專題09二次函數(shù)中線段周長最值及定值問題（八大題型）

壓軸題密押

通用的解題思路:

一、二次函數(shù)中的線段最值問題有三種形式：

1.平行于坐標(biāo)軸的線段的最值問題:常通過線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)差表示線段長的函數(shù)關(guān)系式,運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)

求解，求最值時應(yīng)注意：

①當(dāng)線段平行于y軸時,用上端點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去下端點(diǎn)的縱坐標(biāo)；

②當(dāng)線段平行于x軸時，用右端點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去左端點(diǎn)的橫坐標(biāo).在確定最值時，函數(shù)自變量的取值范圍應(yīng)確

定正確。

2.兩條線段和的最值問題:解決這類問題最基本的定理就是“兩點(diǎn)之間線段最短”，解決這類問題的方法是:作

其中一個定點(diǎn)關(guān)于已知直線的對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)與另一個定點(diǎn)，它們與已知直線的交點(diǎn)即為吁求的點(diǎn)，共變

形問題有三角形周長最小或四邊形周長最小等.

【常見模型一】（兩點(diǎn)在河的異側(cè)）：在直線L上找一點(diǎn)M,使PA+PB的值最小.

A

?-------------------------------------?L

B

方法：如右圖，連接AB,與直線L交于點(diǎn)M,在M處渡河距離最短，最短距離為線段AB的長。

方法：如右圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)夕，連接AB］與直線L的交點(diǎn)即為所求的渡河點(diǎn)，最短距離為線

段AB'的長。

3.兩條線段差的最值問題：解決這類問題最基本的定理就是“三角形任何兩邊之差小于第三邊”，解決這

類問題的方法是；求解時，先根據(jù)原理確定線段差取最值時的圖形，再根據(jù)已知條件求解。

【常見模型一】（兩點(diǎn)在同側(cè)）：在直線L上求一點(diǎn)P,求|PA-PB|的最大值

方法：如右圖，延長射線AB,與直線L交于點(diǎn)P,|PA-PB|最大值為AB

【常見模型二】（兩點(diǎn)在異側(cè)）：在直線L上求一點(diǎn)P,求|PA-PB|的最大值。

方法：如右圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)夕，延長射線ABQ與直線L交于點(diǎn)P,|PA-PB|最大值為AB，

二、二次函數(shù)中的定值問題

一般來說，二次函數(shù)求解幾何線段代數(shù)式定值問題屬于定量問題，方法采用：

I.參數(shù)計算法:即在圖形運(yùn)動中，選取其中的變量（如線段長，點(diǎn)坐標(biāo)）作為參數(shù)，將要求的定值用參數(shù)表示出，

然后消去參數(shù)即得定值。

2.韋達(dá)定理法:當(dāng)涉及到直線（一次函數(shù)圖象或x軸）與二次函數(shù)交點(diǎn)時，先聯(lián)立方程消去y之后整理得到一元

二次方程，借助韋達(dá)定理可得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系，可以將要求的定值代數(shù)式用交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和或

積表示，往往會剛好抵消掉參數(shù)，則得到定值。

壓軸題預(yù)測

題型01利用二次函數(shù)解決單線段的最值問題

1.（2024?河南?一模）如圖，拋物線），="2+灰+4與x軸交于點(diǎn)A（-2,0）和點(diǎn)仇4,0）,與），軸交于點(diǎn)C.

⑴求拋物線的函數(shù)解析式;

⑵點(diǎn)P為拋物線位于第一象限上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸。_Lx軸于點(diǎn)。，交直線8C于點(diǎn)Q,求線段PQ的最

大值；

⑶點(diǎn)例（-2,8）,NG,8）,將拋物線向上平移機(jī)個單位，若平移后的拋物線與線段MN只有一個公共點(diǎn)，

直接寫出〃?的取值范圍.

2.（2024?甘肅平?jīng)?一模）如圖，拋物線），=O?+ZUTC經(jīng)過點(diǎn)2,0）,點(diǎn)8（4,0）,交V軸于點(diǎn)C（0,4）.連

接AC,8c。為08上的動點(diǎn)，過點(diǎn)。作瓦）_Lx軸，交拋物線于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)G.

⑴求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式：

⑵過點(diǎn)E作防工AC,垂足為廣，設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（見0）,請用含，”的代數(shù)式表示線段EG的長，并求出

當(dāng)用為何值時EG有最大值，最大值是多少？

⑶點(diǎn)。在運(yùn)動過程中，是否存在一點(diǎn)G,使得以O(shè),DG為頂點(diǎn)的三角形與SOC相似.若存在，請求出此

時點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

4.(2024?湖北襄陽?一模)拋物線j=*+2x+3的圖象與x軸交于A8兩點(diǎn)(4在B的左邊)交y軸于點(diǎn)C,

點(diǎn)P是y軸右側(cè)拋物線上的一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為人

(1)直接寫出4,B,。三點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵如圖1,若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)拋物線上運(yùn)動，當(dāng)NB48=NACO時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)如圖2,點(diǎn)N是經(jīng)過點(diǎn)A的宜線)，=m(x-3)上一點(diǎn)，直線尸N〃y軸，交直線BC于點(diǎn)M,過點(diǎn)尸作直線

PQ〃x軸，交直線于點(diǎn)Q.

