第六章園

（考試時(shí)間：】00分鐘試卷滿分：120分）

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.如圖所示，71（2^2,0）,AB=3V2,以點(diǎn)A為圓心，48長為半徑畫弧交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)C,則點(diǎn)。的

坐標(biāo)為（）

A.（3V2,0）B.（V2,0）C.（-V2,0）D.（-372,0）

【答案】C

【分析】先求得OA的長，從而求出OC的長即可.

【詳解】解：??F（2?,0）,

：.OA=2y/2,

,：AB=3V2,以點(diǎn)4為圓心，AE長為半徑畫弧交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)C,

：.AC=AB=3vL

OC=AC-OA=3V2-2V2=V2,

???點(diǎn)C為x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，

AC（-V2,0）,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理等知識，明確。是解題的關(guān)鍵.

2.【原創(chuàng)題】在同一平面內(nèi)，已知O。的半徑為2,圓心O到直線/的距離為3,點(diǎn)P為圓上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線/的最大距離是（）

A.2B.5C.6D.8

【答案】B

【分析】過點(diǎn)。作。力11于點(diǎn)力，連接0P，判斷出當(dāng)點(diǎn)P為4。的延長線與。。的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到直線傳勺距

離最大，由此即可得.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。作。力于點(diǎn)4連接。P,

A0A=3,OP=2,

當(dāng)點(diǎn)P為4。的延長線與00的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到直線Z的距離最大，最大距離為/M=3+2=5,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，正確判斷出點(diǎn)P到直線L的距離最大時(shí)，點(diǎn)P的位置是解題關(guān)鍵.

3.如圖，四邊形4BCD內(nèi)接于。。，E為BC延長線上一點(diǎn).若乙OCE=65。，則NBOO的度數(shù)是（）

A.65°B.115°C.130°D.140°

【答案】C

【分析1根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求出NDC8的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)求出Z8AD的度數(shù)，最后根據(jù)圓

周角定理即可求出NBOD的度數(shù).

【詳解】解：?."DCE=65。，

：,LDCB=180°-zDCE=180°-65°=115°,

???四邊形力BCD內(nèi)接于O。，

：./.BAD+Z.DCB=180°,

：.￡BAD=65°,

工人BOD=2Z.BAD=2x65°=130°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查/圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握這些定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【新考法】數(shù)學(xué)與實(shí)際生活——利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題

4.陜西飲食文化源遠(yuǎn)流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之圖②是從正面看到的?個(gè)“老碗”(圖

①)的形狀示意圖.”是O。的一部分，。是演的中點(diǎn)，連接0D,與弦48交于點(diǎn)C,連接。40B.已知

48=24cm,碗深CO=8cm,則00的半徑04為()

D.26cm

【答案】A

【分析】首先利用垂徑定理的推論得出。。148,AC=BC=^AB=12cm,再設(shè)。。的半徑04為Rem,

則0C=(R-8)cm.在中根據(jù)勾股定理列出方程產(chǎn)=122+(/?-8)2,求出R即可.

【詳解】解：歷是0。的一部分，。是初的中點(diǎn)，AB=24cm,

0D1AB,AC=BC=-AB=12cm.

2

設(shè)O。的半徑04為Rem,則。。=0D-CD=(R-8)cm.

在Rt△。4C中，???LOCA=90°,

222

AOA=AC+OC,

222

AR=12+(7?-8),

R=13,

即0。的半徑OA為13cm.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，設(shè)0。的半徑。力為Rem,列出關(guān)于R的方程是解題的關(guān)

鍵.

5.【創(chuàng)新題】如圖，4B是O。的直徑，弦于點(diǎn)E,連結(jié)。C,00.若0。的半徑為相工力。0=

4。，則下列結(jié)論一定成立的是()

A.-rlB.-nrIC.rlD.nrl

22

【答案】A

【分析】由題意可得SMOB=T力BxOE=xr,S^B0C=^BCxr,S^A0C=^ACxr,由面積關(guān)系可

求解.

