2025屆中考復(fù)習(xí)1/1742025屆中考復(fù)習(xí)專題10：二次函數(shù)中的存在性問題總覽總覽題型解讀TOC\o"1-3"\n\h\z\u解題策略梳理模塊一三角形存在性問題【題型1】等腰直角三角形【題型2】等腰三角形存在性問題【題型3】直角三角形存在性問題【題型4】相似三角形存在性問題模塊二特殊四邊形存在性問題【題型5】平行四邊形存在性問題【題型6】正方形存在性問題【題型7】矩形存在性問題【題型8】菱形存在性問題模塊三角的存在性問題【題型9】轉(zhuǎn)化為相似或全等三角形【題型10】轉(zhuǎn)化為等腰三角形問題【題型11】化為正切值或斜率【題型12】角的存在性問題之與特殊角結(jié)合【題型13】角的存在性問題之2倍角與半角【題型14】頂點是動點——構(gòu)造圓題型題型匯編知識梳理與常考題型解題策略梳理一、等腰三角形的存在性問題：幾何法與代數(shù)法講解【問題描述】如圖，點A坐標(biāo)為（1,1），點B坐標(biāo)為（4,3），在x軸上取點C使得△ABC是等腰三角形．【幾何法】“兩圓一線”得坐標(biāo)（1）以點A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有AB=AC；（2）以點B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有CA=CB．【注意】若有三點共線的情況，則需排除．作圖并不難，問題是還需要把各個點坐標(biāo)算出來，可通過勾股或者三角函數(shù)來求．同理可求，下求．顯然垂直平分線這個條件并不太適合這個題目，如果A、B均往下移一個單位，當(dāng)點A坐標(biāo)為（1,0），點B坐標(biāo)為（4,2）時，可構(gòu)造直角三角形勾股解：而對于本題的，或許代數(shù)法更好用一些．二、直角三角形存在性問題：幾何法與代數(shù)法講解【問題描述】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A坐標(biāo)為（1,1），點B坐標(biāo)為（5,3），在x軸上找一點C使得△ABC是直角三角形，求點C坐標(biāo)．【幾何法】兩線一圓得坐標(biāo)（1）若∠A為直角，過點A作AB的垂線，與x軸的交點即為所求點C；（2）若∠B為直角，過點B作AB的垂線，與x軸的交點即為所求點C；（3）若∠C為直角，以AB為直徑作圓，與x軸的交點即為所求點C．（直徑所對的圓周角為直角）重點還是如何求得點坐標(biāo)，求法相同，以為例：【構(gòu)造三垂直】求法相同，以為例：構(gòu)造三垂直步驟：第一步：過直角頂點作一條水平或豎直的直線；第二步：過另外兩端點向該直線作垂線，即可得三垂直相似．【代數(shù)法】表示線段構(gòu)勾股還剩下待求，不妨來求下：（1）表示點：設(shè)坐標(biāo)為（m，0），又A（1，1）、B（5，3）；（2）表示線段：，，；（3）分類討論：當(dāng)為直角時，；（4）代入得方程：，解得：．三、等腰直角三角形在性問題方法突破【三垂直構(gòu)造等腰直角三角形】通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決問題．【模型呈現(xiàn)】如圖，在Rt△ABC，∠ACB=90°，將斜邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到AD，過點D作DE⊥AC于點，可以推理得到△ABC≌△DAE，進(jìn)而得到AC=DE，BC=AE．我們把這個數(shù)學(xué)模型成為“K型”．推理過程如下：【模型遷移】【蘭州中考（刪減）】二次函數(shù)的圖像交軸于點A（-1,0），B（4,0）兩點，交軸于點．動點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿方向運動，過點作軸交直線于點，交拋物線于點，連接，設(shè)運動的時間為秒．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）在直線上存在一點，當(dāng)是以為直角的等腰直角三角形時，求此時點的坐標(biāo)．【分析】（1）；（2）本題直角頂點P并不確定，以BC為斜邊作等腰直角三角形，直角頂點即為P點，再過點P作水平線，得三垂直全等．設(shè)HP=a，PQ=b，則BQ=a，CH=b，由圖可知：，解得：．故D點坐標(biāo)為（1,3）．同理可求此時D點坐標(biāo)為（3,2）．思路2：等腰直角的一半還是等腰直角．如圖，取BC中點M點，以BM為一直角邊作等腰直角三角形，則第三個頂點即為P點．根據(jù)B點和M點坐標(biāo)，此處全等的兩三角形兩直角邊分別為1和2，故P點坐標(biāo)易求．P點橫坐標(biāo)同D點，故可求得D點坐標(biāo)．四、平行四邊形存在性問題方法突破考慮到求證平行四邊形存在，必先了解平行四邊形性質(zhì)：（1）對應(yīng)邊平行且相等；（2）對角線互相平分．這是圖形的性質(zhì)，我們現(xiàn)在需要的是將其性質(zhì)運用在在坐標(biāo)系中：（1）對邊平行且相等可轉(zhuǎn)化為：，可以理解為點B移動到點A，點C移動到點D，移動路徑完全相同．（2）對角線互相平分轉(zhuǎn)化為：，可以理解為AC的中點也是BD的中點．【小結(jié)】雖然由兩個性質(zhì)推得的式子并不一樣，但其實可以化為統(tǒng)一：，→．當(dāng)AC和BD為對角線時，結(jié)果可簡記為：（各個點對應(yīng)的橫縱坐標(biāo)相加）以上是對于平行四邊形性質(zhì)的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問題，此處當(dāng)有一問：若坐標(biāo)系中的4個點A、B、C、D滿足“A+C=B+D”，則四邊形ABCD是否一定為平行四邊形？反例如下：之所以存在反例是因為“四邊形ABCD是平行四邊形”與“AC、BD中點是同一個點”并不是完全等價的轉(zhuǎn)化，故存在反例．雖有反例，但并不影響運用此結(jié)論解題，另外，還需注意對對角線的討論：（1）四邊形ABCD是平行四邊形：AC、BD一定是對角線．（2）以A、B、C、D四個點為頂點是四邊形是平行四邊形：對角線不確定需要分類討論．【題型分類】平行四邊形存在性問題通常可分為“三定一動”和“兩定兩動”兩大類問題．三定一動已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐標(biāo)系內(nèi)確定點D使得以A、B、C、D四個點為頂點的四邊形是平行四邊形．思路1：利用對角線互相平分，分類討論：設(shè)D點坐標(biāo)為（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：（1）BC為對角線時，，可得；（2）AC為對角線時，，解得；（3）AB為對角線時，，解得．當(dāng)然，如果對這個計算過程非常熟悉的話，也不用列方程解，直接列算式即可．比如：，，．（此處特指點的橫縱坐標(biāo)相加減）兩定兩動已知A（1，1）、B（3，2），點C在x軸上，點D在y軸上，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求C、D坐標(biāo)．【分析】設(shè)C點坐標(biāo)為（m，0），D點坐標(biāo)為（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．（1）當(dāng)AB為對角線時，，解得，故C（4，0）、D（0，3）；（2）當(dāng)AC為對角線時，，解得，故C（2，0）、D（0，-1）；（3）當(dāng)AD為對角線時，，解得，故C（-2，0）、D（0，1）．【動點綜述】“三定一動”的動點和“兩定兩動”的動點性質(zhì)并不完全一樣，“三定一動”中動點是在平面中，橫縱坐標(biāo)都不確定，需要用兩個字母表示，這樣的我們姑且稱為“全動點”，而有一些動點在坐標(biāo)軸或者直線或者拋物線上，用一個字母即可表示點坐標(biāo)，稱為“半動點”．從上面例子可以看出，雖然動點數(shù)量不同，但本質(zhì)都是在用兩個字母表示出4個點坐標(biāo)．若把一個字母稱為一個“未知量”也可理解為：全動點未知量=半動點未知量×2．找不同圖形的存在性最多可以有幾個未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個未知量．究其原因，在于平行四邊形兩大性質(zhì)：（1）對邊平行且相等；（2）對角線互相平分．但此兩個性質(zhì)統(tǒng)一成一個等式：，兩個等式，只能允許最多存在兩個未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問題最多只能存在2個未知量．由圖形性質(zhì)可知未知量，由未知量可知動點設(shè)計，由動點設(shè)計可化解問題．五、矩形的存在性問題方法突破矩形的判定：（1）有一個角是直角的平行四邊形；（2）對角線相等的平行四邊形；（3）有三個角為直角的四邊形．【題型分析】矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對角線相等”或“內(nèi)角為直角”，因此相比起平行四邊形，坐標(biāo)系中的矩形滿足以下3個等式：（AC為對角線時）因此在矩形存在性問題最多可以有3個未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解．確定了有3個未知量，則可判斷常見矩形存在性問題至少有2個動點，多則可以有3個．題型如下：（1）2個定點+1個半動點+1個全動點；（2）1個定點+3個半動點．【解析思路】思路1：先直角，再矩形在構(gòu)成矩形的4個點中任取3個點，必構(gòu)成直角三角形，以此為出發(fā)點，可先確定其中3個點構(gòu)造直角三角形，再確定第4個點．對“2定+1半動+1全動”尤其適用．引例：已知A（1，1）、B（4，2），點C在x軸上，點D在平面中，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是矩形，求D點坐標(biāo)．【分析】點C滿足以A、B、C為頂點的三角形是直角三角形，構(gòu)造“兩線一圓”可得滿足條件的點C有、、、在點C的基礎(chǔ)上，借助點的平移思路，可迅速得到點D的坐標(biāo)．【小結(jié)】這種解決矩形存在性問題的方法相當(dāng)于在直角三角形存在性問題上再加一步求D點坐標(biāo)，也是因為這兩個圖形之間的密切關(guān)系方能如此．思路2：先平行，再矩形當(dāng)AC為對角線時，A、B、C、D滿足以下3個等式，則為矩形：其中第1、2個式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形．表示出點坐標(biāo)后，代入點坐標(biāo)解方程即可．無論是“2定1半1全”還是“1定3半”，對于我們列方程來解都沒什么區(qū)別，能得到的都是三元一次方程組．引例：已知A（1，1）、B（4，2），點C在x軸上，點D在坐標(biāo)系中，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是矩形，求D點坐標(biāo)．【分析】設(shè)C點坐標(biāo)為（a，0），D點坐標(biāo)為（b，c），又A（1，1）、B（4，2）．先考慮平行四邊形存在性：（1）AB為對角線時，，滿足此條件的C、D使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，另外AB=CD，得：，綜合以上可解：或．故C（3，0）、D（2，3）或C（2，0）、D（3，3）．（2）AC為對角線時，，另外AC=BD，得，綜合以上可解得：．故C、D．（3）AD為對角線時，，另外AD=BC，得，綜合以上可解得：．故C、D．【小結(jié)】這個方法是在平行四邊形基礎(chǔ)上多加一個等式而已，剩下的都是計算的故事．

