2025年考研工學(xué)控制理論模擬訓(xùn)練試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分）1.已知某線(xiàn)性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為$G(s)=\frac{2}{s(s+1)}$，則該系統(tǒng)的類(lèi)型是（）。A.0型系統(tǒng)B.I型系統(tǒng)C.II型系統(tǒng)D.III型系統(tǒng)2.若系統(tǒng)的特征方程為$s^3+2s^2+3s+4=0$，則該系統(tǒng)（）。A.穩(wěn)定B.不穩(wěn)定C.可能穩(wěn)定，可能不穩(wěn)定D.無(wú)法判斷3.在頻域分析中，描述系統(tǒng)低頻段特性的性能指標(biāo)是（）。A.上升時(shí)間B.超調(diào)量C.峰值時(shí)間D.穩(wěn)態(tài)誤差4.已知某系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為$G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+2)}$，繪制其根軌跡時(shí)，實(shí)軸上的分離點(diǎn)位于（）。A.-2B.0C.-1D.-45.下列關(guān)于狀態(tài)空間法的敘述中，錯(cuò)誤的是（）。A.狀態(tài)空間法適用于線(xiàn)性定常系統(tǒng)B.狀態(tài)空間法可以分析系統(tǒng)的能控性和能觀(guān)測(cè)性C.狀態(tài)空間法只能用于系統(tǒng)的分析和綜合D.狀態(tài)空間法可以得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)二、填空題（每小題2分，共10分）1.控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為系統(tǒng)輸出信號(hào)的拉普拉斯變換與輸入信號(hào)的拉普拉斯變換之比，且假設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零。2.頻率響應(yīng)曲線(xiàn)中的幅頻特性描述了系統(tǒng)對(duì)不同頻率正弦輸入信號(hào)的幅值放大或衰減情況。3.根軌跡法是一種圖解分析系統(tǒng)性能的方法，它可以根據(jù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的參數(shù)變化，繪制出閉環(huán)系統(tǒng)特征根的變化軌跡。4.線(xiàn)性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述了系統(tǒng)狀態(tài)變量隨時(shí)間的變化規(guī)律，其一般形式為$x(t)=Ax(t)+Bu(t)$。5.最優(yōu)控制理論旨在尋找使某個(gè)性能指標(biāo)最優(yōu)的控制策略，以實(shí)現(xiàn)對(duì)被控對(duì)象的最佳控制。三、計(jì)算題（每小題10分，共30分）1.已知某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下所示，其中$G(s)=\frac{1}{s+1}$，$H(s)=1$。試求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)$G(s)$。[此處應(yīng)有一個(gè)結(jié)構(gòu)圖，但沒(méi)有按照要求不寫(xiě)]2.已知某系統(tǒng)的特征方程為$s^4+4s^3+6s^2+4s+1=0$。試用勞斯判據(jù)判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3.已知某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為$G(s)=\frac{2s+1}{s^2+3s+2}$。試求該系統(tǒng)在單位階躍輸入下的響應(yīng)，并計(jì)算其上升時(shí)間、峰值時(shí)間和超調(diào)量。四、證明題（10分）證明：若線(xiàn)性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為$x(t)=Ax(t)+Bu(t)$，且$A$可逆，則該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。五、綜合題（20分）已知某單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為$G(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}$。試求：1.當(dāng)$K=10$時(shí)，該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，并計(jì)算其穩(wěn)態(tài)誤差。2.為使該系統(tǒng)在單位階躍輸入下無(wú)超調(diào)，試確定$K$的取值范圍。3.若要求該系統(tǒng)的上升時(shí)間小于2秒，試確定$K$的取值范圍。試卷答案一、選擇題1.B2.B3.D4.C5.C二、填空題1.控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為系統(tǒng)輸出信號(hào)的拉普拉斯變換與輸入信號(hào)的拉普拉斯變換之比，且假設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零。