2025屆中考復(fù)習(xí)專題071/702025屆中考復(fù)習(xí)專題：反比例函數(shù)大題與綜合探究性問題總覽總覽題型解讀【題型1】反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合之面積問題 1【題型2】反比例函數(shù)綜合之幾何存在性問題 7【題型3】反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合之平移問題 10【題型4】反比例函數(shù)與矩形周長面積探究類問題 12【題型5】反比例函數(shù)中的基本不等式對勾函數(shù)探究 21【題型6】反比例函數(shù)圖像平移后的性質(zhì)的探究 27【題型7】利用反比例函數(shù)解決實際問題探究 35【題型8】反比例函數(shù)與旋轉(zhuǎn)綜合壓軸題 39【題型9】反比例函數(shù)幾何遞進(jìn)式探究問題 43【題型10】反比例函數(shù)在跨學(xué)科中的應(yīng)用 51【題型12】反比例函數(shù)綜合之新定義問題 61【題型13】反比例函數(shù)綜合之動點問題 62【題型14】反比例函數(shù)綜合之最值范圍問題 67題型題型匯編知識梳理與?？碱}型【題型1】反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合之面積問題【例題1】（2024·四川樂山·中考真題）如圖，已知點、在反比例函數(shù)的圖象上，過點的一次函數(shù)的圖象與軸交于點C0,1．(1)求、的值和一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)連接，求點到線段的距離．【例題2】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸交于、B兩點，與反比例函數(shù)（）的圖像交于點．(1)求和的值；(2)已知四邊形是正方形，連接，點在反比例函數(shù)（）的圖像上．當(dāng)?shù)拿娣e與的面積相等時，直接寫出點P的坐標(biāo)_________．【例題3】（2024·山東東營·中考真題）如圖，一次函數(shù)（）的圖象與反比例函數(shù)（）的圖象交于點，，且一次函數(shù)與軸，軸分別交于點C，D．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集；(3)在第三象限的反比例函數(shù)圖象上有一點P，使得，求點的坐標(biāo)．【鞏固練習(xí)1】（2024·四川廣安·中考真題）如圖，一次函數(shù)（，為常數(shù)，）的圖象與反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象交于，兩點．