【代數(shù)法】表示線段構(gòu)相等（1）表示點：設(shè)點坐標(biāo)為（m，0），又A點坐標(biāo)（1,1）、B點坐標(biāo)（4,3），（2）表示線段：，（3）分類討論：根據(jù)，可得：，（4）求解得答案：解得：，故坐標(biāo)為．【小結(jié)】幾何法：（1）“兩圓一線”作出點；（2）利用勾股、相似、三角函數(shù)等求線段長，由線段長得點坐標(biāo)．代數(shù)法：（1）表示出三個點坐標(biāo)A、B、C；（2）由點坐標(biāo)表示出三條線段：AB、AC、BC；（3）根據(jù)題意要求?、貯B=AC、②AB=BC、③AC=BC；（4）列出方程求解．問題總結(jié)：（1）兩定一動：動點可在直線上、拋物線上；（2）一定兩動：兩動點必有關(guān)聯(lián)，可表示線段長度列方程求解；（3）三動點：分析可能存在的特殊邊、角，以此為突破口．六、菱形的存在性問題方法突破作為一種特殊的平行四邊形，我們已經(jīng)知道可以從以下幾種方式得到菱形：（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形菱形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊都相等的四邊形是菱形．坐標(biāo)系中的菱形存在性問題也是依據(jù)以上去得到方法．和平行四邊形相比，菱形多一個“對角線互相垂直”或“鄰邊相等”，但這兩者其實是等價的，故若四邊形ABCD是菱形，則其4個點坐標(biāo)需滿足：考慮到互相垂直的兩條直線斜率之積為1在初中并不適合直接用，故取兩鄰邊相等．即根據(jù)菱形的圖形性質(zhì)，我們可以列出關(guān)于點坐標(biāo)的3個等式，故菱形存在性問題點坐標(biāo)最多可以有3個未知量，與矩形相同．因此就常規(guī)題型而言，菱形存在性至少有2個動點，多則有3個動點，可細(xì)分如下兩大類題型：（1）2個定點+1個半動點+1個全動點（2）1個定點+3個半動點解決問題的方法也可有如下兩種：思路1：先平四，再菱形設(shè)點坐標(biāo)，根據(jù)平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD為對角線），再結(jié)合一組鄰邊相等，得到方程組．思路2：先等腰，再菱形在構(gòu)成菱形的4個點中任取3個點，必構(gòu)成等腰三角形，根據(jù)等腰存在性方法可先確定第3個點，再確定第4個點．

看個例子：如圖，在坐標(biāo)系中，A點坐標(biāo)（1,1），B點坐標(biāo)為（5,4），點C在x軸上，點D在平面中，求D點坐標(biāo)，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形．思路1：先平四，再菱形設(shè)C點坐標(biāo)為（m，0），D點坐標(biāo)為（p，q）．（1）當(dāng)AB為對角線時，由題意得：（AB和CD互相平分及AC=BC），解得：（2）當(dāng)AC為對角線時，由題意得：（AC和BD互相平分及BA=BC），解得：或（3）當(dāng)AD為對角線時，由題意得：，解得：或思路2：先等腰，再菱形先求點C，點C滿足由A、B、C構(gòu)成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性問題的方法先確定C，再確定D點．（1）當(dāng)AB=AC時，C點坐標(biāo)為，對應(yīng)D點坐標(biāo)為；C點坐標(biāo)為，對應(yīng)D點坐標(biāo)為．（2）當(dāng)BA=BC時，C點坐標(biāo)為（8，0），對應(yīng)D點坐標(biāo)為（4，-3）；C點坐標(biāo)為（2，0），對應(yīng)D點坐標(biāo)為（-2，-3）．（3）AC=BC時，C點坐標(biāo)為，D點坐標(biāo)為．以上只是兩種簡單的處理方法，對于一些較復(fù)雜的題目，還需具體問題具體分析，或許有更為簡便的方法．七、正方形的存在性問題方法突破作為特殊四邊形中最特殊的一位，正方形擁有更多的性質(zhì)，因此坐標(biāo)系中的正方形存在性問題變化更加多樣，從判定的角度來說，可以有如下：（1）有一個角為直角的菱形；（2）有一組鄰邊相等的矩形；（3）對角線互相垂直平分且相等的四邊形．依據(jù)題目給定的已知條件選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，即可確定所求的點坐標(biāo)．從未知量的角度來說，正方形可以有4個“未知量”，因其點坐標(biāo)滿足4個等量關(guān)系，考慮對角線性質(zhì)，互相平分（2個）垂直（1個）且相等（1個）．比如在平面中若已知兩個定點，可以在平面中確定另外兩個點使得它們構(gòu)成正方形，而如果要求在某條線上確定點，則可能會出現(xiàn)不存在的情況，即我們所說的未知量小于方程個數(shù)，可能無解．從動點角度來說，關(guān)于正方形存在性問題可分為：（1）2個定點+2個全動點；（2）1個定點+2個半動點+1個全動點;甚至可以有：（3）4個半動點．不管是哪一種類型，要明確的是一點，我們肯定不會列一個四元一次方程組求點坐標(biāo)！常用處理方法：思路1：從判定出發(fā)若已知菱形，則加有一個角為直角或?qū)蔷€相等；若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；若已知對角線互相垂直或平分或相等，則加上其他條件．思路2：構(gòu)造三垂直全等若條件并未給關(guān)于四邊形及對角線的特殊性，則考慮在構(gòu)成正方形的4個頂點中任取3個，必是等腰直角三角形，若已知兩定點，則可通過構(gòu)造三垂直全等來求得第3個點，再求第4個點．總結(jié)：構(gòu)造三垂直全等的思路僅適合已知兩定點的情形，若題目給了4個動點，則考慮從矩形的判定出發(fā)，觀察該四邊形是否已為某特殊四邊形，考證還需滿足的其他關(guān)系．正方形的存在性問題在中考中出現(xiàn)得并不多，正方形多以小題壓軸為主．例：在平面直角坐標(biāo)系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是正方形．如圖，一共6個這樣的點C使得以A、B、C為頂點的三角形是等腰直角三角形．至于具體求點坐標(biāo)，以為例，構(gòu)造△AMB≌△，即可求得坐標(biāo)．至于像、這兩個點的坐標(biāo)，不難發(fā)現(xiàn)，是或的中點，是或的中點．題無定法，具體問題還需具體分析，如上僅僅是大致思路．八、相似三角形存在性問題【模型解讀】在坐標(biāo)系中確定點，使得由該點及其他點構(gòu)成的三角形與其他三角形相似，即為“相似三角形存在性問題”．【相似判定】判定1：三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形是相似三角形；判定2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形是相似三角形；判定3：有兩組角對應(yīng)相等的三角形是相似三角形．以上也是坐標(biāo)系中相似三角形存在性問題的方法來源，根據(jù)題目給的已知條件選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，解決問題．【題型分析】通常相似的兩三角形有一個是已知的，而另一三角形中有1或2個動點，即可分為“單動點”類、“雙動點”兩類問題．【思路總結(jié)】根據(jù)相似三角形的做題經(jīng)驗，可以發(fā)現(xiàn)，判定1基本是不會用的，這里也一樣不怎么用，對比判定2、3可以發(fā)現(xiàn)，都有角相等！所以，要證相似的兩個三角形必然有相等角，關(guān)鍵點也是先找到一組相等角．然后再找：思路1：兩相等角的兩邊對應(yīng)成比例；思路2：還存在另一組角相等．事實上，坐標(biāo)系中在已知點的情況下，線段長度比角的大小更容易表示，因此選擇方法可優(yōu)先考慮思路1．一、如何得到相等角？二、如何構(gòu)造兩邊成比例或者得到第二組角？搞定這兩個問題就可以了．九、角的存在性問題方法突破除了特殊幾何圖形存在性問題外，相等角存在性也是二次函數(shù)壓軸題中常見的題型，根據(jù)題目給的不同的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆绞饺?gòu)造相等角，是此類問題的關(guān)鍵．回顧一下在幾何圖形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：（1）平行：兩直線平行，同位角、內(nèi)錯角相等；（2）角平分線：角平分線分的兩個角相等；（3）等腰三角形：等邊對等角；（4）全等（相似）三角形：對應(yīng)角相等；（5）三角函數(shù)：若兩個角的三角函數(shù)值相等，則兩角相等；（6）圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等．也許還有，但大部分應(yīng)該都在此了，同樣，在拋物線背景下亦可用如下思路構(gòu)造相等角．想得到相等角，先考慮如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函數(shù)值，因此在以上6種方案當(dāng)中，若無明顯條件，可考慮求出角的三角函數(shù)值來構(gòu)造相等角．模塊一三角形存在性問題【題型1】等腰直角三角形【例題1】如圖，拋物線交軸于點和點，交軸于點．（1）求這個拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）點的坐標(biāo)為，點為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，求四邊形面積的最大值．（3）點為拋物線對稱軸上的點，問：在拋物線上是否存在點，使為等腰直角三角形，且為直角？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）；（2）連接AC，將四邊形面積拆為△APC和△ADC面積，考慮△ADC面積為定值，故只需△APC面積最大即可，鉛垂法可解；（3）過點N作NE⊥x軸交x軸于E點，如圖1，過點M向NE作垂線交EN延長線于F點，易證△OEN≌△NFM，可得：NE=FM．設(shè)N點坐標(biāo)為，則，，∴，解得：（圖1），（圖4）對應(yīng)N點坐標(biāo)分別為、；，解得：（圖2）、（圖3）對應(yīng)N點坐標(biāo)分別為、．當(dāng)直角頂點不確定時，問題的一大難點是找出所有情況，而事實上，所有的情況都可以歸結(jié)為同一個方程：NE=FM．故只需在用點坐標(biāo)表示線段時加上絕對值，便可計算出可能存在的其他情況．【例題2】如圖，拋物線過點、點，交y軸于點C．