①當(dāng)0<〃?<3時，求線段MN長度的最大值；

②記線段MQ的長度為/,當(dāng)心2a時，求〃?的取值范圍.

5.（2024?山西晉城?二模）綜合與探究

如圖，二次函數(shù)產(chǎn)於+辰+2的圖象與x軸交于A（—1,0）,8（4,0）兩點(diǎn)，與），軸交于點(diǎn)C,連接AC,BC.P

是拋物線上第一象限內(nèi)的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作叨JLx軸于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)P作直線廳'〃八。，交

y軸于點(diǎn)尸，交BC于點(diǎn)、G,連接過點(diǎn)C作C〃_LPD于點(diǎn)機(jī)

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式，并直接寫出直線8C的函數(shù)表達(dá)式.

（2）求線段GE的最大值.

⑶在點(diǎn)〃運(yùn)動的過程中，是否存在點(diǎn)"，使△/X?”￡z^C〃K?若存在,請直接寫出點(diǎn)”的坐標(biāo)；若不存在,

請說明理由.

且過點(diǎn)小「鬲+尚

6.（2024?天津南開?一模）拋物線y=-2/+法+c與y軸交于點(diǎn)A0,其中

/?>—,連接AB.

2

⑴當(dāng),〃=6時，求拋物線解析式和其頂點(diǎn)的坐標(biāo);

（2）當(dāng)〃=4G時，若點(diǎn)M為拋物線），=-2/+瓜+c上位于直線AB上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線AB的垂線,

垂足為N.求MN的最大值和此時點(diǎn)用的坐標(biāo);

(3)已知點(diǎn)D0?—y/3m+，點(diǎn)?！ǎ?，〃:>0,若點(diǎn)。在線段/W上，且BP=〃，連接OP,BQ,當(dāng)DP+BQ

的最小值為45時，直接寫出此時人的值和點(diǎn)P的坐標(biāo).

7.(2024?四川南充?一模)如圖，已知拋物線y=Y+云+c與上軸交于4(-1,0),4兩點(diǎn)，與)，軸交于點(diǎn)C(0,-3).

圖⑴圖⑵

⑴求拋物線的解析式；

⑵如圖1,點(diǎn)尸是拋物線上位于笫四象限內(nèi)一動點(diǎn)，PD工BC于點(diǎn)D,求。。的最大值及此時點(diǎn)尸的坐標(biāo);

(3)如圖2,點(diǎn)E是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)M是線段8七上的動點(diǎn)(點(diǎn)M不與4重合)，過點(diǎn)M作MNJ_x軸于N,

是否存在點(diǎn)M，使..CMN為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

8.(2024?新疆巴音郭楞?一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=-丁+法+。經(jīng)過1,0),C(0,3)兩

點(diǎn)，并與x軸交于另一點(diǎn)反

⑴求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;

(2)求點(diǎn)B坐標(biāo)：

⑶設(shè)P(x.y)是拋物線卜.的一個動點(diǎn),過點(diǎn)夕作音線/_Lx軸干點(diǎn)M.交直線8。千點(diǎn)M

①若點(diǎn)。在第一象限內(nèi)，試問：線段PN的長度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時x的值;

若不存在，請說明理由；

②當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動到某一位置時，能構(gòu)成以8c為底邊的等腰三角形,求此時點(diǎn)。的坐標(biāo)及等腰△6PC的面積.

9.（2024?山東淄博?模擬預(yù)測）如圖，已知二次函數(shù)1y=/+阮+。經(jīng)過斗，B兩點(diǎn),BC_Lx軸于點(diǎn)C,且點(diǎn)

A（-l,0）,C（4,0）,AC=BC.

⑴求拋物線的解析式；

⑵點(diǎn)E是線段AA上一動點(diǎn)（不與A,B重合）,過點(diǎn)E作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)凡當(dāng)線段所的長度

最大時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)及

⑶點(diǎn)2是拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，是否存在這樣的夕點(diǎn)，使.A砂成為直角三角形？若存在，求出所

有點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

10.（2024?湖北恩施?一模）如圖1,拋物線y="+A+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（l,2）,與X軸交于點(diǎn)伙-1,0）,C

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵連接A8、AC,判斷“8C的形狀并說明理由.

⑶連接C。，若點(diǎn)P在第一象限，過點(diǎn)P作PE_L8于E,求線段正長度的最大值；

⑷已知NACE+NPC8=a,是否存在點(diǎn)P,使得tana=2?若存在，求出點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)；若不存在，請說

明理由.