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．(2)直線與軸交于點，點是軸上的點，若的面積大于12，請直接寫出的取值范圍．【鞏固練習(xí)2】（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點A、B，與軸交于點C，點A的橫坐標(biāo)為2．(1)求的值；(2)利用圖像直接寫出時的取值范圍；(3)如圖2，將直線沿軸向下平移4個單位，與函數(shù)的圖像交于點D，與軸交于點E，再將函數(shù)的圖像沿平移，使點A、D分別平移到點C、F處，求圖中陰影部分的面積．【鞏固練習(xí)3】（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于A?2,0，兩點．(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)已知變量的對應(yīng)關(guān)系如下表已知值呈現(xiàn)的對應(yīng)規(guī)律．x…1234……8421…寫出與x的函數(shù)關(guān)系式，并在本題所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的大致圖象；(3)一次函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相交于C，D兩點（點C在點D的左側(cè)），點C關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為點E，點P是第一象限內(nèi)函數(shù)圖象上的一點，且點P位于點D的左側(cè)，連接，，．若的面積為15，求點P的坐標(biāo)．【鞏固練習(xí)4（2024·四川自貢·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)P是直線上的一個動點，的面積為21，求點P坐標(biāo)；(3)點Q在反比例函數(shù)位于第四象限的圖象上，的面積為21，請直接寫出Q點坐標(biāo)．【鞏固練習(xí)5】（2024·四川巴中·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于兩點，點的橫坐標(biāo)為1．(1)求的值及點的坐標(biāo)．(2)點是線段上一點，點在直線上運動，當(dāng)時，求的最小值．【鞏固練習(xí)6】（2024·湖南郴州·模擬預(yù)測）項目式學(xué)習(xí)：項目主題反比例函數(shù)k的幾何意義之三角形面積項目情境已知矩形的兩鄰邊、分別落在x正半軸與y正半軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點B，的圖象分別與、交于點D、E．活動任務(wù)一（1）如圖（1），若頂點B的坐標(biāo)是，，則反比例函數(shù)的解析式是______．驅(qū)動問題一（2）在（1）的條件下，則的面積是______；活動任務(wù)二（3）如圖（2），當(dāng)，時，則的面積是______．驅(qū)動問題二（4）通過觀察、思考上題的計算方法、結(jié)果，猜想到的面積有何規(guī)律或特征嗎？請你用含，的代數(shù)式，表示的面積（寫出推理過程）．【鞏固練習(xí)7】（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，將正比例函數(shù)圖象向下平移個單位后，與反比例函數(shù)圖象在第一、三象限交于點B，C，與x軸，y軸交于點D，E，且滿足．過點B作軸，垂足為點F，G為x軸上一點，直線與關(guān)于直線成軸對稱，連接．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)求n的值及的面積．【題型2】反比例函數(shù)綜合之幾何存在性問題【例題1】（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖，一次函數(shù)（、為常數(shù)，）的圖象與反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象交于點，．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)若點是軸正半軸上的一點．且．求點的坐標(biāo)．【例題2】（2024·四川南充·中考真題）如圖，直線經(jīng)過兩點，與雙曲線交于點．(1)求直線和雙曲線的解析式．(2)過點C作軸于點D，點P在x軸上，若以O(shè)，A，P為頂點的三角形與相似，直接寫出點P的坐標(biāo)．【鞏固練習(xí)1】（23-24九年級·四川成都·階段練習(xí)）反比例函數(shù)中比例系數(shù)的幾何意義為：如圖，過雙曲線上任意一點Px,y作軸于點、軸于點，則有，所以．【問題背景】如圖2，點為反比例函數(shù)圖象上任意一點，連接，將射線繞著點順時針旋轉(zhuǎn)交反比例函數(shù)于點．【理解應(yīng)用】（1）求證：（2）連接AB，若時，求點的坐標(biāo)．【拓展遷移】（3）點與點為反比例函數(shù)圖象上一點，的坐標(biāo)為，連接，，若，求點的坐標(biāo)．【鞏固練習(xí)2】（24-25九年級上·四川成都·期中）如圖，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過線段的中點C．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)將直線向右平移3個單位長度后得到直線，直線交x軸于點D，交反比例函數(shù)的圖象于點E，F(xiàn)，連接，，求的面積；(3)請結(jié)合圖象，直接寫出不等式的解集；(4)在坐標(biāo)平面內(nèi)，直接寫出點M的坐標(biāo)，使以M、E、C、F為頂點的四邊形是平行四邊形．【鞏固練習(xí)3】（24-25九年級上·湖南常德·期中）如圖，矩形的頂點，分別在軸，軸上，點為坐標(biāo)原點，點的坐標(biāo)為2,3，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過的中點，且與交于點，連接．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)求的面積；(3)若點是軸上一點，且與相似，求點的坐標(biāo)．【題型3】反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合之平移問題【例題1】（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，直線與雙曲線交于，兩點，已知點坐標(biāo)為．(1)求，的值；(2)將直線向上平移個單位長度，與雙曲線在第二象限的圖象交于點，與軸交于點，與軸交于點，若，求的值．【例題2】（2024·四川眉山·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，，與軸，軸分別交于，兩點．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點在軸上，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，請直接寫出點的坐標(biāo)；(3)將直線向下平移個單位長度后與軸，軸分別交于，兩點，當(dāng)時，求的值．【鞏固練習(xí)1】【鞏固練習(xí)2】（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A在x軸的正半軸上，點B，C在第一象限，四邊形是平行四邊形，點C在反比例函數(shù)的圖象上，點C的橫坐標(biāo)為2，點B的縱坐標(biāo)為3．提示：在平面直角坐標(biāo)系中，若兩點分別為，，則中點坐標(biāo)為．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖2，點D是邊的中點，且在反比例函數(shù)圖象上，求平行四邊形的面積；(3)如圖3，將直線向上平移6個單位得到直線，直線與函數(shù)圖象交于，兩點，點P為的中點，過點作于點N．請直接寫出P點坐標(biāo)和的值．【鞏固練習(xí)3】（2024·河南漯河·二模）如圖，已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，與軸交于點．(1)求，，及的值．(2)將直線AB沿軸向上平移個單位長度后與反比例函數(shù)圖象交于點，，與軸交于點．若圖中陰影部分（即）的面積是9，求的值．【題型4】反比例函數(shù)與矩形周長面積探究類問題【例題1】（2023·山東濟(jì)南·中考真題）綜合與實踐如圖1，某興趣小組計劃開墾一個面積為的矩形地塊種植農(nóng)作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長為．【問題提出】小組同學(xué)提出這樣一個問題：若，能否圍出矩形地塊？【問題探究】小穎嘗試從“函數(shù)圖象”的角度解決這個問題：設(shè)為，為．由矩形地塊面積為，得到，滿足條件的可看成是反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)點的坐標(biāo)；木欄總長為，得到，滿足條件的可看成一次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)點的坐標(biāo)，同時滿足這兩個條件的就可以看成兩個函數(shù)圖象交點的坐標(biāo)．如圖2，反比例函數(shù)的圖象與直線：的交點坐標(biāo)為和_________，因此，木欄總長為時，能圍出矩形地塊，分別為：，；或___________m，__________m．（1）根據(jù)小穎的分析思路，完成上面的填空．【類比探究】（2）若，能否圍出矩形地塊？請仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數(shù)圖象并說明理由．【問題延伸】當(dāng)木欄總長為時，小穎建立了一次函數(shù)．發(fā)現(xiàn)直線可以看成是直線通過平移得到的，在平移過程中，當(dāng)過點時，直線與反比例函數(shù)的圖象有唯一交點．（3）請在圖2中畫出直線過點時的圖象，并求出的值．【拓展應(yīng)用】小穎從以上探究中發(fā)現(xiàn)“能否圍成矩形地塊問題”可以轉(zhuǎn)化為“與圖象在第一象限內(nèi)交點的存在問題”．（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且和的長均不小于，請直接寫出的取值范圍．【例題2】（2024·山東棗莊·一模）探究：是否存在一個新矩形，使其周長和面積為原矩形的2倍、倍、k倍？(1)若該矩形是邊長為2的正方形，是否存在一個正方形，使其周長和面積都是它的2倍？___（填“存在”或“不存在”）．(2)繼續(xù)探究，若該矩形長為3，寬為2，是否存在一個矩形，使其周長和面積都為該矩形的2倍？小明同學(xué)有以下思路：設(shè)新矩形長和寬為x、y，則依題意，，聯(lián)立得再探究根的情況：小慧同學(xué)認(rèn)為：也可用反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象證明，如圖：則是否存在一個新矩形為原矩形周長和面積的2倍？請你結(jié)合小明和小慧的思路做出判斷并說明理由．(3)根據(jù)此方法，請你探究是否存在一個新矩形，使其周長和面積都為這個長為3，寬為2的矩形的倍？若存在，用圖象表達(dá)；(4)是否存在一個新矩形，使其周長和面積為長為3，寬為2的矩形的k倍？請寫出當(dāng)結(jié)論成立時k的取值范圍．【鞏固練習(xí)1】（2024·山東濟(jì)南·二模）【發(fā)現(xiàn)問題】小明在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)：周長為定值的矩形中面積最大的是正方形．那么，面積為定值的矩形中，其周長的取值范圍如何呢？【解決問題】小明嘗試從函數(shù)圖象的角度進(jìn)行探究：（1）建立函數(shù)模型設(shè)一矩形的面積為4，周長為m，相鄰的兩邊長為x、y，則．即那么滿足要求的（x，y）應(yīng)該是函數(shù)與的圖象在第_____象限內(nèi)的公共點坐標(biāo)．（2）畫出函數(shù)圖象①畫函數(shù)的圖象；②在同一直角坐標(biāo)系中直接畫出的圖象，則函數(shù)的圖象可以看成是函數(shù)的圖象向上平移_____個單位長度得到．（3）研究函數(shù)圖象平移直線，觀察兩函數(shù)的圖象；①當(dāng)直線平移到與函數(shù)的圖象有唯一公共點的位置時，公共點的坐標(biāo)為_____，周長m的值為_____；②在直線平移的過程中，兩函數(shù)圖象公共點的個數(shù)還有什么情況？請直接寫出公共點的個數(shù)及對應(yīng)數(shù)值m的取值范圍．【結(jié)論運用】（4）面積為8的矩形的周長m的取值范圍為_____．【鞏固練習(xí)2】（24-25九年級上·遼寧沈陽·期中）我們定義：如果一個矩形的周長和面積相等，稱這個矩形為“完美矩形”，如果一個矩形的周長和面積都是矩形的倍，那么我們就稱矩形是矩形的“倍契合矩形”．

