2025年大學《應用統(tǒng)計學》專業(yè)題庫——因子分析與數(shù)據(jù)降維技術(shù)考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、名詞解釋（每小題3分，共15分）1.因子分析2.因子載荷3.KMO統(tǒng)計量4.巴特利特球形檢驗5.因子旋轉(zhuǎn)二、填空題（每空2分，共20分）1.因子分析主要解決的問題是當多個變量之間存在高度相關性時，通過提取少數(shù)幾個未觀測的潛在變量來解釋這些相關性，從而達到____的目的。2.進行因子分析前，通常需要對原始數(shù)據(jù)進行____處理，以消除不同變量量綱的影響。3.KMO統(tǒng)計量的取值范圍是____，其值越接近1，表示變量間的共同度越高，越適合進行因子分析。4.巴特利特球形檢驗的零假設是原始變量之間的相關系數(shù)矩陣等于單位矩陣，若檢驗結(jié)果____，則拒絕零假設，認為數(shù)據(jù)適合進行因子分析。5.常用的因子旋轉(zhuǎn)方法包括____和____兩種，前者保持因子間正交，后者允許因子間存在相關。6.因子得分是依據(jù)因子得分系數(shù)矩陣和各變量的標準化值計算得到的，它可以用于____、____等分析。7.在因子分析中，每個原始變量的變異可以分解為____和____兩部分。三、判斷題（每小題2分，共10分。請在括號內(nèi)打“√”或“×”）1.因子分析的目標是找出能夠解釋樣本所有變異的少數(shù)幾個因子。（）2.因子載荷表示第i個因子解釋第j個變量變異的程度。（）3.當KMO值小于0.5時，通常認為數(shù)據(jù)不適合進行因子分析。（）4.主成分分析和因子分析都是降維方法，但兩者在目標上存在本質(zhì)區(qū)別。（）5.因子旋轉(zhuǎn)的目的主要是為了得到更容易解釋的因子。（）四、簡答題（每小題5分，共20分）1.簡述因子分析的適用條件。2.解釋因子載荷矩陣中元素的含義。3.簡述因子分析的主要步驟。4.與主成分分析相比，因子分析有哪些主要特點？五、計算題（共25分）假設對某城市居民進行生活滿意度調(diào)查，選取了五個指標：X1（收入水平）、X2（居住條件）、X3（教育程度）、X4（醫(yī)療條件）、X5（休閑時間），對原始數(shù)據(jù)進行標準化處理后，得到的相關系數(shù)矩陣如下：|指標|X1|X2|X3|X4|X5||:-----|:---|:---|:---|:---|:---||X1|1.00|0.85|0.70|0.65|0.60||X2|0.85|1.00|0.75|0.70|0.55||X3|0.70|0.75|1.00|0.80|0.65||X4|0.65|0.70|0.80|1.00|0.75||X5|0.60|0.55|0.65|0.75|1.00|要求：1.（3分）計算KMO值和巴特利特球形檢驗的卡方統(tǒng)計量（χ2）及自由度（df），并判斷數(shù)據(jù)是否適合進行因子分析。2.（7分）假設數(shù)據(jù)適合進行因子分析，使用主成分法提取因子，并令特征值大于1的成分被提取出來。計算特征值、方差貢獻率和累計方差貢獻率，并根據(jù)累計方差貢獻率確定提取的因子數(shù)量。3.（10分）對提取的因子進行方差最大化正交旋轉(zhuǎn)，給出旋轉(zhuǎn)后的因子載荷矩陣，并嘗試對因子進行命名。4.（5分）解釋第一個因子主要反映了哪些原始變量的信息。試卷答案一、名詞解釋1.因子分析：一種多元統(tǒng)計方法，旨在通過觀察到的多個相關變量，推斷出少數(shù)幾個不可觀測的潛在共同因子，以解釋這些變量之間的大部分相關性，從而達到數(shù)據(jù)降維或結(jié)構(gòu)簡化的目的。2.因子載荷：因子載荷表示第i個因子對第j個原始變量的解釋程度或相關強度，是因子分析模型中原始變量Xj與因子F_i的相關系數(shù)，也等于因子得分與原始變量標準化值的協(xié)方差除以因子得分的方差。3.KMO統(tǒng)計量：Kaiser-Meyer-Olkin度量，用于檢驗變量間的偏相關性，衡量變量是否適合進行因子分析。KMO值越接近1，表示變量間的共同度越高，偏相關性越強，越適合進行因子分析；KMO值越接近0，表示變量間的共同度越低，相關越接近獨立，越不適合進行因子分析。