(1)求b，c的值．(2)點是拋物線上的動點，過點P作軸，交于點E，再過點P作軸，交拋物線于點F，連接，問：是否存在點P，使為等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)當(dāng)點的坐標(biāo)為或時，為等腰直角三角形【分析】（1）將將、代入拋物線即可求解；（2）由題意可知拋物線的對稱軸為，則，分兩種情況：當(dāng)點在對稱軸左側(cè)時，即時，當(dāng)點在對稱軸右側(cè)時，即時，分別進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：將、代入拋物線中，可得：，解得：，即：，；（2）存在，當(dāng)點的坐標(biāo)為或時，為等腰直角三角形．理由如下：由①可知，由題意可知拋物線的對稱軸為直線，∵軸，∴，，則，當(dāng)點在對稱軸左側(cè)時，即時，

，當(dāng)時，為等腰直角三角形，即：，整理得：，解得：（，不符合題意，舍去）此時，即點；當(dāng)點在對稱軸右側(cè)時，即時，

，當(dāng)時，為等腰直角三角形，即：，整理得：，解得：（，不符合題意，舍去）此時：，即點；綜上所述，當(dāng)點的坐標(biāo)為或時，為等腰直角三角形【鞏固練習(xí)1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于A、B兩點，點B（3,0），經(jīng)過點A的直線AC與拋物線的另一交點為，與y軸交點為D，點P是直線AC下方的拋物線上的一個動點（不與點A、C重合）．（1）求該拋物線的解析式．（2）點在拋物線的對稱軸上運動，當(dāng)是以為直角邊的等腰直角三角形時，請直接寫出符合條件的點的坐標(biāo)．【分析】（1）；（2）①當(dāng)∠POQ為直角時，考慮Q點在對稱軸上，故過點Q向y軸作垂線，垂線段長為1，可知過點P向x軸作垂線，長度必為1，故P的縱坐標(biāo)為±1．如下圖，不難求出P點坐標(biāo)．設(shè)P點坐標(biāo)為，可得：．解得：，，，（舍）．如下圖，對應(yīng)P點坐標(biāo)分別為、、．②當(dāng)∠OPQ為直角時，如圖構(gòu)造△OMP≌△PNQ，可得：PM=QN．設(shè)P點坐標(biāo)為，則，QN=，∴，若，解得：，（舍）．若，解得：，（舍）．如下圖，對應(yīng)P點坐標(biāo)分別為、．對于構(gòu)造三垂直來說，直角頂點已知的和直角頂點的未知的完全就是兩個題目！也許能畫出大概位置，但如何能畫出所有情況，才是問題的關(guān)鍵．其實只要再明確一點，構(gòu)造出三垂直后，表示出一組對應(yīng)邊，根據(jù)相等關(guān)系列方程求解即可．【鞏固練習(xí)2】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)已知為拋物線上一點，為拋物線對稱軸上一點，以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，求出點的坐標(biāo)；【答案】(1)，(2)或或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可；（2）先求得拋物線的對稱軸為直線，設(shè)與交于點，過點作于點，證明，設(shè)，則，，進(jìn)而得出點的坐標(biāo)，代入拋物線解析式，求得的值，同理可求得當(dāng)點F在x軸下方時的坐標(biāo)；當(dāng)點與點重合時，求得另一個解，進(jìn)而即可求解；【詳解】（1）解：將點，，代入得，解得：，∴拋物線解析式為；（2）∵點，，∴拋物線的對稱軸為直線：，如圖所示，設(shè)與交于點，過點作于點

∵以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∵點在拋物線上∴解得：（舍去）或,∴，如圖所示，設(shè)與交于點，過點作于點

∵以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∵點在拋物線上∴解得：（舍去）或，∴，當(dāng)點與點重合時，如圖所示，

∵，是等腰直角三角形，且，∴此時，綜上所述，或或【鞏固練習(xí)3】（2024·四川眉山·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點在拋物線上．

(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)點在第二象限內(nèi)，且的面積為3時，求點的坐標(biāo)；(3)在直線上是否存在點，使是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為(2)的坐標(biāo)為或(3)的坐標(biāo)為或或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）過作軸交于，求出直線解析式，根據(jù)列式求解；（3）先求出點A，B坐標(biāo)，再求出直線解析式，過作軸于，過作軸于，分以下情況分別討論即可：①與重合，與重合時；②當(dāng)在第一象限，在第四象限時；③當(dāng)在第四象限，在第三象限時；④當(dāng)在第四象限，在第一象限時．【詳解】（1）解：把，代入得：，解得，拋物線的解析式為；（2）解：過作軸交于，如圖：

由，得直線解析式為，設(shè)，則，，的面積為3，，即，解得或，的坐標(biāo)為或；（3）解：在直線上存在點，使是以為斜邊的等腰直角三角形，理由如下：在中，令得，解得或，，，由，得直線解析式為，設(shè)，，過作軸于，過作軸于，①，當(dāng)與重合，與重合時，是等腰直角三角形，如圖：

此時；②當(dāng)在第一象限，在第四象限時，

是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，，，，，解得（小于0，舍去）或，，的坐標(biāo)為；③當(dāng)在第四象限，在第三象限時，如圖：

是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，，，，同理可得，解得或（大于0，舍去），，的坐標(biāo)為；④當(dāng)在第四象限，在第一象限，如圖：