【詳解】解：如圖，設(shè)內(nèi)切圓。與△48C相切于點(diǎn)0,點(diǎn)E,點(diǎn)凡連接04,OB,OC,OE,OF,0D,

0E1AB,OE=r,

S^AOB=xOE=^ABxr,

同理：S^BOC=”Cxr,

Suoc=］力Cxr,

S-S^AOB+S^BOC+S^AOC=\ABxr4--BCxr+-ACxr=-(43+BC+AC)xr,

-1=AB+BC+AC,

???S=-Zr,

2

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，掌握內(nèi)切圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.【創(chuàng)新題】如圖，aABC的內(nèi)切圓與8C,CA,力B分別相切于點(diǎn)。，E,F,若。/的半徑為r,Z.A=

a,貝i|(B"+CE-8C)的侑和乙尸DE的大小分別為()

BDC

A.2r,90°-aB.0,90°-aC.2r,90°--D.0,90°--

22

【答案】D

【分析】如圖，連接//，IE.利用切線長定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)解決問題即可.

【詳解】解:如圖，連接/凡IE.

??NABC的內(nèi)切圓。/與8C,CA,4B分別相切于點(diǎn)O,E,F,

:.BF=BD,CD=CE,IF1AB,IELAC,

:?BF+CE-BC=BD+CD-BC=BC-BC=0,/-AFI=Z-AEI=90°,

:?』EIF=180°-a,

/.LEDF=-Z-EIF=90°--a.

22

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，切線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性

質(zhì)，屬于中考?？碱}型.

8.如圖，四邊形/BCD內(nèi)接于。。，。。的半徑為3,ZD=120°,則AC的長是（）

A.兀B.我C.27rD.軌

【答案】C

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到乙8=60。,由圓周角定理得到乙40。=120。,根據(jù)弧長的公式即可

得到結(jié)論.

【詳解】解：?.?四邊形ABCD內(nèi)接于。。，ZD=120°,

???Z.B=60n,

LAOC=2乙B=120°,

...而的長=3二=2〃.

180

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長的計(jì)算，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是

解題的關(guān)鍵.

9.已知一個(gè)正多邊形的邊心距與邊長之比為則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）

A.4B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】如圖，A為正多邊形的中心，8C為正多邊形的邊，AB,4c為正多邊形的半徑，AD為正多邊形的

邊心距，由黑="可得黑=百，可得NB=60。，而AB=AC,可得△48c為等邊三角形，從而可得答

BC2BD

案.

【詳解】解：如圖，4為正多邊形的中心，BC為正多邊形的邊，AB,4c為正多邊形的半徑，，4。為正多邊

形的邊心距，

'.AB=AC,AD1BC,——BC=—2,

：

.BD=CD=-2BC,

二就。即Q0

AD盡

tanzF=而

?LB=60。，^AB=AC,

???ZM8C為等邊三角形，

：.LBAC=60°,

???多邊形的邊數(shù)為：啖=6,

60

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形與圓，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.

10.【原創(chuàng)題】如圖，正六邊形48。?！?用勺外接圓。。的半徑為2,過圓心。的兩條直線G的夾角為

60%則圖中的陰影部分的面積為（）

A.-n—V3B.-n-----C.-TT—V3D.-n-----

332332

【答案】c

【分析】如圖，連接40,標(biāo)注直線與圓的交點(diǎn)，由正六邊形的性質(zhì)可得：A,0,。三點(diǎn)共線，△C00為等

邊三角形，證明扇形40Q與扇形C0G重合，可得S陰影=S扇形COD—SKOD，從而可得答案.

【詳解】解：如圖，連接40,標(biāo)注直線與圓的交點(diǎn)，

由正六邊形的性質(zhì)可得：A,。，D三點(diǎn)共線，△C。。為等邊三角形，

：.LAOQ=乙DOH,乙COD=乙GOH=60°,

：,LCOG=乙DOH=^AOQ,

???扇形AOQ與扇形COG重合，

'S陰影=S扇形C0D-SMOD，

??NCOD為等邊三角形，0C=0D=2,過。作OKICD于K,

，乙COD=60°,CK=DK=1,OK=V22-I2=V3,

陰影=S扇形con-S&COD=6黑=1x2xV3=y-V3；

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形與圓，扇形面積的計(jì)算，勾股定理的應(yīng)用，熟記正六邊形的性質(zhì)是解本題

的關(guān)鍵.

