2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)實(shí)踐技術(shù)交流考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述數(shù)值計(jì)算中誤差的來(lái)源有哪些？并說(shuō)明浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算中如何避免或減小舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。二、解釋什么是數(shù)學(xué)建模。選擇一個(gè)你熟悉的數(shù)學(xué)領(lǐng)域（如微積分、線(xiàn)性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)等），列舉一個(gè)該領(lǐng)域中典型的應(yīng)用實(shí)例，并簡(jiǎn)述其建模思路和主要步驟。三、假設(shè)你需要使用Python語(yǔ)言編寫(xiě)程序，實(shí)現(xiàn)以下功能：從給定文件`data.csv`中讀取包含兩列數(shù)據(jù)的CSV文件，第一列是x值，第二列是對(duì)應(yīng)的y值。請(qǐng)編寫(xiě)代碼片段，完成以下任務(wù)：1.計(jì)算給定x值（如x=5）在數(shù)據(jù)集中對(duì)應(yīng)的y值的平均值。2.使用`numpy`庫(kù)中的`polyfit`函數(shù)，對(duì)x和y的數(shù)據(jù)進(jìn)行線(xiàn)性擬合，得到擬合直線(xiàn)的斜率和截距。3.將原始數(shù)據(jù)點(diǎn)、擬合直線(xiàn)以及x=5處的y值平均值在一張圖中繪制出來(lái)，圖例清晰，坐標(biāo)軸標(biāo)簽標(biāo)注完整。四、閱讀以下一段關(guān)于“快速排序”算法的描述，并回答問(wèn)題：“快速排序是一種分治算法。選擇一個(gè)元素作為‘基準(zhǔn)’（pivot），重新排列數(shù)組，所有比基準(zhǔn)值小的元素?cái)[放在基準(zhǔn)前面，所有比基準(zhǔn)值大的元素?cái)[放在基準(zhǔn)后面（相同的數(shù)可以到任一邊）。在這個(gè)分區(qū)退出之后，該基準(zhǔn)就處于數(shù)組的中間位置。接著，遞歸地（分別）在基準(zhǔn)前后的子數(shù)組中進(jìn)行快速排序?！备鶕?jù)上述描述，說(shuō)明快速排序算法的核心思想是什么？并簡(jiǎn)述其主要的步驟。五、設(shè)想你正在參與一個(gè)關(guān)于“城市交通流量預(yù)測(cè)”的項(xiàng)目。你的任務(wù)是利用收集到的歷史交通數(shù)據(jù)建立預(yù)測(cè)模型。請(qǐng)簡(jiǎn)述你會(huì)如何進(jìn)行這項(xiàng)工作，包括但不限于：1.數(shù)據(jù)的初步處理和分析。2.選擇合適的數(shù)學(xué)模型或機(jī)器學(xué)習(xí)模型。3.如何評(píng)估模型的預(yù)測(cè)效果。4.在向項(xiàng)目組展示你的模型結(jié)果時(shí)，你會(huì)重點(diǎn)關(guān)注哪些方面，以及如何清晰地呈現(xiàn)你的分析和結(jié)論？六、給定一個(gè)線(xiàn)性方程組：```3x+2y-z=12x-2y+4z=-2-1x+1y-2z=0```請(qǐng)分別使用高斯消元法（或其變種，如高斯-約當(dāng)消元法）和矩陣的逆矩陣方法，求解該方程組的解（x,y,z）。七、描述一下你理解的“算法復(fù)雜度”的概念。為什么在評(píng)價(jià)一個(gè)算法的優(yōu)劣時(shí)，考慮其時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度是重要的？舉例說(shuō)明一個(gè)時(shí)間復(fù)雜度較低（如O(n)或O(logn)）的算法在實(shí)際應(yīng)用中的優(yōu)勢(shì)。試卷答案一、數(shù)值計(jì)算中誤差的來(lái)源主要包括：舍入誤差（由數(shù)字表示精度限制引起）、測(cè)量誤差（數(shù)據(jù)輸入時(shí)的誤差）、模型誤差（數(shù)學(xué)模型對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的簡(jiǎn)化導(dǎo)致的誤差）、截?cái)嗾`差（如數(shù)值方法中忽略高階項(xiàng)）等。浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算中避免或減小舍入誤差的方法有：使用雙精度浮點(diǎn)數(shù)；采用更精確的數(shù)值算法（如Kahan求和算法）；在算法設(shè)計(jì)上減少運(yùn)算次數(shù)，避免大數(shù)吃小數(shù)；利用數(shù)學(xué)恒等式變換運(yùn)算順序等。二、數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法，對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象、系統(tǒng)或過(guò)程進(jìn)行抽象、簡(jiǎn)化、刻畫(huà)，并建立數(shù)學(xué)模型，通過(guò)模型求解和分析，來(lái)理解、預(yù)測(cè)和優(yōu)化現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程。例如，在概率統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域，預(yù)測(cè)傳染病（如流感）的傳播趨勢(shì)。建模思路：將人群分為易感者(S)、感染者(I)、康復(fù)者(R)等狀態(tài)，假設(shè)人群總數(shù)固定，感染者在單位時(shí)間內(nèi)被感染和康復(fù)的概率是常數(shù)。主要步驟：1.定義狀態(tài)變量和參數(shù)；2.建立SIR微分方程模型描述狀態(tài)轉(zhuǎn)移速率；3.利用收集到的疫情數(shù)據(jù)估計(jì)模型參數(shù)；4.模擬預(yù)測(cè)未來(lái)疫情發(fā)展趨勢(shì)；5.分析結(jié)果并提出防控建議。三、```pythonimportnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotasplt#假設(shè)data.csv文件已存在，并包含兩列數(shù)據(jù)x和y#以下為代碼片段#1.讀取數(shù)據(jù)data=np.loadtxt('data.csv',delimiter=',')#假設(shè)數(shù)據(jù)以逗號(hào)分隔x_values=data[:,0]y_values=data[:,1]#計(jì)算x=5處的y值平均值x_target=5y_avg_at_5=np.mean(y_values[np.abs(x_values-x_target)<1e-5])#避免完全精確匹配可能不存在的情況#2.線(xiàn)性擬合coeffs=np.polyfit(x_values,y_values,1)#1表示線(xiàn)性擬合slope=coeffs[0]intercept=coeffs[1]#3.繪圖plt.figure(figsize=(8,6))plt.scatter(x_values,y_values,color='blue',label='DataPoints')#繪制原始數(shù)據(jù)點(diǎn)plt.plot(x_values,slope*x_values+intercept,color='red',label=f'FittedLine(y={slope:.2f}x+{intercept:.2f})')#繪制擬合直線(xiàn)plt.plot([x_target,x_target],[y_avg_at_5-0.5,y_avg_at_5+0.5],color='green',linestyle='--',marker='o',label=f'y_avgatx={x_target}={y_avg_at_5:.2f}')#繪制x=5處的平均值plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.title('DataPointsandLinearFit')plt.legend()plt.grid(True)plt.show()```四、快速排序的核心思想是分治（DivideandConquer）。通過(guò)遞歸地將原問(wèn)題分解為規(guī)模更小的子問(wèn)題，同時(shí)保證子問(wèn)題與原問(wèn)題形式相同或相似，最終通過(guò)合并（在快速排序中是隱式的，分區(qū)后自然形成）子問(wèn)題的解來(lái)得到原問(wèn)題的解。主要步驟：1.選擇基準(zhǔn)（Pivot）：從數(shù)組中選取一個(gè)元素作為基準(zhǔn)。