2025年寧夏石嘴山一中數(shù)學高二第一學期期末檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若雙曲線的漸近線方程為，則實數(shù)a的值為（）A B.C.2 D.2．已知M、N為橢圓上關于短軸對稱的兩點,A、B分別為橢圓的上下頂點,設、分別為直線的斜率,則的最小值為()A. B.C. D.3．△ABC的兩個頂點坐標A（-4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點C的軌跡方程是（）A. B.（y≠0）C. D.4．一質點的運動方程為（位移單位：m，時間單位：s），則該質點在時的瞬時速度為（）A.4 B.12C.15 D.215．已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.6．已知空間向量，且與垂直，則等于（）A.－2 B.－1C.1 D.27．已知為虛數(shù)單位，復數(shù)是純虛數(shù)，則（）A B.4C.3 D.28．命題“若α=，則tanα=1”的逆否命題是A.若α≠，則tanα≠1 B.若α=，則tanα≠1C.若tanα≠1，則α≠ D.若tanα≠1，則α=9．橢圓的焦點坐標為（）A. B.C. D.10．在等比數(shù)列中，若，，則（）A. B.C. D.11．七巧板是中國古代勞動人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，它由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）A. B.C. D.12．已知雙曲線，點F為其左焦點，點B，若BF所在直線與雙曲線的其中一條漸近線垂直，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，若，且，則的長為_________14．設是橢圓上一點，分別是橢圓的左、右焦點，若，則的大小_____.15．設，是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線上任意一點，過作平分線的垂線，垂足為M，則點M到直線的距離的最小值是___16．經過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，底面ABCD，E為BP的中點，，（1）證明：平面PAD；（2）求平面EAC與平面PAC夾角的余弦值18．（12分）橢圓的離心率為，設為坐標原點，為橢圓的左頂點，動直線過線段的中點，且與橢圓相交于、兩點．已知當直線的傾斜角為時，（1）求橢圓的標準方程；（2）是否存在定直線，使得直線、分別與相交于、兩點，且點總在以線段為直徑的圓上，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請說明理由19．（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調區(qū)間；（2）求在上的最大值.20．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，當時，；數(shù)列中，.直線經過點（1）求數(shù)列的通項公式和；（2）設，求數(shù)列的前n項和，并求的最大整數(shù)n21．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD，，，且，，點E為棱PC的動點.（1）當點E是棱PC的中點時，求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；（2）若E為棱PC上任一點，滿足，求二面角P-AB-E的余弦值.22．（10分）已知函數(shù)，曲線在點處的切線與直線垂直（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）求的解析式及單調遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)無零點，求的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由雙曲線的漸近線方程結合已知可得.【詳解】雙曲線方程為所以漸近線為，故，解得：.故選：D2、A【解析】利用為定值即可獲解.【詳解】設則又,所以所以當且僅當,即,取等故選:A3、D【解析】根據(jù)三角形的周長得出，再由橢圓的定義得頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，可求得頂點C的軌跡方程.【詳解】因為，所以，所以頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，即，所以頂點C的軌跡方程是，故選：D.【點睛】本題考查橢圓的定義，由定義求得動點的軌跡方程，求解時，注意去掉不滿足的點，屬于基礎題.4、B【解析】由瞬時變化率的定義，代入公式求解計算.【詳解】由題意，該質點在時的瞬時速度為.故選：B5、A【解析】由直線斜率與方向向量的關系算出斜率，然后可得.【詳解】記直線的傾斜角為，由題知，又，所以，即.故選：A6、B【解析】直接利用空間向量垂直的坐標運算即可解決.【詳解】∵∴∴，解得，故選：B.7、C【解析】化簡復數(shù)得，由其為純虛數(shù)求參數(shù)a，進而求的模即可.【詳解】由為純虛數(shù)，∴，解得：，則，故選：C8、C【解析】因為“若，則”的逆否命題為“若，則”，所以“若α=，則tanα=1”的逆否命題是“若tanα≠1，則α≠”.【點評】本題考查了“若p，則q”形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，考查分析問題的能力.9、B【解析】根據(jù)方程可得，且焦點軸上，然后可得答案.【詳解】由橢圓的方程可得，且焦點在軸上，所以，即，故焦點坐標為故選：B10、D【解析】由等比數(shù)列的性質得，化簡，代入數(shù)值求解.【詳解】因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，由題意，所以.故選：D11、D【解析】設正方形的邊長為，計算出陰影部分區(qū)域的面積和正方形區(qū)域的面積，然后利用幾何概型的概率公式計算出所求事件的概率.【詳解】設大正方形的邊長為，則面積為，陰影部分由一個大等腰直角三角形和一個梯形組成大等腰直角三角形的面積為，梯形的上底為，下底為，高為，面積為，故所求概率故選：D.12、C【解析】設出雙曲線半焦距c，利用斜率坐標公式結合垂直關系列式計算作答.【詳解】設雙曲線半焦距為c，則，直線BF的斜率為，雙曲線的漸近線為：，因直線BF與雙曲線的一條漸近線垂直，則有，即，于是得，而，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】因為，所以，即，故14、【解析】，，利用橢圓的定義、結合余弦定理、已知條件，可得，解得，從而可得結果【詳解】橢圓，可得，設，，可得，化簡可得：，，故答案為【點睛】本題主要考查橢圓的定義以及余弦定理的應用，屬于中檔題．