二.填空題（共6小題，滿分18分,每小題3分）

11.如圖，在中，LC=90°,AC=3,BC=4,則△4BC的內(nèi)切圓半徑丁=.

【答案】1

【分析】本題考查了切線長定理，圓的切線的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線長定理是解答本

題的關(guān)鍵，首先利用切線的性質(zhì)證明四邊形OECF是正方形，得到==再利用切線長定理得到

AE=3-r,BF=4-r,最后由40+80=48列方程即可求解.

【詳解】設(shè)△力BC的內(nèi)切圓與48、AC.8C分別相切于點(diǎn)。、E、F,

GELAC,OF1BC,

vZC=90°,

匹邊形OEC尸是矩形，

???CE=CF,

.?.匹邊形。EC尸是正方形，

CE=CF=OE=r,

AAE=3—r,BF=4—r,

vAD=AE,BD=BF,

AAD=3-r,BD=4—r,

在ABC中，AB=ylAC2+BC2=V324-42=5,

vAD+BD=AB,

3-r+4-r=5,

解得丁=1.

故答案為：1.

12.如圖，在中，乙4C8=90。，zF=60°,BC=3,將△48C繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△EOC的位

置，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)。首次落在斜邊,48上，則點(diǎn)力的運(yùn)動(dòng)路徑的長為.

【答案】V3TT

【分析】首先證明△BCD是等邊三角形，再根據(jù)弧長公式計(jì)算即可.

【詳解】解：在RtaABC中，*：Z.ACB=90°,4B=60。，BC=3,

??AB=2BC=6>

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CE=CA=，4。2一=373,Z.ACE=乙BCD=90。-乙4c。，

CB=CD,

?MBCD是等邊三角形，

:?乙BCD=60°=乙4CE,

???點(diǎn)力的運(yùn)動(dòng)路徑的長為筆等二百九

180

故答案為：V37T.

【點(diǎn)睛】本題考杳了旋轉(zhuǎn)變換，含30。直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式等知識，

解題的關(guān)鍵是證明△BCD是等邊三角形.

13.圓錐的高為2vL母線長為3,沿一條母線將其側(cè)面展開，展開圖（扇形）的圓心角是度,該

圓錐的側(cè)面積是（結(jié)果用含"的式子表示）.

【答案】120371

【分析】根據(jù)勾股定理，先求出圓錐底面半徑，進(jìn)而得出底面周長，即圓錐展開圖的弧長，根據(jù)圓錐母線

為圓錐的側(cè)面展開圖的半徑，結(jié)合扇形弧長公式和面枳公式，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)勾股定理可得：圓錐底面半徑=J32-（2旬2=1,

，該圓錐底面周長=271,

???圓錐母線長為3,

???該圓錐的側(cè)面展開圖的半徑為3,

工管=24，解得：n=120,

180

即展開圖（扇形）的圓心角是120度，

圓錐的側(cè)面積=|Zr=1x27rx3=3TT,

故答案為：120,37r.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求圓錐地面半徑，扇形面積公式和弧長公式，解題的關(guān)鍵是掌握弧長］=黑，扇

180

形面積嶗.

/ooU

14.如圖，40是。0的直徑，是。。的內(nèi)接三角形.若乙DAC=UBC,4C=4,則。。的直徑

AD=.

【答案】4V2

【分析】連接CD,0C,根據(jù)在同圓中直徑所對的圓周角是90?？傻?1CD=90。，根據(jù)圓周角定理可得

Z.C0D=Z.COA,根據(jù)圓心角，弦，弧之間的關(guān)系可得4C=CO,根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】解：連接CD,0C,如圖：

'B

:/ID是。。的直徑,

：.LACD=90°,

'：LDAC=LABC,

:.乙COD="OA,

：,AC=CD,

又*NC=4,

：.CD=4.

