模型02三角形中的重要模型易錯(cuò)模型1：平分平行（平分射影）構(gòu)等腰模型模型解讀：1）角平分線加平行線必出等腰三角形：由平行線得到內(nèi)錯(cuò)角相等，由角平分線得到相等的角，等量代換構(gòu)造等腰。平行線、角平分線及等腰，任意由其中兩個(gè)條件都可以得出第三個(gè)。。

圖1圖2圖3條件：如圖1，OO’平分∠MON，過OO’的一點(diǎn)P作PQ//ON.結(jié)論：△OPQ是等腰三角形。條件：如圖2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC。結(jié)論：△BDE是等腰三角形。條件：如圖3，在中，平分，平分，過點(diǎn)O作的平行線與，分別相交于點(diǎn)M，N．結(jié)論：△BOM、△CON都是等腰三角形。2）角平分線加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和對(duì)頂角相等構(gòu)造等腰。→圖4條件：如圖4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°.結(jié)論：三角形CEF是等腰三角形。易錯(cuò)提醒：角平分線+平行線模型的應(yīng)用，學(xué)生可能沒有熟練掌握如何結(jié)合這兩種幾何元素來構(gòu)造等腰三角形，或者對(duì)模型的適用條件理解不清，導(dǎo)致在復(fù)雜圖形中無法正確識(shí)別模型。例1．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；②分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；③作射線，交于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．B．C．D．變式1．（2023·廣東·八年級(jí)期末）如圖，?ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E點(diǎn)，CF平分∠BCD交AD于F點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為cm．變式2．（2024·四川達(dá)州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F，則下列結(jié)論成立的是（）

A．EC＝EF B．FE＝FC C．CE＝CF D．CE＝CF＝EF易錯(cuò)模型2：角平分線第二定理模型模型解讀角平分線第二定理：三角形一個(gè)角的平分線與其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。該定理現(xiàn)在教材里面雖然沒有講，但它在實(shí)戰(zhàn)確有很大的作用（可以避免去構(gòu)造勾股定理或相似），很多時(shí)候能起到事半功倍的良好效果。1）內(nèi)角平分線定理?xiàng)l件：如圖，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分線。結(jié)論：2）外角平分線定理圖2圖3條件：如圖2，在△ABC中，∠BAC的外角平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D。結(jié)論：．3）奔馳模型條件：如圖3，的三邊、、的長(zhǎng)分別是a，b，c，其三條角平分線交于點(diǎn)O，將分為三個(gè)三角形。結(jié)論：=c：a：b。易錯(cuò)提醒：（1）定理成立的前提是角平分線必須分對(duì)邊為兩部分，若題目中未明確角平分線在三角形內(nèi)部或未給出相關(guān)條件，直接套用定理會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤；（2）?忽視比例順序?：誤將比例方向顛倒，需嚴(yán)格對(duì)應(yīng)角的兩邊與所分對(duì)邊的位置關(guān)系。?例1．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）【問題初探】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師給出如下問題：“如圖1，在中，是的角平分線，求證：”，有兩名同學(xué)給出了不同的解答思路：①如圖2，小麗同學(xué)從結(jié)論出發(fā)給出如下解題思路：過點(diǎn)C作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，運(yùn)用等腰三角形和相似等知識(shí)解決問題．②如圖3，小強(qiáng)同學(xué)從“是的角平分線”給出了另一種解題思路：在上截取，連接，過點(diǎn)C作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，也是利用相似等知識(shí)解決問題．（1）請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解答思路，寫出證明過程．【類比分析】張老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，將兩組線段比值問題轉(zhuǎn)化為兩三角形相似的對(duì)應(yīng)邊的比．為了幫助學(xué)生更好地領(lǐng)悟這種轉(zhuǎn)化思想，張老師將問題進(jìn)行了改編，提出下面問題，請(qǐng)你解答．（2）如圖4，若的外角平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求證：．【學(xué)以致用】（3）如圖5，在四邊形中，，，，平分，求的長(zhǎng)．變式1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，再分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若的面積為8，則的面積是（

