1第一章

集合、常用邏輯用語與不等式

第一節(jié)集合

手/課程標(biāo)灌7

?.通過實例，了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系；針對具體問題，能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上，

用符號語言刻畫集合；在具體情境中，了解全集與空集的含義.

2.理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集.

3.理解兩個集合的并集與交集的含義，能求兩個集合的并集與交集；理解在給定集合中一個子集的補集的含義，能

求給定子集的補集；能使用Venn圖表達集合的基本關(guān)系與基本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用.

體系構(gòu)建J.必備知識系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實課前自修

集合的元素特征確定性、無序性、互異性

------------------?----------------------

集蛆合的表示方法列舉法、描述法、圖示法

合e---------

的、集合與元素的關(guān)系/屈于，記為正；不屬于，記為e

概

念常用數(shù)集名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

記法NN或N+ZQR

集子集若對于任意的a￡4都有*￡B.則ACB

-------0-----------------------

合

〔真子集?若AU從仔全且r/4,則

間

集

的

色9相等與若AU從且咳A.則A=8

關(guān)。---

系空集一空集是任何集合的廣集.是任何上空集合的直廣集

--------------0-------------------------——-------------------------------------------------

并集交集補集

集

合符號表示AUBAnff若全集為U,則集合A的補集為1/

的

基(30(39

本,圖形表示

運

AUBAClff

算

集合表示|小￡人,或\￡即｛出

.對點自澧，

1.若集合尸={x￡NIxWdT痂},。=2&，則()

B.h}e?

C.{a}GPD.a^P

解析：D因為a=2或不是自然數(shù),而集合。是不大于VT5"的自然數(shù)構(gòu)成的集合，所以於尸，只有D正確.

2.(2023?全國乙卷2題)設(shè)全集U=[0,1,2,4,6,8},集合A/={0,4,6},N={0,1,6},則MU[uN=

()

A.(0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}

C.{1,2,4,6,8}D.U

解析：A因為U=[0,1,2,4,6,8},M={0,4,6},N={0,1,6）,所以「</N={2,4,8},所以MU（：uN

={0,2,4,6,8}.故選A.

3.集合A={xI24V4},B={xI3x-7^8-2x},則AC8=.

答案：{xl34V4}

解析：易知8={%1x23},故AAB={xI3WxV4}.

4.（2024?東北師大附中模擬）已知集合4={xIOVkV。）,?=UII<x<2},若則實數(shù)a的取值范圍

是—.

答案：[2,+人）

012ax

解析：由圖可知。22.

31周結(jié)論■

1.若有限集4中有〃個元素，則A的子集有2”個，真子集有2”一1個.

2.4G4㈡1n6=4-ULA3

、應(yīng)用

1.已知集合A={xI-1<X<5},B={xWZI1<XV8},則ACIB的子集個數(shù)為（）

A.4B.6

C.8D.9

解析：C因為A={xI-l<x<5）,B=UeZI1VXV8},所以AA8={2,3,4）,由結(jié)論1得ACB的子集個

數(shù)為2，=8,故選C.

2.已知集合A={xI3f—2x-5V0},B={xIx>a],若AU8=8,則實數(shù)〃的取值范圍為（）

A（FI]B（fD

C.（-8,一門D.（—8,—1）

解析：C依題意A={xI3f—21—5V0}={%|-1<%V卦，由結(jié)論2得AGB,得足一1.

分類突破I：精選考點典例研析技法電悟通課堂演練

集合的基本概念

（基礎(chǔ)H學(xué)過關(guān)t

I.集合4={a,Ac}中的三個元素分別表示某一個三角形的三邊長度，那么這個三角形一定不是（）

A.等腰三角形B.銳角三角形

C.直角三角形D.鈍角三:角形

解析：A根據(jù)集合中元素的互異性得方Rc,故三角形一定不是等腰三角形.故選A.

?凱里一中模擬）

2.（2024已知集合S={yIy=f-]},7={（x,）,）|工+）,=（）},下列關(guān)系正確的是（）

A.-2￡SB.（2,-2）盯

C.-1陰D.（-1,1）（=T

解析：D因為S={yIy=f-l}={yI—所以A、C錯誤；因為2+（-2）=0,所以（2,-2）ST,

所以B錯誤；又一1+1=0,所以（-1,1）GT,所以D正確，故選D.