在Rt△4C0中，AD=y/AC2+CD2=V42+42=4&,

故答案為：4vL

【點(diǎn)睛】本題考查了在同圓中直徑所對的圓周角是90。，圓周角定理，圓心角，弦，弧之間的關(guān)系，勾股

定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

【新考法】數(shù)學(xué)與實(shí)際生活一利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題

15.小明對《數(shù)書九章》中的“遙度圓城''問題進(jìn)行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正

北四個(gè)門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一顆大樹，向樹的方向走9里到達(dá)城壁邊，再往前

【答案】9

【分析】由力B切圓于。，BC切圓于C,連接。。，得到。D14B,0C18C,BD=BC=9里,由勾股定

理求出4c=A/AB2—BC2=12,由tan4=^=求出。。=4.5（里），即可得到答案.

ADAC

【詳解】解：如圖，00表示圓形城堡，

由題意知：/W切圓丁。，6c切圓丁C,連接OD,

：.0D1AB,0clBC,80=8C=9里,

*：AD=6里，

：.AB=AD+BD=15里，

：.AC=y]AB2-BC2=12,

.OD9

：.0D=4.5（里）.

???城堡的外圍直徑為2。。=9（里）.

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，解直角三角形，切線的性質(zhì)，切線長定理，關(guān)鍵是理解題意，得到tanA=

黑=登求出0D長即可.

ADAC

16.【創(chuàng)新題】如圖，在矩形A8CD中，AB=8,力。=10,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，E是8M上的一點(diǎn)，連接

AE,作點(diǎn)8關(guān)于直線4E的對稱點(diǎn)夕，連接。夕并延長交BC于點(diǎn)E當(dāng)8尸最大時(shí)，點(diǎn)e到BC的距離

【分析】如圖，由題意可得：?在04上，過夕作于H,由點(diǎn)8關(guān)于直線4E的對稱點(diǎn)夕，可得

AB=ABf,BE=B'E,tAEB=CAE夕,4ABE=iAB'E,當(dāng)。E與。4切于點(diǎn)8’時(shí)，BF最大,此時(shí)DF1

AB',證明E,尸重合，aj^Z.DAE=Z.AEB=Z.AEB\AD=DE=10,求解BE=B'E=4,證明△

EB'H?AEDC,可得黑=粵，從而可得答案.

EDCD

【詳解】解：如圖，由題意可得：夕在。A上,過夕作于H,

,:點(diǎn)、B關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)所，

：.AB=AB,,BE=B'E,Z.AEB=LAEB',Z.ABE=^.AB'E,

當(dāng)DE與。4切于點(diǎn)8’時(shí)，BF最大,此時(shí)。尸1/9，

：,LABE=Z-AB'F=90°,

?,?E,F重合,

：,LAEB=乙4Er，

???矩形ABC。，

：.AD\\BC,Z.C=90%AD=BC=10,AB=CD=8,

：,LDAE=乙4EB=Z.AEB',

：.AD=DE=10,

：.CE=V102-82=6,

:.BE=B'E=4,

*：B'H1BC,LC=90°,

???B'HIICO,

“EB'H"EDC,

,EB'_B'H

**ED-CD,

?4B'H

■?""=

1089

：.B，H=三,

???點(diǎn)夕到BC的距離是藍(lán).

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的基

本性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

三.解答題（共9小題，滿分72分,其中17、18、19題每題6分，20題、21題每題7分，22題8分，23

題9分，24題10分，25題13分）

17.如圖，是。O的弦，半徑OC1A8,垂足為。，弦CE與48交于點(diǎn)凡連接4?,AC,BC.

(1)求證：ABAC=zF；

(2)若48=8,DC=2,CE=3VW,求CF的長.

【答案】(I)見解析

【分析】（1）由垂徑定理，得AD=BD品=阮,由圓周角定理，得48AC=/E；

⑵可證尸?△E&4得票=樂RtUO。中，勾股定理求得4C='AD?+DC2=入&于是d二

2\說

3°

【詳解】（1）證明：???0C14BOC是。。的半徑

：,AD=BD,AC=皮：（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

C.LBAC=ZF（同弧或等弧所對的圓周角相等）

（2）解：*：LBAC=LEXVz/lCF=/.ECA

C.LACF-LECA（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似）

???5=烏（相似三角形對應(yīng)邊成比例）

ECCA

*：AB=8

,.AD=BD=4

在Rt△ADC^^ADC=90°AD=4CD=2

：.AC=>JAD2+DC2=V42+22=2花(勾股定理)

即輩=隼

3VTO2>/5

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理；由相似三角形得到線段間的數(shù)量關(guān)

系是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，半徑為6的。。與即△ABC的邊相切于點(diǎn)A,交邊BC于點(diǎn)C,D,ZB=90°,連接0。，

AD.

