習(xí)慣于思考、聯(lián)想的人一定會(huì)走得深些、遠(yuǎn)些，沒(méi)有思考、聯(lián)想的人，雖然讀萬(wàn)卷書(shū)，依然看不到書(shū)外的問(wèn)題?！A羅庚第三章復(fù)變函數(shù)的積分§3.1復(fù)變函數(shù)的積分§3.2Cauchy積分定理§3.3積分基本公式與高階導(dǎo)數(shù)公式主要內(nèi)容

本章介紹復(fù)變函數(shù)的積分概念，解析函數(shù)積分的主要性質(zhì).重點(diǎn)是Cauchy積分定理、Cauchy積分公式、Cauchy(高階)導(dǎo)數(shù)公式?！?.1復(fù)變函數(shù)積分的概念3.1.1復(fù)積分的定義3.1.2復(fù)積分存在的一個(gè)條件3.1.3復(fù)積分的性質(zhì)與計(jì)算復(fù)習(xí)核心思想是什么？微積分學(xué)的現(xiàn)實(shí)意義abxyC定義3.1設(shè)

C

為簡(jiǎn)單光滑的有向(1)將曲線

C

任意劃分：函數(shù)在

C

上有定義，令zkz0zkznzk-1(2)在每個(gè)弧段上任取一點(diǎn)若

存在(不依賴

C

的劃分和的選取)，則稱之為沿曲線

C

的積分，記為曲線，其方向是從a

到b，3.1.1復(fù)積分的定義表示沿曲線

C

的注(1)負(fù)方向積分；表示沿閉曲線

G(2)(的逆時(shí)針?lè)较?積分；=

即其中f(z)

稱為被積函數(shù)，C稱為積分路徑.可以看出，當(dāng)C為x軸上的區(qū)間復(fù)積分即為一元實(shí)函數(shù)的定積分.,而f(z)=u(x)時(shí)，3.1.2復(fù)積分存在的一個(gè)條件定理3.1

若函數(shù)f(z)

=u(x,y)+iv(x,y)在光滑曲線C上連續(xù)，則f(z)沿曲線C的積分存在，且

由定理3.1它給出了復(fù)變函數(shù)積分存在的一個(gè)充分條件；它提供了計(jì)算復(fù)變函數(shù)積分的一種方法；研究復(fù)變函數(shù)的積分問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為研究實(shí)變量的二元實(shí)值函數(shù)沿曲線C的線積分問(wèn)題．從形式上可以看成第一類曲線積分(1)(4)(2)(3)其中，其中，L為曲線C的弧長(zhǎng)。3.1.3復(fù)積分的性質(zhì)與計(jì)算一、復(fù)積分的性質(zhì)注：高等數(shù)學(xué)中積分中值定理，在復(fù)積分中不成立，例如，但任意給定的，顯然

估計(jì)如的模的一個(gè)上界，其中

C

如圖所示。xyCi1-1解二、復(fù)積分的計(jì)算常用方法：直接化為定積分

設(shè)曲線則其中，一般需要三個(gè)步驟：寫(xiě)出曲線C的參數(shù)方程z=z(t)=x(t)+i

y(t),(α≤t≤β)

；

將z=z(t)與dz=z′(t)dt代入被積表達(dá)式中，化為關(guān)于參數(shù)t的定積分；注意定積分的下限、上限分別對(duì)應(yīng)于C的起點(diǎn)和終點(diǎn)．

解xyC21計(jì)算例3.1其中

C

為0到1+2i的直線段．C的方程為z=(1+2i)t(0≤t≤1)將z=(1+2i)t

，dz=(1+2i)dt代入所求積分，得xyC1C2C3i1計(jì)算例3.2其中

C

為：(1)(2)解(1)曲線

C3的方程為將dz=(1+i)dt，Rez=t

代入所求積分，得

解(2)曲線

C1的方程為曲線

C2的方程為xyC1C2C3i1計(jì)算例3.2其中

C

為：(1)(2)

由計(jì)算結(jié)果可以看出，本題中C的起點(diǎn)和終點(diǎn)雖然相同，但路徑不同，積分的值不同.解積分路徑的參數(shù)方程為例3.3

證明積分(n是整數(shù)),其中C是圓周:的正向.重要結(jié)論：積分值與圓周的中心、半徑無(wú)關(guān).注

此例的結(jié)果很重要！

例3.4計(jì)算，

其中(1)