）A．8 B．16 C．12 D．24變式2．（2023·四川瀘州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，的三邊、、長(zhǎng)分別是10、15、20．其三條角平分線交于點(diǎn)O，將分為三個(gè)三角形，等于（）A． B． C． D．易錯(cuò)模型3：弦圖模型模型解讀：“弦圖”就是我國(guó)三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽，利用面積相等，形象巧妙的證明方法。所謂弦圖模型就是四個(gè)全等直角三角形的弦互相垂直圍成了一個(gè)正方形圖形，當(dāng)弦在圍成的正方形之內(nèi)叫內(nèi)弦圖模型，當(dāng)弦恰恰是圍城正方形的邊長(zhǎng)時(shí)就叫外弦圖模型。圖1圖2圖3圖4（1）內(nèi)弦圖模型：條件：如圖1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于點(diǎn)E，BF⊥CG于點(diǎn)F，CG⊥DH于點(diǎn)G，DH⊥AE于點(diǎn)H，（2）外弦圖模型：條件：如圖2，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊上的點(diǎn)，EFGH是正方形，（3）內(nèi)外組合型弦圖模型：條件：如圖3、4，四邊形ABCD、EFGH、PQMN、均為正方形；結(jié)論：2S正方形EFGH=S正方形ABCD+S正方形PQMN.上述三類弦圖模型除了考查相關(guān)證明外，也常和完全平方公式（知二求二）結(jié)合考查。（4）半弦圖模型圖5圖6圖7條件：如圖5，EA⊥AB于點(diǎn)A，GB⊥AB于點(diǎn)B，EF⊥FG，EF=FG，結(jié)論：△AFE≌△BGF；EA+GB=AB。條件：如圖6，EA⊥AB于點(diǎn)A，GB⊥AB于點(diǎn)B，EF⊥FG，EF=FG，結(jié)論：△AFE≌△BGF；EA-GB=AB。上面三類半弦圖模型的共同特點(diǎn)是兩個(gè)直角三角形，他們的弦互相垂直。所以做題中見著這樣的關(guān)鍵字眼就要想到用弦圖的相關(guān)知識(shí)解決問題。易錯(cuò)提醒：弦圖模型常需通過添加對(duì)稱軸或連接對(duì)角線構(gòu)造全等三角形，若遺漏此類輔助線（如未連接中心對(duì)稱點(diǎn)或?qū)蔷€），會(huì)導(dǎo)致圖形結(jié)構(gòu)不完整，無法應(yīng)用弦圖性質(zhì)?。例1．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，圖1是北京國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，它取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，是由四個(gè)全等的直角三角形拼成．若圖1中大正方形的面積為24，小正方形的面積為4，現(xiàn)將這四個(gè)直角三角形拼成圖2，則圖2中大正方形的面積為（

）A．24 B．36 C．40 D．44變式1．（2024·山東棗莊·二模）勾股定理被記載于我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．圖②由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為．若正方形的邊長(zhǎng)為2，則．變式2．（2024·山東濟(jì)南·二模）公元三世紀(jì)，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出了“趙爽弦圖”．將兩個(gè)大小相同的“趙爽弦圖”（如圖1）中的兩個(gè)小正方形和八個(gè)直角三角形按圖2方式擺放圍成邊長(zhǎng)為10的正方形，則空白部分面積為