⑴若NACB=20。，求腦的長（結(jié)果保留江）.

（2）求證：AO平分

【答案】（吟

（2）見解析

【分析】（1）連接。4由乙4cB=20。，得乙力。。=40。，由弧長公式即得俞的長為?；

（2）根據(jù)48切。0于點(diǎn)A,匕8=90°,可得0A//8C,有乙。力。二匕力。8,而。力=00,即可得乙力。8=

△0DA,從而力。平分上8D0.

【詳解】（1）解：連接。4,

*/ZACB=20°,

???NAO￡>=40°,

?A-C\nTtr

..AT)=——

180

40X7TX6

180

47r

=T-

(2)證明：?.?04=。。，

Z.OAD=Z.ODA,

???力8切00于點(diǎn)4

0A1AB,

?:乙B=90°,

A0A//BC,

:.LOAD=Z.ADB,

???Z.ADB=/.ODA,

AD平分Z8D0.

【點(diǎn)睛】本題考查與圓有關(guān)的計(jì)算及圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握弧長公式及圓的切線的性質(zhì).

19.已知：AABC.

(1)尺規(guī)作圖：用直尺和圓規(guī)作出么4BC內(nèi)切圓的圓心。；(只保留作圖痕跡，不寫作法和證明)

(2)如果△48C的周長為14cm,內(nèi)切圓的半徑為1.3cm,求△ABC的面積.

【答案】(1)作圖見詳解

(2)9.1

【分析】(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知角平分線的交點(diǎn)為三角形內(nèi)切圓的圓心，故只要作出兩個(gè)角的角平

分線即可；

(2)利用割補(bǔ)法，連接04,OB,0C,作。。_LA3,OE±BC,OF±AC,這樣將△A5c分成三個(gè)小三角

形，這三個(gè)小三角形分別以aABC的三邊為底，高為內(nèi)切圓的半徑，利用提取公因式可將周長代入，進(jìn)而

求出三角形的面積.

【詳解】(1)解：如下圖所示，0為所求作點(diǎn)，

A

(2)解：如圖所示，連接OA,OB,03作OOJ_AB,OELBC,0F1AC,

???內(nèi)切圓的半徑為1.3cm,

OD=OF=OE=\3,

???三角形ABC的周長為14,

AZB+BC+AC=14,

則SMHQ=SAAM+S?CR+SZACC=AB.OD+：.BC.OE+；?4。?。?

11

=-x1.3x(AB+BC+AQ=-x1.3x14=9.1

乙乙

故三角形4BC的面積為9.1.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓，角平分線的性質(zhì)，割補(bǔ)法求幾何圖形的面積，能夠?qū)⒔瞧椒志€的性質(zhì)

與三角形的內(nèi)切圓相結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

【新考法】數(shù)學(xué)與實(shí)際生活——利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題

20.祥舸江“余月郎山，西陵晚渡”的風(fēng)景描繪中有半個(gè)月亮掛在山上，月亮之上有個(gè)“齊天大圣"守護(hù)洞I」

的傳說.真實(shí)情況是老王山上有個(gè)月亮洞，洞頂上經(jīng)常有猴子爬來爬去，下圖是月亮洞的截面示意圖.

O

⑴科考隊(duì)測量出月亮洞的洞寬CO約是28/”，洞高48約是12〃?，通過計(jì)算截面所在圓的半徑可以解釋月亮

洞像半個(gè)月亮,求半徑0C的長（結(jié)果精確到0.1〃?）；

（2）若匕COZ）=162。，點(diǎn)M在戊）上，求乙CMZ）的度數(shù)，并用數(shù)學(xué)知識解釋為什么“齊天大圣”點(diǎn)M在洞頂CD上

巡視時(shí)總能看清洞口CD的情況.