C為單位圓周的上半部分從1到-1的?。?/p>

(2)C為單位圓周的下半部分從1到-1的?。?/p>

(1)

C的方程為于是(2)C的方程為于是都是從相同的起點(diǎn)到相同的終點(diǎn),沿著兩條不注意1

從例題看到,積分和相同的路徑進(jìn)行時(shí),積分值不同,積分值相同.是否可以討論積分與積分路徑的關(guān)系?注意2

一般不能將函數(shù)f(z)在以a為起點(diǎn),以b為終點(diǎn)的曲線C上的積分記成因?yàn)榉e分值可能與積分路徑有關(guān),所以記§3.2柯西積分定理3.2.1單連通區(qū)域的柯西定理——柯西-古薩基本定理3.2.2復(fù)積分的牛頓-萊布尼茲公式3.2.3復(fù)連通區(qū)域的柯西定理——復(fù)合閉路定理D定理3.2設(shè)函數(shù)

f(z)

在單連通域

D

內(nèi)解析，G

為D

內(nèi)的任意一條簡(jiǎn)單閉曲線，則有GG3.2.1單連通區(qū)域的柯西定理——柯西-古薩基本定理證

用黎曼(1851年在添加條件下給出)的證明方法，依此法，是在添加條件“

f′(z)在G內(nèi)連續(xù)”下證明．設(shè)z=x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

，Green公式(?)C

-

R方程1900年古薩(GourSat)在免去f′(z)在G內(nèi)連續(xù)這一假設(shè)條件下，給出新的證明，證明過(guò)程比較復(fù)雜，我們?cè)谶@里就不證了.定理3.2稱為積分基本定理，又常稱作柯西-古薩基本定理(或柯西積分定理)．定理3.2揭示了解析函數(shù)的一個(gè)深刻性質(zhì)，即解析函數(shù)沿其解析區(qū)域內(nèi)的任意一條圍線的積分為零，亦即解析函數(shù)的積分只依賴于積分路徑的起點(diǎn)與終點(diǎn)，而與積分路徑無(wú)關(guān)．另外，定理3.2提供了一種計(jì)算解析函數(shù)沿圍線積分的方法．定理3.3設(shè)函數(shù)f(z)

在復(fù)平面上的單連通區(qū)域D內(nèi)處處解析，則積分f(z)在D內(nèi)積分與路徑無(wú)關(guān)，僅與起點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān).即對(duì)D內(nèi)任意兩點(diǎn)，積分的值，不依賴與D內(nèi)連接起點(diǎn)與終點(diǎn)的曲線.的簡(jiǎn)單曲線，路徑無(wú)關(guān)性定理3.3設(shè)函數(shù)

f(z)

在單連通域

D

內(nèi)解析，C1,

C2

為

D

內(nèi)的任意兩條從到證明由

可見(jiàn)，解析函數(shù)在單連域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，則有3.2.2復(fù)積分的牛頓-萊布尼茲公式由定理3.3知道，解析函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)與終點(diǎn)有關(guān)，即當(dāng)下限固定，上限在D內(nèi)變動(dòng)時(shí)，積分即為上限的函數(shù)，記為D定理3.4若

在單連域

D

內(nèi)處處解析，則在

D

內(nèi)解析，且

令定理3.5若

在單連域

D

內(nèi)處處解析，為

的原函數(shù)，

由此是的一個(gè)原函數(shù).Newton-Leibniz公式復(fù)積分的換元積分公式復(fù)積分的分部積分公式例3.5求解求解例3.6練習(xí)解使用“湊微分”解利用分部積分法可得練習(xí)3.2.3復(fù)連通區(qū)域的柯西定理——復(fù)合閉路定理定理3.6

(潑拉德定理)設(shè)圍線C是單連通區(qū)域D的邊界，若

f(z)