11.（2024?江蘇淮安?模擬預(yù)測）如圖1,二次函數(shù)），=-72+/^+。與x軸交于A、A兩點(diǎn)，與），軸交于點(diǎn)c.點(diǎn)

8坐標(biāo)為（6,0）,點(diǎn)C坐標(biāo)為（0,3）,點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作叨_Lx軸，垂足為。，

PO交直線8C于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為〃1.

⑴求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵如圖2,過點(diǎn)P作廳'_L8C,垂足為尸，當(dāng)胴為何值時，尸尸最大？最大值是多少？

⑶如圖3,連接“，當(dāng)四邊形。CZ7）是矩形時，在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)。，使原點(diǎn)。關(guān)于史線CQ的

對稱點(diǎn)。恰好落在該矩形對角線所在的直線上，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo).

12.（2024?安徽黃山?一模）已知拋物線），=aP+bx+c（4工0）與x軸交于&T,0）,B（4,0）兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)

。（一2,-3）,與），軸交于點(diǎn)C.

⑴求拋物線的函數(shù)解析式；

⑵若點(diǎn)M是x軸上位于點(diǎn)A與點(diǎn)8之間的一個動點(diǎn)（含點(diǎn)A與點(diǎn)4）,過點(diǎn)M作x軸的垂線分別交拋物線

和直線4c于點(diǎn)區(qū)點(diǎn)廠.求線段￡尸的最大值.

13.（2024?天津?一模）拋物線），=-/+Zu+c（〃，c?為常數(shù)，c>0）頂點(diǎn)為P,與彳軸交于點(diǎn)A,B（點(diǎn)A

在點(diǎn)8左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,直線/過點(diǎn)。且平行于1軸，M為第一象限內(nèi)直線/上一動點(diǎn)，N為線段8C

上一動點(diǎn).

⑴若〃=2,c=3.

①求點(diǎn)尸和點(diǎn)A,B的坐標(biāo)；

②當(dāng)點(diǎn)例為直線/與拋物線的交點(diǎn)時，求MN的最小值；

（2）若4（c,0）,BN=CM,且ON+8M的最小值等于46時，求b,c的值.

14.（2024?安徽?二模）如圖1,拋物線y=ar2+bx+c（awo）的頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,4）,與x軸交于A,B兩

點(diǎn)（點(diǎn)4在點(diǎn)A的右側(cè)），與），軸交于點(diǎn)。（0,3）.

⑴求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)；

⑵如圖2,連接AO交y軸于點(diǎn)￡過點(diǎn)E作叱工A。交x軸于點(diǎn)兒連接?！ń粧佄锞€于點(diǎn)G,試求點(diǎn)G

的坐標(biāo)；

⑶如圖3,連接4C,BC,點(diǎn)。是拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過點(diǎn)。作PQ〃4C,交8c于點(diǎn)Q,當(dāng)〃。的

長最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

15.（2024?廣東惠州?一模）綜合與探究:

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線丁=依+4與x軸交于點(diǎn)4-4,0）,與），軸交于點(diǎn)C,拋物線），=-/+隊+c

經(jīng)過A,C兩點(diǎn)且與x軸的正半軸交于點(diǎn)8.

⑴求女的值及拋物線的解析式.

⑵如圖①，若點(diǎn)。為直線AC上方拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)NAC7）=2N84C時，求。點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑶如圖②，若r是線段QA的上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)”作直線律垂直于“軸交直線AC和拋物線分別于點(diǎn)G、

E,連接CE.設(shè)點(diǎn)b的橫坐標(biāo)為，〃.

①當(dāng)"為何值時，線段EG有最大值，并寫出最大值為多少；

②是否存在以C，G,E為頂點(diǎn)的三角形與-ARG相似，若存在，直接寫出〃，的值；若不存在，請說明理

由.

16.（2023?重慶?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=—『+bx+c與x軸交于點(diǎn)A,B,

4

與了軸交于點(diǎn)C,其中8（3,0）,C（0,-3）.

⑴求該拋物線的表達(dá)式；

⑵點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD_LAC于點(diǎn)D，求刊）的最大值及此時點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑶在（2）的條件下，將該拋物線向右平移5個單位，點(diǎn)E為點(diǎn)尸的對應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與＞軸交于點(diǎn)尸，

。為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點(diǎn).寫出所有使得以。尸為腰的△。所是等腰三角形的點(diǎn)。的坐標(biāo),

并把求其中一個點(diǎn)Q的坐標(biāo)的過程寫出來.

17.（2023?四川涼山?中考真題）如圖，已知拋物線與％軸交于A。,。）和3（-5,0）兩點(diǎn)，與丁軸交于點(diǎn)C.直

線y=-3\+3過拋物線的頂點(diǎn)p.

⑴求拋物線的函數(shù)解析式：

⑵若直線x=〃2（-5<m<0）與拋物線交于點(diǎn)E,與直線4c交于點(diǎn)尸.