4.巴特利特球形檢驗：一種統(tǒng)計檢驗方法，用于檢驗一組變量是否適合進行因子分析。其零假設是相關系數(shù)矩陣是一個單位矩陣，即變量之間相互獨立。若檢驗結(jié)果顯著（p值小于顯著性水平，如0.05），則拒絕零假設，認為數(shù)據(jù)適合進行因子分析。5.因子旋轉(zhuǎn)：因子旋轉(zhuǎn)是因子分析中的一個步驟，目的是改變因子載荷矩陣中因子與變量之間的對應關系，使得因子結(jié)構(gòu)更清晰、更容易解釋。常見的旋轉(zhuǎn)方法有正交旋轉(zhuǎn)（如方差最大化旋轉(zhuǎn)Varimax）和斜交旋轉(zhuǎn)（如Promax旋轉(zhuǎn)）。二、填空題1.降維2.標準化3.0到1之間4.顯著性水平（如p值小于0.05）5.Varimax方差最大化正交旋轉(zhuǎn)；Promax斜交旋轉(zhuǎn)6.聚類分析；回歸分析7.共同因子；特殊因子（或誤差方差）三、判斷題1.×*解析思路：因子分析的目標是解釋原始變量之間相關性的大部分，通常提取的因子數(shù)量少于原始變量個數(shù)，因此提取的因子只能解釋樣本的部分變異，而非所有變異。2.√*解析思路：因子載荷的大小和符號反映了第i個因子對第j個原始變量的影響程度和方向，是解釋因子含義的關鍵。3.×*解析思路：KMO值小于0.5表示變量間的共同度較低，不太適合因子分析，但并非絕對不適合。通常認為KMO值在0.6以上比較理想，0.5-0.6之間可以嘗試，0.5以下則不太建議進行因子分析。4.√*解析思路：主成分分析的目標是構(gòu)造新的綜合變量（主成分），這些主成分是原始變量的線性組合，旨在保留原始數(shù)據(jù)的大部分方差信息，不預設潛在結(jié)構(gòu)。因子分析則假設存在潛在的共同因子驅(qū)動變量的相關性，旨在解釋這種結(jié)構(gòu)。5.√*解析思路：因子旋轉(zhuǎn)的目的就是通過調(diào)整因子與變量的關聯(lián)強度，使得因子載荷矩陣中載荷的絕對值盡可能向極端分化，即某些變量主要載荷在某個因子上，而在其他因子上載荷很小，從而讓因子的實際含義更加清晰和易于命名。四、簡答題1.簡述因子分析的適用條件。*解析思路：回答應包含兩個層面：數(shù)據(jù)層面和統(tǒng)計層面。*數(shù)據(jù)層面：變量間應存在較強的相關關系，即共同度較高。如果變量間相關性很弱，則提取不出有意義的因子。可以通過計算相關系數(shù)矩陣或查看相關系數(shù)大小判斷。*統(tǒng)計層面：樣本量應足夠大；變量通常需要進行標準化處理，以消除量綱影響；應檢驗數(shù)據(jù)是否適合因子分析，常用KMO檢驗和Bartlett球形檢驗。KMO值應大于0.6或更高，Bartlett球形檢驗結(jié)果顯著（p<0.05）。2.解釋因子載荷矩陣中元素的含義。*解析思路：解釋因子載荷的定義、性質(zhì)和作用。*定義：每個元素a_ij表示第i個因子F_i與第j個原始變量X_j之間的相關系數(shù)。*性質(zhì)：載荷的絕對值越大，表示該因子與對應變量的關系越強；載荷有正負之分，表示因子對變量的影響方向。*作用：是解釋因子含義的關鍵依據(jù)。載荷矩陣揭示了因子與原始變量的關聯(lián)模式，通過分析高載荷的變量組合，可以給因子命名。3.簡述因子分析的主要步驟。*解析思路：按標準流程列出因子分析的步驟。*步驟一：對原始數(shù)據(jù)進行檢驗和預處理，主要是進行標準化處理，并檢驗數(shù)據(jù)是否適合進行因子分析（KMO和Bartlett檢驗）。*步驟二：計算相關系數(shù)矩陣或協(xié)方差矩陣。*步驟三：提取因子，確定提取的因子數(shù)量。常用方法有主成分法（基于特征值大于1或累計方差貢獻率超過某個閾值）、主因子法（使用估計的共同度）等。*步驟四：對提取出的因子進行旋轉(zhuǎn)，使因子結(jié)構(gòu)更清晰、易于解釋。常用方法有Varimax方差最大化正交旋轉(zhuǎn)和Promax斜交旋轉(zhuǎn)。*步驟五：解釋因子結(jié)果，包括命名因子、分析因子載荷矩陣、計算因子得分（如果需要）。4.與主成分分析相比，因子分析有哪些主要特點？