2025年大學《數(shù)學與應用數(shù)學》專業(yè)題庫——數(shù)學建模對社會問題解決的推動考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述數(shù)學建模在社會問題解決過程中的主要作用和意義。請結(jié)合至少兩個不同領(lǐng)域的社會問題實例，說明數(shù)學建模如何幫助人們理解問題、分析問題并尋求解決方案。二、考慮一個城市交通擁堵問題。假設(shè)在高峰時段，某主干道上的車輛數(shù)量（流量）Q（單位：輛/小時）與道路暢通度x（0≤x≤1，x=1表示完全暢通）之間存在如下關(guān)系：Q=1200x(1-x)。其中，x代表道路的相對暢通程度，當x=0時表示道路完全擁堵。又假設(shè)，車輛行駛的延誤時間y（單位：分鐘）與流量Q和道路長度L（單位：公里）成正比，與道路暢通度x成反比，比例系數(shù)為k（k>0）。當流量Q達到Q_max時，道路處于飽和狀態(tài)，此時的暢通度x=x飽和。1.試確定車輛行駛延誤時間y與道路暢通度x之間的函數(shù)關(guān)系式。2.若該主干道長度L=5公里，比例系數(shù)k=0.1，求當?shù)缆窌惩ǘ葂分別為0.2和0.8時，車輛的平均延誤時間。3.求使車輛平均延誤時間最小的道路暢通度x值。4.討論流量Q_max對延誤時間的影響。三、某地區(qū)面臨著水資源短缺的問題。該地區(qū)有兩個主要水源：雨水和地下水。雨水在豐水期和枯水期可分別提供R_f和R_s（單位：百萬立方米/年）的水量，其中R_f>R_s。地下水的可開采量受環(huán)保限制，每年最多為W（單位：百萬立方米/年）。該地區(qū)每年總需水量為D（D>R_s+W）。為了可持續(xù)發(fā)展和經(jīng)濟社會的穩(wěn)定，地區(qū)規(guī)劃者需要制定一個合理的水資源分配方案，即確定每年從雨水和地下水分別提取的水量，使得總?cè)彼浚ㄐ杷颗c總供給量之差）最小，同時滿足所有約束條件。1.建立該水資源分配問題的數(shù)學模型（包括決策變量、目標函數(shù)和約束條件）。2.假設(shè)該地區(qū)在豐水期降雨，R_f=300，R_s=100，W=150，D=400。請寫出該具體問題的數(shù)學模型。3.分析目標函數(shù)的性質(zhì)（是否為線性規(guī)劃問題？）。4.若該地區(qū)在枯水期降雨，R_f=100，R_s=50，W=150，D=400。請判斷在此情況下是否存在一個非負的水資源分配方案能夠滿足需求？為什么？四、在公共衛(wèi)生領(lǐng)域，數(shù)學建模被廣泛應用于傳染病傳播的預測和防控策略評估?？紤]一種傳染病，其傳播過程可以用SIR模型來描述，其中S代表易感人群數(shù)量，I代表感染人群數(shù)量，R代表康復并具有免疫能力的人群數(shù)量。模型假設(shè)人群總數(shù)N保持不變，且每個易感者與感染者的有效接觸率（接觸概率乘以感染概率）為β。感染者在一段時間后康復，康復率為γ。1.請列出描述SIR模型的微分方程組。2.解釋微分方程組中每個方程的物理意義。3.假設(shè)在一個關(guān)閉接觸的干預措施下（β=0），人群總數(shù)N=1萬，初始時刻易感者占80%（S(0)=8000），感染者占1%（I(0)=100），康復者占19%（R(0)=1900），康復率γ=0.05/天。請描述在沒有新的感染發(fā)生的情況下，該傳染病群體的狀態(tài)將如何隨時間演變？4.如果不采取干預措施，有效接觸率β=0.3，康復率γ=0.05/天，請分析該傳染病的長期發(fā)展趨勢（即當t→∞時，S(t),I(t),R(t)的極限值）。并解釋這些極限值所代表的含義。五、社會公平性問題一直是關(guān)注焦點?？紤]一個簡單的資源分配問題：有n位居民，他們具有不同的需求水平（用非負實數(shù)d_i表示，i=1,2,...,n），需要分配m種不同的資源（用非負實數(shù)r_j表示，j=1,2,...,m）。假設(shè)每種資源可以滿足一定數(shù)量的居民的需求，但不同資源對滿足不同居民需求的效率可能不同。