是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，，，，，解得（舍去）或，，的坐標(biāo)為；綜上所述，的坐標(biāo)為或或或．【題型2】等腰三角形存在性問題【例題1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)交軸于點、，交軸于點，在軸上有一點，連接．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點為拋物線在軸負(fù)半軸上方的一個動點，求面積的最大值；（3）拋物線對稱軸上是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點的坐標(biāo)，若不存在請說明理由．【分析】（1）；（2）可用鉛垂法，當(dāng)點D坐標(biāo)為時，△ADE面積最大，最大值為14；（3）這個問題只涉及到A、E兩點及直線x=-1（對稱軸）①當(dāng)AE=AP時，以A為圓心，AE為半徑畫圓，與對稱軸交點即為所求P點．∵AE=，∴，又AH=3，∴，故、．②當(dāng)EA=EP時，以E點為圓心，EA為半徑畫圓，與對稱軸交點即為所求P點．過點E作EM垂直對稱軸于M點，則EM=1，，故、．③當(dāng)PA=PE時，作AE的垂直平分線，與對稱軸交點即為所求P點．設(shè)，，∴，解得：m=1．故．綜上所述，P點坐標(biāo)為、、、、．【補充】“代數(shù)法”用點坐標(biāo)表示出線段，列方程求解亦可以解決．【例題2】（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．點是拋物線的頂點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，連接，，直線交拋物線的對稱軸于點，若點是直線上方拋物線上一點，且，求點的坐標(biāo)；(3)若點是拋物線對稱軸上位于點上方的一動點，是否存在以點，，為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)或；(3)或或或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）先求得的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，進(jìn)而根據(jù)得出，連接，設(shè)交軸于點，則得出是等腰直角三角形，進(jìn)而得出，則點與點重合時符合題意，，過點作交拋物線于點，得出直線的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式，即可求解；（3）勾股定理求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類討論解方程，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點和點，∴解得：∴拋物線的解析式為；（2）由，當(dāng)時，，則∵，則，對稱軸為直線設(shè)直線的解析式為，代入，∴解得：∴直線的解析式為，當(dāng)時，，則∴∴∴是等腰三角形，∴連接，設(shè)交軸于點，則∴是等腰直角三角形，∴，，又∴∴∴點與點重合時符合題意，如圖所示，過點作交拋物線于點，設(shè)直線的解析式為，將代入得，解得：∴直線的解析式為聯(lián)立解得：，∴綜上所述，或；（3）解：∵，，∴∵點是拋物線對稱軸上位于點上方的一動點，設(shè)其中∴，①當(dāng)時，，解得：或②當(dāng)時，，解得：③當(dāng)時，，解得：或（舍去）綜上所述，或或或．【鞏固練習(xí)3】如圖，拋物線交軸于，兩點，與軸交于點，連接，．點是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，點的橫坐標(biāo)為．（1）求此拋物線的表達(dá)式；（2）過點作軸，垂足為點，交于點．試探究點在運動過程中，是否存在這樣的點，使得以，，為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；【分析】（1）；（2）①當(dāng)CA=CQ時，∵CA=5，∴CQ=5，考慮到CB與y軸夾角為45°，故過點Q作y軸的垂線，垂足記為H，則，故Q點坐標(biāo)為．②當(dāng)AC=AQ時，考慮直線BC解析式為y=-x+4，可設(shè)Q點坐標(biāo)為（m，-m+4），，即，解得：m=1或0（舍），故Q點坐標(biāo)為（1，3）．③當(dāng)QA=QC時，作AC的垂直平分線，顯然與線段BC無交點，故不存在．綜上所述，Q點坐標(biāo)為或（1，3）．【鞏固練習(xí)2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點和點．（1）求拋物線的解析式及頂點的坐標(biāo)；（2）如圖，連接、，點在線段上（不與、重合），作，交線段于點，是否存在這樣點，使得為等腰三角形？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．【分析】（1），頂點D坐標(biāo)為；（2）考慮到∠DAB=∠DBA=∠DMN，即有△BMD∽△ANM（一線三等角）．①當(dāng)MD=MN時，有△BMD≌△ANM，可得AM=BD=5，故AN=BM=1；②當(dāng)NM=ND時，則∠NDM=∠NMD=∠DAB，△MAD∽△DAB，可得AM=，∴，即，解得：．③當(dāng)DM=DN時，∠DNM=∠DMN=∠DAB，顯然不成立，故不存在這樣的點M．綜上，AN的值為1或．【鞏固練習(xí)3】如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸相交于，兩點，與軸相交于點．（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖像上任意一點，軸于點，與線段交于點，連接．當(dāng)是以為一腰的等腰三角形時，求點的坐標(biāo)．

【分析】（1）；（2）①當(dāng)PM=PC時，（特殊角分析）考慮∠PMC=45°，∴∠PCM=45°，即△PCM是等腰直角三角形，P點坐標(biāo)為（2，-3）；②當(dāng)MP=MC時，（表示線段列方程）設(shè)P點坐標(biāo)為，則M點坐標(biāo)為，故線段故點M作y軸的垂線，垂足記為N，則MN=m，考慮△MCN是等腰直角三角形，故，∴，解得或0（舍），故P點坐標(biāo)為．綜上所述，P點坐標(biāo)為（2，-3）或．【鞏固練習(xí)4】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，過A，C兩點的拋物線與x軸的另一個交點為點，點P是拋物線位于第四象限圖象上的動點，過點P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線于點E，點F．(1)求拋物線的解析式；(2)點D是x軸上的任意一點，若是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點D的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)題意確定點A、C的坐標(biāo)，然后運用待定系數(shù)法求解即可；（2）分三種情況分別畫出圖形，然后根據(jù)等腰三角形的定義以及坐標(biāo)與圖形即可解答．【詳解】（1）解：∵直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，∴當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；∵，∴設(shè)拋物線的解析式為，把代入可得：，解得：，∴，∴拋物線的解析式為：．（2）解：∵，，∴,∴，如圖：當(dāng)，∴,即；如圖：當(dāng)，∴,即；如圖：當(dāng)，∴,即；綜上，點D的坐標(biāo)為．【鞏固練習(xí)5】（2024·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于點C．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖①，若點P是線段上的一個動點（不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，當(dāng)線段的長度最大時，求點Q的坐標(biāo)；(3)如圖②，在（2）的條件下，過點Q的直線與拋物線交于點D，且．在y軸上是否存在點E，使得為等腰三角形？若存在，直接寫出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點或或或或【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）由，即可求解；（3）先求出點，再分類求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：，則，則拋物線的表達(dá)式為：；（2）解：由拋物線的表達(dá)式知，點，由點B、C的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，設(shè)點，則點，則，∵，故有最大值，此時，則，即點；（3）解：存在，理由：設(shè)直線的表達(dá)式為，由點的坐標(biāo)得，，解得：，∴直線的表達(dá)式為：，令，，故，過點作軸交軸于點，則，，則，即直線和關(guān)于直線對稱，故，設(shè)直線的表達(dá)式為，代入，，得，解得：，則直線的表達(dá)式為：，聯(lián)立上式和拋物線的表達(dá)式得：，解得：(舍去)或5，即點；設(shè)點，由的坐標(biāo)得，，當(dāng)時，則，解得：，即點或；當(dāng)或時，同理可得：或，解得：或，即點或或；綜上，點或或或或．【題型3】直角三角形存在性問題【例題1】通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決問題．【模型呈現(xiàn)】如圖，在Rt△ABC，∠ACB=90°，將斜邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到AD，過點D作DE⊥AC于點，可以推理得到△ABC≌△DAE，進(jìn)而得到AC=DE，BC=AE．我們把這個數(shù)學(xué)模型成為“K型”．推理過程如下：【模型遷移】二次函數(shù)的圖像交軸于點A（-1,0），B（4,0）兩點，交軸于點．動點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿方向運動，過點作軸交直線于點，交拋物線于點，連接，設(shè)運動的時間為秒．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）在直線上存在一點，當(dāng)是以為直角的等腰直角三角形時，求此時點的坐標(biāo)．