變式3．（23-24八年級(jí)下·廣東揭陽(yáng)·期末）綜合實(shí)踐：我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，制作了如圖1所示的“趙爽弦圖”，弦圖中四邊形，四邊形和四邊形都是正方形．某班開展綜合與實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，選定對(duì)“趙爽弦圖”進(jìn)行觀察、猜想、推理與拓展．(1)小亮從弦圖中抽象出一對(duì)全等三角形如圖2所示，請(qǐng)你猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系：________；(2)小紅從弦圖中抽象出另一對(duì)全等三角形如圖3所示，請(qǐng)你猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系：______；(3)小明將圖3中的延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使得，連接與相交于點(diǎn)N，請(qǐng)你在圖3中畫出圖形．若，求線段與之間的數(shù)量關(guān)系．變式4．（2024·廣東·中考模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)閱讀下列材料：小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在邊長(zhǎng)為a(a＞2)的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當(dāng)∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°時(shí)，求正方形MNPQ的面積．小明發(fā)現(xiàn)，分別延長(zhǎng)QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四個(gè)全等的等腰直角三角形(如圖2)．請(qǐng)回答：(1)若將上述四個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)新的正方形(無縫隙不重疊)，則這個(gè)新正方形的邊長(zhǎng)為；(2)求正方形MNPQ的面積；(3)參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF，再分別過D，E，F(xiàn)作BC，AC，AB的垂線，得到等邊△RPQ．若S△RPQ=，求AD的長(zhǎng)．易錯(cuò)模型4：勾股樹模型模型解讀:勾股樹，也叫“\t"/item/%E6%AF%95%E8%BE%BE%E5%93%A5%E6%8B%89%E6%96%AF%E6%A0%91/_blank"畢達(dá)哥拉斯樹”。是由\t"/item/%E6%AF%95%E8%BE%BE%E5%93%A5%E6%8B%89%E6%96%AF%E6%A0%91/_blank"畢達(dá)哥拉斯根據(jù)\t"/item/%E6%AF%95%E8%BE%BE%E5%93%A5%E6%8B%89%E6%96%AF%E6%A0%91/_blank"勾股定理所畫出來的一個(gè)可以無限重復(fù)的樹形圖形，如下圖。又因?yàn)橹貜?fù)多次后的形狀好似一棵樹，所以被稱為勾股樹。條件：如圖，在直角三角形外，分別以直角三角形三邊為元素向外作形狀相同的圖形，若分別以兩直角邊為元素所作圖形的面積為S1，S2，以斜邊為元素所作的圖形的面積為S3。結(jié)論：S1+S2=S3條件：如圖，正方形的邊長(zhǎng)為a，其面積標(biāo)記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，結(jié)論：。條件：如圖，“勾股樹”是以邊長(zhǎng)為m的正方形－邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這－過程所畫出來的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似－－棵樹而得名．假設(shè)下圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，結(jié)論：第n代勾股樹中正方形的個(gè)數(shù)為：；第n代勾股樹中所有正方形的面積為：。易錯(cuò)提醒：勾股樹的分支方向依賴初始直角三角形的選擇，若誤以為所有分支對(duì)稱（如左右旋轉(zhuǎn)角度相同），可能忽略實(shí)際構(gòu)造中的方向差異。?例1．（2022·寧夏·中考真題）綜合與實(shí)踐知識(shí)再現(xiàn)：如圖，中，，分別以、CA、AB為邊向外作的正方形的面積為、、．當(dāng)，時(shí)，______．問題探究：如圖，中，．（1）如圖，分別以、CA、AB為邊向外作的等腰直角三角形的面積為、、，則、、之間的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖，分別以、CA、AB為邊向外作的等邊三角形的面積為、、，試猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．實(shí)踐應(yīng)用（1）如圖，將圖中的繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度至，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度至，、相交于點(diǎn)．求證：；（2）如圖，分別以圖中的邊、CA、AB為直徑向外作半圓，再以所得圖形為底面作柱體，、CA、AB為直徑的半圓柱的體積分別為、、．若，柱體的高，直接寫出的值．變式1．（23-24九年級(jí)上·遼寧盤錦·開學(xué)考試）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，其面積標(biāo)記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為，．．．．按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為．變式2．（2024·云南九年級(jí)一模）如圖是按照一定規(guī)律“生長(zhǎng)”的“勾股樹”：經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（1）中共有3個(gè)正方形，圖（2）在圖（1）的基礎(chǔ)上增加了4個(gè)正方形，圖（3）在圖（2）的基礎(chǔ)上增加了8個(gè)正方形，……，照此規(guī)律“生長(zhǎng)”下去，圖（6）應(yīng)在圖（5）的基礎(chǔ)上增加的正方形的個(gè)數(shù)是（）A．12 B．32 C．64 D．128易錯(cuò)模型5：垂美四邊形模型模型解讀垂美四邊形的定義：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形。圖1圖2圖3圖4條件：如圖1，已知四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AC⊥BD；結(jié)論：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，即S四邊形ABCD=AC?BD。條件：如圖2，在矩形ABCD中，P為CD邊上有一點(diǎn)，連接AP、BP；結(jié)論：DP2+BP2=AP2+PC2條件：如圖3（或圖4），在矩形ABCD中，P為矩形內(nèi)部（外部）任意一點(diǎn)，連接AP、BP，CP，DP；結(jié)論：AP2+PC2=DP2+BP2用處：①對(duì)角線垂直的四邊形對(duì)邊的平方和相等；②已知三邊求一邊的四邊形，可以聯(lián)想到垂美四邊形。易錯(cuò)提醒：當(dāng)垂美四邊形因動(dòng)點(diǎn)或縮放變形時(shí)，若未重新驗(yàn)證對(duì)角線垂直性，直接沿用原面積公式或邊平方和關(guān)系，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤。?例1．（23-24八年級(jí)下·浙江寧波·期中）定義：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形．了解性質(zhì)：如圖1：已知四邊形中，．垂足為，則有：；性質(zhì)應(yīng)用：（1）如圖1，四邊形是垂美四邊形，若，，，則；性質(zhì)變式：（2）如圖2，圖3，P是矩形所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則有以下重要結(jié)論：．請(qǐng)以圖3為例將重要結(jié)論證明出來．應(yīng)用變式：（3）①如圖4，在矩形中，O為對(duì)角線交點(diǎn)，P為中點(diǎn)，則；（寫出證明過程）；②如圖5，在中，，，D是內(nèi)一點(diǎn)，且，，則的最小值是．變式1．（2024·江蘇鹽城·一模）如圖，四邊形的對(duì)角線和互相垂直，，則四邊形面積最大值為．