3.設(shè)集合月=k|（x-d）2<1）,且2￡A,3初，則實數(shù)。的取值范圍為一.

答案：（1，2]

2

解析：由題意得|（2一。）2<1'解得所以K2.

（3-a）>1,la42或Q24.

4.設(shè)a,/?GR,集合{1,a+Aa}={0,g,切，則/.

答案：2

解析：由題意知aWO,因為{1,a+Aa}={O,g,/?）.所以〃+匕=0,貝哈=—1,所以a=—1,/?=1.故/024+力2

025=1+1=2

練后悟通

解決與集合含義有關(guān)問題的關(guān)鍵有三點：一是確定集合的類型是點集、數(shù)集，還是其它類型的集合；二是確

定元素的一般特征；三是根據(jù)元素的限制條件（滿足的條件）構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問題.

提醒集合中元素的互異性容易忽略，求解問題時要特別注意.

集合間的基本關(guān)系

（師生共研過關(guān)）

【例1】（1）已知集合4=m￡?4If-X-6V0},以下可為A的子集的是（）

A.UI-2<A<3)B.{XI0<x<3)

C.{0,I,2)D.{-|,1,2}

(2)(2023?新高考H卷2題)設(shè)集合A={(),-a],B={1,a~2,2a~2],若則a=()

A.2B.l

C.1D.-l

答案：(1)C(2)B

解析：(1)A=UeNIX2-X-6<0}={XGNI-2<x<3}={0,1,2},V{0,1,2}C{0,1,2}.故選C.

(2)由題意，得0￡氏又8={1,。-2,2a-2},所以。-2=0或2a—2=0.當(dāng)。-2=0時，。=2,此時A={0,

-2},B={1,0,2),不滿足4G&舍去.當(dāng)2〃-2=0時，。=1,此時A={0,-I),B={1,-1,0},滿足

AGE綜上所述，a=l.故選B.

解題技法

1.判斷集合間關(guān)系的常用方法

（1）化簡集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表達式比較復(fù)雜，往往需化簡表達式，再尋求兩個集合的

關(guān)系；

（2）數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖直觀判斷.

2.由集合間的關(guān)系求參數(shù)的解題策略

已知集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是得集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)

系.合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析并對參數(shù)進行討論.確定參數(shù)所滿足的條件時，一定要把端點值代入進行驗

證，否則易增解或漏解.

提醒當(dāng)4為A的子集時，易漏掉4=0的情況.

6訓(xùn)練

集合運算的基本類型

(I)具體集合的運算：具體集合(給出或可以求出集合中元素的具體值(范圍))的交、并、補運算，其解法是

化簡集合，利用列舉法或借助數(shù)軸、Venn圖等求解；

(2)抽象集合的運算：沒有給出具體元素的集合間關(guān)系的判斷和運算，解決此類問題的途徑有二：一是利用特殊

值法將抽象集合具體化：二是利用Venn圖化抽象為直觀.

考向2利用集合的運算求參數(shù)

【例3】(1)設(shè)集合A={xI/-4W0),5={工I2x+〃W0),且AC3=反|-2WxWl},則。=()

A.-4B.—2

C.2D.4

(2)已知集合人=5￡2Ix2一以一5<0},B={xI4r>2,n},若ACB中有三個元素，則實數(shù)〃?的取值范圍是

()

A.[3,6)B.[l,2)

C.[2,4)D.(2,4]

答案：(1)B(2)C

解析：(1)易知A={xI—2WxW2},8={xI%因為AGB={xI—24W1},所以一]=1,解得“=一

2故選B.

(2)由f-4x-5V0,解得一lVx<5,則集合A={x￡ZI*一以一5<0}={0,1,2,3,4},易知集合8=

又因為AAB中有三個元素，所以1W/V2,解得2W〃z<4.故實數(shù)機的取值范圍是[2,4).

解題技法

利用集合的運算求參數(shù)的方法

(1)若已知集合的運算結(jié)果(實質(zhì)是集合間的關(guān)系)求參數(shù)的值(范圍)，一般先確定不同集合間的關(guān)系，即元

素之間的關(guān)系，再列方程或不等式求解.在求解過程中要注意空集的討論，避免漏解：

(2)運算過程中要注意集合間的特殊關(guān)系的使用，靈活使用這些關(guān)系，會使運算簡化.