【分析】（1）；（2）本題直角頂點P并不確定，以BC為斜邊作等腰直角三角形，直角頂點即為P點，再過點P作水平線，得三垂直全等．設(shè)HP=a，PQ=b，則BQ=a，CH=b，由圖可知：，解得：．故D點坐標(biāo)為（1,3）．同理可求此時D點坐標(biāo)為（3,2）．思路2：等腰直角的一半還是等腰直角．如圖，取BC中點M點，以BM為一直角邊作等腰直角三角形，則第三個頂點即為P點．根據(jù)B點和M點坐標(biāo)，此處全等的兩三角形兩直角邊分別為1和2，故P點坐標(biāo)易求．P點橫坐標(biāo)同D點，故可求得D點坐標(biāo)．【例題2】如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，且拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，其中，．（1）若直線經(jīng)過、兩點，求直線和拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上找一點，使點到點的距離與到點的距離之和最小，求出點的坐標(biāo)；（3）設(shè)點為拋物線的對稱軸上的一個動點，求使為直角三角形的點坐標(biāo)．【分析】（1）直線BC：拋物線：；（2）將軍飲馬問題，考慮到M點在對稱軸上，且點A關(guān)于對稱軸的對稱點為點B，故MA+MC=MB+MC，∴當(dāng)B、M、C三點共線時，M到A和C的距離之后最小，此時M點坐標(biāo)為（-1，2）；（3）兩圓一線作點P：以為例，構(gòu)造△PNB∽△BMC，考慮到BM=MC=3，∴BN=PN=2，故點坐標(biāo)為（-1，-2）．易求坐標(biāo)為（1,4）．、求法類似，下求：已知PN=1，PM=2，設(shè)CN=a，BM=b，由相似得：，即ab=2，由圖可知：b-a=3，故可解：，（舍），對應(yīng)坐標(biāo)為．類似可求坐標(biāo)為．【例題3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點是該拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式和直線的解析式；（2）請在軸上找一點，使的周長最小，求出點的坐標(biāo)；（3）試探究：在拋物線上是否存在點，使以點，，為頂點，為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）拋物線：，直線AC：y=3x+3；（2）看圖，M點坐標(biāo)為（0,3）與C點重合了．（3）考慮到AC為直角邊，故分別過A、C作AC的垂線，與拋物線交點即為所求P點，有如下兩種情況，先求過A點所作垂線得到的點P：設(shè)P點坐標(biāo)為，則PM=m+1，AM=，易證△PMA∽△ANC，且AN=3，CN=1，∴，解得：，（舍），故第1個P點坐標(biāo)為；再求過點C所作垂線得到的點P：，CN=m，，解得：，（舍），故第2個P點坐標(biāo)為．綜上所述，P點坐標(biāo)為或．【鞏固練習(xí)1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于A、B兩點，點B（3,0），經(jīng)過點A的直線AC與拋物線的另一交點為，與y軸交點為D，點P是直線AC下方的拋物線上的一個動點（不與點A、C重合）．（1）求該拋物線的解析式．（2）點在拋物線的對稱軸上運動，當(dāng)是以為直角邊的等腰直角三角形時，請直接寫出符合條件的點的坐標(biāo)．【分析】（1）；（2）①當(dāng)∠POQ為直角時，考慮Q點在對稱軸上，故過點Q向y軸作垂線，垂線段長為1，可知過點P向x軸作垂線，長度必為1，故P的縱坐標(biāo)為±1．如下圖，不難求出P點坐標(biāo)．設(shè)P點坐標(biāo)為，可得：．解得：，，，（舍）．如下圖，對應(yīng)P點坐標(biāo)分別為、、．②當(dāng)∠OPQ為直角時，如圖構(gòu)造△OMP≌△PNQ，可得：PM=QN．設(shè)P點坐標(biāo)為，則，QN=，∴，若，解得：，（舍）．若，解得：，（舍）．如下圖，對應(yīng)P點坐標(biāo)分別為、．對于構(gòu)造三垂直來說，直角頂點已知的和直角頂點的未知的完全就是兩個題目！也許能畫出大概位置，但如何能畫出所有情況，才是問題的關(guān)鍵．其實只要再明確一點，構(gòu)造出三垂直后，表示出一組對應(yīng)邊，根據(jù)相等關(guān)系列方程求解即可【鞏固練習(xí)2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點．與y軸交于點．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1),(2)或【分析】（1）將、、代入拋物線解析式求解即可；（2）過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，設(shè)，可求，，由，可求，進(jìn)而求出直線的解析式，即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，解得：，拋物線的解析式為．（2）解：存在，如圖，過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，∵拋物線的對稱軸為直線，設(shè)，，，，，，解得：，；設(shè)直線的解析式為，則有，解得，直線解析式為，，且經(jīng)過，直線解析式為，當(dāng)時，，