在D內(nèi)解析，且在上連續(xù)，則

該定理與柯西積分定理是等價(jià)的.在柯西積分定理中，我們所考慮的區(qū)域D是單連通的，f(z)在D內(nèi)解析，如果這兩個(gè)條件有一個(gè)不滿足，一般來(lái)說(shuō)定理的結(jié)論就不再成立.如果f(z)在D內(nèi)有奇點(diǎn)，我們考慮將這些奇點(diǎn)挖去，于是區(qū)域就含有“洞”，這樣單連通區(qū)域就變成多連通區(qū)域，于是得到在多連通區(qū)域上的解析函數(shù)的積分定理.定理3.7（復(fù)合閉路定理）設(shè)有圍線C0，C1，C2，，Cn，

其中C1，C2，，Cn

均在C0的內(nèi)部，且中的每一條均在其余各條的外部；又設(shè)C1，C2，，Cn

G為由C0的內(nèi)部與C1，C2，，Cn

的外部相交的部分組成的復(fù)連通區(qū)域，若f(z)在G內(nèi)解析，且在閉區(qū)域上連續(xù)，則

DC1C2C0C3Cn…(2)

其中(C0取正向，C1，C2，，Cn都取負(fù)向)

(1)

其中C1，C2，Cn

都取正向.如設(shè)二連域

D

的邊界為

(如圖)，或Dab分析如圖，作線段

a

b，則二連域D

變?yōu)閱芜B域，由或函數(shù)在

D

內(nèi)解析，在

D+C

上連續(xù)，則從而有D

在區(qū)域內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，稱此為閉路變形原理。

閉路變形原理如圖，設(shè)在

D

內(nèi)解析，在邊界上連續(xù)，G為

D

內(nèi)的一條“閉曲線”，則DrCG解如圖以

為圓心

r

為半徑作圓，則函數(shù)在因此有當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)。上解析，▲重要

例

3.7解顯然函數(shù)

例3.8

計(jì)算積分其中C為圓周在復(fù)平面有兩個(gè)奇點(diǎn)0和1,并且G包含了這兩個(gè)奇點(diǎn).打洞!根據(jù),Cauchy定理重要公式Cauchy定理重要公式（挖“奇點(diǎn)”法）§3.3積分基本公式與高階導(dǎo)數(shù)公式3.3.1柯西積分公式3.3.2高階導(dǎo)數(shù)公式實(shí)際問(wèn)題：

如果測(cè)得地球表面各點(diǎn)的溫度，能否測(cè)得地心的溫度？如何測(cè)？尋求：由D邊界上的函數(shù)值導(dǎo)出D內(nèi)點(diǎn)的函數(shù)值的表達(dá)式.數(shù)學(xué)模型3.3.1柯西積分公式DC一、柯西積分公式Gd定理3.8如果函數(shù)在區(qū)域D

內(nèi)解析，在D+

C

上連續(xù)，證明(思路)如圖，以為圓心，d

為半徑作圓

G，則左邊右邊|

右邊

-

左邊

|則(跳過(guò)?)在D+

C

上連續(xù)，

則一、柯西積分公式定理3.8如果函數(shù)在區(qū)域D

內(nèi)解析，DdGC證明(思路)(當(dāng)充分小時(shí))|

右邊

-

左邊

|即只要

d足夠小，所證等式兩邊的差的?？梢匀我庑?，由于左邊與右邊均為常數(shù)，與

d無(wú)關(guān)，故等式成立。在邊界

C

上連續(xù)，

則一、柯西積分公式定理3.8如果函數(shù)在區(qū)域D

內(nèi)解析，DdGC意義將換成，積分變量換成，

解析函數(shù)在其解析區(qū)域內(nèi)的值完全由邊界上的值確定。

換句話說(shuō)，解析函數(shù)可用其解析區(qū)域邊界上的值以一種特定的積分形式表達(dá)出來(lái)。則上式變?yōu)槭嵌噙B域。一、柯西積分公式注意柯西積分公式中的區(qū)域D

可以應(yīng)用

推出一些理論結(jié)果，從而進(jìn)一步認(rèn)識(shí)解析函數(shù)。比如對(duì)于二連域

D

,其邊界為，DC1

反過(guò)來(lái)計(jì)算積分則

P53推論

3.3

在上解析

例3.9(1)解(柯西積分公式)求下列積分（取圓周正向）解(2)在C內(nèi)解析，被積函數(shù)在C內(nèi)有奇點(diǎn)-i，則C1C2令解則令