①當(dāng)仃取得最大值時，求〃?的值和E尸的最大值；

②當(dāng)二瓦C是等腰三角形時，求點(diǎn)￡的坐標(biāo).

18.（2023?青海西寧?中考真題）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，直線/與x軸交于點(diǎn)A（6,0）,與y軸交于點(diǎn)8（0,-6）,

拋物線經(jīng)過點(diǎn)A,B,且對稱軸是直線x=l.

⑴求直線/的解析式；

⑵求拋物線的解析式；

⑶點(diǎn)P是直線/下方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，垂足為C,交直線/于點(diǎn)D,過點(diǎn)P作PMJJ,

垂足為M.求PM的最大值及此時P點(diǎn)的坐標(biāo).

題型02利用二次函數(shù)解決兩條線段之和的最值問題

19.(2024?山東棗莊?一模)已知拋物線＞，=?+必_4與x軸交于A(-4,0),8(1,0)兩點(diǎn)，與)，軸交于點(diǎn)C.

圖1圖2

⑴求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖1,點(diǎn)。是線段OC上的?動點(diǎn)，連接AO,BD，將△A8O沿直線A。翻折，得到VA9。，當(dāng)點(diǎn)3'

恰好落在拋物線的對稱軸上時，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如圖2,動點(diǎn)P在直線AC下方的拋物線上，過點(diǎn)P作直線AC的垂線，分別交直線AC,線段8c于點(diǎn)E,

F,過點(diǎn)尸作FGJLx軸，垂足為G,求產(chǎn)G+&五P的最大值.

20.（2024?廣東廣州?一模）如圖所示，拋物線"=->?+加+c與直線AB交于4-4,-4）,6（0,4）兩點(diǎn)，點(diǎn)C為

線段AB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)C作％軸的垂線交拋物線于點(diǎn)D..

⑴求該拋物線的解析式；

⑵當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動到何處時，線段CO的長度有最大值；

⑶點(diǎn)E為直線CO上一動點(diǎn)，在（2）的條件下，當(dāng)+有最小值時，點(diǎn)七的坐標(biāo)為（直接寫

出答案）.

2L（2024?山東淄博?一模）如圖，已知直線/：），=依+4與拋物線產(chǎn)四2+廄+2交于點(diǎn)A8（l，3），且點(diǎn)A在x

軸上，P是〉軸上一點(diǎn)，連接尸

（1）求AM力的值;

⑵當(dāng)尸A+P8取得最小值時，求點(diǎn)/＞的坐標(biāo)；

⑶若直線、=相交直線/于點(diǎn)C（點(diǎn)C在線段人8上，不與端點(diǎn)重合），交拋物線于點(diǎn)。，連接。C.設(shè)

W=OC2+CD,求卬關(guān)于小的函數(shù)表達(dá)式，并求出卬的最小值.

22.（2024?廣東江門?一模）如圖，已知拋物線y=o?+加一3（*0）,與1軸交于43,。）、8（9,0）兩點(diǎn),且與

⑴求拋物線的解析式；

⑵在拋物線的對稱軸/上是否存在一點(diǎn)P,使AP+”的值最小?若存在，求出AP+CP的最小值;若不存在,

請說明理由；

⑶在以A8為直徑的圓中，直線CN與相切丁?點(diǎn)N,宜線。”交x軸丁點(diǎn)求直線CN的解析式.

23.(2024?重慶?一模)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線產(chǎn)-$2+尿+0交工軸于46,0),3(-2,0),

⑴求拋物線的表達(dá)式；

⑵如圖2,連接AC,點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作正軸交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)P

作P/"AC交文軸于點(diǎn)F,求PE+巫Pr的最大值及此時點(diǎn)P坐標(biāo)；

13

⑶將拋物線沿,軸方向向下平移，平移后所得新拋物線與)，軸交于點(diǎn)。，過點(diǎn)〃作。“〃人?軸交新拋物線于

點(diǎn)M,射線M。交新拋物線于點(diǎn)M如果MO=4OM請寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)N

的坐標(biāo)的其中一種情況的過程.

24.(2024?湖南懷化?一模)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線〉，=-/+法+。與x軸交于48兩點(diǎn)(點(diǎn)

A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,OB=OC=5,頂點(diǎn)為。，對稱軸交x軸于點(diǎn)￡

圖1圖2圖3

⑴求拋物線的解析式、對稱軸及頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑵如圖2,點(diǎn)Q為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，當(dāng)Q在什么位置時0A+QC最小，求出。點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出此

時△QAC的周長；

(3)如圖3,在對稱軸左側(cè)的拋物線上有一點(diǎn)M,在對稱軸右側(cè)的拋物線上有一點(diǎn)M滿足NM/W=9()。.求

證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

25.(2023?寧夏?中考真題)如圖，拋物線>=五+區(qū)+3(〃/0)與4軸交于A,B兩點(diǎn),與丁軸交于點(diǎn)C.已

⑴直接寫出點(diǎn)8的坐標(biāo)；

⑵在對稱軸上找?點(diǎn)產(chǎn)，使PA+PC的值最小.求點(diǎn)P的坐標(biāo)和尸A+PC的最小值；

⑶第一象限內(nèi)的拋物線上有一動點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN_Lx軸，垂足為N,連接8C交MN于點(diǎn)Q.依題意

補(bǔ)全圖形，當(dāng)"Q+gCQ的值最大時，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

26.(2024?海南海口?一模)如圖，拋物線+法+。過點(diǎn)A(T0),*3,0),。(0,3).