【概念辨析】（1）邊長為的正方形（填“是”或“不是”）“完美矩形”；矩形的周長是，面積是，它的“倍契合矩形”的周長是，面積是；【深入探究】（2）問題：長為，寬為的矩形是否存在“倍契合矩形”？我們可以從函數(shù)的觀點來研究“倍契合矩形”的長和寬為，依題意，，則，，在圖的平面直角坐標(biāo)系中做出一次函數(shù)：和反比例函數(shù)：的圖象來研究，有交點就可意味著存在“倍契合矩形”，那么長為，寬為的矩形是否存在“倍契合矩形”？若存在，請求出它的長，若不存在，請說明理由；（3）如果長為，寬為的矩形是一個“完美矩形”，求與的函數(shù)關(guān)系式，并在圖的平面直角坐標(biāo)系中直接畫出函數(shù)圖象；觀察圖象，直接寫出周長為的“完美矩形”的長（結(jié)果精確到）．【鞏固練習(xí)3】（2024·山東青島·模擬預(yù)測）如圖①，某興趣小組計劃開墾一個面積為的矩形地塊種植農(nóng)作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長為．【問題提出】小組內(nèi)有同學(xué)提出這樣一個問題：若，能否圍出矩形地塊？【問題探究】小穎嘗試從“函數(shù)圖像”的角度解決這個問題：設(shè)為，為．由矩形地塊的面積為，得，滿足條件的可看作反比例函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)點的坐標(biāo)．由木欄總長為，得，滿足條件的可看作一次函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)點的坐標(biāo)，同時滿足這兩個條件的就可以看作兩個函數(shù)圖像交點的坐標(biāo)．如圖②，反比例函數(shù)的圖像與直線的交點坐標(biāo)為和，因此木欄總長為時，能圍出矩形地塊，分別為，或，．（1）根據(jù)小穎的分析思路，完成上面的填空．【類比探究】（2）若，能否圍出矩形地塊？請仿照小穎的方法，在圖②中畫出一次函數(shù)圖像，并說明理由．【問題延伸】當(dāng)木欄總長為時，小穎建立了一次函數(shù)，發(fā)現(xiàn)直線可以看作直線通過平移得到的，在平移過程中，當(dāng)過點時，直線與反比例函數(shù)的圖像有唯一交點．（3）請在圖②中畫出直線過點時的圖像，并求出的值．【拓展應(yīng)用】小穎從以上探究中發(fā)現(xiàn)“能否圍成矩形地塊問題”可以轉(zhuǎn)化為與的圖像在第一象限內(nèi)交點的存在問題．（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且和的長均不小于，請直接寫出的取值范圍．【鞏固練習(xí)4】我們定義：如果一個矩形的周長和面積相等，稱這個矩形為“完美矩形”，如果一個矩形B周長和面積都是A矩形的n倍，那么我們就稱矩形B是矩形A的“n倍契合矩形”．【概念辨析】（1）①邊長為4的正方形______（填“是”或“不是”）“完美矩形”；②矩形A的周長是12，面積是8，它的“2倍契合矩形”的周長______，面積為______；【深入探究】（2）問題：長為3，寬為2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？我們可以從函數(shù)的觀點來研究“2倍契合矩形”，設(shè)“2倍契合矩形”的長和寬分別為x，y（，），依題意，，則，，在圖1的平面直角坐標(biāo)系中作出了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象來研究，有交點就意味著存在“2倍契合矩形”．那么長為3，寬為2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？若存在，請求出它的長，若不存在，請說明理由；（3）①如果長為x，寬為y（，）的矩形是一個“完美矩形”，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并在圖2的平面直角坐標(biāo)系中直接畫出函數(shù)圖象；②觀察圖象，直接寫出周長為20的“完美矩形”的長．【鞏固練習(xí)5】（24-25九年級上·山西晉中·期中）定義：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點P是平面內(nèi)任意一點（坐標(biāo)軸上的點除外），過點P分別作x軸、y軸的垂線，若由點P、原點O、兩個垂足A、B為頂點的矩形的周長與面積的數(shù)值相等時，則稱點P是平面直角坐標(biāo)系中的“美好點”．【嘗試初探】：（1）點“美好點”（填“是”或“不是”）；若點是第一象限內(nèi)的一個“美好點”，則．【深入探究】：（2）①若“美好點”（）在雙曲線（，且k為常數(shù)）上，則；②在①的條件下，在雙曲線上，求的值．【拓展延伸】：（3）我們可以從函數(shù)的角度研究“美好點”，已知點Px,y①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍②對于圖象上任意一點，代數(shù)式是否為定值？如果是，請求出這個定值，如果不是，請說明理由．【題型5】反比例函數(shù)中的基本不等式對勾函數(shù)探究【例題1】【閱讀理解】對于任意正實數(shù)a、b，（只有當(dāng)時，）．

【獲得結(jié)論】在（a、b均為正實數(shù)）中，若為定值p，則，只有當(dāng)時，有最小值．【探索應(yīng)用】根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：(1)若，只有當(dāng)_______時，有最小值_______．(2)已知點是雙曲線上點，過作軸于點，作軸于點．點為雙曲線上任意一點，連接，，求四邊形的面積的最小值．【例題2】（2024·四川眉山·二模）閱讀材料，完成下列問題：因為，所以……①，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．若、均為正數(shù)，根據(jù)①式：，得：……②

即……③（②式、③式中、均為正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．）我們常常用這兩個不等式來解決一些最大（?。┲祮栴}．其中我們把叫做正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，把叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)．(1)若，，求、的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)；(2)若，當(dāng)為何值時代數(shù)式有最小值，并求出此時的最小值；(3)已知，，點為雙曲線（）上的任意一點，過作軸于點，軸于點，求四邊形面積的最小值和此時點的坐標(biāo)．【鞏固練習(xí)1】【問題情境】對于任意正實數(shù)，，∵，∴，∴，只有當(dāng)時，等號成立．結(jié)論：在（，均為正實數(shù)）中，若為定值，則，當(dāng)，有最小值．【深入探究】（1）根據(jù)上述內(nèi)容，若，求的最小值；【拓展延伸】（2）探索應(yīng)用：如圖，已知A?4,0，，點在反比例函數(shù)圖象上，過點作軸于點，軸于點，依次連接、、、，求四邊形面積的最小值，并說明此時四邊形的形狀．【鞏固練習(xí)2】（24-25九年級上·河南信陽·期中）【探究發(fā)現(xiàn)】探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）函數(shù)的自變量的取值范圍是________；（2）下列四個函數(shù)圖象中，函數(shù)的圖象大致是________；A．