考向3集合的新定義問題

【例4】(1)給定數(shù)集M,若對于任意a,bGM,有a+b￡M,且a—則稱集合M為閉集合，則下列

說法中正確的是()

A.集合”={-4,-2,0,2,4}為閉集合

B.正整數(shù)集是閉集合

C.集合M={〃I〃=3A,k￡Z}為閉集合

D.若集合A，4為閉集合，則4UA二為閉集合

(2)當(dāng)兩個集合有公共元素，且互不為對方的子集時，我們稱這兩個集合“相交”.對于集合M={xIaF—1=

0,。>0},N={一}1},若M與N“相交”，則〃=.

答案：(1)C(2)1

解析：(1)選項A：當(dāng)集合知={-4,-2,0,2,4}時，2,4WM,而2+4=6WM,所以集合M不為閉集合，

A選項錯誤；選項B：設(shè)〃，?是任意的兩個正整數(shù)，則當(dāng)〃時，。一〃是負(fù)數(shù)，不屬于正整數(shù)集，

所以正整數(shù)集不為閉集合，B選項錯誤：選項C：當(dāng)3k.L￡Z}時，設(shè)。=3左，b=3"k\、

則a+8=3(h+依)￡M,a-b=31加一心)《M,所以集合M是閉集合，C選項正確；選項D：設(shè)4={〃|〃

=3k,R￡Z},4={〃l〃=2化A：ez),由C可知，集合4,A?為閉集合，2,3￡(ALM?),而(2+3)4

(4UA2),故4UA2不為閉集合，D選項錯誤.

(2)M={一專，專},若a=與則〃=4,若全=1，則〃=1.當(dāng)〃=4時，M={—?》，此時MUN,不合題意;

當(dāng)4=1時，”={一1,1},滿足題意.

解題技法

解決以集合為背景的新定義問題的關(guān)鍵

(1)緊扣新定義：首先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程

中，這是破解新定義集合問題的關(guān)鍵所在；

(2)用好集合的性質(zhì)：解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì).

E訓(xùn)練

1.(2022?全國甲卷1題)設(shè)集合A={-2,-1,0,1,2},B=\xI0<x<!|,則ACB=()

A.{0,I,2}B.{-2,-1,0}

C.{0,1}D.{1,2}

解析：A因為集合8={》I0Wx<|},所以集合B中的整數(shù)有0,1,2,所以4nB={0,1,2).

2.(2024?樂山一稅)已知集合A=儀If-x—6<0},B={xI-且八U8=(xl—4<工<3),則實數(shù)a

的取值范圍是()

A.(—4,~2]B.(—3,—2]

C.[-3.3]D.[-2,3]

解析：D因為A={xIx2—x—6W0}={xI—2WxW3},8=(%I—4WxWa},且AU4={工I—4WxW3},所以

—2WaW3.故選D.

I—TnU

-4-2?31

3.對千仟意兩集合A,B,定義八一B={xI日KB}.A*B=(4—B)U(8—A),記A={xlx20},B=

{xI-3WxW3},貝l"*B=.

答案：{xI—3WxV0或x>3}

解析：???A={x1x20},B={xI-3WxW3},：.A-B={xIx>3},B-A={xI-3^x<0}.AA*B={xI-3^x

VO或工>3}.

跟蹤檢測I：關(guān)建能力分層施練素養(yǎng)事提升課后練習(xí)

A級?基礎(chǔ)達標(biāo)

1.(2024?金溪一中模擬)已知集合人={-1,0,1),5={-1,1),C={xIx=ab,且〃￡川，則集合。的

真子集個數(shù)是()

A.3B.4

C.7D.8

解析：C由題意得。={-1,0.1),所以集合。的真子集個數(shù)為23—1=7,故選C.

2.（2022?全國乙卷1版）設(shè)全集U={1,2,3,4,5）,集合M滿足晨，"={1，3},則（）

A.2GMB.3WM

C.44MD.54M

解析：A由題意知加={2,4,5},故選A.