⑴求拋物線的解析式；

(2)設(shè)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的拋物線上的一個動點(diǎn)，

①當(dāng)P為拋物線的頂點(diǎn)時，求證：APBC直角三角形；

②求出PBC的最大面積及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

③過點(diǎn)尸作「N_Lx軸，垂足為N,PN與BC交于點(diǎn)E.當(dāng)PE+&CE的值最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

27.（2024?天津津南?一模）綜合與探究：如圖,拋物線），=-/+歷+f上的點(diǎn)A,2坐標(biāo)分別為（0,2）,（4,0）,

拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B,JSOM=2,連接AC,CM.

⑴求點(diǎn)M的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

⑵點(diǎn)戶是拋物線位于第一象限圖象上的動點(diǎn)，連接AP,CP,當(dāng)SgAc=Szcw時，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑶將拋物線沿x軸的負(fù)方向平移得到新拋物線，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)4,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C'，當(dāng)MA'+MC

的值最小時，新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為-M4'+MC的最小值為一.

28.（2024?安徽馬鞍山?一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線）=；（人+3）（人-“）與x軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)

8（4,0）.點(diǎn)C在），軸正半軸上，且OC=OB,。,后分別是線段AC,A8上的動點(diǎn)（點(diǎn)。不與點(diǎn)4c重合，

點(diǎn)E不與點(diǎn)A8重合）.

⑴求此拋物線的表達(dá)式；

（2）連接5。.

①將△58沿x軸翻折得到,BAG’點(diǎn)CD的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)F和點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)G在拋物線上時，求點(diǎn)G的

坐標(biāo)；

②連接CE,當(dāng)CD=AE時，求8O+CE的最小值.

29.（2024?山東臨沂?模擬預(yù)測）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=aF-2ov+3與x軸交于點(diǎn)A,以

點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn)，對稱軸與X軸交于點(diǎn)￡.

圖1圖2

⑴填空：，點(diǎn)8的坐標(biāo)是:

⑵連接以九點(diǎn)M是線段8。上一動點(diǎn)（點(diǎn)M不與端點(diǎn)8,。重合），過點(diǎn)”作/團(tuán)7,8力，交拋物線于點(diǎn)M

點(diǎn)N在對稱軸的右側(cè)），過點(diǎn)N作N”_Lx軸，垂足為H,交BD千點(diǎn)、F，點(diǎn)P是線段0C上一動點(diǎn)，當(dāng)-MNF

的周長取得最大值時，求/P+JPC的最小值；

⑶在（2）中，當(dāng)一MN/的周長取得最大值時，F(xiàn)?+JPC取得最小值時，如圖2,把點(diǎn)尸向下平移偵個單

位得到點(diǎn)Q,連接AQ,把“OQ繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度以0。＜。＜360。），得到“AO。，其中邊

交坐標(biāo)軸于點(diǎn)G.在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點(diǎn)G,使得GQ，=OG?若存在，請直接寫出所有滿足條件的

點(diǎn)。’的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

30.（2024?天津?yàn)I海新?一模）已知拋物線.v=-x2+2mx+c（"Jc為常數(shù),且加＞0）,與大軸交于點(diǎn)4T,0），

B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)c.

⑴當(dāng)〃?=i時，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);

⑵點(diǎn)M為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為若=求拋物線的解析式：

⑶當(dāng)〃/＞1時，拋物線的對稱軸與X軸交于點(diǎn)。，過點(diǎn)〃?）作直線，垂直于y軸，垂足為E,。為

直線/上一動點(diǎn)，N為線段。上一動點(diǎn)，當(dāng)。。+QN的最小值為中時，求〃，的值.