變式2．（24-25九年級(jí)上·廣東深圳·月考）垂美四邊形定義如下：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．(1)如圖1，四邊形是“垂美四邊形”，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系：______，并說明理由．(2)如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，若，求的長(zhǎng)．(3)如圖3，在中，，點(diǎn)P是外一點(diǎn)，連接，，已知，若以A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為垂美四邊形，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．變式3．（2024·山東德州·一模）我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．例如圖1，圖2，圖3中，是的中線，，垂足為．則稱為“中垂三角形”．設(shè)．(1)①如圖1，當(dāng)，時(shí)，____．____．②如圖2，當(dāng)時(shí)，求和的值．(2)請(qǐng)猜想、和三者之間的數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合圖3寫出證明過程．(3)如圖4，在邊長(zhǎng)為3的菱形中，為對(duì)角線、的交點(diǎn)，分別為線段的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)分別交于點(diǎn)，求的值．易錯(cuò)模型6：378、578模型模型解讀378和578模型：邊長(zhǎng)為3、7、8或5、7、8的三角形（如圖1）。當(dāng)我們遇到兩個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，7，8和5，7，8的時(shí)候，通常不會(huì)對(duì)它們進(jìn)行處理，實(shí)際是因?yàn)槲覀儗?duì)于這兩組數(shù)字不敏感，但如果將這兩個(gè)三角形拼在一起，你將驚喜地發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)邊長(zhǎng)為8的等邊三角形。圖1圖2圖3圖4條件：當(dāng)兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別為3，7，8和5，7，8時(shí)；結(jié)論：①這兩個(gè)三角形的面積分別為、；②3、8與5、8夾角都是60°；③將兩個(gè)三角形長(zhǎng)為7的邊拼在一起，恰好組成一個(gè)邊長(zhǎng)為8的等邊三角形。易錯(cuò)提醒：378、578模型特指邊長(zhǎng)為3、7、8和5、7、8的三角形組合，拼合后形成等邊三角形結(jié)構(gòu)。易誤判為其他相似模型（如K型、垂美四邊形），導(dǎo)致公式誤用或角度計(jì)算錯(cuò)誤.?例1．（2024·浙江溫州·九年級(jí)校考期末）邊長(zhǎng)為5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（

）．A．90° B．150° C．135° D．120°變式1．（2023·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，則∠B＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°變式2．（2024八年級(jí)·江蘇·專題練習(xí)）已知在中，，，，則的面積為（）A． B． C． D．易錯(cuò)模型7：等直內(nèi)接等直模型模型解讀等直內(nèi)接等直模型是指在等腰直角三角形斜邊中點(diǎn)作出一個(gè)新的等腰直角三角形（該三角形的直角頂點(diǎn)為原等腰直角三角形的斜邊中點(diǎn)，其他兩頂點(diǎn)落在其直角邊上）。該模型也常以正方形為背景命題。條件：已知如圖，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P為底邊BC的中點(diǎn)，且∠EPF=90°。結(jié)論：①PE=PF；②PEF為等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④；⑤；⑥。（注意題干中的條件：∠EPF=90°，可以和結(jié)論③調(diào)換，其他結(jié)果依然可以證明的哦！）易錯(cuò)提醒：等直內(nèi)接等直模型中，內(nèi)接等直通常與原圖形的對(duì)稱軸或?qū)蔷€有關(guān)。若未明確標(biāo)注對(duì)稱軸或忽略垂直性證明（如未通過勾股定理驗(yàn)證），可能導(dǎo)致輔助線構(gòu)造錯(cuò)誤.例1．（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知中，，，直角的頂點(diǎn)P是中點(diǎn)，兩邊分別交于點(diǎn)E、F，當(dāng)在內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合），給出下列四個(gè)結(jié)論：①是等腰三角形；②M為中點(diǎn)時(shí)，；③；④和的面積之和等于9，上述結(jié)論中始終正確的有（）個(gè)．

A．1 B．2 C．3 D．4變式1．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在中，，，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，，則四邊形的面積為（

）A．18 B． C．9 D．變式2．（23-24八年級(jí)上·山西呂梁·期末）綜合與探究問題提出：某興趣小組在綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問題：在等腰直角三角板中，，，為的中點(diǎn)，用兩根小木棒構(gòu)建角，將頂點(diǎn)放置于點(diǎn)上，得到，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，射線，分別與邊，交于，兩點(diǎn)，如圖1所示．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，當(dāng)，分別是，的中點(diǎn)時(shí)，試猜想線段與的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是________．(2)類比探究：如圖3，當(dāng)，不是，的中點(diǎn)，但滿足時(shí)，判斷形狀，并說明理由．(3)拓展應(yīng)用：①如圖4，將繞點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，射線，分別與，的延長(zhǎng)線交于，兩點(diǎn)，滿足，是否仍然具有（2）中的情況？請(qǐng)說明理由；②若在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，射線，分別與直線，交于，兩點(diǎn)，滿足，若，，則________（用含，的式子表示）．易錯(cuò)模型8：等直+高分模型模型解讀等直+高分線模型模型是指在等腰直角三角形過其中一個(gè)角所在頂點(diǎn)作另一個(gè)底角平分線的垂線。條件：如圖，中，，于，平分，且于，與相交于點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)．結(jié)論：①；②；③是等腰三角形；④；⑤．例1．（2024·廣東汕頭·二模）如圖，四邊形ABCD為正方形，的平分線交BC于點(diǎn)E，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，延長(zhǎng)AE交CF于點(diǎn)G，連接BG，DG與AC相交于點(diǎn)H．有下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論有（