；綜上所述：存在，的坐標(biāo)為或．【鞏固練習(xí)3】（2024·四川遂寧·中考真題）二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點，與軸交于點，為拋物線上的兩點．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)兩點關(guān)于拋物線對稱軸對稱，是以點為直角頂點的直角三角形時，求點的坐標(biāo)【答案】(1)，(2)【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，已知兩點坐標(biāo)表示兩點距離，二次函數(shù)最值，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）可求，設(shè)，由，得，則，解得，（舍去），故【詳解】（1）解：把，代入得，，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：如圖：由得拋物線對稱軸為直線，∵兩點關(guān)于拋物線對軸對稱，∴，設(shè)，∵，∴，∴，整理得，，解得，（舍去），∴，∴【鞏固練習(xí)4】（2024·山東泰安·中考真題）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過點，與軸交于點A，點．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)將拋物線向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線，求拋物線的表達(dá)式，并判斷點是否在拋物線上；(3)在軸上方的拋物線上，是否存在點，使是等腰直角三角形．若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)，點在拋物線上(3)存在，點的坐標(biāo)為：或【分析】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合、二次函數(shù)圖像的平移等知識點，靈活利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來成為解題的關(guān)鍵．（1）將點D的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，求得a的值即可；（2）由題意得：，當(dāng)x=1時，，即可判斷點是否在拋物線上；（3）分為直角、為直角、為直角三種情況，分別運用全等三角形的判定與性質(zhì)，進(jìn)而確定點E的坐標(biāo)，進(jìn)而確定點P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：將點的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，則拋物線的表達(dá)式為：．（2）解：由題意得：，當(dāng)時，，故點在拋物線上．（3）解：存在，理由如下：①當(dāng)為直角時，如圖1，過點作且，則為等腰直角三角形，，，，，，∴，，∴點，當(dāng)時，，即點在拋物線上，∴點即為點；②當(dāng)為直角時，如圖2，同理可得：，∴，，∴點，當(dāng)時，，∴點在拋物線上，∴點即為點；③當(dāng)為直角時，如圖3，設(shè)點，同理可得：，∴且，解得：且，∴點，當(dāng)時，，即點不在拋物線上；綜上，點的坐標(biāo)為：或．【題型4】相似三角形存在性問題【例題1】如圖，拋物線與軸交于點A（-1，0），點B（3，0），與y軸交于點C，且過點D（2，-3）．點Q是拋物線上的動點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，直線OQ與線段BC相交于點E，當(dāng)△OBE與△ABC相似時，求點Q的坐標(biāo)．【分析】（1）拋物線：；（2）思路：考慮到△ABC和△BOE有一組公共角，公共角必是對應(yīng)角．∠ABC的兩邊BA、BC與∠OBE的兩邊BO、BE成比例即可，故可得：或．解得：或，故E點坐標(biāo)為或．當(dāng)E點坐標(biāo)為時，直線OE解析式為，聯(lián)立方程：，解得：，，此時Q點坐標(biāo)為或；當(dāng)E點坐標(biāo)為時，直線OE解析式為，聯(lián)立方程：，解得：，，此時Q點坐標(biāo)為或．綜上所述，Q點坐標(biāo)為或或或．說明：過程應(yīng)詳細(xì)分類討論兩種情況，分別求出結(jié)果．【例題2】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x-1與拋物線交于A、B兩點，其中A（m，0）、B（4，n），該拋物線與y軸交于點C，與x軸交于另一點D．（1）求m、n的值及該拋物線的解析式；（2）如圖2，連接BD、CD，在線段CD上是否存在點Q，使得以A、D、Q為頂點的三角形與△ABD相似，若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）m=1，n=3，拋物線解析式為；（2）思路：平行得相等角，構(gòu)造兩邊成比例由題意得D（5，0），故直線CD解析式為：y=x-5，∴CD∥AB，∴∠CDA=∠BAD，考慮到點Q在線段CD上，∴或，解得：或，故Q點坐標(biāo)為或．【例題3】如圖，已知拋物線經(jīng)過△ABC的三個頂點，其中點A（0，1），點B（9，10），AC∥x軸．（1）求這條拋物線的解析式；（2）求tan∠ABC的值；（3）若點D為拋物線的頂點，點E是直線AC上一點，當(dāng)△CDE與△ABC相似時，求點E的坐標(biāo)．【分析】（1）；（2）；（3）思路：平行得相等角，構(gòu)造兩邊成比例若點D為拋物線的頂點，則D點坐標(biāo)為（3，-2），∴直線CD解析式為：y=x-5，又直線AB解析式為：y=x+9，故CD∥AB，∴∠BAC=∠ACD，故點E在點C左側(cè)，考慮∠BAC的兩邊AB、AC與CE、CD成比例：或解得：CE=9或2，故E點坐標(biāo)為（-3，1）或（4，1）．【鞏固練習(xí)1】（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過、兩點，在第一象限的拋物線上取一點，過點作軸于點，交于點．(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)是否存在點，使得和相似？若存在，請求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)點的坐標(biāo)為或【分析】（1）先求出A、B的坐標(biāo)，然后代入，求出b、c的值即可；（2）由對頂角的性質(zhì)性質(zhì)知，若存在和相似，則有和兩種情況，然后分情況討論，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：令，則，則；令，則∴，把，代入，得：解得：∴這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：；（2）解：存在點，使得和相似．設(shè)點，則，，∴，，，，∵和相似，∴或①如圖1，當(dāng)時，∴∴點縱坐標(biāo)為6∴，解得：或∴②如圖2，當(dāng)時，過B作于H∴∴∴∴，解得：（舍去）或∴綜上所述，點的坐標(biāo)為或．【鞏固練習(xí)2】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點和點．經(jīng)過點的直線與該二次函數(shù)圖象交于點，與軸交于點．(1)求二次函數(shù)的解析式及點的坐標(biāo)；(2)點是二次函數(shù)圖象上的一個動點，當(dāng)點在直線上方時，過點作軸于點，與直線交于點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為．①為何值時線段的長度最大，并求出最大值；②是否存在點，使得與相似．若存在，請求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)①當(dāng)時，有最大值為；②當(dāng)P的坐標(biāo)為或時，與相似【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系數(shù)法求出直線解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)P、D的坐標(biāo)求出，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；②先利用等邊對等角，平行線的判定與性質(zhì)等求出，然后分，兩種情況討論過，利用相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等求解即可．【詳解】（1）解：把，，代入，得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為，設(shè)直線解析式為，則，解得，∴直線解析式為，當(dāng)時，，∴；（2）解：①設(shè)，則，∴，∴當(dāng)時，有最大值為；②∵，，∴，又，∴，又軸，∴軸，∴，當(dāng)時，如圖，∴，∴軸，∴P的縱坐標(biāo)為3，把代入，得，解得，，∴，∴，∴P的坐標(biāo)為；當(dāng)時，如圖，過B作于F，則，，又，∴，∴，∴，∴，∴，解得，（舍去），∴，∴P的坐標(biāo)為綜上，當(dāng)P的坐標(biāo)為或時，與相似．【鞏固練習(xí)3】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（A點在B點左側(cè)），與y軸交于點C．動直線EF（EF//x軸）從點C開始，以每秒1個單位的速度沿y軸負(fù)方向平移，且分別交y軸、線段BC于E、F兩點，動點P同時從點B出發(fā)，在線段OB上以每秒2個單位的速度向原點O運動．是否存在t，使得△BPF與△ABC相似．若存在，試求出t的值；若不存在，請說明理由．【解析】△BPF與△ABC有公共角∠B，那么我們梳理兩個三角形中夾∠B的兩條邊．△ABC是確定的．由，可得A(4,0)、B(8,0)、C(0,4)．于是得到BA＝4，BC＝．還可得到．△BPF中，BP＝2t，那么BF的長用含t的式子表示出來，問題就解決了．在Rt△EFC中，CE＝t，EF＝2t，所以．因此．于是根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，分兩種情況列方程：①當(dāng)時，．解得（如圖1-2）．②當(dāng)時，．解得（如圖1-3）．圖1-2 圖1-3【鞏固練習(xí)4】如圖，已知拋物線的圖像與軸交于，兩點，與軸交于點，點為拋物線的頂點．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點的坐標(biāo)；(2)若四邊形為矩形，．點以每秒1個單位的速度從點沿向點運動，同時點以每秒2個單位的速度從點沿向點運動，一點到達(dá)終點，另一點隨之停止．當(dāng)以、、為頂點的三角形與相似時，求運動時間的值；【答案】(1)；頂點為(2)或【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：，將、代入，進(jìn)行計算即可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得；（2）依題意，秒后點的運動距離為，則，點的運動距離為，分情況討論：①當(dāng)時，②當(dāng)時，進(jìn)行解答即可得；【詳解】（1）解：設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：，將、代入得：，解得，，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：，又，，頂點為；（2）解：依題意，秒后點的運動距離為，則，點的運動距離為．①當(dāng)時，，解得；②當(dāng)時，，解得；綜上得，當(dāng)或時，以、、為頂點的三角形與相似模塊二特殊四邊形存在性問題【題型5】平行四邊形存在性問題【例題1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線與直線都經(jīng)過、兩點，該拋物線的頂點為C．（1）求此拋物線和直線AB的解析式；（2）設(shè)直線AB與該拋物線的對稱軸交于點E，在射線EB上是否存在一點M，過M作x軸的垂線交拋物線于點N，使點M、N、C、E是平行四邊形的四個頂點？若存在，求點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；【分析】（1）拋物線：，直線AB：；（2）考慮EC∥MN，故若使點M、N、C、E是平行四邊形，則EC=MN即可，∵E（1，-2）、C（1，-4），∴EC=2，設(shè)M點坐標(biāo)為（m，m-3）（m>1），則N點坐標(biāo)為，則MN=由題意得：，，解得：，（舍），對應(yīng)P點坐標(biāo)為；，解得：，（舍）．對應(yīng)P點坐標(biāo)為（2，-1）．綜上，P點坐標(biāo)為或（2，-1）．【例題2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過，兩點且與軸的負(fù)半軸交于點．（1）求該拋物線的解析式；（2）已知，分別是直線和拋物線上的動點，當(dāng)，，，為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)．【分析】（1）拋物線：；（2）設(shè)E點坐標(biāo)為，F(xiàn)點坐標(biāo)為，又B（0，2）、O（0，0），①若OB為對角線，由題意得：，解得：或，故E點坐標(biāo)為或；②若OE為對角線，由題意得：，解得：或，故E點坐標(biāo)為或；③若OF為對角線，由題意得：，解得：，故E點坐標(biāo)為（2，1）．【例題3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點，與拋物線的一個交點為，且點的橫坐標(biāo)為2，點、分別是拋物線、上的動點．（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）若以點、、、為頂點的四邊形恰為平行四邊形，求出點的坐標(biāo)．

