(shù)為

質(zhì)

奇數(shù)2〃-1時(shí)，S奇=q+qS網(wǎng)

①夕=1時(shí)，數(shù)列｛"J是常數(shù)列，如數(shù)列2,2,2,2,…：②4<。時(shí)，數(shù)列｛"J是擺動(dòng)數(shù)列，如數(shù)列

1,-2.4.-8.16.....

單（111

③為>o,o<q<1時(shí)，數(shù)列｛凡｝是遞減數(shù)列，如數(shù)列‘5'丁丁…：

調(diào)

④％>0,4>1時(shí)，數(shù)列伉｝是遞增數(shù)列，如數(shù)列1，2,4,8,…;

性

111

⑤/1時(shí)，數(shù)列他/是遞增數(shù)列，如數(shù)列‘4'X'.

⑥為<°.g>1時(shí)，數(shù)列｛兄｝是遞減數(shù)列，如數(shù)列一1，一2，-4,-X,….

1.極化恒等式

（1）極化恒等式：0?“；［（4+葉-（。-8）［;

（2）極化恒等式平行四邊形型：在平行四邊形48CD中，入「二八二；。］2-/，：2），即向量的數(shù)量積可

以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的工；

4

（3）極化恒等式三角形模型：在AA8C中，M為邊3c中點(diǎn)，則：而初.阿一；園f.

說(shuō)明：（1）三角形模式是平面向量極化恒等式的終極模式，幾乎所有的問(wèn)題都是用它解決；

（2）記憶規(guī)律：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差.

2.三角形“四心”向量形式的充要條件

設(shè)。為AA8C所在平面上一點(diǎn)，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,C,貝|J

（I）。為AA6c的外心

ob.\=Ids"!=dd=5^°(o/tOB),As=(。8+曲/=(々/+也.*=0

(如圖i)

(2)如圖2,0為AA^C的重心0A―+08+0r=0.

⑶如圖2,。為A4BC的垂心己O/TOB=OR.?！?".。4二

—>—?TT

（4）如圖3,。為AABC的內(nèi)心uaOA+bOB+cOC=0C3sinX.OA+sin8.03+sinC.OC=0.

說(shuō)明：三角形“四心”——重心，垂心，內(nèi)心，外心

（I）重心——中線的交點(diǎn)：重心將中線長(zhǎng)度分成2：I；

（2）垂心——高線的交點(diǎn)：高線與對(duì)應(yīng)邊垂直：

（3）內(nèi)心——角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心）；角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；

（4）外心——中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.

3.奔馳定理

奔馳定理：設(shè)。是A48C內(nèi)一點(diǎn)，ABOC,M0C,AAO4的面積分別記作&,SR,S。則

S溝+S。?癰+S〃&=0.

說(shuō)明：本定理圖形酷似奔馳的車(chē)標(biāo)而得名.

奔馳定理在三角形四心中的具體形式：

①0是A4BC的重心USA:SB:SC=1:1:1u0A+0B+。2二萬(wàn).

一—>一

②0是AARC的內(nèi)心uSA:SD:Sc=a:b:c^(QA,+bOB+cOC-C.

一TT.

③。是HABC的外心QSA:SBS=sin2A:sin2B:sin2C=sin24.OA+sin28.08+sin2C.OC=0.

④0是AA8C的垂心u>SA:SB:SC=taiiA:taiiB:tanCotanA.tan8.OB+tanC.OT=0-

奔弛定理是三角形四心向量式的完美統(tǒng)

立體幾何

1.三余弦定理與三正弦定理

三余弦定理（又稱最小角定理）；如圖①，A8是平面的一條斜線，8C是平面內(nèi)的--條直線，OA工平面加

于0,OCJ_BC于C,則cos上八BC=cos上08c.eos上0B4,即斜線與平面內(nèi)一條直線夾角R的余弦值等

于斜線與平面所成角a的余弦值乘以射影與平面內(nèi)直線夾角夕的余弦值：cosgcosa.cos/7；

說(shuō)羽：為方便記憶，我們約定Y為線線角，a為線面角，Z?為射影角，則由三余弦定理可得

線面角是最小的線線角，即平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)任一條直

線所成角中的最小者.