）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4變式1．（23-24九年級(jí)下·浙江金華·階段練習(xí)）如圖，在中，于D，平分，且于E，與相交于點(diǎn)F，H是邊的中點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)G，以下結(jié)論中：①是等腰三角形；②；③；④．正確的結(jié)論有（

）

A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)變式2．（23-24八年級(jí)上·廣東東莞·期末）如圖，等腰直角中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，．(1)若，求證：垂直平分；(2)若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)．①請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②求證：平分．易錯(cuò)模型9：維維尼亞模型模型解讀條件：在等邊中，P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，過點(diǎn)A作AM⊥BC。結(jié)論：①如圖1，若動(dòng)點(diǎn)P在三角形ABC內(nèi)時(shí)，則PD+PE+PF=AM；②如圖2，若動(dòng)點(diǎn)P在三角形ABC外時(shí)，則PD+PE-PF=AM。（當(dāng)點(diǎn)P在三角形ABC外時(shí)，受P的位置影響，不同的位置結(jié)論稍有不同，但都可以使用等面積法證明）。

圖1圖2圖3圖4條件：如圖，等腰（AB=AC）中，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB，結(jié)論：①如圖3，若動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，則PE+PD=CF。②如圖4，若動(dòng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，則|PF-PE|=CD。易錯(cuò)提醒：定理僅適用于?等邊三角形?或推廣后的等腰三角形?。若錯(cuò)誤應(yīng)用于其他類型三角形（如不等邊三角形），會(huì)導(dǎo)致結(jié)論不成立。?例1．（2024·河北·二模）如圖，P為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，過P點(diǎn)分別作BC、AC、AB邊的垂線，垂足分別為D、E、F，則PD+PE+PF等于（）A． B． C．2 D．例2．（23-24八年級(jí)上·云南昆明·期末）如圖（1），已知在中，且過A作于點(diǎn)P，點(diǎn)M是直線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M到兩邊、的距離分別為m，n，的高為h．(1)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，，并說明理由．(2)如圖（2），試判斷m、n、h之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(3)如圖（3），當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：

變式1．（23-24九年級(jí)下·四川成都·階段練習(xí)）如圖，將矩形沿EF折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B處，P為折痕上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作，垂足分別為G，H，若，，則．變式2．（23-24山西八年級(jí)上期中）（1）如圖（1），已知在等腰三角形中，，點(diǎn)是底邊上的一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)．求證：為定長(zhǎng)．（2）如圖（2），已知在等腰三角形中，，點(diǎn)是底邊的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)．求證：為定長(zhǎng)．（3）如圖（3），已知：點(diǎn)為等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，過分別作三邊的垂線，分別交三邊與、、．求證：為定長(zhǎng)．變式3．（2024·江西·一模）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”，例如：如圖1，∠B＝∠C，則四邊形ABCD為等鄰角四邊形．(1)定義理解：已知四邊形ABCD為等鄰角四邊形，且∠A＝130°，∠B＝120°，則∠D＝______度．(2)變式應(yīng)用：如圖2，在五邊形ABCDE中，ED∥BC，對(duì)角線BD平分∠ABC．①求證：四邊形ABDE為等鄰角四邊形；②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，請(qǐng)判斷△BCD的形狀，并明理由．(3)深入探究：如圖3，在等鄰角四邊形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足為E，點(diǎn)P為邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分別為M，N．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，判斷PM+PN與CE的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．(4)遷移拓展：如圖4，是一個(gè)航模的截面示意圖．四邊形ABCD是等鄰角四邊形，∠A＝∠ABC，E為AB邊上的一點(diǎn)，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分別為D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分別為AE、BE的中點(diǎn)，連接DM、CN，求△DEM與△CEN的周長(zhǎng)之和．易錯(cuò)模型10：等腰三角形中的分類討論模型模型解讀1.等腰三角形中的分類討論模型-對(duì)角（邊）與高的分類討論模型1）若等腰三角形沒有明確角的種類，要分類討論；從銳角等腰三角形和鈍角等腰三角形的角度入手分頂角與底角兩種情況進(jìn)行分類討論。當(dāng)然有時(shí)候已知條件是以邊的形式給出，我們討論頂角和底角與討論底和腰的原理相同。2）若等腰三角形沒有明確高的位置，要分類討論；從銳角等腰三角形和鈍角等腰三角形的角度入手分腰上高與底邊高、界內(nèi)高與界外高兩種情況進(jìn)行分類討論。2.等腰三角形的兩種分類討論方法方法1.

“兩圓一線”；（一般符合“兩個(gè)定點(diǎn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”的等腰三角形）。如圖：已知，兩點(diǎn)是定點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)構(gòu)成等腰。①以已知線段為底作它的垂直平分線，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P（有2個(gè)）；②以已知線段為腰：用線段的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，線段長(zhǎng)為半徑，分別作圓。（以為圓心的有4個(gè)，以為圓心的有2個(gè)）。具體題目要通過計(jì)算這些點(diǎn)的坐標(biāo)來考慮是否出現(xiàn)重疊現(xiàn)象。方法2.

