2025年山西省祁縣中學(xué)數(shù)學(xué)高二第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是19世紀(jì)對數(shù)學(xué)分析作出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果．設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間內(nèi)恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為“凸函數(shù)”，則下列函數(shù)在其定義域內(nèi)是“凸函數(shù)”的是（）A. B.C. D.2．若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A.y=±2x B.y=C. D.3．已知等差數(shù)列中，、是的兩根，則（）A B.C. D.4．直線過橢圓內(nèi)一點，若點為弦的中點，設(shè)為直線的斜率，為直線的斜率，則的值為（）A. B.C. D.5．曲線上存在兩點A，B到直線到距離等于到的距離，則（）A.12 B.13C.14 D.156．等差數(shù)列中，,，則當(dāng)取最大值時，的值為A.6 B.7C.6或7 D.不存在7．若，則下列等式一定成立的是（）A. B.C. D.8．已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，則（）A. B.C. D.9．已知圓，圓，則兩圓的公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.410．在四面體中，空間的一點滿足，若共面，則（）A. B.C. D.11．2021年4月29日，中國空間站天和核心艙發(fā)射升空，這標(biāo)志著中國空間站在軌組裝建造全面展開，我國載人航天工程“三步走”戰(zhàn)略成功邁出第三步.到今天，天和核心艙在軌已經(jīng)九個多月.在這段時間里，空間站關(guān)鍵技術(shù)驗證階段完成了5次發(fā)射、4次航天員太空出艙、1次載人返回、1次太空授課等任務(wù).一般來說，航天器繞地球運行的軌道近似看作為橢圓，其中地球的球心是這個橢圓的一個焦點，我們把橢圓軌道上距地心最近（遠(yuǎn)）的一點稱作近（遠(yuǎn)）地點，近（遠(yuǎn)）地點與地球表面的距離稱為近（遠(yuǎn)）地點高度.已知天和核心艙在一個橢圓軌道上飛行，它的近地點高度大約351km，遠(yuǎn)地點高度大約385km，地球半徑約6400km，則該軌道的離心率為（）A. B.C. D.12．已知集合A=（）A. B.C.或 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的焦點坐標(biāo)為________14．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，則的值為__________.15．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖），給出下列三個結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）；②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3；其中，所有正確結(jié)論的序號是________16．命題“，”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓與橢圓有共同的焦點，且橢圓經(jīng)過點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為橢圓的左焦點，為橢圓上任意一點，為坐標(biāo)原點，求的最小值.18．（12分）已知橢圓C：的離心率為，，是橢圓的左、右焦點，過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1（1）求橢圓C的方程；（2）過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，求（O為坐標(biāo)原點）的面積的最大值19．（12分）近年來，我國電子商務(wù)蓬勃發(fā)展.2016年“618”期間，某網(wǎng)購平臺的銷售業(yè)績高達(dá)516億元人民幣，與此同時，相關(guān)管理部門推出了針對該網(wǎng)購平臺的商品和服務(wù)的評價系統(tǒng).從該評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進(jìn)行統(tǒng)計，網(wǎng)購者對商品的滿意率為0.6，對服務(wù)的滿意率為0.75，其中對商品和服務(wù)都滿意的交易為80次.（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并回答能否有的把握認(rèn)為“網(wǎng)購者對商品滿意與對服務(wù)滿意之間有關(guān)系”?對服務(wù)滿意對服務(wù)不滿意合計對商品滿意80對商品不滿意10合計200（2）若將頻率視為概率，某人在該網(wǎng)購平臺上進(jìn)行的3次購物中，設(shè)對商品和服務(wù)都滿意的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.89710.828的觀測值：（其中）.20．（12分）已知橢圓的長軸長是6，離心率是.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，過點的直線l與橢圓E交于A，B兩點，判斷是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.21．（12分）已知動點M到定點和的距離之和為4（1）求動點軌跡的方程；（2）若直線交橢圓于兩個不同的點A，B，O是坐標(biāo)原點，求的面積22．（10分）已知數(shù)列滿足，（1）設(shè)，求證:數(shù)列是等比數(shù)列;（2）求數(shù)列的前項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)公式求各函數(shù)二階導(dǎo)函數(shù)，判斷其在定義域上是否恒有，即可知正確選項.【詳解】A：，則，顯然定義域內(nèi)有正有負(fù)，故不是“凸函數(shù)”；B：，則，故是“凸函數(shù)”；C：，則，故不是“凸函數(shù)”；D：，則，顯然定義域內(nèi)有正有負(fù)，故不是“凸函數(shù)”；故選：B2、B【解析】雙曲線的離心率為，漸進(jìn)性方程為，計算得，故漸進(jìn)性方程為.【考點定位】本小題考查了離心率和漸近線等雙曲線的性質(zhì).3、B【解析】利用韋達(dá)定理結(jié)合等差中項的性質(zhì)可求得的值，再結(jié)合等差中項的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】對于方程，，由韋達(dá)定理可得，故，則，所以，.故選：B.4、A【解析】設(shè)點與的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示與，再結(jié)合兩點在橢圓上，可得的值.【詳解】設(shè)點與，則，，所以，，又點與在橢圓上，所以，，作差可得，即，所以，故選：A.5、D【解析】由題可知A，B為半圓C與拋物線的交點，利用韋達(dá)定理及拋物線的定義即求.