三正弦定理（又稱最大角定理）：如圖②，設(shè)二面角例的平面角為a,ACL平面8,c。/平面5,

OBJ_AB,'設(shè)上CAB=。、上CAO=Y,則sin修sina.sin￡.

說(shuō)明：為方便記憶，我們約定a為二面角，夕為線棱角，-為線面角，則由三正弦定理可得

二面角是最大的線面角，即對(duì)于一個(gè)銳二面角，在其中一個(gè)半平面內(nèi)的任一條直線與另一個(gè)半平面所成的

線面角的最大值等于該二面角的平面角.

2.多面體的外接球和內(nèi)切球

類(lèi)型一球的內(nèi)切問(wèn)題（等體積法）

例如：如圖①，在四棱錐P48CD中，內(nèi)切球?yàn)榍?。，求球半徑方法如?

^P\BCD=^OABCD+^OPBC+^OPCD+^OPAD+^OPAB

=可求出r.

即：^PABCD~^ABCD'"'、。丈?"qSpc。?"QS%”.f^~SpAB.7*

類(lèi)型二球的外接問(wèn)題

i.公式法

正方體或長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)

2.補(bǔ)形法（補(bǔ)長(zhǎng)方體或正方體）

①墻角模型（三條線兩個(gè)垂直）

題設(shè)：三條棱兩兩垂直

②對(duì)棱相等模型（補(bǔ)形為長(zhǎng)方體）

題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對(duì)棱分別相等，求外接球半徑（AB=CD,AD=BC,AC=BD）

3.單面定球心法（定+算）

步驟：①定一個(gè)面外接圓圓心：選中一個(gè)面如圖：在三棱錐PA8C中，選中底面AABC,確定其外接圓

圓心口（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點(diǎn)上，普通三角形用正弦定理定外心2r=一?一）

qin4

②過(guò)外心Oi做（找）底面AA8C的垂線，如圖中尸O1上面ABC,則球心一定在直線（注意不一定在線段POi

上）PO1上；

③計(jì)算求半徑R：在直線POi上任取一點(diǎn)。如圖：則利用公式OA'OpA'OOj可計(jì)算出球半

彳仝R.

4.雙面定球心法（兩次單面定球心）

如圖：在三棱錐PA8C中：

①選定底面A48C,定A4BC外接圓圓心O1；②選定面/PA8,定/PA8外接圓圓心Q；

③分別過(guò)Oi做面A8C的垂線，和。2做面PA8的垂線，兩垂線交點(diǎn)即為外接球球心0.

解析幾何

L焦點(diǎn)三角形的面積公式

1.桶圓中焦點(diǎn)三角形面積公式

O=±F}PF2.

2.雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積公式

在雙曲線￡-4=1（。>0,%>0）中，F(xiàn)if尸2分別為左、右焦點(diǎn)，尸為雙曲線上一點(diǎn)，上乃尸乙二aAPF/2

n~b~

11s―-

的面積記為SAPF/,貝IJ：①品/七=口5&11%1=/1；②S“*」|P與IIPqsin，③"3一0.

31）

注意：在求圓錐曲線中焦點(diǎn)三角形面積時(shí)，根據(jù)題意選擇適合的公式，注意結(jié)合圓錐曲線的定義，余弦定

理，基本不等式等綜合應(yīng)用.

2.圓錐曲線的切線問(wèn)題

1.過(guò)圓C:（x-a）2+（y-b）2=R2上一點(diǎn)P（xo,），o）的切線方程為（與-a）（x”）+（%-b）（y-h）=R2.

22

2.過(guò)橢圓［+烏=1上一點(diǎn)P（xoj））的切線方程為岑+等;1.

a~b-y

3.己知點(diǎn)M（.皿先），拋物線C:y=2px（pX0）和直線/:y^y=/X.r+x0）.

（1）當(dāng)點(diǎn)M（xo,%）在拋物線C上時(shí)，直線/與拋物線C相切，其中M為切點(diǎn)，/為切線.

（2）當(dāng)點(diǎn)在拋物線C外時(shí)，直線/與拋物線。相交，其中兩交點(diǎn)與點(diǎn)M的連線分別是拋物線的

切線，即直線/為切點(diǎn)弦所在的直線.