*解析思路：從目標、因子性質(zhì)、因子數(shù)量、解釋性等方面比較兩者的區(qū)別。*目標不同：主成分分析旨在通過線性組合保留原始數(shù)據(jù)的大部分方差信息，因子分析旨在解釋變量間的相關性，發(fā)現(xiàn)潛在的共同因子結(jié)構(gòu)。*因子性質(zhì)不同：主成分是原始變量的線性組合，具有可解釋的方差貢獻；因子通常被假定為不可觀測的潛在變量，解釋的是變量間的共同變異（共同度）。*因子數(shù)量不同：主成分的數(shù)量與原始變量數(shù)量相同或較少；因子數(shù)量的確定是因子分析的關鍵步驟，通常少于原始變量數(shù)量。*結(jié)果解釋不同：主成分結(jié)果的解釋相對直接（哪個主成分主要反映了哪些原始變量的信息）；因子結(jié)果的解釋更側(cè)重于理論意義（因子命名），需要結(jié)合專業(yè)背景。五、計算題假設對某城市居民進行生活滿意度調(diào)查，選取了五個指標：X1（收入水平）、X2（居住條件）、X3（教育程度）、X4（醫(yī)療條件）、X5（休閑時間），對原始數(shù)據(jù)進行標準化處理后，得到的相關系數(shù)矩陣如下：要求：1.（3分）計算KMO值和巴特利特球形檢驗的卡方統(tǒng)計量（χ2）及自由度（df），并判斷數(shù)據(jù)是否適合進行因子分析。*解析思路：此題需要根據(jù)給定的相關系數(shù)矩陣計算KMO和Bartlett檢驗。通常這部分需要使用統(tǒng)計軟件完成。假設軟件計算結(jié)果為：KMO=0.65，χ2=31.24，df=10。判斷標準：KMO>0.6，適合；Bartlett檢驗p<0.05，拒絕原假設，適合。*答案：KMO=0.65，χ2=31.24，df=10。數(shù)據(jù)適合進行因子分析。2.（7分）假設數(shù)據(jù)適合進行因子分析，使用主成分法提取因子，并令特征值大于1的成分被提取出來。計算特征值、方差貢獻率和累計方差貢獻率，并根據(jù)累計方差貢獻率確定提取的因子數(shù)量。*解析思路：根據(jù)相關系數(shù)矩陣計算特征值。相關系數(shù)矩陣是實對稱矩陣，其特征值非負。假設計算得到特征值分別為：λ1=3.2,λ2=1.8,λ3=0.6,λ4=0.3,λ5=0.1。*方差貢獻率=特征值/特征值之和。*累計方差貢獻率=累加各方差貢獻率。*根據(jù)主成分法，提取特征值大于1的成分。*計算過程：*特征值之和=3.2+1.8+0.6+0.3+0.1=6.0*λ1方差貢獻率=3.2/6.0=0.5333*λ2方差貢獻率=1.8/6.0=0.3*λ3方差貢獻率=0.6/6.0=0.1*λ4方差貢獻率=0.3/6.0=0.05*λ5方差貢獻率=0.1/6.0=0.0167*累計方差貢獻率：λ1=0.5333,λ1+λ2=0.8333,λ1+λ2+λ3=0.9333,λ1+λ2+λ3+λ4=0.9833,λ1+λ2+λ3+λ4+λ5=1.0*提取規(guī)則：λ1=3.2>1,λ2=1.8>1,λ3=0.6≤1。因此提取前兩個因子。*答案：提取兩個因子。特征值分別為3.2和1.8。方差貢獻率分別為53.33%和30.00%。累計方差貢獻率為83.33%。確定提取2個因子。3.（10分）對提取的因子進行方差最大化正交旋轉(zhuǎn)，給出旋轉(zhuǎn)后的因子載荷矩陣，并嘗試對因子進行命名。*解析思路：此題需要使用統(tǒng)計軟件進行旋轉(zhuǎn)計算。假設軟件輸出旋轉(zhuǎn)后的因子載荷矩陣如下（數(shù)值可能因旋轉(zhuǎn)方法或隨機性略有不同）：|指標|因子1|因子2||:-----|:----|:----||X1|0.85|0.15||X2|0.78|0.25||X3|0.55|0.65||X4|0.60|0.70||X5|0.40|0.75|*解釋與命名：分析載荷矩陣，看哪些變量在哪個因子上載荷高。*因子1：X1（0.85）、X2（0.78）、X4（0.60）、X5（0.40）載荷較高，都與生活資源的豐富程度有關，可命名為“生活資源因子”。*因子2：X3（0.65）、X4（0.70）、X5（0.75）載荷較高，都與生活品質(zhì)和便利性有關，可命名為“生活品