31.（2024?山東臨沂?一模）如圖:，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=。小—23+3與x軸交于點(diǎn)A,B（點(diǎn)

4在點(diǎn)4的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,0）,點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn)，對稱軸與x軸交于點(diǎn)￡

圖1圖2

⑴填空：。=，點(diǎn)B的坐標(biāo)是；

（2）連接AQ,點(diǎn)M是線段上一動點(diǎn)（點(diǎn)M不與端點(diǎn)B,D重合），過點(diǎn)M作MN上BD，交拋物線于點(diǎn)N

（點(diǎn)N在對稱軸的右側(cè)）,過點(diǎn)N作M/軸，垂足為H,交BD于點(diǎn)F,點(diǎn)P是線段。。上一動點(diǎn)，當(dāng)..MNF

的周長取得最大值時，求。+gpc的最小值；

⑶在（2）中，當(dāng)JWVF的周長取得最大值時，Q+gR?取得最小值時，如圖2,把點(diǎn)〃向下平移竽個

單位得到點(diǎn)。連接AQ,把△AOQ繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度00。＜。＜360。），得到“TO0,其中

邊交坐標(biāo)軸于點(diǎn)G.在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點(diǎn)G,使得G0JOG?若存在，請直接寫出所有滿足

條件的點(diǎn)Q'的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

32.（2024?湖北?一模）如圖1,拋物線y=；/+班+c與工軸交于A,C兩點(diǎn)，與），軸交于點(diǎn)8（0,-3）,

經(jīng)過點(diǎn)C的直線丁=心-必與拋物線y=+6x+c的另一個交點(diǎn)為例

⑴直接寫出。，C的值;

(2)若NMC4=/48O,求女的值；

⑶若。為3c上的點(diǎn)，”為4c上的點(diǎn)，8O=b,過點(diǎn)3作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E,連接OE,BF,

如圖2,當(dāng)DE+BF取得最小值時,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

33.(2023?黑龍江綏化?中考真題)如圖，拋物線到=底+6+。的圖象經(jīng)過4-6,0),B(-2,0),C(0,6)三

點(diǎn),且一次函數(shù))，=興+6的圖象經(jīng)過點(diǎn)8.

⑴求拋物線和一次函數(shù)的解析式.

(2)點(diǎn)七，戶為平面內(nèi)兩點(diǎn)，若以E、尸、8、。為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且點(diǎn)石在點(diǎn)尸的左側(cè).這樣的E,

產(chǎn)兩點(diǎn)是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)：如果不存在，請說明理由.

⑶將拋物線弘=ad+云的圖象向右平移8個單位長度得到拋物線力，此拋物線的圖象與x軸交于“，N

兩點(diǎn)(/點(diǎn)在N點(diǎn)左側(cè)).點(diǎn)尸是拋物線乃上的,個動點(diǎn)且在直線NC下方.已知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為機(jī).過點(diǎn)

P作PD工NC于點(diǎn)、D.求加為何值時，CD+gp。有最大值，最大值是多少？

題型03利用二次函數(shù)解決兩條線段之差的最值問題

34.(2024?安徽合肥?一模)已知拋物線L:y=a/_4x+c(a>0)與直線y=^-c?都經(jīng)過點(diǎn)4-1加),直線

>=如-。與拋物線L的對稱軸交于點(diǎn)B.

⑴求m的值;

(2)求證:a-￥c>4；

⑶當(dāng)4=1時，將拋物線L向左平移〃(〃>0)個單位得到拋物線P,拋物線P與拋物線L的對稱軸交于點(diǎn)M,

且點(diǎn)M在點(diǎn)4的下方.過點(diǎn)4作入軸的平行線交拋物線。于點(diǎn)N,且點(diǎn)N在點(diǎn)A的右側(cè)，求AM-4V的最

大值，并求出此時〃的值.

35.(2024?寧夏銀川?一模)如圖，已經(jīng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)O(OQ),A(5,5),且它的對稱軸為x=2.

⑴求此拋物線的解析式；

⑵若點(diǎn)3是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)3在第一象限，當(dāng)二OAB的面積為15時；求點(diǎn)8的坐標(biāo).

⑶在（2）的條件下，P是拋物線上的動點(diǎn)，求尸的坐標(biāo)以及孫-尸8的最大值.

題型04利用二次函數(shù)解決三條線段之和的最值問題

36.（2021?湖北恩施?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形A8C。為正方形，點(diǎn)A,8在/軸上,

（2）尸為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，。為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)Q,F,E,B為頂點(diǎn)的四

邊形是以跖為邊的菱形.若存在，請求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）。為了軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M,連接ME,BP.探究EM+MQ+PB是

否存在最小值.若存在，請求出這個最小值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

37.（2024?天津河北?一模）已知拋物線y=[r2+bx+c,與x軸相交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），與），

軸相交于點(diǎn)C,若C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),對稱軸為X=-；.

⑴求拋物線頂點(diǎn)尸和點(diǎn)A的坐標(biāo)：

(2)點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，連接AO,BD,若將△A3。沿AO所在直線翻折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)8'恰好落在拋物線

的對稱軸上，求。點(diǎn)坐標(biāo)；

⑶拋物線上點(diǎn)M在直線上方，過M作AC的垂線交線段8C于點(diǎn)M過N點(diǎn)向)，軸作垂線，垂足為Q,

求CB-MN+2丘QN的最小值.