【答案】（1）14.2m

（2）ZCMD=99°,因?yàn)椋?。在NCMD的內(nèi)部，所以點(diǎn)M在洞頂⑶上巡視時(shí)總能看清洞口UD的情況

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得BC=：CD=14,勾股定理解Rt^OBC,即可求解；

（2）在優(yōu)弧GW上任取一點(diǎn)N,連接CM,DM,CN,DN根據(jù)圓周角定理可得“ND=81。，根據(jù)圓

內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)即可求解.根據(jù)因?yàn)镃O在NCM。的內(nèi)部，所以點(diǎn)M在洞頂⑦上巡視時(shí)總能看清洞

口。。的情況.

【洋解】（1）解：???AB1CD,CD=28,

...BC=\CD=14,

設(shè)半徑為r,則。8=r-48=r-12

在RS0BC中，0C2=OB2+BC2

r2=（r-12）2+142

解得r二里弋14.2

6

答：半徑OC的長約為14.2m

（2）如圖，在優(yōu)弧C柳上任取一點(diǎn)N,連接CM,DM,CN,DN

.:乙COD=162°,CD=CD

“NO=-￡.COD=81°,

:，乙CMD=180°-乙CND=99。

HMD=99°,

因?yàn)?。。在ZCWO的內(nèi)部，所以點(diǎn)M在洞頂戊）上巡視時(shí)總能看清洞口CO的情況.

【點(diǎn)睛】本題考杳了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)

鍵.

21.如圖，已知是。。的直徑，8。是。0的弦，點(diǎn)P是。。外的一點(diǎn)，PCLAB,垂足為點(diǎn)C,PC與

BD相交于點(diǎn)E,連接PD,且PZ)=PE,延長PC交84的延長線于點(diǎn)F.

(1)求證：PD是。。的切線；

(2)若DF=4,PE=%cos￡P(guān)FC=求BE的長.

【答案】(1)見解析

⑵花

【分析】(1)根據(jù)PO=PE,得出乙0E0=4P0E,進(jìn)而得出NPOE=4BEC,易得乙B=iODB,根據(jù)

PCLAB,得出NB+48EC=90。，則4。08+NPOE=90。，即可求證P。是O。的切線；

(2)易得PD=PE=%則PF=PO+O尸=￡,根據(jù)COSNPFC=￡求出CF=PF?cosz_PFC=6,OF=

-^-=5,則OC=CF-OF=1,根據(jù)勾股定理求出。。=3,PC=之,進(jìn)而求出=2,C￡=1,最后

COS^PFC2

根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】(1)證明：???PZ)=PE,

工乙PED=Z.PDE,

'：LPED=乙BEC,

：?4DE=乙BEC,

\'0B=OD,

ZF=Z.ODB,

?：PCLAB,

???/BCP=90。，則48+4BEC=90。，

：.￡ODB+^PDE=90°,即乙OOP=90°,

；?P。是。。的切線；

(2)解：?:PD=PE,PE=j

VDF=4,

???PF=PD+DF=m,

4

Vcosz.PFC=p

CF=PF?coszPFC=—x-=6,

25

???p。是。。的切線，

：.0D1PD,則N0/)F=90。，

；?0C=CF-OF=6-5=1,

根據(jù)勾股定理可得：OD=>JOF2-DF2=V52-42=3,PC=yJPF2-CF2=

：?0B=OD=3,

97

AFC=OF-OC=3-1=2,CE=PC-PE=--=1,

22

???根據(jù)勾股定理可得：BE="W+Be?==后

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，解題直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握經(jīng)過半徑外端且垂直于半

徑的直線是圓的切線，以及解直角三角形的方法和步驟.

【新考法】圓與反比例函數(shù)綜合

22.小軍借助反比例函數(shù)圖象設(shè)計(jì)“魚形”圖案，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以反比例函數(shù)y=§圖象上的

點(diǎn)“6,1)和點(diǎn)8為頂點(diǎn)，分別作菱形力OCD和菱形OBEF,點(diǎn)D,E在工軸上，以點(diǎn)O為圓心，0A長為半

徑作AC,連接8口

C

(1)求2的值;

（2）求扇形AOC的半徑及圓心角的度數(shù)；

（3）請直接寫出圖中陰影部分面積之和.

