2025年大學《數(shù)理基礎科學》專業(yè)題庫——數(shù)論在密碼學中的應用探究考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請將正確選項的字母填在題后括號內。）1.設p和q是兩個不同的奇素數(shù)，n=p*q，φ(n)=(p-1)*(q-1)。若RSA公鑰(n,e)=(35,7)已知，則對應的私鑰d滿足φ(n)=(ed-1)的條件，e和d的可能值組合是？A.(7,23)B.(7,19)C.(17,23)D.(17,19)2.在ElGamal密碼系統(tǒng)中，若私鑰d已知，公鑰(p,g,h)已知，其中h=g^dmodp。發(fā)送方要向接收方發(fā)送消息m，選擇了隨機數(shù)k，生成的密文是(c1,c2)，其中c1=g^kmodp，c2=m*h^kmodp。接收方解密過程中，計算m的關鍵步驟是？A.m≡c2*(c1^d)^(-1)modpB.m≡c1*(c2^d)^(-1)modpC.m≡c2*c1^(-d)modpD.m≡(c1^d)*(c2^(-d))modp3.歐拉函數(shù)φ(n)的定義是小于n且與n互素的正整數(shù)個數(shù)。若n=p*q，其中p和q是不同的奇素數(shù)，則φ(n)=?A.p+q-1B.(p-1)+(q-1)C.(p-1)*(q-1)D.p*q-14.橢圓曲線密碼學(ECC)中，點P=Q的加法運算（即2P）的結果是？A.O（橢圓曲線的無限遠點）B.P+QC.-PD.P+Q+O5.Diffie-Hellman密鑰交換協(xié)議的安全性基于離散對數(shù)問題的困難性。若選擇模p的有限域GF(p)，a和b是該域中的非零元，計算abmodp的難度與計算b，使得ab≡bmodp的難度？A.完全相同B.前者容易，后者困難C.前者困難，后者容易D.后者容易，前者困難二、計算題（每小題8分，共32分。請寫出詳細的計算步驟。）6.使用歐幾里得算法計算252和198的最大公約數(shù)，并找到整數(shù)x和y，使得252x+198y=gcd(252,198)。7.設p=61是素數(shù)，α=2是p-1的一個素因子。計算α^55modp。8.在RSA密碼系統(tǒng)中，選擇p=61,q=53。計算n和φ(n)。若公鑰指數(shù)e=17，計算私鑰指數(shù)d。9.在有限域GF(59)中，計算元素45的模逆元（即找到x使得45x≡1mod59）。三、證明題（每小題10分，共20分。請給出嚴謹?shù)臄?shù)學證明。）10.根據歐拉定理證明RSA解密的有效性。即證明對于RSA系統(tǒng)中的任意明文m和密文c=m^emodn，解密后的明文m'=c^dmodn總是等于m。11.設p是奇素數(shù)，a是整數(shù)，且gcd(a,p)=1。根據費馬小定理，有a^(p-1)≡1modp。證明：對于任意整數(shù)k，a^k≡a^(kmod(p-1))modp。四、分析題（每小題12分，共24分。請深入分析并闡述觀點。）12.分析RSA密碼系統(tǒng)可能存在的安全性威脅。請至少指出兩種主要的攻擊方式，并簡要說明其原理和防御措施。13.比較RSA密碼系統(tǒng)和基于離散對數(shù)的密碼系統(tǒng)（如ElGamal或ECC）在數(shù)論基礎、密鑰長度、計算效率等方面的主要異同點。試卷答案一、選擇題1.B解析思路：RSA私鑰d滿足ed≡1modφ(n)。φ(n)=(p-1)*(q-1)=(61-1)*(53-1)=60*52=3120。選項B中，7*19=133，133-1=132，132mod3120=132≠0，不滿足。選項D中，17*19=323，323-1=322，322mod3120=322≠0，不滿足。選項A中，7*23=161，161-1=160，160mod3120=160≠0，不滿足。選項C中，17*23=391，391-1=390，390mod3120=390≠0，不滿足。重新檢查題目和選項，發(fā)現(xiàn)φ(n)計算錯誤，φ(n)=(61-1)*(53-1)=60*52=3120。選項B中，7*19=133，133-1=132，132mod3120=132≠0，不滿足。選項D中，17*19=323，323-1=322，322mod3120=322≠0，不滿足。選項A中，7*23=161，161-1=160，160mod3120=160≠0，不滿足。選項C中，17*23=391，391-1=390，390mod3120=390≠0，不滿足。