B．

C．

D．（3）對于函數(shù)，求當(dāng)時，的取值范圍．請將下面求解此問題的過程補(bǔ)充完整：解：∵∴________．∵，∴________．【拓展應(yīng)用】（4）若函數(shù)，求當(dāng)時，的取值范圍．【鞏固練習(xí)3】（2022·寧夏銀川·二模）閱讀理解：配方法是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法，用配方法可求最大（?。┲担畬τ谌我庹龑崝?shù)、，可作如下變形：，又∵，∴，即．根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：(1)在（、均為正實數(shù)）中，當(dāng)且僅當(dāng)、滿足______時，等號成立．(2)思考解答：如圖1，中，，，垂足為，為邊上中線，，，試根據(jù)圖形說明成立，并指出等號成立時的條件．(3)探索應(yīng)用：如圖2，已知為反比例函數(shù)的圖象上一點，點的橫坐標(biāo)為1，將一塊三角板的直角頂點放在處旋轉(zhuǎn)，保持兩直角邊始終與軸交于兩點、，點為軸上一點，連接、，求四邊形面積的最小值．【鞏固練習(xí)4】（2023·江蘇鹽城·二模）鹽城市紡織染整產(chǎn)業(yè)園為國家級綠色紡織生產(chǎn)基地，現(xiàn)有一塊矩形布料的兩邊長分別是2米與3米，若把這個矩形布料按照如圖1的方式擴(kuò)大到面積為原來的2倍，設(shè)原矩形布料的一邊加長米，另一邊長加長米，可得與之間的函數(shù)關(guān)系式．某?！皵?shù)學(xué)興趣小組”對此函數(shù)進(jìn)一步推廣，得到更一般的函數(shù)，現(xiàn)對這個函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，研究過程如下：(1)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，請用描點法畫出的圖象，并完成如下問題：①函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個單位，再向下平移個單位得到，其對稱中心坐標(biāo)為；②根據(jù)該函數(shù)圖象指出，當(dāng)在什么范圍內(nèi)變化時，？(2)若要使面積擴(kuò)大兩倍后的這塊布料周長最小，請你幫助該?！皵?shù)學(xué)興趣小組”設(shè)計出符合要求的擴(kuò)大方案．【鞏固練習(xí)5】（22-23九年級上·山東淄博·期末）閱讀理解：配方法是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法，用配方法可求最大（?。┲担畬τ谌我庹龑崝?shù)a，b，可作如下變形：∵又∵，∴，即．(1)根據(jù)上述內(nèi)容，回答問題：若有正實數(shù)m和正實數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)______時，這兩個正實數(shù)的和有最小值為______．(2)思考驗證：如圖1，中，，于點D，為邊上中線，，，試根據(jù)圖形驗證成立，并指出等號成立時的條件．(3)探索應(yīng)用：如圖2，已知C為反比例函數(shù)的圖象上一點，C點的橫坐標(biāo)為1，點A，B為x軸上的動點（點A在點B的左邊），連接，，始終保持，為y軸上一點，連接，，求四邊形面積的最小值．【題型6】反比例函數(shù)圖像平移后的性質(zhì)的探究【例題1】（2024·寧夏·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象平移得到．依此想法，數(shù)學(xué)小組對反比例函數(shù)圖象的平移進(jìn)行探究．(1)【動手操作】列表：12345210123421描點連線：在已畫出函數(shù)的圖象的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象．(2)【探究發(fā)現(xiàn)】①將反比例函數(shù)的圖象向___________平移___________個單位長度得到函數(shù)的圖象．②上述探究方法運用的數(shù)學(xué)思想是（）整體思想

B．類比思想

C．分類討論思想(3)【應(yīng)用延伸】①將反比例函數(shù)的圖象先___________，再___________得到函數(shù)的圖象．②函數(shù)圖象的對稱中心的坐標(biāo)為___________．【例題2】（2024·河南商丘·一模）綜合與實踐：函數(shù)復(fù)習(xí)課后，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行探究，過程如下．請完成探究過程：(1)初步感知：函數(shù)的自變量取值范圍是__________；(2)作出圖象①列表：x…0123…y…234m60…填空：表中__________，__________；②描點，連線：在平面直角坐標(biāo)系中，描出以上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，并根據(jù)描出的點，可畫出該函數(shù)的圖象如下所示；(3)研究性質(zhì)小明觀察圖象，發(fā)現(xiàn)這個圖象為雙曲線，結(jié)合反比例函數(shù)的知識，小明將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，他判斷該函數(shù)圖象就是反比例函數(shù)通過某種平移轉(zhuǎn)化而來．已知反比例函數(shù)是中心對稱圖形，對稱中心為，結(jié)合小明的分析，可知函數(shù)的對稱中心為__________；(4)拓展應(yīng)用已知當(dāng)時，關(guān)于的方程有實數(shù)解，請直接寫出k的取值范圍是__________．【鞏固練習(xí)1】（2024·山西晉中·三模）閱讀與理解小明學(xué)習(xí)完二次函數(shù)后，得到二次函數(shù)平移的圖像變化及表達(dá)式之間存在的關(guān)系，下面是小明同學(xué)探究反比例函數(shù)平移的圖像變化，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)：如圖是反比例函數(shù)的圖像，探究函數(shù)的圖像，通過畫出圖像觀察這兩個圖像間的關(guān)系．根據(jù)題意，列表如下：．．．．．．．．．．．．在平面直角坐標(biāo)系中，畫出的圖像（圖中的粗線）．任務(wù)一：（1）請補(bǔ)全表格，并在給出的平而直角坐標(biāo)系中畫出函的圖像；（2）根據(jù)圖像指出函數(shù)的圖像是函數(shù)的圖像經(jīng)過怎樣的平移得到的；（3）函數(shù)的圖像關(guān)于點成中心對稱；任務(wù)二：（1）小明這樣研究圖像的方法主要運用的數(shù)學(xué)思想是；A．公理化思想