C1：

C2：

其中

C

如圖所示。(3)C201則(復(fù)合閉路定理)(柯西積分公式)C203-

3解

試考慮積分路徑為的情況。定理3.9如果函數(shù)在區(qū)域D

內(nèi)解析，在上連續(xù)，則的各階導(dǎo)數(shù)均在

D

上解析，證明(略)意義解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍解析。應(yīng)用

推出一些理論結(jié)果。

反過(guò)來(lái)計(jì)算積分且(進(jìn)入證明?)3.3.2高階導(dǎo)數(shù)公式一、高階導(dǎo)數(shù)定理分析則由柯西積分公式有又……如果函數(shù)在區(qū)域D

內(nèi)解析，在上連續(xù)，二、平均值公式如果函數(shù)在內(nèi)解析，定理(平均值公式)在上連續(xù)，qxRyC證明由柯西積分公式有則有

P53推論3.2

(連續(xù)函數(shù)的平均值)例3.10計(jì)算下列積分解

（1）在C內(nèi)解析，被積函數(shù)在C內(nèi)有奇點(diǎn)i，由高階導(dǎo)數(shù)公式得(2)令

則(復(fù)合閉路定理)C2C1C2

i-

i如圖，作

C1

,C2兩個(gè)小圓，記為

C2C2-

iC1

i(高階導(dǎo)數(shù)公式)同樣可求得復(fù)變函數(shù)的積分積分存在的條件及計(jì)算積分的性質(zhì)Cauchy積分定理原函數(shù)的概念復(fù)合閉路定理Cauchy積分公式高階導(dǎo)數(shù)公式Newton-Leibniz公式本章內(nèi)容總結(jié)1.Cauchy積分定理2.復(fù)合閉路定理

3.Cauchy積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式本章的重點(diǎn)4.復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算完了？誰(shuí)完了？積分學(xué)，學(xué)完了Classisover祝你下課！第三章完GeorgeGreen(1793.7.14-1841.5.31)自學(xué)而成的英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家.出色地將數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到電磁理論和其他數(shù)學(xué)物理問(wèn)題.1928年出版了出版了小冊(cè)子《數(shù)學(xué)分析在電磁學(xué)中的應(yīng)用》,其中有著名的Green公式.40歲進(jìn)入劍橋大學(xué)學(xué)習(xí),1839年聘為劍橋大學(xué)教授.他的工作培育了數(shù)學(xué)物理學(xué)者的劍橋?qū)W派,其中包括G.Stokes和C.Maxwell.IsaacNewton

(1642.12.25-1727.3.20)偉大的英國(guó)物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家.1661年,進(jìn)入劍橋大學(xué)三一學(xué)院學(xué)習(xí).大學(xué)畢業(yè)后,在1665和1666年期間,Newton做了具有劃時(shí)代意義的三項(xiàng)工作:微積分、萬(wàn)有引力和光的分析.1687年發(fā)表《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》.1669年任劍橋大學(xué)教授,1703年當(dāng)選為皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng),1705年被英國(guó)女王授予爵士稱號(hào).他還擔(dān)任過(guò)造幣廠廠長(zhǎng).Natureand

Nature’slawslayhidinnight,Godsaid,“LetNewtonbe!”andallwaslight.Newton說(shuō):“我不知道世人怎樣看我,我只覺(jué)得自己好象是在海濱游戲的孩子,有時(shí)為找到一個(gè)光滑的石子或比較美麗的貝殼而高興,而真理的海洋仍然在我的前面未被發(fā)現(xiàn).”我是站在巨人的肩上.——I.Newton英國(guó)詩(shī)人A.Pope贊美Newton的:GottfriedWilhelmLeibniz(1646.6.21-1716.11.14)德國(guó)數(shù)學(xué)家.他還是外交家、哲學(xué)家、法學(xué)家、歷史學(xué)家、語(yǔ)言學(xué)家和先驅(qū)的地質(zhì)學(xué)家,他在邏輯學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、數(shù)學(xué)、流體靜力學(xué)、氣體學(xué)、航海學(xué)和計(jì)算機(jī)方面做了重要的工作.1666年他撰寫(xiě)了一般推理方法的論文《論組合的藝術(shù)》,獲得哲學(xué)博士學(xué)位,并被任命為教授.在1672年因外交事務(wù)出使法國(guó),接觸到一些數(shù)學(xué)家,開(kāi)始深入地研究數(shù)學(xué),特別是1673年開(kāi)始研究微積分,從1684年起發(fā)表微積分論文.他是歷史上最大的符號(hào)學(xué)者之一,所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào),遠(yuǎn)優(yōu)于Newton的符號(hào),很多一直沿用至今.Leibniz多才多藝,他在1671年左右制造出一種手搖計(jì)算機(jī),甚至研究過(guò)中國(guó)古代哲學(xué).Newton和Leibniz是微積分的奠基者,從那時(shí)起,數(shù)學(xué)乃至幾乎所有科學(xué)領(lǐng)域開(kāi)始了新紀(jì)元.附：連續(xù)函數(shù)的平均值(以平均氣溫為例)設(shè)某時(shí)間段內(nèi)的溫度函數(shù)為將n