【答案】（1）75

⑵半徑為2,圓心角為60°

（3）373-^

【分析】（1）將4（火,1）代入y=§中即可求解；

（2）利用勾股定理求解邊長，再利用三角函數(shù)求出乙4。0的度數(shù)，最后結(jié)合菱形的性質(zhì)求解；

（3）先計(jì)算出S菱形A"。=2百，再計(jì)算出扇形的面積，根據(jù)菱形的性質(zhì)及結(jié)合k的幾何意義可求出

S^FBO=V3,從而問題即可解答?

【詳解】（1）解：將4（75,1）代入y=：中，

得1=各

解得：k=V3：

（2）解：???過點(diǎn)力作。。的垂線，垂足為G,如下圖：

???4(75,1),

AAG=1,OG=V3,

:.OA=J(V3)2+12=2,

半徑為2；

-AG=-OA,

2

s\nz.AOG=—=

OG2

￡AOG=30°,

由菱形的性質(zhì)知:^AOG=/-COG=30°,

:.Z.AOC=60°,

扇形力OC的圓心角的度數(shù)：60°；

(3)解：=2OG=2百，

???S#：囹o“)=AGxOD=1x2V3=25/3,

SmAOC=；Xnr2=;X7rx22=|7T,

如下圖：由菱形知，SNHO=SABHO,

..c_1^1_V3

?S&BHO=y=y

S^FBO=2Xf=V3,

S陰影部分面積=SHFBO+S菱形A0CD-S扇形<oc=百+26-jn-=3V3-J7T.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)及k的幾何意義，菱形的性質(zhì)、勾股定理、圓心角，解題的關(guān)健是掌握k的

幾何意義.

23.【創(chuàng)新題】如圖，四邊形內(nèi)接于。。，對角線4C,相交于點(diǎn)￡,點(diǎn)“在邊4。上，連接EF.

⑴求證：AABE~ADCE；

(2)當(dāng)次：=UB,Z.DFE=時(shí)，則變--竺+竺=?-A-

BECEABAD'ABAD

1

麗=.(直接將結(jié)果填寫在相應(yīng)的橫線上)

(3)①記四邊形力BCD,LABE,△CDE的面積依次為S,Si，S2，若滿足遙=店+醫(yī)，試判斷，A/IBE,

△COE的形狀，并說明理由.

②當(dāng)就=CB,AB=m,AD=n,CO=p時(shí)，試用含加，〃，p的式子表示4E?C￡

【答案】（1）見解析

（2）0,1,0

（3）①等腰三角形，理由見解析，②早”

pz+mn

【分析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等，對頂角相等，即可得證；

（2）由（1）的結(jié)論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得4E-CE=BE-DE,即可得出管一差=0,根據(jù)已知條

ocCE

件可得EF||力氏FA=FE,即可得出AOFE?根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得籌=蕓，根據(jù)恒等式變

ABAD

形，進(jìn)而即可求解.

（3）①記△ADE,△EBC的面積為S3，S4，則5=8+S2+S3+SZ,SQ?=S3S4，根據(jù)已知條件可得S3=

S4，進(jìn)而可得SAABD=SM“，得出CDIN8,結(jié)合同弧所對的圓周角相等即可證明△ABE,是等腰三角

形；

②證明△ZZ4C~a￡4B,ADCE八ACD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出及4?4C+CE?4C=AC?=旭九十

p2,=Jmn+p2,EC==——AE=AC-CE=.--.,計(jì)算/E?CE即可求解.

vACy{/mn+p2>Jmn+p2

【詳解】（1）證明：???腦=和，

二Z.ACD=Z.ABD,

即/A8E=乙DCE,

又乙DEC=4AEB,

△ABE^△DCE；

（2）vLABE-^DCE,

，”=些=些，

DCCEDE

；.AE?CE=BE?DE,

AEDE_AECE-BEDE_八

"BECE~BECE~'