（3）當(dāng)點(diǎn)MCro,）b）在拋物線。內(nèi)時(shí)，直線/與拋物線C相離.

3.圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題

1.在橢圓C：W+與=1（4>〃>0）中（特別提醒此題結(jié)論適用焦點(diǎn)在X軸上橢圓）：

"-b~

（1）如圖①所示，若直線），二履（七彳0）與橢圓。交于4,8兩點(diǎn)，過(guò)A,8兩點(diǎn)作橢圓的切線/,/,有〃〃，

L2

設(shè)其斜率為篇，則勺上一、.

（2）如圖②所示，若直線），二心水工0）與橢圓。交于A,B兩點(diǎn),P為橢圓上異于A,B的點(diǎn)，若直線PA,

PB的斜率存在，且分別為公，k21則年&=—2y.

（3）如圖③所示，若直線產(chǎn)心+力dN0,/〃H0）與橢圓。交于4,8兩點(diǎn)，P為弦A8的中點(diǎn)，設(shè)直線尸。的

斜率為4）,則勺/尸一1

?22L2L1

2.在雙曲線c：j-4=1（4>0力>0）中，類(lèi)比上述結(jié)論有（特別提醒此題結(jié)論）：（1）（*=、：（2）",=>

cTb'a'a-

L2

⑶hk=g

3.在拋物線C：y2=2Pxs>0）中類(lèi)比I（3）的結(jié)論有4=旦8（;工°）

y（\

4：圓錐曲線中的定值問(wèn)題

1.在橢圓中：已知橢圓。+與=1（。>6>0），定點(diǎn)P（w,yo）（沏%HO）在橢圓上，設(shè)片，6是橢圓上的

a~b~

兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線2A,的斜率分別為法八，即8,且滿足法八+即8=。.則直線48的斜率3/,="，

27

2.在雙曲線C：=_與=|（。>0力>0）中，定點(diǎn)P（xo,%）（xnynx0：在雙曲線上，設(shè)A,8是雙曲線上

Q?b-

b-o

的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線必，P8的斜率分別為法A,kpB，且滿足凝A+即8=0.則直線A8的斜率A/B

3.在拋物線C：_y2=2px（p>0）,定點(diǎn)P（xo,%）（凡）bWO）在拋物線上，設(shè)4,B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，直線尸A，PB的斜率分別為%,kpB,且滿足％+G=0.則直線A3的斜率的小一工.

5.圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題

若列錐曲線中內(nèi)接直角三角形的直角頂點(diǎn)與圓錐曲線的頂點(diǎn)重合，則斜邊所在直線過(guò)定點(diǎn).

（I）對(duì)于橢圓=+^—=\（67>Z?>0）上異于右頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)A,B,以A8為直徑的圓經(jīng)過(guò)右頂點(diǎn)（4，0）,

『護(hù)

則直線加過(guò)定點(diǎn)（絲貴目0）.同理，當(dāng)以人8為直徑的圓過(guò)左頂點(diǎn)（40）時(shí)，直線加過(guò)定點(diǎn)

。-+3

(f-6加

,0).

a2+b2

（2）對(duì)于雙曲線=-與=1（。>0力>0）上異于右頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)4，B,以A3為直徑的圓經(jīng)過(guò)右頂點(diǎn)（”,0）,

a~b~

則直線Qi寸定點(diǎn)（S產(chǎn)？。0）同理，對(duì)于左頂點(diǎn)（一4,0）,則定點(diǎn)為（一（￡+，上0）.

a--b-a--b-

（3）對(duì)于拋物線y2=2Pxs>0）上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)A,B,若3A.3BT=0，則弦AB所在直線過(guò)點(diǎn)

（2p,0）.同理，拋物線A?=%v（p>0）上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)4,B,若OA.OB=0>則直線A8過(guò)定點(diǎn)（0,2〃）.