38.(2022?山東煙臺?統(tǒng)考二模)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，正方形A8CD的頂點(diǎn)48在x軸匕拋物線y=

一/+b%+c經(jīng)過A,C(4,-5)兩點(diǎn)，且與直線DC交于另一點(diǎn)E.

⑴求拋物線的解析式：

(2)P為y軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線對稱軸的垂線，垂足為Q,連接EQ,4P.試求EQ+PQ+AP的最小值：

(3)4為平面內(nèi)一點(diǎn)，在拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)M,N,E,八為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若

存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

題型05利用二次函數(shù)解決三角形周長的最值問題

39.(2024?江西?一模)已知關(guān)于人的一次函數(shù)了=加+法+C的圖象的對稱軸是直線X=l,其最大值是4,

經(jīng)過點(diǎn)4（-LT）,交）'軸于點(diǎn)8,請僅用無刻度直尺按下列要求作圖.

⑴在圖1中作二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)P（2,2）：

⑵在圖2中二次函數(shù)圖象的對稱軸上找?點(diǎn)。，使-A8Q的周長最短.

40.（2024?山東濟(jì)寧?一模）如圖，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）的拋物線、=&+/求+c與“軸交于A兩點(diǎn)（點(diǎn)A在

點(diǎn)B的左邊），與丁軸交于點(diǎn)。（0,3），。是直線8c上方拋物線上的一個動點(diǎn)，連接入。交拋物線的對稱軸于

點(diǎn)E.

⑴求拋物線的解析式；

⑵連接4C,當(dāng)A4CE的周長最小時，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑶過點(diǎn)。作軸于點(diǎn)，，交直線BC于點(diǎn)/，連接AF.在點(diǎn)。運(yùn)動過程中，是否存在使△Ab為等

腰三角形？若存在，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

41.（2023?湖南張家界?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)丁=然2+/狀+。的圖象與x軸

交于點(diǎn)4-2,0）和點(diǎn)3（6,0）兩點(diǎn)，與），軸交于點(diǎn)C（0,6）.點(diǎn)。為線段8c上的一動點(diǎn).

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式;

（2）如圖1,求△AOD周長的最小值;

（3）如圖2,過動點(diǎn)。作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P,連接幺,。4,記▲孫/）與力的面積和

為S,當(dāng)5取得最大值時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并求出此時S的最大值.

42.（2023?山東濟(jì)寧?模擬預(yù)測）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中.勉物線產(chǎn)底+灰+2與x軸交于A（-4,0）和

3（1,0）,與y軸交于點(diǎn)C,連接力C,BC.

⑴求該拋物線的解析式；

⑵如圖2,點(diǎn)M為直線AC上方的拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)“作y軸的平行線，交AC于點(diǎn)N,過點(diǎn)M作

x軸的平行線，交直線AC于點(diǎn)Q,求△MAQ周長的最大值：

⑶點(diǎn)P為拋物線上的一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使ZACP+NBAC=45。?若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，

請說明理由.

43.（2024?山東濱州?一模）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=->-2與x軸交于點(diǎn)A,與），軸交于點(diǎn)8,拋

物線.b'=加+6+4。＞0）經(jīng)過A,B兩點(diǎn),并與x軸的正半軸交于點(diǎn)C.

⑴求。，力滿足的關(guān)系式及。的值；

（2）當(dāng)。=!時，若點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，求人4夕周長的最小值

4

⑶當(dāng)a=l時，若點(diǎn)。（團(tuán),〃）是直線A4下方拋物線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)切取何值時，AABQ的面積最大？并求

出.A8Q面積的最大值.

44.（2024?廣東東莞?一?模）如題，在平面直角坐標(biāo)系xO），中，拋物線廣加+陵+2與工軸交于點(diǎn)A（-LO）,

⑴求拋物線的解析式.

⑵點(diǎn)D為拋物線的對稱軸上一動點(diǎn)，當(dāng).A8周長最小時?，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

⑶點(diǎn)E是0C的中點(diǎn)，射線AE交拋物線于點(diǎn)尸，夕是拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)。作軸的平行線，交射線存

與點(diǎn)G,是否存在點(diǎn)。使得△/）卬與AAOE相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

45.（2024?山西晉中?一模）綜合與探究

如圖1,拋物線），=依2+/a-石與/軸交于4_3,0）,3（1,0）兩點(diǎn)，與），軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為點(diǎn)。.連接

AC,BC,將叢水;沿x軸向右平移〃2（〃>0）個單位長度，得到&A'HC.

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式與頂點(diǎn)O的坐標(biāo).

（2）如圖2,連接AC,AD,CD,當(dāng)△AC。周長最短時，求加的值.

⑶如圖3,設(shè)邊BC與邊AC交于點(diǎn)E,連接8E，是否存在機(jī)，使得BE與qA,BE的一邊相等?若存在,

直接寫出〃?的值；若不存在，請說明理由.