對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應用.15、1【解析】構造全等三角形，結合雙曲線定義，求得點的軌跡方程，再根據(jù)直線與圓的位置關系，即可求得點到直線距離的最小值.【詳解】延長交的延長線于點，如下所示：因為平分，且，故△△，則，又，則，又在△中，分別為的中點，故可得；設點的坐標為，則，即點在圓心為，半徑的圓上，圓心到直線的距離，故點到直線距離的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查雙曲線的定義，以及直線與圓的位置關系，解決問題的關鍵在于通過幾何關系求得點的軌跡方程，屬中檔題.16、4x＋3y－6＝0【解析】直接求出兩直線l1：x﹣2y+4=0和l2：x+y﹣2=0的交點P的坐標，求出直線的斜率，然后求出所求直線方程【詳解】由方程組可得P（0，2）∵l⊥l3，∴kl=﹣，∴直線l的方程為y﹣2=﹣x，即4x＋3y－6＝0故答案為：4x＋3y－6＝0三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）通過作輔助線，構造平行四邊形，在平面PAD找到線并證明，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標系，求出相應點的坐標，進而求得相關的向量坐標，求出平面EAC與平面PAC的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求得答案.【小問1詳解】證明：取PA的中點F，由E為PB的中點，則，，而，，所以且，則四邊形CDFE為平行四邊形，所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD【小問2詳解】∵平面ABCD，，∴AP，AB，AD兩兩垂直，以A為原點，，，向量方向分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，各點坐標如下：，，，，，設平面APC的法向量為，由，，有，取，則，，即，設平面EAC的法向量為，由，，有，取，則，，即，所以，由原圖可知平面EAC與平面PAC夾角為銳角，所以平面EAC與平面PAC夾角的余弦值為18、（1）（2）存在，且直線的方程為或【解析】（1）分析可知，，直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式可求得的值，即可得出橢圓的標準方程；（2）設點、，設直線的方程為，將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出點、，由已知得出，求出的值，即可得出結論.【小問1詳解】解：因為，則，，所以，橢圓的方程為，即，易知點，則點，當直線的傾斜角為時，直線的方程為，設點、，聯(lián)立，可得，，由韋達定理可得，，所以，，解得，則，，因此，橢圓的標準方程為.【小問2詳解】解：易知點，若直線與軸重合，則、為橢圓長軸的兩個端點，不合乎題意.設直線的方程為，設點、，聯(lián)立，可得，，由韋達定理可得，，直線的斜率為，直線的方程為，故點，同理可得點，，，由題意可得，解得或.因此，存在滿足題設條件的直線，且直線的方程為或，點總在以線段為直徑的圓上.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.19、（1）①，在上單減；②，在上單增，單減；（2）.【解析】（1），根據(jù)函數(shù)定義域，分，，討論求解；（2）根據(jù)（1）知：分，，，討論求解.【小問1詳解】解：(1)定義域，①時，成立，所以在上遞減；②時，當時，，當時，，所以在上單增，單減；【小問2詳解】由（1）知：時，在單減，所以；時，在單減，所以；時，在上單增，上遞減，所以；時，在單增，所以；綜上：.20、（1），（2），7【解析】（1）根據(jù)之間的遞推關系，可寫出。，采用和相減得方法，可求得，由題意可推得為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式可求得答案；（2）寫出的表達式，利用錯位相減法可求得數(shù)列的前n項和，進而利用數(shù)列的單調性求的最大整數(shù)n【小問1詳解】∵，∴，則，∴，即，得又，∴，即，可得數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則；∵點在直線上，∴，∴，即數(shù)列是等差數(shù)列，又，∴；【小問2詳解】∵，∴，∴，∴，兩式相減可得：，∴,設，則，故，是單調遞增的故當時，單調遞增的，當時，；當時，，故滿足的最大整數(shù)21、（1）（2）【解析】（1）由題意可得兩兩垂直，所以以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解，（2）設，表示出點的坐標，然后根據(jù)求出的值，從而可得點的坐標，然后利用空間向量求二面角【小問1詳解】因為底面ABCD，平面，所以因為，所以兩兩垂直，所以以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，，點E為棱PC的動點，所以，所以,，設平面的法向量為，則，令，則設直線BE與平面PBD所成角為，則，所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為，【小問2詳解】，因為E為棱PC上任一點，所以設，所以，因為，所以，解得，所以，設平面的法向量為，則，令，則，取平面的一個法向量為，設二面角P-AB-E的平面角為，由圖可知為銳角，則，所以二面角P-AB-E余弦值為22、（1）單調減區(qū)間為和；（2）的取值范圍為：或【解析】（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件，可得，求得的解析式，可得導數(shù)，令導數(shù)小于0，可得減區(qū)間；（2）先求得，要使函數(shù)無零點，即要在內無解，亦即要在內無解.構造函數(shù)，對其求導，然后對進行分類討論，運用單調性和函數(shù)零點存在性定理，即可得到的取值范圍.【詳解】(1)，又由題意有：，故.此時，，由或，所以函數(shù)的單調減區(qū)間為和.(2)，且定義域為，要函數(shù)無零點，即要在內無解，亦即要在內無解.構造函數(shù).①當時，在內恒成立，所以函數(shù)在內單調遞減，在內也單調遞減.又，所以在內無零點，在內也無零點，故滿足條件；②當時，⑴若，則函數(shù)在內單調遞減，在內也單調遞減，在內單調遞增.又，所以在內無零點；易知，而，故在內有一個零點，所以不滿足條件；⑵若，則函