等份，等分點(diǎn)為記即tab平均氣溫平均氣溫(返回)第四章級(jí)數(shù)§4.1復(fù)級(jí)數(shù)的基本概念§4.2泰勒級(jí)數(shù)與洛朗級(jí)數(shù)主要內(nèi)容

本章介紹復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)的概念,重點(diǎn)是Taylor級(jí)數(shù)、Laurent級(jí)數(shù)及其展開(kāi).§4.1復(fù)級(jí)數(shù)的基本概念4.1.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)4.1.2復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)4.1.3冪級(jí)數(shù)及其收斂域?yàn)閺?fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).稱為該級(jí)數(shù)的前n

項(xiàng)部分和.設(shè)是復(fù)數(shù)列,則稱4.1.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義4.1

級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念定義4.2如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列收斂于復(fù)數(shù)S,則稱級(jí)數(shù)收斂,這時(shí)稱S為級(jí)數(shù)的和,并記做如果不收斂，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的關(guān)系定理4.1

級(jí)數(shù)收斂的充要條件是都收斂,并且說(shuō)明復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題解因?yàn)榧?jí)數(shù)所以原復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散.例4.1

考察級(jí)數(shù)的斂散性發(fā)散,而級(jí)數(shù)收斂,級(jí)數(shù)收斂的必要條件定理4.2如果級(jí)數(shù)收斂,則重要結(jié)論:

發(fā)散.于是在判別級(jí)數(shù)的斂散性時(shí),可先考察?非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)稱為條件收斂級(jí)數(shù).定義4.3設(shè)是復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.

絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)定理4.3若級(jí)數(shù)收斂,則收斂,并且由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知

收斂，解（1）因?yàn)樽⒔^對(duì)收斂和都絕對(duì)收斂.例4.2判定下列級(jí)數(shù)的斂散性.若收斂，是條件收斂還是絕對(duì)收斂?故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.但

條件

收斂，解（2）因?yàn)槔?.2判定下列級(jí)數(shù)的斂散性.若收斂，是條件收斂還是絕對(duì)收斂?故原級(jí)數(shù)收斂，都收斂，從而原級(jí)數(shù)為條件收斂. (2)稱為區(qū)域

D(1)稱為區(qū)域

D

內(nèi)的復(fù)變函數(shù)序列。定義4.4設(shè)復(fù)變函數(shù)在區(qū)域

D

內(nèi)有定義，內(nèi)的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)記為4.1.2復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)稱為級(jí)數(shù)的部分和。定義4.5設(shè)為區(qū)域D

內(nèi)的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，稱級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂。z0則稱級(jí)數(shù)在區(qū)域

G

內(nèi)收斂。(3)如果存在區(qū)域G

D

，有此時(shí)，稱(2)如果對(duì)

D

內(nèi)的某一點(diǎn)，有z0則為和函數(shù)，G

為收斂域。(1)下面主要是對(duì)

型冪級(jí)數(shù)進(jìn)行討論，所得到的結(jié)論(Ⅱ)注1.冪級(jí)數(shù)的概念其中，

為復(fù)常數(shù)。定義4.5稱由下式給出的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為冪級(jí)數(shù)：(

I

)特別地，當(dāng)

時(shí)有(Ⅱ)只需將換成

即可應(yīng)用到型冪級(jí)數(shù)。(

I

)z(2)對(duì)于型冪級(jí)數(shù)，在

點(diǎn)肯定收斂。(Ⅱ)4.1.3冪級(jí)數(shù)及其收斂域定理4.4(Abel定理)若級(jí)數(shù)在處收斂，則當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;若級(jí)數(shù)在處發(fā)散，則當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.2.冪級(jí)數(shù)的斂散性(1)

對(duì)所有的復(fù)數(shù)z都收斂.由阿貝爾定理知:級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂.由,冪級(jí)數(shù)收斂情況有三種:(2)

除z=0外都發(fā)散.此時(shí),級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除z=0外處處發(fā)散.