【詳解】由曲線，可得，即，為圓心為，半徑為7半圓，又直線為拋物線的準(zhǔn)線，點為拋物線的焦點，依題意可知A，B為半圓C與拋物線的交點，由，得，設(shè)，則，，∴.故選：D.6、C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為∵∴∴∴∵∴當(dāng)取最大值時，的值為或故選C7、D【解析】利用復(fù)數(shù)除法運算和復(fù)數(shù)相等可用表示出，進(jìn)而得到之間關(guān)系.【詳解】，，，則.故選：D.8、A【解析】結(jié)合等差中項和等比中項分別求出和，代值運算化簡即可.【詳解】由是等比數(shù)列可得，是等差數(shù)列可得，所以，故選：A9、B【解析】根據(jù)圓的方程，求得圓心距和兩圓的半徑之和，之差，判斷兩圓的位置關(guān)系求解.【詳解】因為圓，圓，所以，，所以，所以兩圓相交，所以兩圓的公切線的條數(shù)為2，故選：B10、D【解析】根據(jù)四點共面的向量表示，可得結(jié)果.【詳解】由共面知，故選：【點睛】本題主要考查空間中四點共面的向量表示，屬基礎(chǔ)題.11、A【解析】根據(jù)遠(yuǎn)地點和近地點，求出軌道即橢圓的半長軸和半焦距，即可求得答案.【詳解】設(shè)橢圓的半長軸為a，半焦距為c.則根據(jù)題意得;解得，故該軌道即橢圓的離心率為，故選：A12、A【解析】先求出集合，再根據(jù)集合的交集運算，即可求出結(jié)果.【詳解】因為集合，所以.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用焦點坐標(biāo)為求解即可【詳解】因為，所以，所以焦點的坐標(biāo)為，故答案：14、【解析】由題知，進(jìn)而根據(jù)向量數(shù)量積運算的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】解：因為向量，所以，所以故答案為：15、①②【解析】先根據(jù)圖像的對稱性找出整點，再判斷是否還有其他的整點在曲線上；找出曲線上離原點距離最大的點的區(qū)域，再由基本不等式得到最大值不超過；在心形區(qū)域內(nèi)找到一個內(nèi)接多邊形，該多邊形的面積等于3，從而判斷出“心形”區(qū)域的面積大于3.【詳解】①:由于曲線，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；由于圖形的對稱性可知，沒有其他的整點在曲線上，故曲線恰好經(jīng)過6個整點：,,,,,,所以①正確；②:由圖知，到原點距離的最大值是在時，由基本不等式，當(dāng)時，，所以即，所以②正確；③:由①知長方形CDFE的面積為2，三角形BCE的面積為1，所以曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3，故③錯誤；故答案為：①②.【點睛】找準(zhǔn)圖形的關(guān)鍵信息，比如對稱性，整點，內(nèi)接多邊形是解決本題的關(guān)鍵.16、【解析】寫出原命題的否定，再利用二次型不等式恒成立求解作答.【詳解】因命題“，”為假命題，則命題“，”為真命題，當(dāng)時，恒成立，則，當(dāng)時，必有，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為，將點的坐標(biāo)代入橢圓的方程，求出的值，即可得出橢圓的方程；（2）設(shè)點，則，且，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.【小問1詳解】（1）由題可設(shè)橢圓的方程為，由橢圓經(jīng)過點，可得，解得或（舍）.所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：易知，設(shè)點，則，且，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.18、（1）；（2）1.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合列式計算得解.(2)設(shè)出直線l的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理結(jié)合均值不等式計算作答.【小問1詳解】橢圓C的半焦距為c，離心率，因過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的弦長為1，將代入橢圓C方程得：，即，則有，解得，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】由(1)知，，依題意，直線l的斜率不為0，則設(shè)直線l的方程為，，，由消去x并整理得：，，，的面積，，設(shè)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時取得“=”，于是得，，所以面積的最大值為1.【點睛】思路點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題19、（1）列聯(lián)表見解析，能有；（2）分布列見解析，.【解析】（1）利用數(shù)據(jù)直接填寫聯(lián)列表即可，求出，即可回答是否有的把握認(rèn)為“網(wǎng)購者對商品滿意與對服務(wù)滿意之間有關(guān)系；（2）由題意可得的可能值為0，1，2，3，分別可求其概率，可得分布列，進(jìn)而可得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）服務(wù)滿意對服務(wù)不滿意合計對商品滿意8040120對商品不滿意701080合計15050200，因為，所以能有的把握認(rèn)為“網(wǎng)購者對商品滿意與對服務(wù)滿意之間有關(guān)系”（2）每次購物時，對商品和服務(wù)都滿意的概率為，且的取值可以是0，1，2，3.；；；.的分布列為：0123所以.【點睛】本題主要考查獨立檢驗以及離散性隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）存在，.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓長短半軸長即可代入計算作答.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)出直線l的方程，與橢圓E的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、向量數(shù)量積運算，推理計算作答.【小問1詳解】依題意，，半焦距為c，則離心率，即，有，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，由消去y并整理得：，設(shè)，則，，，，，，要使為定值，必有，解得，此時，當(dāng)直線l的斜率不存在時，由對稱性不妨令，，，當(dāng)時，，即當(dāng)時，過點的任意直線l與橢圓E交于A，B兩點，恒有，所以存在滿足條件.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值21、（1）；（2）.【解析】（1）利用橢圓的定義即求；（2）由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可解得點，再利用三角形面積公式即求.【小問1詳解】∵動點M到定點和的距離之和為4，∴動點M的軌跡是以和為焦點的橢圓，可設(shè)方程為，則，故動點軌跡的方程為；【小問2詳解】由可得，∴或，∴，又O是坐標(biāo)原點，∴的面