“三邊兩兩相等分三種情況”討論，先列出三種情況，再首先選最簡(jiǎn)單的那種情況先解答。若是“兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)一個(gè)定點(diǎn)”，多采用第二種方法分類討論。但就算是用第二種方法分類討論，也可以先用“兩圓一線”確定符合等腰三角形的點(diǎn)可能有幾個(gè)及這些點(diǎn)的大致位置。易錯(cuò)提醒：1）未分類討論或計(jì)算時(shí)未檢驗(yàn)內(nèi)角和是否為180°；2）分情況討論后，忽略無效解（如：不滿足三邊關(guān)系等）。例1．（24-25九年級(jí)上·山東·期末）若等腰內(nèi)接于，，，則底角的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或例2．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，射線從射線開始繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，與射線相交于點(diǎn)D，將沿射線翻折至處，射線與射線相交于點(diǎn)E．若是等腰三角形，則的度數(shù)為．

例3．（2024·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過的直線交x軸正半軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)，直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)D，若的面積為(1)求直線的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)橫坐標(biāo)為m的點(diǎn)P在線段上（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)P作x軸的平行線交于點(diǎn)E，設(shè)的長(zhǎng)為，求y與m之間的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出相應(yīng)的m取值范圍；(3)在（2）的條件下，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使為等腰直角三角形？若存在求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

變式1．（2023春·山東棗莊·八年級(jí)?？计谥校┮阎獂，y滿足，則以，的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不對(duì)變式2．（2024·山東·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若為軸上一點(diǎn)，且使得為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)變式3．（2024·江蘇泰州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，中，于D，且，(1)試說明是等腰三角形；(2)已知，如圖2，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)以每秒的速度沿線段向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)以相同速度沿線段向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)都停止．設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），①若的邊與平行，求t的值；②若點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，問在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過程中，能否成為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．易錯(cuò)模型11：直角三角形中的分類討論模型模型解讀1）直角三角形中的分類討論模型-斜邊（或直角）不確定的直角三角形模型若直角三角形沒有明確誰(shuí)直角（斜邊），要分類討論；從直角（斜邊）入手分三種情況進(jìn)行討論。2）直角三角形中的分類討論模型-直角三角形存在性模型直角三角形存在性的問題，首先需要觀察圖形，判斷直角頂點(diǎn)是否確定。若不確定，則需要進(jìn)行分類討論，如下面模型構(gòu)建。直角三角形存在性的問題?？急尘坝蟹郏ㄕ郫B）、動(dòng)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)等?！皟啥ㄒ粍?dòng)”直角三角形存在性問題：（常見與坐標(biāo)系綜合、或結(jié)合翻折（折疊）、動(dòng)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)等）。問題：已知點(diǎn)A，B和直線l，在l上求點(diǎn)P，使△PAB為直角三角形．分三種情況，如圖：①以A為直角頂點(diǎn)，即∠BAP＝90°：過點(diǎn)A作AB的垂線，與已知直線l的交點(diǎn)P1即為所求；②以B為直角頂點(diǎn)，即∠ABP＝90°：過點(diǎn)B作AB的垂線，與已知直線l的交點(diǎn)P2即為所求；③以P為直角頂點(diǎn)，即∠APB＝90°：以AB的中點(diǎn)Q為圓心，QA的長(zhǎng)為半徑畫圓，與已知直線l的交點(diǎn)P3，P4即為所求．代數(shù)法計(jì)算：分別表示出點(diǎn)A，B，P的坐標(biāo)，再分別表示出AB，AP和BP的長(zhǎng)，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分別列方程求解．若方程有解，則此情況存在；若方程無解，則此情況不存在。幾何法計(jì)算：找相似，利用相似三角形求解，如果圖中沒有相似三角形，可通過添加輔助線構(gòu)造相似三角形。特殊地，若有30°，45°或60°角可考慮用勾股定理或銳角三角函數(shù)求解．易錯(cuò)提醒：在坐標(biāo)系中構(gòu)造直角三角形時(shí)，可能涉及相似三角形或特殊角（如45°），需綜合幾何與代數(shù)工具驗(yàn)證解的有效性。?例1．（2024·浙江嘉興·三模）已知直角三角形兩邊長(zhǎng)為3，4，則該直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)為（

）A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或例2．（22-23八年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·期末）如圖所示，在中，，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為．（2）若點(diǎn)在邊的下方，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為．例3．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，2)，△ABO為等邊三角形，P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與O點(diǎn)重合），將線段AP繞A點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，P點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接OQ，BQ。(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為；(2)①如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：∠ABQ=90°；②當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)補(bǔ)全圖②，并作出判斷（不需要說明理由）；(3)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，若△OBQ是直角三角形，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).變式1．（2023·遼寧葫蘆島·二模）如圖，在中，，，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿所在直線把翻折到的位置，交于點(diǎn)F，若為直角三角形，則的長(zhǎng)為．