【分析】（1）解析式：；（2）雖然兩個動點均在拋物線上，仍可用設(shè)點坐標(biāo)的方法求解．設(shè)P點坐標(biāo)為，Q點坐標(biāo)為，又C（0，-3）、A（2，-3），①若CA為對角線，由題意得;，解得：或（舍），故P點坐標(biāo)為（-3，12）；②若CP為對角線，由題意得：，解得：或，故P點坐標(biāo)為（3，0）或；③若CQ為對角線，由題意得：，解得：或（舍），故P點坐標(biāo)為（-1，0）．綜上所述，P點坐標(biāo)為（-3，12）、（3，0）、、（-1，0）．【例題4】如圖，已知拋物線經(jīng)過點，，．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點在軸上，點在拋物線上，是否存在以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）拋物線：；（2）列方程組求：設(shè)P、Q，又B（-1，0）、C（0，-3），若BC為對角線，由題意得：，解得：或（舍），故對應(yīng)的P（2，-3）；若BP為對角線，由題意得：，解得：或（舍），故對應(yīng)的P（2，-3）；若BQ為對角線，由題意得：，解得：或，故對應(yīng)的P、．綜上所述，P點坐標(biāo)為（2，-3）、、．【鞏固練習(xí)1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，連接．（1）求該拋物線的解析式，并寫出它的對稱軸；（2）若點為拋物線對稱軸上一點，拋物線上是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）拋物線：，對稱軸：直線x=1；（2）設(shè)M點坐標(biāo)為，N點坐標(biāo)為，又B（3，0）、C（0，2）若BC為對角線，由題意得：，解得：，故M點坐標(biāo)為（2，2）；若BN為對角線，由題意得：，解得：，故M點坐標(biāo)為；若BM為對角線，由題意得：，解得：，故M點坐標(biāo)為．綜上所述，M點坐標(biāo)為（2，2）、、．【鞏固練習(xí)2】如圖，已知拋物線交軸于、兩點，交軸于點，點坐標(biāo)為，，，點為拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式；（2）為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，求點坐標(biāo)．【分析】（1）拋物線：；（2）設(shè)P點坐標(biāo)為（m，n），又B（3，0）、C（0，2）、D①若BC為對角線，由題意得：，解得：，故的坐標(biāo)為；②若BD為對角線，由題意得：，解得：，故坐標(biāo)為；③若BP為對角線，由題意得：，解得：，故坐標(biāo)為．綜上所述，P點坐標(biāo)為、、．【鞏固練習(xí)3】（2024·四川廣元·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線F：經(jīng)過點，與y軸交于點．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在直線上方拋物線上有一動點C，連接交于點D，求的最大值及此時點C的坐標(biāo)；(3)作拋物線F關(guān)于直線上一點的對稱圖象，拋物線F與只有一個公共點E（點E在y軸右側(cè)），G為直線上一點，H為拋物線對稱軸上一點，若以B，E，G，H為頂點的四邊形是平行四邊形，求G點坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)最大值為，C的坐標(biāo)為；(3)點G的坐標(biāo)為，，．【分析】（1）本題考查了待定系數(shù)法解拋物線分析式，根據(jù)題意將點坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，解方程即可；（2）根據(jù)題意證明，再設(shè)的解析式為，求出的解析式，再設(shè)，則，再表示出利用最值即可得到本題答案；（3）根據(jù)題意求出，再分情況討論當(dāng)為對角線時，當(dāng)為邊時繼而得到本題答案．【詳解】（1）解：，代入，得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）解：如圖1，過點C作x軸的垂線交于點M．∴軸，∴，∴，設(shè)的解析式為，把，代入解析式得，解得：，∴．設(shè)，則，∴，∵，，∴當(dāng)時，最大，最大值為．∴的最大值為，此時點C的坐標(biāo)為．（3）解：由中心對稱可知，拋物線F與的公共點E為直線與拋物線F的右交點，∴，∴（舍），，∴．∵拋物線F：的頂點坐標(biāo)為，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為，∴拋物線的對稱軸為直線．如圖2，當(dāng)為對角線時，由題知，∴，∴．如圖3，當(dāng)為邊時，由題知，∴，∴．如圖4，由題知，∴，∴，綜上：點G的坐標(biāo)為，，．【鞏固練習(xí)4】（2024·寧夏·中考真題）拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點是第四象限內(nèi)拋物線上的一點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，過作軸于點，交直線于點．設(shè)點的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時，求的值；(3)如圖點，連接并延長交直線于點，點是軸上方拋物線上的一點，在（2）的條件下，軸上是否存在一點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或或或【分析】（1）將點代入拋物線解析式，可得關(guān)于的一元一次方程，解方程即可求出的值，進(jìn)而得出拋物線的解析式；（2）令，可得，令，可得，則，利用待定系數(shù)法可求得的解析式為，根據(jù)題意可知點的坐標(biāo)為，，把分別代入拋物線和直線的解析式，可得，，進(jìn)而可得，，由軸可得軸，據(jù)此可證得，于是可得，即，則，由已知條件可得，由此可建立關(guān)于m的方程，解之即可；（3）由C、F的坐標(biāo)可求得直線的解析式為，進(jìn)而可得，當(dāng)時，，解方程即可求得點的坐標(biāo)為或，然后分情況討論：當(dāng)時，；當(dāng)時，；分別求解即可得出答案．【詳解】（1）解：把點代入，得：，解得：，拋物線的解析式為；（2）解：令，則，解得：，，點的坐標(biāo)為，當(dāng)時，，點的坐標(biāo)為，，，，根據(jù)題意得，點的坐標(biāo)為，則，把代入，得：，點的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，把，代入，得：，解得：，直線的解析式為：，當(dāng)時，，點的坐標(biāo)為，，，又軸，∴軸，，，，，又，，解得：，（不合題意，故舍去），∴的值為；（3）解：存在，點的坐標(biāo)為或或或，理由如下：設(shè)直線的解析式為，把，代入，得：，解得：，的解析式為：，當(dāng)時，，點的坐標(biāo)為，又點是軸上方拋物線上的一點，當(dāng)時，，解得：，，點的坐標(biāo)為或，分情況討論：當(dāng)點的坐標(biāo)為時，，點的坐標(biāo)為或；當(dāng)點的坐標(biāo)為時，，點的坐標(biāo)為或；綜上所述，點的坐標(biāo)為或或或．【題型6】正方形存在性問題【例題1】如圖，拋物線與軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在過A、B兩點的拋物線，其頂點P關(guān)于x軸的對稱點為Q，使得四邊形APBQ為正方形？若存在，求出此拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．【分析】（1）拋物線：；（2）已知A（-1，0）、B（3，0），故構(gòu)造以AB為斜邊的等腰直角△APB，如下：若四邊形APBQ是正方形，易得P點坐標(biāo)為（1，2）或（1，-2），當(dāng)P點坐標(biāo)為（1，2）時，易得拋物線解析式為；當(dāng)P點坐標(biāo)為（1，-2）時，易得拋物線解析式為．綜上所述，拋物線解析式為或．【小結(jié)】看到兩個定點，不管題目如何描述第3個點的位置，均可通過構(gòu)造等腰直角三角形確定第3個點，再求得第4個點．【例題2】（2024·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點．(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點，都在該二次函數(shù)的圖象上，試比較和的大小，并說明理由；(3)點在直線上，點在該二次函數(shù)圖象上．問：在軸上是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)時，；時，；時，(3)存在，或或或或或【分析】（1）將點A和點B的坐標(biāo)代入，求出a和c的值，即可得出這個二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)題意得出，，再用作差法得出，進(jìn)行分類討論即可；（3）求出直線的函數(shù)解析式為，然后進(jìn)行分類討論：當(dāng)為正方形的邊時；當(dāng)為正方對角線時，結(jié)合正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)，即可解答．【詳解】（1）解：把，代入得：，解得：，∴這個二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：∵，都在該二次函數(shù)的圖象上，∴，，∴，當(dāng)時，即時，；當(dāng)時，即時，；當(dāng)時，即時，；（3）解：設(shè)直線的函數(shù)解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線的函數(shù)解析式為，當(dāng)為正方形的邊時，①∵，∴，過點M作y軸的垂線，垂足為點G，過點P作的垂線，垂足為點H，∵軸，∴，∴，則，設(shè)，則，∴，∴點N的縱坐標(biāo)為，即，∵以，，，為頂點的四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，把代入得：，解得：，（舍去），∴；②如圖：構(gòu)造，和①同理可得：，，設(shè)，則，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；③如圖：構(gòu)造，和①同理可得：，，設(shè)，則，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；④如圖：構(gòu)造，和①同理可得：，，設(shè)，則，∴，，，把代入得：，解得：，（舍去），∴；當(dāng)為正方形對角線時，⑤如圖：構(gòu)造矩形，過點P作于點K，易得，∴，設(shè)，則，和①同理可得：，∴，∴四邊形為正方形，∴，∴，則，∴，設(shè)，則，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；⑥如圖：構(gòu)造，同理可得：，設(shè)，則，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；綜上：或或或或或．【鞏固練習(xí)1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一個正方形ABCD放在第一象限斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點A（0，2）、點B（1，0），拋物線經(jīng)過點C．（1）求點C的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否存在點P與點Q（點C、D除外）使四邊形ABPQ為正方形？若存在求出點P、Q兩點坐標(biāo)，若不存在說明理由．【分析】（1）C（3，1）；（2）拋物線：；（3）考慮A、B、P構(gòu)成等腰直角三角形且∠B為直角，故可作出點P如下：構(gòu)造三垂直全等：△AMB≌△BNP，即可求得P點坐標(biāo)為（-1，-1），將點P代入拋物線解析式，成立，即點P在拋物線上．根據(jù)點P構(gòu)造點Q，通過點的平移易得點Q坐標(biāo)為（-2，1），代入拋物線解析式，成立，即點Q也在拋物線上，故存在，點P坐標(biāo)為（-1，-1），點Q坐標(biāo)為（-2，1）．【小結(jié)】本題數(shù)據(jù)設(shè)計得巧妙，由A、B確定的點P恰好在拋物線上，由A、B、P確定的點D恰好也在拋物線上，故存在這樣的一組P、Q，當(dāng)然若適當(dāng)調(diào)整數(shù)據(jù)，則答案完全可以變成不存在．【鞏固練習(xí)2】如圖，拋物線頂點P（1，4），與y軸交于點C（0，3），與軸交于點A，B．（1）求拋物線的解析式．（2）若M、N為拋物線上兩個動點，分別過點M、N作直線BC的垂線段，垂足分別為D、E．是否存在點M、N使四邊形MNED為正方形？如果存在，求正方形MNED的邊長；如果不存在，請說明理由．【分析】（1）拋物線：；（2）由題意可得：MN∥BC，四邊形MNED是矩形，若要變?yōu)檎叫危煽紤]①對角線互相垂直；②有一組鄰邊相等．思路1：考慮對角線連接ME，則△MDN為等腰直角三角形，∠MED=45°，即ME⊥x軸，設(shè)M點坐標(biāo)為，則E點坐標(biāo)為，①當(dāng)M點在E點上方時，可推得N點坐標(biāo)為，將點N坐標(biāo)代入拋物線：，得：，化簡得：，解得：，（舍）此時ME=2，正方形邊長為；②當(dāng)M點在E點下方時，同理可解：m=6．此時ME=18，正方形邊長為．綜上，正方形邊長為或．思路2：考慮鄰邊相等考慮M、N兩點均未知，但MN∥BC，故可設(shè)直線MN解析式為y=-x+b，聯(lián)立方程：，化簡為：，MN=∵M(jìn)N=MD，∴解得：，代入得邊長為或．【小結(jié)】其實只要能將計算進(jìn)行下去，在已知矩形的前提下，無論選邊還是選對角線，都能解決問題．【鞏固練習(xí)3】如圖，拋物線的圖象經(jīng)過，，三點，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．(2)點，為平面內(nèi)兩點，若以、、、為頂點的四邊形是正方形，且點在點的左側(cè)．這樣的，兩點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標(biāo)：如果不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)滿足條件的E、F兩點存在，，，【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）①當(dāng)為正方形的邊長時，分別過點點作，，使，，連接、，證明，得出，，則同理可得，；②以為正方形的對角線時，過的中點作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，過點作軸于點，過點作于點，證明，得出，在中，，解得或4，進(jìn)而即可求解；【詳解】（1）解：把，，代入得

，解得

∴

，把代入得，∴（2）滿足條件的、兩點存在，，，

解：①當(dāng)為正方形的邊長時，分別過點點作，，使，，連接、.

