2025年大學(xué)《統(tǒng)計學(xué)》專業(yè)題庫——統(tǒng)計學(xué)在氣象學(xué)研究中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.設(shè)隨機(jī)變量X表示某氣象站一天內(nèi)的降水量（單位：毫米），其概率密度函數(shù)為f(x)={c/x,10<x<20;0,otherwise}。求常數(shù)c的值。若以是否下雨（降水量是否大于0）作為判斷標(biāo)準(zhǔn)，求該氣象站某天降雨的概率。2.某地區(qū)連續(xù)五年夏季（6月至8月）的平均氣溫數(shù)據(jù)（單位：℃）分別為：[29.5,30.2,28.9,31.0,30.5]。計算這五年夏季平均氣溫的樣本均值、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。3.假設(shè)某氣象模型預(yù)測的某地未來一周平均氣溫（單位：℃）服從正態(tài)分布N(25,22)。求該地未來一周平均氣溫在20℃到30℃之間的概率。二、4.研究某地年降水量Y（單位：毫米）與年日照時數(shù)X（單位：小時）的關(guān)系，收集到10組觀測數(shù)據(jù)。計算Y與X的相關(guān)系數(shù)r。若已知Y關(guān)于X的線性回歸方程斜率為1.2，截距為-50，當(dāng)年日照時數(shù)為300小時時，預(yù)測該地年降水量為多少？并計算此時預(yù)測值的殘差（實(shí)際值與預(yù)測值之差）。5.某氣象站連續(xù)記錄了30天的日最高氣溫T（單位：℃），發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的線性趨勢?，F(xiàn)對數(shù)據(jù)進(jìn)行一階差分處理（d_t=T_t-T_{t-1}），假設(shè)得到的差分序列d_t近似服從正態(tài)分布N(0,σ2)。如何用樣本數(shù)據(jù)估計σ2？并判斷原序列是否存在顯著線性趨勢（α=0.05）。三、6.比較甲、乙兩地某月平均風(fēng)速（單位：米/秒）的差異。從兩地分別隨機(jī)抽取10個樣本點(diǎn)，測得數(shù)據(jù)如下（單位：米/秒）：甲地：[3.2,4.1,3.8,4.5,3.9,4.0,3.6,4.3,4.2,3.7]；乙地：[4.0,4.8,4.5,4.9,4.3,4.6,4.1,4.7,4.4,4.2]。假設(shè)兩地風(fēng)速數(shù)據(jù)均服從正態(tài)分布且方差相等，試檢驗(yàn)兩地平均風(fēng)速是否存在顯著差異（α=0.05）。7.某研究分析了影響極端降水事件發(fā)生概率Z（0-1變量，發(fā)生為1，未發(fā)生為0）的三個因素：降雨量X?（單位：毫米）、濕度X?（單位：%）和風(fēng)力X?（單位：米/秒）。通過Logistic回歸模型分析，得到三個回歸系數(shù)分別為β?=0.1,β?=0.05,β?=-0.08，模型截距為ln(π/(1-π))=-1.5。當(dāng)降雨量X?=50毫米，濕度X?=80%，風(fēng)力X?=5米/秒時，求該極端降水事件發(fā)生的概率。四、8.某氣象部門收集了某海域過去20年的夏季（6-8月）海表溫度數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的上升趨勢。為了描述這種趨勢，研究人員對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了自然對數(shù)變換。假設(shè)變換后的數(shù)據(jù)（ln(T_t)）近似服從正態(tài)分布，且其樣本線性回歸方程為ln(T_t)=2.0+0.05*t（其中t為年份，t=1代表第1年）。求第21年（即第21個夏季）預(yù)測的海表溫度，并解釋回歸系數(shù)0.05的含義。9.對某氣象站一天的每小時相對濕度數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)具有明顯的日周期性。為了提取主要周期成分，研究人員采用了時間序列分解方法，將數(shù)據(jù)分解為趨勢項T、季節(jié)項S和隨機(jī)項R。若經(jīng)分解后得到T=60,S={50,70,50,...}（每6小時重復(fù)一次），R={5,-3,2,...}。求該氣象站這一天第9小時預(yù)測的相對濕度值。10.有四種不同的云型（A,B,C,D）可能影響降水概率。為了研究不同云型與降水概率的關(guān)系，收集了包含云型信息和是否降水（1表示降水，0表示未降水）的數(shù)據(jù)。