(3)存在一點(diǎn)z1≠0,使級(jí)數(shù)收斂(此時(shí),根據(jù)阿貝爾定理知,它必在圓周|z|=|z1|內(nèi)部絕對(duì)收斂),

另外又存在一點(diǎn)z2,使級(jí)數(shù)發(fā)散.((肯定|z2|≥|z1|);根據(jù)阿貝爾定理的推論知,它必在圓周|z|=|z2|外部發(fā)散.)如下圖..收斂圓盤(pán)收斂半徑收斂圓周

在這種情況下,可以證明,存在一個(gè)有限正數(shù)R,使得級(jí)數(shù)在圓周|z|=R內(nèi)部絕對(duì)收斂,在圓周|z|=R外部發(fā)散.冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域動(dòng)畫(huà)演示

冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是因此，事實(shí)上,冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上斂散性的討問(wèn)題：冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?以為中心的圓域.收斂半徑根據(jù)前面所述的三種情形,分別規(guī)定為論比較復(fù)雜,沒(méi)有一般的結(jié)論,要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析.例如,級(jí)數(shù):收斂圓周上無(wú)收斂點(diǎn);在收斂圓周上處處收斂.收斂半徑的計(jì)算方法(一)(3)當(dāng)時(shí),收斂半徑(1)當(dāng)時(shí),收斂半徑(2)當(dāng)時(shí),收斂半徑定理4.5

(比值法)設(shè)級(jí)數(shù)如果則收斂半徑的計(jì)算方法(二)(3)當(dāng)時(shí),收斂半徑(1)當(dāng)時(shí),收斂半徑(2)當(dāng)時(shí),收斂半徑定理4.5

(根值法)設(shè)級(jí)數(shù)如果則例4.3

求下列冪級(jí)的收斂半徑。解(1)上，在收斂圓收斂，所以原級(jí)數(shù)在收斂圓上處處收斂例4.3求下列冪級(jí)的收斂半徑。解(2)時(shí)，當(dāng)收斂，時(shí)，當(dāng)發(fā)散.例4.4求冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)。解冪級(jí)數(shù)的收斂圓為且在收斂圓上發(fā)散，故冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)楹秃瘮?shù)為令則在內(nèi)有定理4.63.冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)(2)分析性質(zhì)即3)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，即1)函數(shù)在收斂圓內(nèi)解析。設(shè)則2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可由其冪函數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到，解令和函數(shù)

例4.5求冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的和函數(shù).此級(jí)數(shù)的收斂圓為兩邊積分得利用逐項(xiàng)求導(dǎo)§4.2泰勒級(jí)數(shù)與洛朗級(jí)數(shù)4.2.1泰勒級(jí)數(shù)及其展開(kāi)方法4.2.2洛朗級(jí)數(shù)及其展開(kāi)方法實(shí)函數(shù)在一點(diǎn)的鄰域內(nèi)展開(kāi)成Taylor級(jí)數(shù)是非常重要的問(wèn)題，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具.對(duì)于復(fù)變函數(shù),我們已經(jīng)知道冪級(jí)數(shù)在收斂圓域內(nèi)收斂于解析函數(shù).在本節(jié)我們將證明解析函數(shù)在解析點(diǎn)的某鄰域內(nèi)一定能夠展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)—Taylor級(jí)數(shù).這是解析函數(shù)的重要特征.4.2.1泰勒級(jí)數(shù)及其展開(kāi)方法一、泰勒(Taylor)定理含于G，則在K內(nèi)展開(kāi)成唯一的定理4.7設(shè)函數(shù)在區(qū)域

G

內(nèi)解析，任取其中，證明(略)