3.（2024?惠州一模）設(shè)集合A={yIy=2'},B={yIy=y/x},則（）

A.A=BB.A3/3

C.AQBD.AQB=0

解析：CA={yIy=2x}=(0,+M,B={yIy=Vx}=[0,+>),故選C.

4.(2024?石家莊模擬)設(shè)集合A={xl-1<X<1},8={xIf—2xW0},則AU8=()

A.(-1,2]B.(-1,2)

C.[0,1)D.(0,1]

解析：A由題，8={x|0WxW2},則AU8={xI—1VXW2},故選A.

5.(2022?新高考I卷1題)若集合M={x|VX<4},N=UI3x21,則MGN=()

A.{xI0WxV2}B.|xI1<x<2j

C.{xI3WxV16}D.{xI1<x<16}

解析：D法一(直接法)因為M={xl?V4},所以M={xI0Wx<16}；因為N={KI3X21},所以N=

{%I無2斗所以MGN={xI[Wx<16卜故選D.

法二(特取法)觀察選項進行特取，取x=4,則4WM,4WN,所以4仁(MCIN),排除A、B；取x=l,則

ISM,1￡N,所以1仁(MAN),排除C.故選D.

6.(多選)若集合M={x|-3Vx<1},N={xlxW3},則集合LrIxW—3或xel}=()

A.MCNB.[RM

C.CR(MCN)D.[R(MUN)

解析：BC因為集合M={xIN={xlxW3},所以MGN={xl-3cxVI},MUN={xIx<3},

[RM=\XIxW—3或x21},所以[R(MCN)=(%IxW—3或,[R(MUN)={xIx>3}.故選B、C.

7.設(shè)集合4=5I1W4《3},集合8={xI若得。泉8,寫出一個符合條件的集合C=.

答案：口，4](答案不唯一)

解析：A={x|1WXW3},B={xIx^l),故若——則可有C=[l,4].

8.設(shè)全集5={1,2,3,4},且人={上￡5If一5工+〃?=0},若[娟={2,3},則加=.

答案：4

解析：因為S={1,2,3,4},[必={2,3},所以A=[1,4},即1,4是方程x2—5大+〃?=0的兩根，由根與系

數(shù)的關(guān)系可得m=1X4=4.

B級?綜合應(yīng)用

9.已知集合M={Cx,y)Iy=j9—x2),N={(x,y)ly=x+〃},且MGN=0,則b應(yīng)滿足的條件是

()

A.I/?I23eB.0<Z?<V2

C.一3W8W3&D.〃>3代或b<-3

解析：D由產(chǎn)小-/,得/+尸=9()，20),其圖象是半圓(如圖所示).當(dāng)直線y=x+人與興圓無公共點

時，截距〃>3注或人V—3.

10.設(shè)全集。=&集合A={x|-1<X<2},B={xIx>l},則圖中陰影部分表示的集合為（）

A.UIB.{xIxWl}

C.{xI-IVxWl}D.{xI-l^x<2}

解析：C???全集U=R,集合A={x|-1VXV2},B={x|x>l},???[M={x]xWl},???圖中陰影部分表示的

集合為AH={xI-l<x<2）nLrIx^\}={xI-1V%W1}.故選C.

11.已知集合A=（1,3）,集合B=KI2mVxVl一5}.若408=。，則實數(shù)〃?的取值范圍是（）

B.m20

32

C.〃？2mD.-<in<-

232

解析：B由AG8=0,得：①若即加若時，8=0,符合題意；②若2〃?<1一〃?，即〃?V拊，因為

m<T-,（m<->1

AG8=。，貝U3或3解得OWmV]綜上所述，加20.故選B.

1-7H<1（2m>3,

12.（多選）戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個非空的子集M與N,且滿足MUN=Q,MGN=。，M中

每一個元素小于N中的每一個元素，則稱（M,N）為戴德金分割.試判斷下列選項中，可能成立的是（）

A.M=以IxVO},N=UIx>Q]是一個戴德金分割

B.M沒有最大元素，N有一個最小元素

C.M有一個最大元素，N有一個最小元素

D.M沒有最大元素，N也沒有最小元素

解析：BD對于A,因為M={x|xVO},N={xI3>0},MUN={xIxWO}WQ,故A錯誤：對于B,設(shè)M=

{xWQlxVO},N