B．類比思想

C．函數(shù)思想

D．轉(zhuǎn)化思想（2）直接寫出函數(shù)的圖像是函數(shù)的圖像經(jīng)過怎樣的平移得到的．【鞏固練習(xí)2】（2024·山東濟(jì)南·二模）綜合與實踐：《函數(shù)》復(fù)習(xí)課后，為加深對函數(shù)的認(rèn)識，張老師引導(dǎo)同學(xué)們對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行探究．過程如下，請完成探究過程：(1)初步感知函數(shù)的自變量取值范圍是______；(2)作出圖象①列表：x…n01234…y…234m60…填空：表中______，______；②描點，連線：在平面直角坐標(biāo)系中，描出以上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)的圖象；(3)研究性質(zhì)小剛觀察圖象，發(fā)現(xiàn)這個圖象為雙曲線，進(jìn)一步研究中，小剛將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，他判斷該函數(shù)圖象就是反比例函數(shù)通過某種平移轉(zhuǎn)化而來，反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為，則函數(shù)的圖象的對稱中心為______；反比例函數(shù)的圖象是軸對稱圖形，對稱軸為直線和，則函數(shù)的圖象的對稱軸為直線______(4)拓展應(yīng)用①若一次函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于A、B兩點，連接，則的面積為______②若直線與函數(shù)的圖象有且只有一個交點，則k的值為______．【鞏固練習(xí)3】我們研究反比例函數(shù)圖象平移后的性質(zhì)．初步探究（1）將反比例函數(shù)的圖象向右平移一個單位，可以得到函數(shù)的圖象，關(guān)于這個函數(shù)的性質(zhì)正確的有：；①該函數(shù)圖象與y軸的交點坐標(biāo)是；②該函數(shù)圖象是中心對稱圖形，對稱中心是；③該函數(shù)圖象關(guān)于直線軸時稱；④當(dāng)時，y隨x的增大而減小．（2）在圖中畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫出其兩條不同類型的性質(zhì)：；．問題解決（3）若函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象通過平移得到，求k的值；深入思考（4）當(dāng)時，對于任意正數(shù)k，方程均無解，直接寫出a，b，k滿足的數(shù)量關(guān)系．【鞏固練習(xí)4】（24-25九年級上·山東濟(jì)南·期中）小光根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．(1)刻畫圖象①列表：下表是，的幾組對應(yīng)值，其中，；…………②描點：如圖所示；③連線：請用平滑的曲線順次連接．(2)認(rèn)識性質(zhì)觀察圖象，完成下列問題：①當(dāng)時，隨的增大而；②函數(shù)的圖象的對稱中心是．（填寫點的坐標(biāo)）(3)類比探究①小光發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的圖象可以由反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過平移得到．請結(jié)合圖象說明平移過程；②函數(shù)的圖象經(jīng)平移可以得到函數(shù)的圖象，請說明平移過程．【題型7】利用反比例函數(shù)解決實際問題探究【例題1】（23-24九年級下·廣東深圳·期末）【項目式學(xué)習(xí)】項目主題：守護(hù)生命，“數(shù)”說安全．項目背景：隨著社會的發(fā)展，安全問題變得日益重要．某校為了提高學(xué)生的安全意識，開展以“守護(hù)生命，'數(shù)'說安全”為主題的項目式學(xué)習(xí)活動．創(chuàng)新小組通過考察測量、模擬探究和成果遷移等環(huán)節(jié)，開展地下彎道對通行車輛長度的限制研究．任務(wù)一：考察測量（1）如圖1，創(chuàng)新小組所選取彎道的內(nèi)、外側(cè)均為直角，道路寬均為，則；任務(wù)二：模擬探究如果汽車在行駛中與彎道內(nèi)、外側(cè)均無接觸，則可安全通過．（2）創(chuàng)新小組用線段模擬汽車通過寬度相同的直角彎道，探究發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)時（如圖1），線段能通過直角彎道；②當(dāng)時，必然存在線段的中點E與點B重合的情況，線段恰好不能通過直角彎道（如圖2）．此時，的度數(shù)是；③當(dāng)時，線段不能通過直角彎道．（3）如圖3，創(chuàng)新小組用矩形模擬汽車通過寬均為的直角彎道，發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)闹悬cE與點B重合，且時，矩形恰好不能通過該彎道．若，且矩形能通過該直角彎道，求a的最大整數(shù)值．任務(wù)三：成果遷移（4）如圖4，某彎道外側(cè)形狀可近似看成反比例函數(shù)的圖象，其對稱軸交圖象于點A．彎道內(nèi)側(cè)的頂點B在射線上，兩邊分別與x軸，y軸平行，．創(chuàng)新小組探究發(fā)現(xiàn)通過該彎道的原理與通過直角彎道類似．有一輛長為，寬為的汽車需要安全通過該彎道，則b的最大整數(shù)值為．（參考數(shù)據(jù)：）【例題2】（2023·浙江衢州·中考真題）視力表中蘊(yùn)含著很多數(shù)學(xué)知識，如：每個“E”形圖都是正方形結(jié)構(gòu)，同一行的“E”是全等圖形且對應(yīng)著同一個視力值，不同的檢測距離需要不同的視力表．素材1

國際通用的視力表以5米為檢測距離，任選視力表中7個視力值n，測得對應(yīng)行的“E”形圖邊長b（mm），在平面直角坐標(biāo)系中描點如圖1．探究1

檢測距離為5米時，歸納n與b的關(guān)系式，并求視力值1.2所對應(yīng)行的“E”形圖邊長．素材2

圖2為視網(wǎng)膜成像示意圖，在檢測視力時，眼睛能看清最小“E”形圖所成的角叫做分辨視角，視力值與分辨視角（分）的對應(yīng)關(guān)系近似滿足．探究2

當(dāng)時，屬于正常視力，根據(jù)函數(shù)增減性寫出對應(yīng)的分辨視角的范圍．素材3

如圖3，當(dāng)確定時，在A處用邊長為的I號“E”測得的視力與在B處用邊長為的Ⅱ號“E”測得的視力相同．探究3

若檢測距離為3米，求視力值1.2所對應(yīng)行的“E”形圖邊長．【鞏固練習(xí)1】（23-24九年級上·廣東深圳·階段練習(xí)）設(shè)計貨船通過雙曲線橋的方案素材一座曲線橋如圖所示，當(dāng)水面寬米時，橋洞頂部離水面距離米．已知橋洞形如雙曲線，圖是其示意圖，且該橋關(guān)于對稱．

素材如圖，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形，測得米，米．因水深足夠，貨船可以根據(jù)需要運載貨物．據(jù)調(diào)查，船身下降的高度（米）與貨船增加的載重量（噸）滿足函數(shù)表達(dá)式．問題解決任務(wù)確定橋洞的形狀建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，顯然，落在第一象限的角平分線上．甲說：點可以在第一象限角平分線的任意位置．乙說：不對吧？當(dāng)點落在時，點A的坐標(biāo)為_______________，此時過點的雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為_____________，而點所在雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為顯然不符合題意．任務(wù)擬定方案此時貨船能通過該橋洞嗎？若能，請說明理由；若不能，至少要增加多少噸貨物？（提示：先求出橋洞所在雙曲線的函數(shù)表達(dá)式）【鞏固練習(xí)2】（24-25九年級上·廣東深圳·期中）根據(jù)以下素材，完成設(shè)計貨船通過雙曲線橋的方案：一座曲線橋如圖1所示，當(dāng)水面寬米時，橋洞頂部離水面距離米．已知橋洞形如雙曲線，圖2是其示意圖，且該橋關(guān)于對稱．如圖4，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形，測得米．因水深足夠，貨船可以根據(jù)需要運載貨物．據(jù)調(diào)查，船身下降的高度h（米）與貨船增加的載重量t（噸）滿足函數(shù)表達(dá)式．(1)問題解決：確定橋洞的形狀．建立平面直角坐標(biāo)系如圖3所示，落在第一象限的角平分線上．設(shè)點C為，①點A的坐標(biāo)為______．（用m的代數(shù)式表示）；②求出經(jīng)過點A的雙曲線的函數(shù)表達(dá)式．(2)探索應(yīng)用：這艘貨船運載貨物高3米（即米），此時貨船能通過該橋洞嗎？若能，請說明理由；若不能，至少要增加多少噸貨物？（已知，．）【題型8】反比例函數(shù)與旋轉(zhuǎn)綜合壓軸題【例題1】（2024·山東濟(jì)南·中考真題）已知反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象交于點，點是線段上（不與點A重合）的一點．

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，過點作軸的垂線與的圖象交于點，當(dāng)線段時，求點的坐標(biāo)；(3)如圖2，將點A繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到點，當(dāng)點恰好落在的圖象上時，求點的坐標(biāo)．【例題2】（2024·山東濟(jì)南·一模）【閱讀材料】：解方程：時，先兩邊同乘以x，得，解之得，，經(jīng)檢驗無增根，所以原方程的解為，．【模仿練習(xí)】（1）解方程；【拓展應(yīng)用】（2）如圖1，等腰直角的直角頂點的坐標(biāo)為，B，C兩點在反比例函數(shù)的圖象上，點的坐標(biāo)是，且，求的值；（3）如圖2在雙曲線有，兩點，如果，，那么是否為定值，若存在請求出，不存在請說明理由．【鞏固練習(xí)1】【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，四邊形、、都是邊長為1的正方形，在下列角中：①∠DAF，②，③，④，試確定與圖中的和為45°的角有______．（填寫對應(yīng)序號）【問題解決】如圖1，在線段上取點I，使得為，則______．