顯然所有選項都不滿足ed≡1mod3120。重新審視題目，題目要求φ(n)=(ed-1)。選項B中，φ(n)=3120，7*19-1=133-1=132。φ(n)=3120，ed-1=132。3120=132，錯誤。選項A中，φ(n)=3120，7*23-1=161-1=160。φ(n)=3120，ed-1=160。3120=160，錯誤。選項D中，φ(n)=3120，17*19-1=323-1=322。φ(n)=3120，ed-1=322。3120=322，錯誤。選項C中，φ(n)=3120，17*23-1=391-1=390。φ(n)=3120，ed-1=390。3120=390，錯誤。題目或選項存在錯誤。假設題目意為選擇滿足φ(n)=(p-1)*(q-1)的p,q組合。p=61,q=53。φ(n)=60*52=3120。選項中只有D項RSA參數(shù)計算正確。p=61,q=53。n=61*53=3233。φ(n)=(61-1)*(53-1)=60*52=3120。公鑰e=17。檢查e與φ(n)關系，17與3120互素。計算私鑰d，需滿足17d≡1mod3120。通過擴展歐幾里得算法或試除法計算d。17*1834=31218=3120*10+18。17*1835=31218+17=3120*10+35?？雌饋韉=1835滿足17d≡35≡1(mod3120)？需要找到d使得17d≡1(mod3120)。17*1835=31218-3120=3120*10+18。17*1834=3120*10+18-17=3120*10+1。所以17*1834≡1(mod3120)。因此私鑰d=1834。選項D的(17,19)可能是打印錯誤，若理解為(17,1834)則可能正確，但與題目要求形式不符。題目本身或選項存在歧義或錯誤。根據標準RSA計算，若p=61,q=53,e=17，則d=1834。選項均不符合。此題出題有誤。2.A解析思路：ElGamal解密的核心是恢復原文m。已知c1=g^kmodp，c2=m*h^kmodp，其中h=g^dmodp。要得到m，需要從c2中除去h^k的部分。由于h^k=(g^d)^k=g^(dk)modp。所以c2/(h^k)≡mmodp。計算c2*(h^k)^(-1)modp即可。c2*(h^k)^(-1)modp≡m*(h^k)*(h^k)^(-1)modp≡mmodp。即m≡c2*(h^k)^(-1)modp。由于(h^k)^(-1)≡(g^(dk))^(-1)modp。根據模逆元定義，如果a*b≡1modp，則b是a的模逆元。我們需要找到一個b'使得g^(dk)*b'≡1modp。根據費馬小定理，g^(p-1)≡1modp。所以(g^(dk))^(-1)≡g^(-dk)modp(假設gcd(g,p)=1，通常是的)。因此m≡c2*g^(-dk)modp。將h=g^d代入c2=m*h^k=m*(g^d)^k=m*g^(dk)modp。所以m*g^(dk)≡c2modp。兩邊同時乘以g^(-dk)modp，得到m*g^(dk)*g^(-dk)≡c2*g^(-dk)modp。即m≡c2*g^(-dk)modp。g^(-dk)就是(h^k)^(-1)。所以m≡c2*(h^k)^(-1)modp。選項A正確。3.C解析思路：歐拉函數(shù)φ(n)的定義是小于n且與n互素的正整數(shù)個數(shù)。當n是兩個不同素數(shù)p和q的乘積時，考慮小于n的正整數(shù)k=ab，其中1≤a≤p-1,1≤b≤q-1。共有(p-1)*(q-1)個這樣的ab。這些數(shù)與n=p*q的最大公約數(shù)gcd(ab,p*q)只能是1或p或q或p*q。顯然，如果gcd(ab,p*q)=p或q，那么gcd(ab,p*q)≠1。只有當gcd(ab,p*q)=1時，ab與n互素。對于1≤a≤p-1，gcd(a,p*q)=gcd(a,p*q/p)=gcd(a,q)=1（因為a<p，p是素數(shù)，a與p互素，所以a與q也互素，除非q=1，但q是素數(shù)且p*q=n，q≠1）。對于1≤b≤q-1，gcd(b,p*q)=gcd(b,p*q/q)=gcd(b,p)=1（同理）。因此，所有形如ab的數(shù)都與n互素。這樣的數(shù)共有(p-1)個來自a的選擇和(q-1)個來自b的選擇，總共(p-1)*(q-1)個。所以φ(p*q)=(p-1)*(q-1)。4.A解析思路：橢圓曲線上的加法運算是非交換的，并且滿足結合律。點加P+O=P，點加O+P=P（無限遠點加任何點等于該點本身）。點加P+P=2P。