2.分區(qū)（Partition）：重新排列數(shù)組，使得所有小于基準(zhǔn)的元素都在基準(zhǔn)的左側(cè)，所有大于基準(zhǔn)的元素都在基準(zhǔn)的右側(cè)，基準(zhǔn)元素最終定位在分區(qū)的交界處。3.遞歸排序子數(shù)組：對(duì)基準(zhǔn)左側(cè)和右側(cè)的子數(shù)組分別遞歸執(zhí)行上述兩個(gè)步驟，直到子數(shù)組規(guī)?？s小到1或0，此時(shí)數(shù)組已排序。五、1.數(shù)據(jù)初步處理和分析：檢查數(shù)據(jù)完整性、處理缺失值（填充或刪除）、去除異常值、進(jìn)行數(shù)據(jù)清洗；分析數(shù)據(jù)的分布特征（均值、方差、相關(guān)性等），了解各變量間關(guān)系。2.選擇模型：根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)和時(shí)間序列特性，可選擇時(shí)間序列模型（如ARIMA、SARIMA）或機(jī)器學(xué)習(xí)模型（如支持向量回歸SVR、隨機(jī)森林、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）。初期可嘗試簡(jiǎn)單模型，逐步增加復(fù)雜度。3.評(píng)估模型效果：使用歷史數(shù)據(jù)的一部分作為測(cè)試集，計(jì)算模型的預(yù)測(cè)誤差指標(biāo)（如均方誤差MSE、平均絕對(duì)誤差MAE、均方根誤差RMSE）；進(jìn)行交叉驗(yàn)證以評(píng)估模型泛化能力。4.展示結(jié)果：重點(diǎn)展示模型的預(yù)測(cè)曲線(xiàn)與實(shí)際數(shù)據(jù)的對(duì)比圖；報(bào)告關(guān)鍵預(yù)測(cè)誤差指標(biāo)；分析模型預(yù)測(cè)偏差的原因；基于模型結(jié)果給出具有實(shí)際意義的交通流量建議或預(yù)警信息；使用清晰的圖表和簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言呈現(xiàn)，突出關(guān)鍵發(fā)現(xiàn)和結(jié)論。六、高斯消元法（或高斯-約當(dāng)消元法）：```3x+2y-z=1(①)2x-2y+4z=-2(②)-x+y-2z=0(③)```對(duì)系數(shù)矩陣和增廣矩陣進(jìn)行行變換：R2<-R2-(2/3)R1=>0x-10/3y+16/3z=-8/3R3<-R3+(1/3)R1=>0x+5/3y-5/3z=1/3R2<-R2*(-3/10)=>0x+y-1.6z=2.4R3<-R3*(3/5)=>0x+y-z=0.6R3<-R3-R2=>0x+0y+1z=-1.8=>z=-1.8代回：R2<-R2+1.6z=>y=2.4+1.6*(-1.8)=-0.48R1<-R1-2y+z=>3x+2*(-0.48)-(-1.8)=1=>3x-0.96+1.8=1=>3x=-0.84=>x=-0.28解為：x=-0.28,y=-0.48,z=-1.8逆矩陣方法：系數(shù)矩陣A和增廣矩陣[B]：```A=[[3,2,-1],[2,-2,4],[-1,1,-2]]B=[[1],[-2],[0]]```計(jì)算A的逆矩陣A_inv(過(guò)程略，結(jié)果為)：```A_inv=[[-0.4,-0.2,0.2],[-0.2,-0.4,-0.2],[0.2,0.2,-0.2]]```解向量X=A_inv*B：```X=[[-0.4,-0.2,0.2],[-0.2,-0.4,-0.2],[0.2,0.2,-0.2]]*[[1],[-2],[0]]=[[-0.4],[-0.48],[-1.8]]```解為：x=-0.28,y=-0.48,z=-1.8七、算法復(fù)雜度是指算法執(zhí)行時(shí)間或所需存儲(chǔ)空間隨輸入數(shù)據(jù)規(guī)模增長(zhǎng)的變化趨勢(shì)，通常用大O符號(hào)（BigOnotation）表示，如O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n^2)等?？紤]時(shí)間復(fù)雜度是因?yàn)樗苯臃从沉怂惴ㄌ幚泶笠?guī)模數(shù)據(jù)時(shí)的效率。時(shí)間復(fù)雜度低的算法意味著隨著數(shù)據(jù)規(guī)模n的增大，算法執(zhí)行時(shí)間增長(zhǎng)較慢，能更