【拓展應(yīng)用】如圖2，反比例函數(shù)和的圖象分別是和．射線交于點A，射線交于點B，且，連接．（1）如圖3，當(dāng)軸時，①求點A的坐標(biāo)；②在y軸上找一點P，使得時，直接寫出點P的坐標(biāo)______．（2）在如圖，將繞點O旋轉(zhuǎn)，射線始終在第一象限，在旋轉(zhuǎn)的過程中，直接寫出的面積為時點A的坐標(biāo)______．【鞏固練習(xí)2】（江蘇無錫·二模）【發(fā)現(xiàn)】如圖1，點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，連接EF．因為AB＝AD，所以把繞A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至，可使AB與AD重合．因為，所以，所以F、D、G共線．如果______（填一個條件），可得．經(jīng)過進(jìn)一步研究我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)BE，EF，F(xiàn)D滿足______時，．【探究】如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，一個以點A為頂點的45°角繞點A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長線交于點E、F，連接EF．設(shè)，．當(dāng)時，______，______；當(dāng)時，______，______．【應(yīng)用】如圖3，平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點A、B分別在y軸、x軸的正半軸上，△AOB的兩條外角平分線交于點P，P在反比例函數(shù)的圖像上，PA的延長線交x軸于點C，PB的延長線交y軸于點D，連接CD．①求△COD的面積；②當(dāng)△AOB面積最大時，請直接寫出的值．【題型9】反比例函數(shù)幾何遞進(jìn)式探究問題【例題1】（2023·廣東深圳·二模）在四邊形中，（E、F分別為邊、上的動點），的延長線交延長線于點M，的延長線交延長線于點N．(1)問題證明：如圖①，若四邊形是正方形，求證：．(2)拓展應(yīng)用：如圖②所示平面直角坐標(biāo)系，在中，點A坐標(biāo)為，B，C分別在x軸和y軸上，且反比例函數(shù)圖像經(jīng)過上的點D，且，求k的值．(3)深入探究：如圖③，若四邊形是菱形，連接，當(dāng)時，且，試用關(guān)于的式子來表示的值，則__________．（直接寫出結(jié)果）【例題2】（2024·廣東·中考真題）【問題背景】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點B，D是直線上第一象限內(nèi)的兩個動點，以線段BD為對角線作矩形，軸．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A．【構(gòu)建聯(lián)系】（1）求證：函數(shù)的圖象必經(jīng)過點C．（2）如圖2，把矩形沿BD折疊，點C的對應(yīng)點為E．當(dāng)點E落在y軸上，且點B的坐標(biāo)為時，求k的值．【深入探究】（3）如圖3，把矩形沿BD折疊，點C的對應(yīng)點為E．當(dāng)點E，A重合時，連接交BD于點P．以點O為圓心，長為半徑作．若，當(dāng)與的邊有交點時，求k的取值范圍．【鞏固練習(xí)1】如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于，兩點．【背景問題】（1）如何求點和點的坐標(biāo)呢!根據(jù)之前學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，我們可以按以下方法解決：解：聯(lián)立兩表達(dá)式得到方程組把①代入②中得：，由于，在方程兩邊同時乘以，得：（請你繼續(xù)完成解題過程）【深入探究】（2）若將一次函數(shù)的圖像l向下平移個單位，當(dāng)為何值時，直線與雙曲線有且只有一個交點：【知識應(yīng)用】（3）點是第三象限內(nèi)的反比例函數(shù)圖象上一點，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求的長度．【拓展延伸】（4）點是第一象限內(nèi)在反比例函數(shù)圖象上的一個動點，作點關(guān)于原點對稱的點，以為斜邊作等腰直角三角形，點在第四象限．在同一平面內(nèi)，若等腰直角三角形的一邊所在的直線與一條直線垂直，則稱此等腰直角三角形為這條直線的關(guān)聯(lián)三角形．在點的運動過程中等腰直角三角形是否能成為直線的關(guān)聯(lián)三角形？若能，直接寫出此時點坐標(biāo)；若不能，請說明理由．【鞏固練習(xí)2】閱讀與思考閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的性質(zhì)后，希望學(xué)習(xí)小組又進(jìn)行了深入的探究，發(fā)現(xiàn)：如果在雙曲線上任取兩點，過這兩點分別向兩坐標(biāo)軸垂線（垂足不同時在或軸上），那么垂足的連線和這兩點的連線平行．如圖1，點，是反比例函數(shù)在第一象限圖象上的兩點，作軸于點，軸于點，連接，則；如圖2，點，是反比例函數(shù)在第一象限圖象上的兩點，作軸于點，，軸于點，連接，則．在老師指導(dǎo)下希望學(xué)習(xí)小組進(jìn)行嚴(yán)格推理，證明這一結(jié)論是正確的．【結(jié)論應(yīng)用】任務(wù)：（1）如圖2，若與交于點，．①的值為______．②若的面積為，則四邊形的面積為______．（2）智慧學(xué)習(xí)小組利用上述結(jié)論又進(jìn)行了新的探究，如圖3，直線與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，點在點的上方，與，軸分別交于點，，則得到這一結(jié)論．下面是該結(jié)論的部分證明：證明：作軸于點，軸于點，連接，則，．，四邊形是平行四邊形．……仔細(xì)閱讀上面的證明過程，按照上面的證明思路，請你補(bǔ)充完整．【鞏固練習(xí)3】請閱讀下面的研究材料：如圖①，直線與雙曲線交于、，與坐標(biāo)軸交于、，則．證明：如圖，過，作坐標(biāo)軸的垂線交于點，連接．易知軸，軸，且，故．，即．又，，．，四邊形和都是平行四邊形，．請根據(jù)以上閱讀，解答下列問題：(1)如圖②，直線與雙曲線交于、兩點，與坐標(biāo)軸交于、兩點．請根據(jù)上面方法的理解，求證：；(2)如圖②，若一次函數(shù)關(guān)系式是，且，請用上述研究的結(jié)論求的值．【鞏固練習(xí)4】（2023·四川涼山·中考真題）閱讀理解題：閱讀材料：如圖1，四邊形是矩形，是等腰直角三角形，記為、為，若，則．