6.圓錐曲線中的定直線問(wèn)題

1.已知橢圓±+￡=1（4>/>>0外一點(diǎn)尸（私），0）,當(dāng)過(guò)點(diǎn)p的動(dòng)直線/與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)48時(shí)，

Tb-

在線段A8上取一點(diǎn)Q,滿足里L(fēng)圈.則點(diǎn)Q必在定直線灣+邛=1上;

\PB\\QB\a'b~

2.已知橢圓工+[i=]m>b>0沖一點(diǎn)P（xo，v））,當(dāng)過(guò)點(diǎn)尸的動(dòng)直線/與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)48時(shí)，

a2b2

在線段A8上取一點(diǎn)。，滿足空=里則點(diǎn)。必在定直線警+卑=1上；

\PB\\QB\CTb2

3.已知拋物線y=2px（p>0）,定點(diǎn)P（x。,光）不在拋物線上，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線交拋物線于4,8兩點(diǎn)，在直

線AB上取點(diǎn)Q,滿足L」=L0.則點(diǎn)Q住定直線）&y="（X+.%）上.

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7.拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式

8.拋物線中的三類(lèi)直線與圓相切問(wèn)題

不妨設(shè)拋物線方程為J=2px（p>0）,如圖1,準(zhǔn)線戈=-￡與r軸相交于點(diǎn)P,過(guò)焦點(diǎn)少]；,。/的直線/與

拋物線相交于4（力,以）.8（x2,%）兩點(diǎn)，。為原點(diǎn)，。為A8與對(duì)稱釉止向所成的角，A8的中點(diǎn)為C,乂

作網(wǎng),垂足分別為44，G，則有如下結(jié)論（圖2）：

圖1圖2圖3

①以A4為直徑的圓M與準(zhǔn)線相切；

②以AF為直徑的圓C與），軸相切；

③以所為直徑的圓3與y軸相切；

④分別以步為直徑的限之間的關(guān)系：圓C與圓。外切；圓C與圓。既與），軸相切，又與圓M相

內(nèi)切.

結(jié)合圓的幾何性質(zhì)易得有關(guān)直線垂直關(guān)系的結(jié)論，如圖3有，

①以A3為直徑的圓的圓心在準(zhǔn)線上的射影照與A,8兩點(diǎn)的連線互相垂直，即,入上,％8；

②以Af?為直徑的圓的圓心在），軸上的射影G與A，尸兩點(diǎn)的連線互相垂直，即C,4J.C.F；

③以“廠為直徑的圓的圓心在），軸上的射影口與8/兩點(diǎn)的連線互相垂直，即JLD'F；

④以A向?yàn)橹睆降膱A必過(guò)原點(diǎn),即41尸-Z./F；

⑤跖/J_AB.

排列組合及二項(xiàng)式定理

1：排列組合中的分組與分配

①“非均勻分組”是指將所有元素分成元素個(gè)數(shù)彼此不相等的組，使用分步組合法;

②“均勻分組”是指將所有元素分成所有組元素個(gè)數(shù)相等或部分組元素個(gè)數(shù)相等的組.不論是全部均勻分組,

還是部分均勻分組，如果有〃，個(gè)組的元素是均勻的，都有A*種順序不同的分法只能算一種分法；

③對(duì)于非均勻編號(hào)分組采用分步先組合后排列法，部分均勻編號(hào)分組采用分組法;

④平均分堆問(wèn)題倍縮法采用縮倍法、除倍法、倍除法、除序法、去除重復(fù)法）；

⑤有序分配問(wèn)題逐分法采用分步法）；

⑥全員分配問(wèn)題采用先組后排法；

⑦名額分配問(wèn)題采用隔板法（或元素相同分配問(wèn)題隔板法、無(wú)差別物品分配問(wèn)題隔板法）：

⑧限制條件分配問(wèn)題采用分類(lèi)法.

2、三項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)（系數(shù)）問(wèn)題的處理方法：

（1）通常將三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式積的形式，然后利用多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)（系數(shù)）問(wèn)題的處理

方法求解：

（2）將其中某兩項(xiàng)看成一個(gè)整體，直接利用二項(xiàng)式展開(kāi)，然后再分類(lèi)考慮特定項(xiàng)產(chǎn)生的所有可能情形；6）

也可以按照推導(dǎo)二項(xiàng)式定理的方法解決問(wèn)題.

二、幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)（系數(shù)）問(wèn)題的處理方