過點作軸于.∵，又，∴，∴，∴同理可得，②以為正方形的對角線時，過的中點作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，過點作軸于點，過點作于點

∵，又∴∴，∵∴∴在中，∴解得或4當(dāng)時，，此時點在點右側(cè)故舍去；當(dāng)時，.綜上所述：，，【鞏固練習(xí)4】如圖，已知拋物線與軸交于和兩點，與軸交于點．直線過拋物線的頂點．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)若直線與拋物線交于點，與直線交于點,當(dāng)是等腰三角形時，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)直線與x軸交于H，先證明是等腰直角三角形，得到；再分如圖3-1所示，當(dāng)時，如圖3-2所示，當(dāng)時，如圖3-3所示，當(dāng)時，三種情況利用等腰三角形的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于和兩點，∴拋物線對稱軸為直線，在中，當(dāng)時，，∴拋物線頂點P的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線解析式為，∴，∴，∴拋物線解析式為（2）設(shè)直線與x軸交于H，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴；如圖3-1所示，當(dāng)時，過點C作于G，則∴點G為的中點，由（2）得，∴，∴，解得或（舍去），∴；如圖3-2所示，當(dāng)時，則是等腰直角三角形，∴，即，∴點E的縱坐標(biāo)為5，∴，解得或（舍去），∴如圖3-3所示，當(dāng)時，過點C作于G，同理可證是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴，，∴，∴綜上所述，點E的坐標(biāo)為或或【題型7】矩形存在性問題【例題1】如圖，拋物線與軸交于點A（-1，0），點B（-3，0），且OB=OC．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上兩點M，N，點M的橫坐標(biāo)為m，點N的橫坐標(biāo)為m+4．點D是拋物線上M、N之間的動點，過點D作y軸的平行線交MN于點E．①求DE的最大值；②點D關(guān)于點E的對稱點為F，當(dāng)m為何值時，四邊形MDNF為矩形．【分析】（1）拋物線：；（2）①像DE這樣的線段的最大值，就是當(dāng)D點在MN水平位置的中點處時最大，假如我們知道這個結(jié)論的話．如果不知道，就只能一步步算了，由題意可知：M、N，點斜式求直線MN：直線MN：，整理得：設(shè)D點坐標(biāo)為，則E點坐標(biāo)為，故當(dāng)d=m+2時，DE取到最大值為4．②若四邊形MDNF是矩形，根據(jù)對角線互相平分，則E點必為MN中點，故E點橫坐標(biāo)為m+2，則D點橫坐標(biāo)也為m+2，且由①可知，此時DE=4，又矩形對角線相等，因此只要滿足MN=8，則有矩形MDNF．解得：，．故當(dāng)m的值為或時，四邊形MDNF是矩形．考慮到第①問中已經(jīng)得到了DE=4，故本題優(yōu)先考慮利用對角線相等求解，事實上，構(gòu)造三垂直使△MDN是直角三角形，也可以解決問題．構(gòu)造△MED∽△DFN，，即，同樣可解得：，．【例題2】如圖，直線y=x-3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點，拋物線經(jīng)過點B，與直線y=x-3交于點E（8，5），且與x軸交于C，D兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）點P在拋物線上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點Q，使得以點P，Q，B，C為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）拋物線：；（2）B、C為定點，P在拋物線上，Q在平面中，即為“2定+1半動+1全動”類型．先確定P點使得由P、B、C構(gòu)成的三角形為直角三角形，設(shè)P點坐標(biāo)為，①當(dāng)∠PBC=90°時，構(gòu)造三垂直相似：△PEB∽△BFC，，，，由相似可知：，即，解得：，（舍），代入得P點坐標(biāo)為（-4，5），根據(jù)點的平移可知對應(yīng)的Q點坐標(biāo)為（2，8）．②當(dāng)∠PCB=90°時，同理可構(gòu)造相似：，解得：，（舍）代入得P點坐標(biāo)為（-10，32），根據(jù)點的平移可知對應(yīng)的Q點坐標(biāo)為（-16，29）．另外以BC為直徑作圓，與拋物線并無交點，故不存在以P點為直角頂點的情況．綜上所述，Q點坐標(biāo)為（2，8）或（-16，29）．【鞏固練習(xí)1】如圖1，拋物線交x軸于A，兩點，交y軸于點．點P是拋物線上一動點．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)動點P在直線上方時，在平面直角坐標(biāo)系是否存在點Q，使得以B，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】(1)(2)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點Q，使得以B、C、P、Q為頂點的四邊形是矩形，此時點Q的坐標(biāo)為或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）當(dāng)為矩形的邊時，畫出符合題意的矩形，交y軸于點E，交x軸于點F，連接，過點P作軸于點M，過點Q作軸于點N，利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)及矩形的判定與性質(zhì)得到，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立方程組求得點P的坐標(biāo)，則，進(jìn)而得到、的長度，即可得出結(jié)果；當(dāng)為對角線時，畫出相應(yīng)的圖形，求出結(jié)果即可；【詳解】（1）解：由題意可得，，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點Q，使得以B、C、P、Q為頂點的四邊形是矩形，理由如下：如圖，當(dāng)為邊時，四邊形為符合條件的矩形，交y軸于點E，交x軸于點F，連接，過點P作軸于點M，過點Q作軸于點N，∵，∴，∵四邊形為矩形，∴，∴，∴和為等腰直角三角形，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴四邊形為矩形，∴，∵，，∴和為全等的等腰直角三角形，∴，∵，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，聯(lián)立方程組得，解得或，∴，∴，∴，∴，∴；如圖，當(dāng)為對角線時，四邊形為矩形，過點Q作軸于點D，軸于點E，則，，∵，∴，∴，∴，設(shè)點P的坐標(biāo)為：，，∵，，∴，，∴，∴，，，，∴，整理得：，分解因式得：，解得：（舍去），（舍去），，∴此時點Q的坐標(biāo)為：．綜上所述，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點Q，使得以B、C、P、Q為頂點的四邊形是矩形，此時點Q的坐標(biāo)為或【鞏固練習(xí)2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點分別為和（點在點的左側(cè)），與軸交于點，點是直線上方拋物線上一動點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，設(shè)點為拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)點，點運動時，在坐標(biāo)軸上確定點，使四邊形為矩形，求出所有符合條件的點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)符合條件的點坐標(biāo)為：或【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）先求得拋物線的頂點，對稱軸為，分當(dāng)點在軸上和點在軸負(fù)半軸上時，兩種情況討論，當(dāng)點在軸負(fù)半軸上時，證明，求得，再證明，求得點的坐標(biāo)為，由點在拋物線上，列式計算求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點，與軸交于點解得拋物線的解析式為：；（2）解：，則拋物線的頂點，對稱軸為，情況一：當(dāng)點在軸上時，為拋物線的頂點，∵四邊形為矩形，∴與縱坐標(biāo)相同，∴；情況二：當(dāng)點在軸負(fù)半軸上時，四邊形為矩形，過作軸的垂線，垂足為，過作軸的垂線，垂足為，設(shè)，則，∴，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵拋物線對稱軸為，點在對稱軸上，，∴，，∴，即，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴點的坐標(biāo)為，∵點在拋物線上，∴，解得，（舍去），∴，綜上所述：符合條件的點坐標(biāo)為：或．【鞏固練習(xí)3】如圖，拋物線的對稱軸是直線，與軸交于點，，與軸交于點，連接．(1)求此拋物線的解析式；(2)已知點是拋物線對稱軸上的點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點，使以點、、、為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在點的坐標(biāo)為（4，1）或（-2，1）或或．【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱軸是直線，可得a=-1，再把點代入，即可求解；（2）先求出，設(shè)點N（m，-m+3），可得，，再分三種情況討論：當(dāng)AC=AN時，當(dāng)AC=CN時，當(dāng)AN=CN時，即可求解；（3）設(shè)點E（1，n），點F（s，t），然后分兩種情況討論：當(dāng)BC為邊時，當(dāng)BC為對角線時，即可求解．【詳解】（1）解