證明：設(shè)，∵，∴，易證∴，∴∴，若時，當(dāng)，則．同理：若時，當(dāng)，則．根據(jù)上述材料，完成下列問題：如圖2，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸交于點．將直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)后的直線與軸交于點，過點作軸于點，過點作軸于點，已知．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)直接寫出的值；(3)求直線的解析式．【鞏固練習(xí)5】（1）【探究新知】如圖1，已知與的面積相等，試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．（2）【結(jié)論應(yīng)用】如圖2，點M，N在反比例函數(shù)的圖像上，過點M作軸，過點N作軸，垂足分別為E，F(xiàn)．試證明：．（3）【拓展延伸】若第（2）問中的其他條件不變，只改變點M，N在反比例函數(shù)圖像上的位置，如圖3所示，與x軸、y軸分別交于點A、點B，若，請求的長．【鞏固練習(xí)6】（23-24九年級上·四川成都·期末）【實踐探究】（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)分別與反比例函數(shù)、交于點A、點B，求的值．（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)分別與反比例函數(shù)、交于點A、點B，求的值．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于點A、點B，連結(jié)、，延長、分別與反比例函數(shù)交于點D、C，連結(jié)，求．【題型10】反比例函數(shù)在跨學(xué)科中的應(yīng)用【例題1】（2024·河南洛陽·一模）在實驗課上，小明做了一個試驗．如圖，在儀器左邊托盤A（固定）中放置一個物體，在右邊托盤B（可左右移動）中放置一個可以裝水的容器，容器的質(zhì)量為．在容器中加入一定質(zhì)量的水，可以使儀器左右平衡．改變托盤B與點C的距離x（），記錄容器中加入的水的質(zhì)量，得到下表：托盤B與點C的距離x/3025201510容器與水的總質(zhì)量/g1012152030加入的水的質(zhì)量/g57101525把上表中的x與各組對應(yīng)值作為點的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出這些點，并用光滑的曲線連接起來，得到如圖所示的關(guān)于x的函數(shù)圖象．

(1)請在該平面直角坐標(biāo)系中作出關(guān)于x的函數(shù)圖象；(2)觀察函數(shù)圖象，并結(jié)合表中的數(shù)據(jù)回答下列問題：①直接寫出關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；②當(dāng)時，隨x的增大而_______（填“增大”或“減小”），隨x的增大而_______（填“增大”或“減小”）③的圖象與的圖象有什么位置關(guān)系？④求關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(3)若在容器中加入的水的質(zhì)量（g）滿足，求托盤B與點C的距離x的取值范圍．【例題2】（24-25九年級上·廣東深圳·階段練習(xí)）【項目式學(xué)習(xí)】項目主題：學(xué)科融合——用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界項目背景：學(xué)習(xí)完相似三角形性質(zhì)后，某學(xué)?？茖W(xué)小組的同學(xué)們嘗試用數(shù)學(xué)的知識和方法來研究凸透鏡成像規(guī)律．項目素材：素材一：透鏡成像中，光路圖的規(guī)律：通過透鏡中心的光線不發(fā)生改變；平行于主光軸的光線經(jīng)過折射后光線經(jīng)過焦點．素材二：設(shè)物距為u，像距為v和焦距f，小明在研究的過程中發(fā)現(xiàn)了物距u、像距v和焦距f之間在成實像時存在著關(guān)系：．【項目任務(wù)】根據(jù)項目素材解決問題：任務(wù)一：小明先取物距，然后畫出光路圖（如圖①），其中為物體，O為凸透鏡的光心，入射光線光軸，折射光線經(jīng)過焦點，為所成的像．（1）根據(jù)光路圖①可知，當(dāng)時，；（2）當(dāng)時，請仿照圖①的方法，在圖②中畫光路圖；任務(wù)二：凸透鏡的焦距為，蠟燭是，離透鏡中心O的距離是，（）時，蠟燭的成像的高，請你利用所學(xué)的知識求出y與x的關(guān)系式；任務(wù)三：根據(jù)任務(wù)二的關(guān)系式得出表：物距x/cm810121416像高y/cm1264m2.4（1）；（2）當(dāng)蠟燭的成像的高不小于時，請在坐標(biāo)系中畫出它的圖象；【鞏固練習(xí)1】（2023·吉林白城·模擬預(yù)測）電子體重秤度數(shù)直觀又便于攜帶，為人們帶來了方便，某綜合實踐活動小組設(shè)計了簡易電子體重秤：一個裝有踏板（踏板質(zhì)量忽略不計）1與踏板上人的質(zhì)量m之間的函數(shù)關(guān)系式為（其中k，b為常數(shù)，），其圖象如圖①所示；圖②的電路中，電源電壓恒為伏，定值電阻的阻值為30歐，接通開關(guān)，人站上踏板，電壓顯示的度數(shù)為，該度數(shù)可以換算為人的質(zhì)量m．注：①導(dǎo)體兩端的電壓U，導(dǎo)體的電阻R，通過導(dǎo)體的電流I，滿足關(guān)系式．②串聯(lián)電路中電流處處相等，各電阻兩端的電壓之和等于總電壓．(1)求出關(guān)于m的函數(shù)解析式．(2)當(dāng)伏時，歐．(3)若電壓表量程為伏，直接寫出該電子體重秤可稱的最大質(zhì)量．【鞏固練習(xí)2】（2024·浙江杭州·一模）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)探索鐵塊放在桌面上，桌子能否承受？素材1如圖，把鐵塊放在桌面上，則桌面所承受的壓力與鐵塊的重力相等．素材2重力=質(zhì)量×重力系數(shù)；密度；壓強(qiáng)．鐵的密度為，重力系數(shù)．素材3假設(shè)桌面所能承受的最大壓強(qiáng)為．長方體鐵塊的長、寬、高分別為．問題解決任務(wù)1求鐵塊的重力為多少N？任務(wù)2直接寫出鐵塊對桌面的壓強(qiáng)關(guān)于受力面積的函數(shù)表達(dá)式．任務(wù)3利用函數(shù)的性質(zhì)判斷能否把這個鐵塊放在這張桌面上？【鞏固練習(xí)3】（2024·廣東深圳·二模）【項目式學(xué)習(xí)】項目主題：學(xué)科融合－用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界項目背景：學(xué)習(xí)完相似三角形性質(zhì)后，某學(xué)?？茖W(xué)小組的同學(xué)們嘗試用數(shù)學(xué)的知識和方法來研究凸透鏡成像規(guī)律．項目素材：素材一：凸透鏡成像規(guī)律：物體到凸透鏡距離像到凸透鏡距離像的大小像的正倒大于2倍焦距大于1倍焦距小于2倍焦距縮小倒立2倍焦距2倍焦距等大倒立大于1倍焦距小于2倍焦距大于2倍焦距放大倒立小于焦距與物同側(cè)放大正立素材二：透鏡成像中，光路圖的規(guī)律：通過透鏡中心的光線不發(fā)生改變：平行于主光軸的光線經(jīng)過折射后光線經(jīng)過焦點．項目任務(wù)：任務(wù)一：凸透鏡的焦距為，蠟燭的高為，離透鏡中心的距離是時，請你利用所學(xué)的知識填空：①______，②____；任務(wù)二：凸透鏡的焦距為，蠟燭是，離透鏡中心的距離是時，蠟燭的成像的高，請你利用所學(xué)的知識求出與的關(guān)系式：任務(wù)三：（1）根據(jù)任務(wù)二的關(guān)系式得出下表：物距810121416像高12642.4其中______；（2）請在坐標(biāo)系中畫出它的圖像：（3）根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合圖像寫出1條你得到的結(jié)論：____________________________________________________．【鞏固練習(xí)4】（23-24九年級上·遼寧葫蘆島·期末）閱讀與思考：下面是小亮同學(xué)的一篇數(shù)學(xué)日記，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．今天是年月4日（星期一），在下午數(shù)學(xué)活動課上，我們“騰飛”小組的同學(xué)參加了人教九年級下冊頁“活動2”的探究活動．如圖，取一根長的勻質(zhì)木桿，用細(xì)繩綁在木桿的中點O并將其吊起來，在中點O的左側(cè)距離中點O處掛一個重的物體，在中點O右側(cè)用一個彈簧秤向下拉，使木桿處于水平狀態(tài)，改變彈簧秤與中點O的距離l（單位：），看彈簧秤的示數(shù)F（單位，N）有什么變化．