變式2．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，以為一邊在外部作等腰直角．則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

變式3．（23-24九年級(jí)上·江西景德鎮(zhèn)·期末）如圖，等邊的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P以的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接，當(dāng)是直角三角形時(shí)，則t的值為秒．易錯(cuò)模型12：12345模型模型解讀12345基礎(chǔ)模型模型還可變式為；變式1：；變式2：。模型拓展：注意：下面模型中，，2，3，，均為對(duì)應(yīng)角的正切值。 （1）∠α+∠β＝45°；（2）∠α+45°＝∠GAF；（3）∠DAF+45°＝∠EAH；（4）∠α+∠β＝135°；（5）∠α+∠β＝90°；（6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC；（6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC；我們還可以得到上面的這些補(bǔ)充的模型，證明并不算困難，有興趣的同學(xué)可借助網(wǎng)格圖或構(gòu)造圖形自行進(jìn)行證明。我們還可以得到易錯(cuò)提醒：做題不光要知道題目告訴我什么，還要根據(jù)已知的信息，思考這里需要什么，而“12345”模型用來解決相關(guān)的選填題非常方便。下面所列舉的某些題，利用“12345”解題也許未必是最簡(jiǎn)，最巧妙的，但至少可以成為一種通性通法，可在短時(shí)間內(nèi)快速破題。畢竟在考試的時(shí)候時(shí)間是非常寶貴的。例1．（2022·四川樂山·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD．若，，則CD的長(zhǎng)為（

）A． B．3 C． D．2變式1．（2024·吉林長(zhǎng)春·?？级＃┤鐖D，正方形ABCD中，AB=8，G是BC的中點(diǎn)．將△ABG沿AG對(duì)折至△AFG，延長(zhǎng)GF交DC于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)是（

）A． B．2 C． D．3變式2．（23-24八年級(jí)下·江蘇南京·期中）如圖，在四邊形中，，，，E是上一點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)度是（

）A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．41-1．（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，和的平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為14，則的周長(zhǎng)是（

）A．14 B．19 C．21 D．231-2．（2024·陜西寶雞·二模）如圖，是的中位線，的角平分線交于點(diǎn)F，，，則的長(zhǎng)為（

）

A．9 B．6 C．3 D．21-3．（2024·山東日照·中考真題）如圖，以的頂點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，畫射線，交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)由以上作圖可知，與的數(shù)量關(guān)系是_______(2)求證：(3)若，，，求的面積．2-1．（2024·廣東·九年級(jí)期中）如圖，的三邊長(zhǎng)分別是20、30、40，其三條角平分線將分成三個(gè)三角形，則等于．

2-2．（2024·吉林長(zhǎng)春·三模）如圖①，AD是的角平分線．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論：．經(jīng)過討論得到如下種證明思路：思路：過點(diǎn)向兩邊作垂線段，利用三角形的面積比證出結(jié)論；思路：過點(diǎn)作AB的平行線，與AD的延長(zhǎng)線相交，利用三角形相似證出結(jié)論；思路：過點(diǎn)作的平行線，與的延長(zhǎng)線相交，利用平行線分線段成比例證出結(jié)論．(1)請(qǐng)參考以上種證明思路，選擇其中一種證出結(jié)論；(2)在圖①中，AD是的角平分線．若，，，則BD的長(zhǎng)度為_______；(3)如圖②，在中，，的角平分線BD、CE相交于點(diǎn)，若，則的值為_____．2-3．（23-24九年級(jí)上·吉林·期末）已知，是一條角平分線．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，若是的角平分線．可得到結(jié)論：．小紅的解法如下：過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，∵是的角平分線，且，，∴______________．∴_____________．又∵，∴_____________．【類比探究】如圖②，若是的外角平分線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．求證：．3-1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的圖案是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》中“趙爽弦圖”經(jīng)修飾后的圖形，四邊形與四邊形均為正方形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，陰影部分的面積為27，則的長(zhǎng)為．3-2．（2024·廣西·中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為5的正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點(diǎn)，連接，，，，交點(diǎn)分別為M，N，P，Q，那么四邊形的面積為（

）A．1 B．2 C．5 D．103-3．（2024·廣東汕頭·一模）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是數(shù)形結(jié)合的重要紐帶．?dāng)?shù)學(xué)家歐幾里得利用如圖驗(yàn)證了勾股定理：以直角三角形的三條邊為邊長(zhǎng)向外作正方形，正方形，正方形，連接，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．設(shè)正方形的面積為，正方形的面積為，長(zhǎng)方形的面積為，長(zhǎng)方形的面積為，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3-4．（2024·福建·中考真題）如圖，正方形的面積為4，點(diǎn)，，，分別為邊，，，的中點(diǎn)，則四邊形的面積為．

3-5．（23-24八年級(jí)下·湖北武漢·期中）問題發(fā)現(xiàn)：梓航在學(xué)完勾股定理后，翻閱資料，發(fā)現(xiàn)《幾何原本》中有一種很好的勾股定理的證法：如圖1，作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，通過證明，的方法來證明勾股定理.愛思考的梓航發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論，如圖2，若以的直角邊，為邊向外任意作，，斜邊上的，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，直線被所截線段為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)成立.請(qǐng)你幫他完成證明.

