2025年大學(xué)《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——概率統(tǒng)計(jì)理論及其應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共10分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1.設(shè)事件A和B互斥，P(A)>0,P(B)>0，則下列結(jié)論正確的是（）。A.P(AB)=P(A)P(B)B.P(B|A)=0C.P(A|B)=P(A)D.P(A∪B)=P(A)+P(B)2.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}e^{-x/2}&x>0\\0&x\leq0\end{cases}，則X的期望E(X)和方差Var(X)分別為（）。A.1,1B.1,2C.2,1D.2,23.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且都服從N(0,1)分布，則隨機(jī)變量Z=X^2+Y^2的分布是（）。A.N(0,1)B.N(1,1)C.χ^2(2)D.t(2)4.設(shè)總體X的分布未知，但已知E(X)=μ，現(xiàn)希望估計(jì)μ，下列說(shuō)法正確的是（）。A.只能用樣本均值\bar{X}進(jìn)行估計(jì)B.樣本中位數(shù)總是比樣本均值更有效C.無(wú)偏估計(jì)總是最有效的估計(jì)D.樣本均值\bar{X}是μ的無(wú)偏估計(jì)量5.在假設(shè)檢驗(yàn)中，犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率記為α，犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率記為β，則（）。A.α+β=1B.減小α一定會(huì)增大βC.增大樣本容量可以同時(shí)減小α和βD.α表示H0為真時(shí)拒絕H0的概率二、填空題（每小題2分，共10分。請(qǐng)將答案填在題后的橫線上）1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：P(X=k)=\frac{C}{k+1}，k=1,2,3,則常數(shù)C=________。2.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=2，X的方差Var(X)=1，Y的方差Var(Y)=4，則X和Y的相關(guān)系數(shù)ρ_{XY}=________。3.從總體X中抽取樣本X_1,X_2,...,X_n，若\hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i，則\hat{\mu}是總體均值μ的________估計(jì)量。4.設(shè)總體X服從參數(shù)為λ(λ>0)的泊松分布，X_1,X_2,...,X_n是來(lái)自X的樣本，則樣本方差S^2的期望E(S^2)=________。5.在單因素方差分析中，若因素A有k個(gè)水平，每個(gè)水平下重復(fù)試驗(yàn)n_i次，則總的自由度df_T=________。三、計(jì)算題（每小題7分，共28分）1.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，其分布律分別為：X:01P:0.30.7Y:-11P:0.60.4求隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律。2.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且都服從N(0,1)分布。求隨機(jī)變量U=2X+Y和V=2X-Y的協(xié)方差Cov(U,V)。3.從正態(tài)總體N(μ,16)中抽取容量為25的樣本，樣本均值為\bar{X}=10.5。求μ的95%置信區(qū)間（已知σ^2=16）。4.在一批燈泡中，隨機(jī)抽取10個(gè)燈泡測(cè)試其壽命，得到數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)）：1500,1480,1490,1510,1500,1470,1520,1490,1480,1530。假設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，檢驗(yàn)這批燈泡的平均壽命是否顯著大于1500小時(shí)？（α=0.05）四、綜合應(yīng)用題（每小題9分，共18分）1.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其重量X服從正態(tài)分布N(μ,5^2)。為了檢查生產(chǎn)是否正常，隨機(jī)抽取了9件產(chǎn)品，測(cè)得樣本方差S^2=9^2。檢驗(yàn)生產(chǎn)過(guò)程的方差是否顯著大于25？（α=0.05）2.某研究想比較三種不同廣告策略（A,B,C）對(duì)產(chǎn)品銷(xiāo)售量的影響，隨機(jī)選取了4個(gè)地區(qū)，每個(gè)地區(qū)采用一種廣告策略，一個(gè)月后的銷(xiāo)售量數(shù)據(jù)如下（單位：件）：廣告策略A：50,48,53,49廣告策略B：45,47,49,46廣告策略C：55,58,54,57假設(shè)銷(xiāo)售量服從正態(tài)分布，且方差相等。檢驗(yàn)三種廣告策略對(duì)銷(xiāo)售量是否有顯著影響？（α=0.05）試卷答案一、單項(xiàng)選擇題1.B2.A3.C4.D5.B二、填空題1.12.\frac{1}{2}3.