根據橢圓曲線的點加定義（幾何或代數(shù)），對于P=(x1,y1)和Q=(x2,y2)，如果P≠Q，則R=P+Q=(x3,y3)，其中x3=λ^2-x1-x2，y3=λ(x1-x3)-y1，且λ=(y2-y1)/(x2-x1)。如果P=Q，則R=2P=(x3,y3)，其中x3=λ^2-2x1，y3=λ(x1-x3)-y1，且λ=(3x1^2+a)/(2y1)（其中a是橢圓曲線方程y^2=x^3+ax+b的系數(shù)）。無論P是否為Q，當P=Q時，點加運算的結果R總是橢圓曲線上的一個點。特別地，當P=Q且為橢圓曲線上的點時（即存在滿足條件的λ），計算出的x3和y3也是實數(shù)（如果曲線定義在實數(shù)域上），屬于曲線范圍。但根據橢圓曲線群的運算法則，對于任何點P，其與自身點加的結果2P通常是一個特定的點，稱為“2倍點”或“加法單位元”的某種表現(xiàn)，在群運算的語境下，這個結果常被視為單位元O的等價表示。在許多橢圓曲線密碼學協(xié)議中，2P被定義為無限遠點O。因此，根據標準橢圓曲線密碼學定義，P+P=2P=O。5.B解析思路：Diffie-Hellman密鑰交換的安全性依賴于計算離散對數(shù)問題的困難性。離散對數(shù)問題定義如下：給定有限循環(huán)群G，其生成元g，以及群中的元素h，找到整數(shù)k，使得g^k≡hmodp（通常p是一個大素數(shù)）。DH協(xié)議中，模p的有限域GF(p)是一個循環(huán)群，其階為p-1。計算abmodp等價于計算g^a*g^b≡g^(a+b)modp（假設g是生成元）。這是一個群的乘法運算。而計算b，使得g^b≡abmodp，即求b使得g^b≡g^(a+b)modp。這需要從g^(a+b)恢復出指數(shù)b。前者是計算群的乘法運算結果，后者是計算群的離散對數(shù)。已知階為n的循環(huán)群中，計算乘法運算是容易的，屬于P問題。而計算離散對數(shù)被認為是難解的，屬于NP問題，沒有已知的多項式時間算法。因此，前者（計算abmodp）容易，后者（計算b使得g^b≡abmodp）困難。二、計算題6.gcd(252,198)=6，且252=1*198+54，54=0*252+54，54=1*198-44，198=4*54+18，54=3*18+0。所以gcd(252,198)=18。根據歐幾里得算法的逆過程：18=54-1*198，54=198-4*54，代入得18=(198-4*54)-1*198=-1*198+5*54。再代入54=252-1*198，得18=-1*198+5*(252-1*198)=-6*198+5*252。所以x=5,y=-6。7.α=2,p=61。p是素數(shù)，α=2是p-1=60的一個素因子。根據歐拉定理，α^φ(p)≡1modp。φ(p)=p-1=60。所以α^60≡1mod61。α^55modp=α^(60-5)modp=(α^60*α^(-5))modp≡1*α^(-5)modp≡α^(-5)modp。需要計算α^(-5)mod61。α^(-5)是α^5的模逆元。α^5=2^5=32。計算32的模逆元x使得32x≡1mod61。用擴展歐幾里得算法：61=1*32+29，32=1*29+3，29=9*3+2，3=1*2+1，2=2*1+0。反向代入求系數(shù)：1=3-1*2，2=29-9*3。1=3-1*(29-9*3)=10*3-1*29。3=32-1*29。1=10*(32-1*29)-1*29=10*32-11*29。29=61-1*32。1=10*32-11*(61-1*32)=21*32-11*61。所以32的模逆元是21。因此α^(-5)≡21mod61。即α^55≡21mod61。8.p=61,q=53。n=p*q=61*53=3233。φ(n)=(p-1)*(q-1)=60*52=3120。e=17。計算d，需滿足ed≡1modφ(n)。即17d≡1mod3120。求d即求17的模3120逆元。用擴展歐幾里得算法：3120=183*17+9，17=1*9+8，9=1*8+1，8=8*1+0。反向代入：1=9-1*8，8=17-1*9。1=9-1*(17-1*9)=2*9-1*17。9=3120-183*17。1=2*(3120-183*17)-1*17=2*3120-367*17。所以17的模3120逆元是-367。即d≡-367mod3120。通常私鑰d取正整數(shù)，所以d=3120-367=2753。私鑰(d,n)=(2753,3233)。9.需要找到x使得45x≡1mod59。計算45的模59逆元。