圓冪級(jí)數(shù)將函數(shù)展開(kāi)為T(mén)aylor級(jí)數(shù)的方法:1.直接方法;2.間接方法.1.直接方法由Taylor定理計(jì)算級(jí)數(shù)的系數(shù)然后將函數(shù)f(z)在a

展開(kāi)成冪級(jí)數(shù).二、將函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)常見(jiàn)函數(shù)的Taylor展開(kāi)式2.間接方法

借助于一些已知函數(shù)的展開(kāi)式,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分等)和其它的數(shù)學(xué)技巧(代換等),求函數(shù)的Taylor展開(kāi)式.間接法的優(yōu)點(diǎn):

不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑,因而比直接展開(kāi)更為簡(jiǎn)潔,使用范圍也更為廣泛.例4.6

求在點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù).解

例4.7

求在點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù).解

例4.8

將函數(shù)在處展開(kāi)成Taylor級(jí)數(shù)，并指出該級(jí)數(shù)的收斂范圍.收斂范圍為解

一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)”1.問(wèn)題分析引例根據(jù)前面的討論已知，函數(shù)

在

點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式為

事實(shí)上，該函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上僅有一個(gè)奇點(diǎn)，但正是這樣一個(gè)奇點(diǎn)，使得函數(shù)只能在內(nèi)展開(kāi)為

z

的冪級(jí)數(shù)，而在如此廣大的解析區(qū)域內(nèi)不能展開(kāi)為

z

的冪級(jí)數(shù)。

有沒(méi)有其它辦法呢？一粒老鼠屎，壞了一鍋湯！4.2.2洛朗級(jí)數(shù)及其展開(kāi)方法一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)”1.問(wèn)題分析設(shè)想

這樣一來(lái)，在整個(gè)復(fù)平面上就有由，有從而可得一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)”1.問(wèn)題分析啟示如果不限制一定要展開(kāi)為只含正冪次項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)的話，即如果引入負(fù)冪次項(xiàng)，那么就有可能將一個(gè)函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上展開(kāi)(除了奇點(diǎn)所在的圓周上)。

在引入了負(fù)冪次項(xiàng)以后，“冪級(jí)數(shù)”的收斂特性如何呢？

下面將討論下列形式的級(jí)數(shù):雙邊冪級(jí)數(shù)一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)”分析2.級(jí)數(shù)的收斂特性將其分為兩部分：正冪次項(xiàng)部分與負(fù)冪次項(xiàng)部分。(A)(B)(1)對(duì)于

(A)

式，其收斂域的形式為(2)對(duì)于

(B)

式，其收斂域的形式為根據(jù)上一節(jié)的討論可知：收斂半徑R收斂域收斂半徑R2收斂域兩收斂域無(wú)公共部分,兩收斂域有公共部分z0R1R2z0R2R1兩收斂域無(wú)公共部分,兩收斂域有公共部分HH一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)”結(jié)論2.級(jí)數(shù)的收斂特性(1)如果級(jí)數(shù)收斂，則其收斂域“一定”為環(huán)域：①

如果只含正冪次項(xiàng)(或者加上有限個(gè)負(fù)冪次項(xiàng))，特別地則其收斂域?yàn)椋夯颌?/p>

如果只含負(fù)冪次項(xiàng)(或者加上有限個(gè)正冪次項(xiàng))，則其收斂域?yàn)椋?/p>

上述兩類收斂域被看作是一種特殊的環(huán)域。一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)”結(jié)論2.級(jí)數(shù)的收斂特性(1)如果級(jí)數(shù)收斂，則其收斂域“一定”為環(huán)域：而且具有與冪級(jí)數(shù)同樣的運(yùn)算性質(zhì)和分析性質(zhì)。(2)級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的,

因此，下面將討論如何將一個(gè)函數(shù)在其解析環(huán)域內(nèi)展開(kāi)為上述形式的級(jí)數(shù)。R2z0R1D二、羅（洛）朗(Laurent)定理設(shè)函數(shù)在圓環(huán)域定理4.8C

為在圓環(huán)域內(nèi)繞的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線。解析,內(nèi)在此圓環(huán)域中展開(kāi)為則

一定能其中，證明(略)zC說(shuō)明:函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開(kāi)式在圓環(huán)域內(nèi)的羅朗(Laurent)級(jí)數(shù).注(1)展開(kāi)