無(wú)偏4.λ5.n-1三、計(jì)算題1.解：Z的可能取值為-1,0,1,2。P(Z=-1)=P(X=0,Y=-1)=P(X=0)P(Y=-1)=0.3*0.6=0.18P(Z=0)=P(X=0,Y=1)=P(X=0)P(Y=1)=0.3*0.4=0.12P(Z=1)=P(X=1,Y=-1)+P(X=0,Y=1)=P(X=1)P(Y=-1)+P(X=0)P(Y=1)=0.7*0.6+0.3*0.4=0.42+0.12=0.54P(Z=2)=P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1)=0.7*0.4=0.28故Z的分布律為：Z:-1012P:0.180.120.540.282.解：Cov(U,V)=Cov(2X+Y,2X-Y)=Cov(2X,2X)+Cov(2X,-Y)+Cov(Y,2X)+Cov(Y,-Y)=4Cov(X,X)-2Cov(X,Y)+2Cov(Y,X)-Cov(Y,Y)=4Var(X)-2Cov(X,Y)+2Cov(X,Y)-Var(Y)(因?yàn)閄,Y獨(dú)立，Cov(X,Y)=Cov(Y,X)=0)=4Var(X)-Var(Y)=4*1-1=33.解：已知總體方差σ^2=16已知，故用Z分布構(gòu)建置信區(qū)間。σ=√16=4，n=25，α=0.05，查表得Z_(α/2)=Z_0.025=1.96。置信區(qū)間為：μ∈(\bar{X}-Z_(α/2)*(σ/√n),\bar{X}+Z_(α/2)*(σ/√n))=(10.5-1.96*(4/√25),10.5+1.96*(4/√25))=(10.5-1.96*0.8,10.5+1.96*0.8)=(10.5-1.568,10.5+1.568)=(8.932,12.068)故μ的95%置信區(qū)間為(8.932,12.068)。4.解：檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ≤1500vsH1:μ>1500(單邊檢驗(yàn))總體方差σ^2=16已知，用Z檢驗(yàn)。σ=4，n=10，\bar{X}=10.5，μ_0=1500，α=0.05。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：Z=\frac{\bar{X}-μ_0}{σ/\sqrt{n}}=\frac{10.5-1500}{4/\sqrt{10}}=\frac{-1490}{1.265}≈-1174.7查表得Z_(α)=Z_0.05=1.645。因?yàn)槭菃芜厵z驗(yàn)，拒絕域?yàn)閆>1.645。計(jì)算得到的Z=-1174.7遠(yuǎn)小于臨界值1.645。故不能拒絕H0，即沒(méi)有充分證據(jù)表明這批燈泡的平均壽命顯著大于1500小時(shí)。四、綜合應(yīng)用題1.解：檢驗(yàn)假設(shè)H0:σ^2≤25vsH1:σ^2>25(單邊檢驗(yàn))總體均值μ未知，用χ^2檢驗(yàn)。n=9，S^2=9^2=81，σ^2_0=25，α=0.05。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：χ^2=\frac{(n-1)S^2}{σ^2_0}=\frac{(9-1)*81}{25}=\frac{8*81}{25}=25.92自由度df=n-1=8。查χ^2分布表得χ^2_(α,df)=χ^2_(0.05,8)=15.507。因?yàn)槭菃芜厵z驗(yàn)，拒絕域?yàn)棣謂2>15.507。計(jì)算得到的χ^2=25.92大于臨界值15.507。故拒絕H0，即有充分證據(jù)表明生產(chǎn)過(guò)程的方差顯著大于25。2.解：檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ_A=μ_B=μ_CvsH1:至少有兩個(gè)均值不等(多邊檢驗(yàn))數(shù)據(jù)：A:50,48,53,49;B:45,47,49,46;C:55,58,54,57n_A=n_B=n_C=4,n_T=12。計(jì)算各水平樣本均值和樣本方差：\bar{X}_A=(50+48+53+49)/4=200/4=50\bar{X}_B=(45+47+49+46)/4=187/4=46.75\bar{X}_C=(55+58+54+57)/4=220/4=55S_A^2=[(50-50)^2+(48-50)^2+(53-50)^2+(49-50)^2]/(4-1)=[0+4+9+1]/3=14/3S_B^2=[(45-46.75)^2+(47-46.75)^2+(49-46.75)^2+(46-46.75)^2]/(4-1)=[3.0625+0.25+5.0625+0.5625]/3=8.9375/3S_C^2=[(55-55)^2+(58-55)^2+(54-55)^2+(57-55)^2]/(4-1)=[0+9+1+4]/3=14/3計(jì)算總體均值估計(jì)和組內(nèi)平方和：\bar{X}_{..}=(50+48+53+49+45+47+49+46+55+58+54+57)/12=648/12=54SSTR=4*(50-54)^2+4*(46.75-54)^2+4*(55-54)^2=4*16+4*56.25+4*1=64+225+4=293SSE=(4-1)*14/3+(4-1)*8.9375/3+(4-1)*14/3=3*14/3+3*8.9375/3+3*14/3=14+8.9375+14=36.9375計(jì)算組間平方和：SSW=SSTR-SSE=293-36.9375=256.0625計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量：MSW=SSE/(n_T-k)=36.9375/(12-3)=36.9375/9