假設(shè)使用卡方檢驗(yàn)分析這些數(shù)據(jù)，計算得到卡方統(tǒng)計量為6.5，自由度為3。在顯著性水平α=0.05下，檢驗(yàn)不同云型是否對降水概率有顯著影響。試卷答案一、1.c=1/10概率P(X>0)=∫[10,∞]c/xdx=c[ln|x|]_[10,∞]=c(0-ln10)=-c*ln10.但概率應(yīng)非負(fù)，此處需修正理解為P(10<X<20)=∫[10,20]c/xdx=c[lnx]_[10,20]=c(ln20-ln10)=c*ln(20/10)=c*ln2.因此c*ln2=1,得c=1/ln2.修正題目條件或理解為求P(10<X<20)。若理解為求P(X>0)=∫[10,∞]c/xdx=c[lnx]_[10,∞]=c(0-ln10)=-c*ln10。為使概率非負(fù)，題目條件需保證積分下限大于0。若題目意圖是求P(10<X<20)，則c=1/ln2。此處按求P(X>0)且結(jié)果為負(fù)，推斷題目可能存在筆誤或需重新設(shè)定。若強(qiáng)行按題目f(x)形式，則c無解。通常此類題目會保證結(jié)果為正。假設(shè)題目意在考察正態(tài)分布或標(biāo)準(zhǔn)形式，或調(diào)整f(x)使其積分結(jié)果為正。此處按原式計算，結(jié)果為負(fù)，提示題目條件需檢查。但若必須給出一個基于原式的答案，則c=1/ln2。若題目僅求P(X>0)，標(biāo)準(zhǔn)形式下此密度函數(shù)無法直接得出正值概率，需檢查函數(shù)定義域或題意。為符合試卷格式，保留計算過程，但結(jié)果為負(fù)。解析思路：利用概率密度函數(shù)的歸一性∫_(-∞)^∞f(x)dx=1，計算c的值。對于P(X>0)，在f(x)定義域內(nèi)進(jìn)行積分。需注意積分下限10，導(dǎo)致積分結(jié)果為負(fù)。此題可能存在條件設(shè)置問題。c=1/ln2P(X>0)=∫[10,∞](1/(x*ln2))dx=[ln(x/ln2)]_[10,∞]=lim(x→∞)ln(x/ln2)-ln(10/ln2)=∞-ln(10/ln2)=-ln(10/ln2)<0.此結(jié)果表明給定f(x)下，P(X>0)不可能為正。修正思路：題目可能意圖是求P(10<X<20)=∫[10,20](1/(x*ln2))dx=ln(20/10)=ln2。此時c=1/ln2。2.樣本均值≈30.0℃樣本方差s2≈1.722℃2樣本標(biāo)準(zhǔn)差s≈1.312℃解析思路：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，計算樣本均值（所有數(shù)據(jù)之和除以樣本數(shù)量），樣本方差（各數(shù)據(jù)與均值差的平方和除以樣本數(shù)量減1），樣本標(biāo)準(zhǔn)差（樣本方差的平方根）。3.P(20≤Y≤30)≈0.6826解析思路：正態(tài)分布N(25,22)表示均值為25，標(biāo)準(zhǔn)差為2。利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表或公式，將區(qū)間[20,30]標(biāo)準(zhǔn)化，計算Z值，然后查找標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中對應(yīng)的累積概率。P(20≤Y≤30)=P((20-25)/2≤Z≤(30-25)/2)=P(-2.5≤Z≤2.5)。二、4.r需數(shù)據(jù)計算預(yù)測值Y_pred=25+1.2*300=360毫米殘差e=Y-Y_pred需實(shí)際Y值解析思路：相關(guān)系數(shù)r通過公式r=Σ[(x_i-x?)(y_i-?)]/sqrt[Σ(x_i-x?)2Σ(y_i-?)2]計算，其中x?,?分別是X,Y的樣本均值。根據(jù)回歸方程Y=β?+β?X，代入X=300，計算預(yù)測值Y_pred=-50+1.2*300。殘差e是實(shí)際觀測值Y與預(yù)測值Y_pred的差，e=Y-(-50+1.2*300)。5.估計σ2使用樣本方差s2_差=Σ(d_t-d?_差)2/(n-1)，其中d?_差是差分序列的樣本均值。檢驗(yàn)使用t檢驗(yàn)：檢驗(yàn)原序列均值是否為0。計算t統(tǒng)計量t=d?_差/(s_差/sqrt(n))，與t分布表比較（自由度df=n-1）。解析思路：一階差分d_t=T_t-T_{t-1}。若差分序列近似正態(tài)分布N(0,σ2)，則其樣本均值d?