用擴展歐幾里得算法：59=1*45+14，45=3*14+3，14=4*3+2，3=1*2+1，2=2*1+0。反向代入：1=3-1*2，2=14-4*3。1=3-1*(14-4*3)=5*3-1*14。3=45-3*14。1=5*(45-3*14)-1*14=5*45-16*14。14=59-1*45。1=5*45-16*(59-1*45)=21*45-16*59。所以45的模59逆元是21。即x=21。三、證明題10.證明RSA解密有效性。已知m^e≡cmodn，即m^e=c+kn。私鑰d滿足ed≡1modφ(n)。設ed=1+kφ(n)。要證明解密m'=c^dmodn=(m^e)^dmodn≡mmodn。計算c^d=(m^e)^d=m^(ed)=m^(1+kφ(n))=m^1*m^(kφ(n))=m*(m^φ(n))^k。根據歐拉定理，m與n互素（因為m是明文，n=p*q，p,q是素數(shù)，m<n，所以gcd(m,n)=1）。因此m的階是φ(n)的因子，或者m^(φ(n))≡1modn。所以(m^φ(n))^k≡1^k≡1modn。因此m*(m^φ(n))^k≡m*1≡mmodn。即c^d≡mmodn。所以解密后的m'=c^dmodn=mmodn=m。證明完畢。11.證明a^k≡a^(kmod(p-1))modp。首先設k=q*(p-1)+r，其中q和r是整數(shù)，且0≤r<p-1。根據歐拉定理，a^(p-1)≡1modp，且gcd(a,p)=1。計算a^k=a^(q*(p-1)+r)=(a^(p-1))^q*a^r。根據模運算性質，(a^(p-1))^q≡1^q≡1modp。所以a^k≡1*a^r≡a^rmodp。由于k=q*(p-1)+r，所以r=kmod(p-1)。因此a^k≡a^(kmod(p-1))modp。證明完畢。四、分析題12.RSA密碼系統(tǒng)可能存在的安全性威脅：*選擇明文攻擊（ChosenCiphertextAttack,CCA）：如果攻擊者可以控制密文c，并且可以請求解密任意密文（即使不是他自己的），他可能利用這一點推斷出私鑰或明文。例如，攻擊者可以選擇c=n^emodn，請求解密。解密后得到m'=c^dmodn=(n^e)^dmodn=n^(ed)modn。由于ed≡1modφ(n)，設ed=1+kφ(n)，則n^(ed)=n^(1+kφ(n))=n*(n^φ(n))^k。根據歐拉定理，n^φ(n)≡1modφ(n)，但n^φ(n)通常不恒等于1。然而，對于n=p*q，φ(n)=(p-1)*(q-1)，n^φ(n)≡1modp且n^φ(n)≡1modq。所以n^φ(n)≡1modn(如果n不是平方數(shù)，則n^φ(n)≡1)。因此n*(n^φ(n))^k≡n*1≡nmodn。所以m'=n。攻擊者得到n，無法得到m。但如果n是平方數(shù)，n^φ(n)≡-1modn，則m'=n*(-1)^k。攻擊者可以通過多次請求解密c和c'=(n^e)^dmodn，觀察解密結果m'和m''，推導出m和m''的關系，從而可能恢復m或部分信息。防御措施：要求n不是平方數(shù)；使用更強的攻擊檢測和緩解機制；不直接解密用戶請求的內容。*側信道攻擊（Side-ChannelAttack）：攻擊者不直接攻擊密碼算法本身，而是通過分析系統(tǒng)在運行過程中泄露的信息（如執(zhí)行時間、功耗、電磁輻射、聲音等）來推斷密鑰。RSA的側信道攻擊主要包括時序攻擊（TimingAttack）和功耗攻擊。時序攻擊利用RSA運算（特別是模冪運算和模逆元計算）中模數(shù)的不同可能導致執(zhí)行時間差異。例如，在模一個大素數(shù)n上計算c^emodn時，如果c與n的高位部分接近，則模乘和模減運算會花費更多時間。攻擊者通過測量解密操作的執(zhí)行時間模式，可以推斷出密鑰d或模數(shù)n。防御措施：使用恒定時間算法（Constant-TimeAlgorithms）執(zhí)行敏感計算，使得執(zhí)行時間不依賴于輸入數(shù)據；對密鑰進行掩碼操作。*其他攻擊：如因子分解攻擊（如果n被分解，私鑰d可以計算出來）；小密鑰攻擊（小e或小d容易被窮舉）；隨機數(shù)k的選擇不當（ElGamal類型的攻擊）；實現(xiàn)漏洞等。防御措施：選擇足夠大的密鑰長度（當前建議至少2048位）；選擇安全的參數(shù)（如e通常取65537）；確保隨機數(shù)生成器安全；進行代碼審計和形式化驗證。13.RSA與基于離散對數(shù)的密碼系統(tǒng)（如ElGamal、ECC）的比較：*數(shù)論基礎：