V^C=CB,

：,LBAC=Z.DAC=乙CBD=LCDB,

工人CDB+乙CBD=180°-乙BCD=Z.DAB=24cz）8,

■:乙DFE=2乙CDB

???乙DFE=LDAB,

：?EFWAB,

:.LFEA=乙EAB,

vETC=CB,

:.￡DAC=Z.BAC

:.Z.FAE=Z.FEA,

FA=FE,

???EF\\AB,

?，.△DFEDAB,

EPDF

??=，

A3AD

AF,FEEF,AFDF,AFAD

:.------1-------=---------------=---------------=—=

/.BADABADADADAD

ZF,AFAF,EF.

/8ADABAD

.AFAF

???-------------=1,

A3AD

1,11八

A3ADAF

故答案為：0,I,0

(3)①記△力DEAEBC的面積為$3,54,

則S=Si+S/++S4,

...亙=邑=更，

S3S2DE

*'?S1S2=S3s4①

Vs=

即S=Si+S2+2店W，

S3+S4=2J5/2②

由①②可得S3+S4=2店店，

即(店_圖2=0,

S3=S4,

S^ABE+SaADE=S&ABE+S^EBC，

即SMBD=SMBC，

???點(diǎn)。和點(diǎn)。到A6的距離相等，

CDWAB,

???￡ACD=乙BAC,乙CDB=/.DBA,

vZ.ACD=乙ABD,乙CDB=乙CAB,

乙EDC=乙ECD=Z-EBA=乙EAB,

:△ABEqDCE都為等腰三角形；

②???云=即.

Z.DAC=Z.EAB,

vZ.DCA=Z.EBA,

DACEAB,

ADAC

??,

EAAB

AB=m,AD=n?CD=p,

???EA-AC=DAxAB=mn,

Z.BDC=Z-BAC=Z.DAC,

???Z.CDE=Z.CAD,

又乙ECD=/.DCA,

.，.△DCEACD,

...a=生，

ACCD

：?CE?CA=CD2=p2,

???EA-AC+CEAC=AC2=mn+p2,

則"C="+p2,?=穿=7^'

AE=AC-CE=/mn

y/mn^p2

AE-EC=

mn+pz

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，對于相似恒

等式的推導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

【幾何模型】定弦定角模型

24.已知乙MON=a,點(diǎn)48分別在射線OM,ON上運(yùn)動(dòng)，AB=6.

圖①圖②圖③

⑴如圖①，若a=90。，取AB中點(diǎn)。，點(diǎn)A,8運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。也隨之運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A,B,。的對應(yīng)點(diǎn)分別為

連接。判斷。。與。。有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論：

(2)如圖②，若a=60。，以A8為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形44C,求點(diǎn)O與點(diǎn)C的最大距離：

(3)如圖③，若a=45。，當(dāng)點(diǎn)A,B運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△4。3的面枳最大?請說明理由，并求出△408面

積的最大值.

【答案】(1)。。=。。'，證明見解析

(2)373+3

(3)當(dāng)。力二。8時(shí)，△TlOB的面積最大；理由見解析，△AOB面積的最大值為9四+9

【分析】(1)根據(jù)“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半“可得OD=，B,0。=/，夕，進(jìn)而得出結(jié)論；

(2)作AAOB的外接圓/,連接C/并延長，分別交。/于0,和D,當(dāng)。運(yùn)動(dòng)到0,時(shí)，OC最大，求出CO

和等邊三角形AO夕上的高07),進(jìn)而求得結(jié)果；

(3)以A8為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形A8C,連接。。交A8于點(diǎn)T,在。丁上取點(diǎn)E,使

OE=BE,連接8E,由(2)可知：當(dāng)。CLA8時(shí)，0C最大，BT=3,當(dāng)0A=。8時(shí)，ZBOC=22.5°,此時(shí)

07最大，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NO8E=NBOC=22.5。，由外角的性質(zhì)可得/8E7=45。，則

ET=BT=3,利用勾股定理可得OE,由OT=OE+￡T可得OT,然后根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】(1)解：0D=0?,證明如下：

???LAOB=a=90°,AB中點(diǎn)為D,

OD=-AB