_差應(yīng)接近0。用樣本差分?jǐn)?shù)據(jù)計算樣本方差s2_差作為σ2的估計。判斷原序列線性趨勢等價于判斷差分序列的均值是否為0。使用單樣本t檢驗(yàn)，檢驗(yàn)統(tǒng)計量t=d?_差/(s_差/sqrt(n))，其中s_差是差分序列的標(biāo)準(zhǔn)差。將計算出的t值與t分布表上α=0.05的臨界值（根據(jù)自由度df=n-1）比較，判斷是否拒絕原假設(shè)（原序列均值等于0），從而判斷是否存在顯著線性趨勢。三、6.H?:μ_甲=μ_乙(均值相等)H?:μ_甲≠μ_乙(均值不等)計算樣本均值x?_甲,x?_乙，樣本方差s2_甲,s2_乙。計算合并方差s2_c=[(n?-1)s2_甲+(n?-1)s2_乙]/(n?+n?-2)計算檢驗(yàn)統(tǒng)計量t=(x?_甲-x?_乙)/sqrt[s2_c*(1/n?+1/n?)]查t分布表，自由度df=n?+n?-2，α=0.05的臨界值t_crit。若|t|>t_crit，拒絕H?。解析思路：這是兩個獨(dú)立正態(tài)總體均值差的假設(shè)檢驗(yàn)問題，已知總體方差相等。使用兩樣本t檢驗(yàn)。首先提出零假設(shè)H?（均值相等）和備擇假設(shè)H?（均值不等）。計算兩個樣本的均值和方差。使用公式計算合并方差，它是對兩個總體方差的共同估計。然后計算t檢驗(yàn)統(tǒng)計量，其分子是樣本均值之差，分母是結(jié)合了兩個樣本方差的標(biāo)準(zhǔn)化因子。根據(jù)自由度查找t分布的臨界值。將計算得到的t統(tǒng)計量與臨界值比較，做出統(tǒng)計決策（拒絕或不拒絕H?）。7.P=1/(1+exp(-(β?+β?*X?+β?*X?+β?*X?)))P=1/(1+exp(-(-1.5+0.1*50+0.05*80-0.08*5)))P=1/(1+exp(-(-1.5+5+4-0.4)))P=1/(1+exp(-7.9))P≈1/(1+0.00045)P≈0.99955解析思路：Logistic回歸模型用于預(yù)測分類變量（0-1變量）的概率。模型形式通常為P=1/(1+exp(-(β?+β?X?+...+β?X?)))。已知模型參數(shù)β?,β?,β?,β?和自變量X?,X?,X?的值，將它們代入模型公式即可計算出事件發(fā)生的概率P。計算過程涉及自然指數(shù)exp()的計算。四、8.預(yù)測值T_{21}=exp(2.0+0.05*21)=exp(2.0+1.05)=exp(3.05)解析思路：對數(shù)變換后的數(shù)據(jù)服從線性回歸模型ln(T_t)=β?+β?t。預(yù)測第21年（t=21）的海表溫度T_{21}，需先計算ln(T_{21})的預(yù)測值，即Y_pred_{21}=2.0+0.05*21。然后將預(yù)測出的對數(shù)值exp(Y_pred_{21})轉(zhuǎn)換回原始尺度，得到預(yù)測的海表溫度T_{21}?；貧w系數(shù)β?=0.05表示年份每增加1年，對數(shù)變換后的海表溫度平均增加0.05個單位。換算回原始尺度，海表溫度大約增加exp(0.05)-1≈0.0513倍，即每年平均溫度上升約0.0513倍的原始單位。9.預(yù)測值R_9=T+S_9+R_9=60+50+R_9解析思路：時間序列分解方法將觀測值分解為趨勢項（T）、季節(jié)項（S）和隨機(jī)項（R）。預(yù)測某一點(diǎn)的值，通常是假設(shè)趨勢和季節(jié)性模式持續(xù)，隨機(jī)項為0或以其均值（通常為0）處理。題目給出T=60,S={50,70,50,...}（每6小時重復(fù)一次），隨機(jī)項R={5,-3,2,...}。第9小時屬于第2個周期（1,2,3,4,5,6,7,8,9），其季節(jié)項S_9=70（因?yàn)镾_7=S_1=50,S_8=S_2=70,S_9=S_3=50）。預(yù)測值=T+S_9+R_9。題目未給出R_9的具體值，通常假設(shè)R_9為其均值，即0。因此預(yù)測值=60+70+0=130。如果必須包含R_9，則答案為130+R_9。10.拒絕H?解析思路：卡方檢驗(yàn)用于分析分類變量之間的獨(dú)立性。零假設(shè)H?是“云型與降水概率獨(dú)立”，即云型不影響降水概率。備擇假設(shè)H?是“云型與降水概率不獨(dú)立”，即云型影響降水概率。計算得到的卡方統(tǒng)計量χ2=6.5，自由度df=(行數(shù)-1)*(列數(shù)-1)=(4-1)*(1-1)=3*0=0。這里自由度為3。在顯著性水平α=0.05下，查