用a_ij表示第j種資源滿足第i位居民單位需求的效率（a_ij≥0）。目標是設(shè)計一個資源分配方案，使得在滿足所有居民基本需求（即每位居民獲得的資源滿足其需求的比例不低于某個閾值θ，0<θ≤1）的前提下，資源利用的總效率（例如，所有居民通過分配資源獲得的滿足程度的加權(quán)總和）最大。1.定義決策變量，建立該資源分配問題的數(shù)學模型（包括目標函數(shù)和約束條件）。2.解釋模型中約束條件d_i*r_j*a_ij≥θ*d_i對所有i,j成立的含義。3.假設(shè)有3位居民（n=3）和2種資源（m=2），需求水平分別為d_1=5,d_2=7,d_3=6；資源總量分別為r_1=10,r_2=8；效率矩陣a_ij如下：a_11=0.6,a_12=0.4a_21=0.7,a_22=0.3a_31=0.5,a_32=0.6假設(shè)θ=0.8。請寫出該具體問題的數(shù)學模型。4.分析該模型是否為線性規(guī)劃問題。如果可以，請說明如何求解；如果不能，請簡述其特點。試卷答案一、數(shù)學建模通過量化分析、抽象簡化、模擬仿真等手段，將復雜的社會問題轉(zhuǎn)化為可處理的數(shù)學問題，從而幫助人們更清晰地認識問題的本質(zhì)和影響因素。它能夠：1.揭示規(guī)律與趨勢：通過建立模型，分析社會數(shù)據(jù)，揭示現(xiàn)象背后的數(shù)學規(guī)律和變化趨勢，如預測人口增長、分析犯罪率變化等。2.評估不同方案：在決策前，利用模型模擬不同政策或措施可能帶來的社會效果和影響，如評估稅收政策對經(jīng)濟的影響、模擬交通管制對擁堵的緩解效果等。3.優(yōu)化資源配置：基于模型優(yōu)化社會資源的分配，提高資源利用效率，如優(yōu)化公共設(shè)施布局、合理分配教育資源等。4.預警與干預：模型可以用于預測潛在的社會風險和危機，為提前干預提供科學依據(jù)，如傳染病傳播預測、金融風險預警等。5.提供決策支持：為政府、組織或個人提供量化的、基于數(shù)據(jù)的決策支持，提高決策的科學性和準確性。實例1：環(huán)境污染問題。數(shù)學模型可以模擬污染物（如空氣污染物、水體污染物）的擴散、遷移和轉(zhuǎn)化過程，評估污染源的影響范圍和程度，預測不同減排措施的效果，為制定環(huán)保政策和污染控制方案提供依據(jù)。實例2：城市交通規(guī)劃。交通流模型可以模擬道路網(wǎng)絡(luò)中的車輛運行狀態(tài)，分析交通擁堵的形成原因和時空分布，評估新建道路或交通信號優(yōu)化方案對緩解擁堵的效果，為城市交通規(guī)劃和管理提供支持。二、1.車輛行駛延誤時間y與道路暢通度x之間的函數(shù)關(guān)系為：y=k*L*Q/(1200*x)。解析：根據(jù)題意，延誤時間y與流量Q成正比，與暢通度x成反比，比例系數(shù)為k。由Q=1200x(1-x)，代入得y=k*L*[1200x(1-x)]/(1200*x)=k*L*(1-x)。2.當x=0.2時，Q=1200*0.2*(1-0.2)=192。y=0.1*5*192/(1200*0.2)=0.8分鐘。當x=0.8時，Q=1200*0.8*(1-0.8)=96。y=0.1*5*96/(1200*0.8)=0.5分鐘。3.令y'=0，即d/dx[kL(1-x)]=0。得到1-2x=0，解得x=0.5。因為y''(x)=-2kL<0，所以x=0.5時y取得極小值。因此，當?shù)缆窌惩ǘ葂=0.5時，車輛平均延誤時間最小。4.當流量Q達到飽和狀態(tài)Q_max時，Q_max=1200*x飽和*(1-x飽和)。此時，延誤時間y飽和=k*L*Q_max/(1200*x飽和)=k*L*[1200*x飽和*(1-x飽和)]/(1200*x飽和)=k*L*(1-x飽和)。顯然，x飽和越?。吹缆吩綋矶拢瑈飽和越大。因此，流量Q_max對延誤時間有直接影響，飽和流量越大，意味著在相同暢通度下，潛在的延誤時間也越大。三、1.決策變量：x_j為每年從第j種雨水（j=1,2）提取的水量（單位：百萬立方米/年）；y為每年從地下水提取的水量（單位：百萬立方米/年）。