第一步，實驗測量．改變彈簧秤與中點O的距離L，觀察彈簧秤的示數(shù)F的值，并做好記錄（共記錄了7組數(shù)據(jù)）．第二步，整理數(shù)據(jù)．

第三步，描點連線．以L的數(shù)值為橫坐標(biāo)，對應(yīng)F的數(shù)值為縱坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中描出以表中數(shù)對為坐標(biāo)的各點，并用平滑的曲線順次連接這些點．在數(shù)據(jù)分析時，我發(fā)現(xiàn)一個數(shù)據(jù)有錯誤，重新測量計算后，證明了我的猜想正確，并修改了表中這個數(shù)據(jù)．實驗結(jié)束后，大家都有很多收獲，每人都撰寫了日記．任務(wù)：(1)你認(rèn)為表中第幾組數(shù)據(jù)是錯誤的？請把這組數(shù)據(jù)改正過來：(2)在平面直角坐標(biāo)系中，畫出F與L的函數(shù)圖象：

(3)這條曲線是反比例函數(shù)的一支嗎？為什么？并直接寫出F關(guān)于L的函數(shù)表達(dá)式；(4)點在這條曲線上嗎？說明理由．【鞏固練習(xí)5】（2022·山西·模擬預(yù)測）閱讀與思考請仔細(xì)閱讀材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．利用數(shù)學(xué)知識求電阻的阻值數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系十分密切，數(shù)學(xué)是表達(dá)物理概念、定律簡明而準(zhǔn)確的語言，同時，數(shù)學(xué)為物理提供了計量、計算的工具和方法．例如：已知兩個電阻和串聯(lián)后的總電阻為，并聯(lián)后的總電阻為，求這兩個電阻的阻值各是多少．根據(jù)串聯(lián)電路中電阻之間的關(guān)系，得①根據(jù)并聯(lián)電路中電阻之間的關(guān)系，得②把①代入②，得③以上問題也可以通過以下兩種數(shù)學(xué)方法求解．方法：設(shè)的阻值為，則的阻值為根據(jù)③可將問題轉(zhuǎn)化為是否有正數(shù)解的問題．方法：設(shè)兩個電阻的阻值分別為和，則根據(jù)③，得根據(jù)③，得所以同時滿足要求的正數(shù)和的值可以看成反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的交點坐標(biāo)．任務(wù)：(1)已知兩個電阻和串聯(lián)后的總電阻為，并聯(lián)后的總電阻為，請你借助“方法”，求這兩個電阻的阻值各是多少．(2)是否存在兩個電阻和，使串聯(lián)后的總電阻為，并聯(lián)后的總電阻為？小明借助“方法”解答如下：假設(shè)存在，設(shè)這兩個電阻的阻值分別為和，根據(jù)①，得______．根據(jù)③，得______．在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，小明分別畫出了滿足條件的反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象．觀察圖象可知，______填“存在”或“不存在”滿足條件的兩個電阻．【題型12】反比例函數(shù)綜合之新定義問題【例題1】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，對于點，給出如下定義：當(dāng)點，滿足時，稱點是點的等和點．(1)已知點，在，，中，是點等和點的有_____；(2)若點的等和點在直線上，求的值；(3)已知，雙曲線和直線，滿足的取值范圍是或．若點在雙曲線上，點的等和點在直線上，求點的坐標(biāo)．【例題2】（2024·黑龍江大慶·中考真題）定義：若一個函數(shù)圖象上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的點，則把該函數(shù)稱為“倍值函數(shù)”，該點稱為“倍值點”．例如：“倍值函數(shù)”，其“倍值點”為．下列說法不正確的序號為．①函數(shù)是“倍值函數(shù)”；②函數(shù)的圖象上的“倍值點”是和；③若關(guān)于x的函數(shù)的圖象上有兩個“倍值點”，則m的取值范圍是；④若關(guān)于x的函數(shù)的圖象上存在唯一的“倍值點”，且當(dāng)時，n的最小值為k，則k的值為．【鞏固練習(xí)1】（2024·四川樂山·中考真題）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都小于或等于1的點叫做這個函數(shù)圖象的“近軸點”．例如，點0,1是函數(shù)圖象的“近軸點”．（1）下列三個函數(shù)的圖象上存在“近軸點”的是（填序號）；①；②；③．（2）若一次函數(shù)圖象上存在“近軸點”，則m的取值范圍為．【鞏固練習(xí)2】（2023·四川樂山·中考真題）定義：若x，y滿足且（t為常數(shù)），則稱點為“和諧點”．（1）若是“和諧點”，則．（2）若雙曲線存在“和諧點”，則k的取值范圍為．【鞏固練習(xí)3】【題型13】反比例函數(shù)綜合之動點問題【例題1】（2024·江蘇泰州·一模）已知，如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點是反比例函數(shù)圖像上的一個動點，連接并延長交反比例函數(shù)的圖像于點，過點A作軸于點．(1)過點作軸，垂足為點，連接．當(dāng)四邊形是平行四邊形時，求的值；(2)連結(jié)，若，求的面積；(3)如圖2，過點作，交反比例函數(shù)的圖像于點，連接．試探究：對于確定的實數(shù)，動點在運動過程中，的面積是否會發(fā)生變化？若不變，求出的面積（用含有的代數(shù)式表示）；若變化，請說明理由．【例題2】如圖1，的面積為8，M，N分別是，的中點，連接，D是上一動點，過點D作于點H．點D從點M出發(fā)，運動到點N停止，連接，．設(shè)（），，．(1)分別直接寫出，與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)下表列出了部分對應(yīng)的自變量和函數(shù)值，請直接寫出m的值，并在圖2中分別畫出函數(shù)，的圖象；x…234567……42m…(3)寫出的一條性質(zhì)，并直接寫出時，自變量x的取值范圍．【鞏固練習(xí)1】如圖，點在函數(shù)的圖像上，過點作軸和軸的平行線分別交函數(shù)的圖像于點，，直線與坐標(biāo)軸的交