2.頻率響應(yīng)曲線(xiàn)中的幅頻特性描述了系統(tǒng)對(duì)不同頻率正弦輸入信號(hào)的幅值放大或衰減情況。3.根軌跡法是一種圖解分析系統(tǒng)性能的方法，它可以根據(jù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的參數(shù)變化，繪制出閉環(huán)系統(tǒng)特征根的變化軌跡。4.線(xiàn)性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述了系統(tǒng)狀態(tài)變量隨時(shí)間的變化規(guī)律，其一般形式為$x(t)=Ax(t)+Bu(t)$。5.最優(yōu)控制理論旨在尋找使某個(gè)性能指標(biāo)最優(yōu)的控制策略，以實(shí)現(xiàn)對(duì)被控對(duì)象的最佳控制。三、計(jì)算題1.解：根據(jù)結(jié)構(gòu)圖，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為$G(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}=\frac{\frac{1}{s+1}}{1+\frac{1}{s+1}}=\frac{1}{s+2}$2.解：系統(tǒng)的特征方程為$s^4+4s^3+6s^2+4s+1=0$。列寫(xiě)勞斯表：|$s^4$|1|6|1||---|---|---|---||$s^3$|4|4|0||$s^2$|2|1|||$s^1$|$\frac{3}{2}$||||$s^0$|1|||勞斯表第一列元素符號(hào)變化一次，故該系統(tǒng)不穩(wěn)定。3.解：系統(tǒng)在單位階躍輸入下的響應(yīng)為$c(t)=1-e^{-2t}+e^{-3t}$。上升時(shí)間$t_r\approx0.693\ln2\approx0.23$秒。峰值時(shí)間$t_p\approx\frac{\pi}{\omega_d}\approx2.2$秒，其中$\omega_d=\sqrt{3}$。超調(diào)量$\sigma\%=e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\approx5\%$，其中$\zeta=\frac{3}{2\sqrt{2}}$。四、證明題證明：系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件是存在一個(gè)非奇異變換矩陣$P$，將狀態(tài)方程$x(t)=Ax(t)+Bu(t)$變換為$\bar{x}(t)=\bar{A}\bar{x}(t)+\bar{B}u(t)$其中$\bar{A}=PAP^{-1}$，$\bar{B}=PB$，使得$\bar{B}$為非奇異矩陣。由于$A$可逆，取$P=\begin{bmatrix}B&AB&A^2B&\cdots&A^{n-1}B\end{bmatrix}$，則$P$為非奇異矩陣。將狀態(tài)方程變換為$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}+B\begin{bmatrix}u_1\\u_2\\\vdots\\u_n\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}b_0&b_1&\cdots&b_{n-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\u_2\\\vdots\\u_n\end{bmatrix}$由于$P$非奇異，對(duì)任意的$\bar{x}(0)$，都存在唯一的$x(0)$，使得$\bar{x}(0)=Px(0)$。對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯變換，得$\bar{X}(s)=(sI-\bar{A})^{-1}\bar{X}(0)+(sI-\bar{A})^{-1}\bar{B}U(s)$由于$(sI-\bar{A})^{-1}$和$\bar{B}$非奇異，故對(duì)任意的$\bar{X}(0)$和$U(s)$，都存在唯一的$\bar{X}(s)$，使得上式成立。因此，系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。五、綜合題1.解：當(dāng)$K=10$時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為$G(s)=\frac{10}{s(s+1)(s+2)+10}=\frac{10}{s^3+3s^2+2s+10}$系統(tǒng)的特征方程為$s^3+3s^2+2s+10=0$，其根為$s_1\approx-1.17+j3.12$，$s_2\approx-1.17-j3.12$，$s_3\approx-0.67$。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為$e(\infty)=\lim_{s\to0}s\frac{1}{1+G(s)}\cdot\frac{1}{s}=0$。2.解：為使系統(tǒng)在單位階躍輸入下無(wú)超調(diào)，要求系統(tǒng)的阻尼比$\zeta\geq1$。系統(tǒng)的特征方程為$s^3+3s^2+2s+K=0$，其根為$s_{1,2}=-1.5\pmj\sqrt{3.25-\frac{K}{2}}$，$s_3=-0.5$。要使$\zeta\geq1$，需要滿(mǎn)足$\sqrt{3.25-\frac{K