目標函數(shù)：最小化總?cè)彼俊inZ=max(0,D-(R_f*a_11+R_s*a_12+x_1*a_21+x_2*a_22+y))。約束條件：(1)雨水提取量不超過總量：x_1≤R_f,x_2≤R_s。(2)地下水提取量不超過總量：y≤W。(3)決策變量非負：x_1≥0,x_2≥0,y≥0。2.目標函數(shù)：MinZ=max(0,400-(300*a_11+100*a_12+x_1*a_21+x_2*a_22+y))。約束條件：x_1≤300,x_2≤100,y≤150,x_1≥0,x_2≥0,y≥0。3.目標函數(shù)Z=max(0,D-Σr_j*a_ij*x_j-y)是分式線性函數(shù)（由于max函數(shù)），不是線性函數(shù)。因此，該模型不是線性規(guī)劃問題。4.對于枯水期情況（R_f=100,R_s=50,W=150,D=400）：目標函數(shù)變?yōu)镸inZ=max(0,400-(100*a_11+50*a_12+x_1*a_21+x_2*a_22+y))。約束條件不變。要存在非負的水資源分配方案滿足需求，即需要存在非負的x_1,x_2,y使得D-(R_f*a_11+R_s*a_12+x_1*a_21+x_2*a_22+y)≤0，即R_f*a_11+R_s*a_12+x_1*a_21+x_2*a_22+y≥D。代入數(shù)值：100*a_11+50*a_12+x_1*a_21+x_2*a_22+y≥400?？紤]到x_1≤100,x_2≤50,y≤150，最不利情況是x_1=100,x_2=50,y=150。此時左側(cè)最小值為100*a_11+50*a_12+100*a_21+50*a_22+150。比較100*a_11+50*a_12+100*a_21+50*a_22+150與400。由于a_ij≥0，左側(cè)最小值為150+100(a_11+a_21)+50(a_12+a_22)≥150。顯然，左側(cè)最小值大于400（因為需要滿足等式）。因此，無論a_ij取何非負值，左側(cè)的最小值都大于400。這意味著，在給定的資源限制下，無法通過任何非負的x_1,x_2,y組合使得總供給（R_f*a_11+R_s*a_12+x_1*a_21+x_2*a_22+y）達到或超過需求D=400。所以，不存在非負的水資源分配方案能夠滿足需求。四、1.SIR模型的微分方程組為：dS/dt=-βSI/NdI/dt=βSI/N-γIdR/dt=γI其中，N=S+I+R是總?cè)巳簲?shù)（常數(shù)），β是感染率，γ是康復率。2.方程dS/dt=-βSI/N的物理意義是：易感者S減少的速度，等于易感者S與感染者I的有效接觸率βSI乘以總?cè)丝贜。方程dI/dt=βSI/N-γI的物理意義是：感染者I增加的速度，等于易感者S與感染者I的有效接觸率βSI乘以總?cè)丝贜，減去感染者因康復而離開I類的速度γI。方程dR/dt=γI的物理意義是：康復者R增加的速度，等于感染者I因康復而轉(zhuǎn)入R類的速度γI。3.在關(guān)閉接觸的干預措施下（β=0），dS/dt=0,dI/dt=-γI,dR/dt=γI。這意味著易感者數(shù)量S保持不變，感染者數(shù)量I隨時間按指數(shù)衰減（I(t)=I(0)*exp(-γt)），康復者數(shù)量R隨時間按指數(shù)增加（R(t)=N-S-I(0)+I(0)*exp(-γt)=N-S+I(0)(1-exp(-γt))）。最終，當t→∞時，I(t)→0，R(t)→N-S。因此，該傳染病群體的狀態(tài)將演變?yōu)樗谐跏家赘姓吆妥罱K康復的人群。感染群體完全消失，群體最終處于只有易感者和康復者的狀態(tài)。4.如果不采取干預措施，β>0。根據(jù)SIR模型的基本再生數(shù)R_0=β/γ。當R_0>1時，感染會持續(xù)蔓延，I(t)不會趨于零；當R_0<1時，感染會最終被控制，I(t)會趨于零。長期發(fā)展趨勢：*若R_0=β/γ<1，則當t→∞時，dI/dt→0，dR/dt→0。這意味著I(t)→0，R(t)→N-S。最終只有易感者S，感染已消除。*若R_0=β/γ>1，則當t→∞時，I(t)會趨于一