問題證明：（1）先將問題特殊化，如圖3，當(dāng)四邊形，四邊形，四邊形均為矩形，且時(shí)，求證：，（按梓航的分析，完成填空）分析：過作交直線，于，，過作交，于，；可證；同理可證；另外易得________________可得成立.（2）再探究一般情形，如圖2，當(dāng)四邊形，四邊形，四邊形均為平行四邊形，且時(shí)，求證：.問題探索：（3）將圖2特殊化，如圖4，若，，，，且，請(qǐng)你直接寫出的值_______________（用含，的式子表示）.4-1．（23-24八年級(jí)下·河南開封·期中）如圖，在四邊形中，，分別以四邊形的四條邊為邊向外作四個(gè)正方形，面積分別為a，b，c，d．若，則．4-2．（23-24八年級(jí)下·河北承德·期末）如圖，已知直角三角形的直角邊分別為a、b，斜邊為c，以直角三角形的三邊為邊（或直徑），分別向外作等邊三角形、半圓、等腰直角三角形和正方形．那么，這四個(gè)圖形中，直角三角形外，其他幾個(gè)圖形面積分別記作、、．結(jié)論Ⅰ：、、滿足只有（4）；結(jié)論Ⅱ：∵，∴的有（1）（2）（3）．對(duì)于結(jié)論Ⅰ和Ⅱ，判斷正確的是（

）．A．Ⅰ對(duì)Ⅱ不對(duì)B．Ⅰ不對(duì)Ⅱ?qū)．Ⅰ和Ⅱ都對(duì)D．Ⅰ和Ⅱ都不對(duì)4-3．（23-24八年級(jí)下·山東日照·期中）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得名．假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，如果第一個(gè)正方形面積為1，則第2024代勾股樹中所有正方形的面積為．5-1．（23-24八年級(jí)上·河北保定·期中）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對(duì)角線交于點(diǎn)．若，，則等于（

）A． B． C． D．

5-2．（23-24九年級(jí)上·天津·期末）如圖，四邊形兩條對(duì)角線互相垂直，且．設(shè)，。(1)用含的式子表示：_____________；(2)當(dāng)四邊形的面積為時(shí)，求的長(zhǎng)；5-3．（2024·陜西·一模）已知矩形ABCD中有一點(diǎn)P，滿足PA＝1，PB＝2，PC＝3，則PD＝．5-4．（23-24八年級(jí)下·江西贛州·期末）如圖1，對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說明理由；（2）性質(zhì)探究：如圖1，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD．經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)垂美四邊形ABCD的兩組對(duì)邊AB2，CD2和AD2，BC2有一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你猜想有何種數(shù)量關(guān)系？并證明．（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的長(zhǎng)．6-1．（23-24九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）在中，，，，則的長(zhǎng)為．6-2．（2024·山東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，則∠C＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°6-3．（23-24八年級(jí)·浙江·期末）當(dāng)兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別為3，7，8和5，7，8時(shí)，則這兩個(gè)三角形的面積之和是．7-1．（23-24山東威海九年級(jí)上期中）已知中，，，D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在、邊上運(yùn)動(dòng)，且保持．連接、、得到下列結(jié)論：①是等腰直角三角形；②面積的最大值是2；③的最小值是2．其中正確的結(jié)論是（）A．②③ B．①② C．①③ D．①②③7-2．（23-24九年級(jí)上·四川內(nèi)江·期末）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠MPN為直角，使點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，直角邊PM，PN分別與OA，OB重合，然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠MPN，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜90°），PM，PN分別交AB，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF交OB于點(diǎn)G，則下列結(jié)論：①EF＝OE；②S四邊形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；③BE+BF＝OA；④在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí)，AE＝；⑤OG?BD＝AE2+CF2．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)7-3．（23-24江蘇泰州八年級(jí)上期中）在中，，，將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊的中點(diǎn)P處，將此三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線、與點(diǎn)D、點(diǎn)E，圖①，②，③是旋轉(zhuǎn)得到的三種圖形．

(1)觀察線段和之間有怎樣的大小關(guān)系，并以圖②為例，加以說明；(2)觀察線段、和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并以圖③為例，加以說明；(3)把三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)E從C點(diǎn)沿射線方向移動(dòng)，是否構(gòu)成等腰三角形？若能，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)；若不能，請(qǐng)說明理由．8-1．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，等腰直角中，，于點(diǎn)D，的平分線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，M為中點(diǎn)，延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，連接，下列結(jié)論：①；②；③平分；④；⑤，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．58-2．（23-24八年級(jí)上·山東臨沂·期中）如圖，等腰中，于點(diǎn)