46.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=d+2x+c（a?c是常數(shù)）經(jīng)過4（0,3）、

3（3,0）兩點(diǎn).點(diǎn)/＞為拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

⑴求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

⑵點(diǎn)。為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，連結(jié)ACOC,求J1OC周長的最小值;

⑶已知點(diǎn)Q（4-〃?，m-1）,連結(jié)以PQ為對角線作矩形PMQN,且矩形各邊直于坐標(biāo)軸.

①拋物線在矩形內(nèi)的部分圖象）'隨工增大而減小，且最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為2時，求〃?的值；

②連結(jié)8Q,設(shè)〃。的中點(diǎn)為。，當(dāng)以P、。、。為頂點(diǎn)的二角形為銳知二角形時，直接寫出機(jī)的取值范圍.

47.（2024?內(nèi)蒙古烏海?模擬預(yù)測）如圖（1）,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線），=6+云-4（叱0）與x軸交

于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）,與丁軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為且點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)

于拋物線的對稱軸對稱.

⑴分別求出",b的值和直線AD的解析式;

⑵直線AD下方的拋物線.上有一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PH±AO于點(diǎn)H,作PM平行于丁軸交直線AD于點(diǎn)、M,

交x軸于點(diǎn)E,求的周長的最大值；

⑶在（2）的條件下，如圖2,在直線的右側(cè)、x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)N,過點(diǎn)N作可。，工軸

交x軸于點(diǎn)G,使得以點(diǎn)E、N、G為頂點(diǎn)的三角形與叢OC相似？如果存在，請直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)；

如果不存在，請說明理由.

48.（2023?重慶?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線），="2+阮+2過點(diǎn)（1,3）,且交x軸于點(diǎn)4（-1,0）,

8兩點(diǎn)，交），軸于點(diǎn)C.

⑴求拋物線的表達(dá)式；

⑵點(diǎn)尸是直線3c上方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PZ）_L3c于點(diǎn)。，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線3c于

點(diǎn)E,求△/）/比周長的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶在（2）中△尸■周長取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線C/3方向平移逐個單位長度，點(diǎn)M為平

移后的拋物線的對稱軸上一點(diǎn).在平面內(nèi)確定一點(diǎn)M使得以點(diǎn)4,P,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，寫

出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)N的坐標(biāo)的其中一種情況的過程.

題型06利用二次函數(shù)解決四邊形周長的最值問題

49.（2024?四川涼山?模擬預(yù)測）如圖，拋物線），=-f+bx+c的圖象與x軸交于4（-3,0）、8兩點(diǎn)，與＞軸

交于點(diǎn)C（0.3）.

⑴求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);

⑵若點(diǎn)石在拋物線上，且=S△板，求點(diǎn):E的坐標(biāo);

⑶點(diǎn)P是拋物線上A、。之間的一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作軸于點(diǎn)例，過點(diǎn)尸作交拋物線于點(diǎn)。，

過點(diǎn)。作軸于點(diǎn)N.設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為點(diǎn)〃?，請用含/〃的代數(shù)式表示矩形PQNM的底長，并求矩

形PQMW周長的最大值.

50.（2022?廣西柳州?中考真題）已知拋物線y=?/+/u+c與％軸交于4（-1,0）,B（m,0）兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)C(0,5).

⑴求b,c,加的值;

(2)如圖1,點(diǎn)。是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一個動點(diǎn)，且點(diǎn)。在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)。作x軸的平行線交

拋物線于點(diǎn)E，作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作ERlr軸，垂足為點(diǎn)兒當(dāng)四邊形。EFG的周長最

大時，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑶如圖2,點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，將沿4C翻折得到△N8C,與)，軸交于點(diǎn)°,在對稱軸上找一點(diǎn)

P，使得△PQ8是以QB為直角邊的直角三角形，求出所有符合條件的點(diǎn)。的坐標(biāo).

51.(2023?遼寧丹東??？级?如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于力(-1,0),

8(5,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

備用圖

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵若點(diǎn)P是位于直線BC上方拋物線上的一個動點(diǎn)，求48PC面積的最大值；

⑶若點(diǎn)。是V軸上的一點(diǎn)，且以3、C、。為頂點(diǎn)的三角形與MBC相似，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑷若點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)F(3,a)是該拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)M在x軸、點(diǎn)N在y軸上，是否存在點(diǎn)M、

N使四邊形EFMN的周長最小，若存在，請直接寫出點(diǎn)M、點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

52.(2022?廣東東莞?東莞市光明中學(xué)校考一模)二次函數(shù)丫=。/+必+35=0)的圖像與、軸交于點(diǎn)。,

(2)P是二次函數(shù)圖像在第一象限部分上i點(diǎn)，且“46=乙。&4,求P點(diǎn)坐標(biāo)；

⑶在(2)的條件下，有一條長度為1的線段￡T落在0A上(E與點(diǎn)。重合，尸與點(diǎn)A重合)，將線段EF沿4軸正

方向以每秒/個單位向右平移，設(shè)移動時間為t杪，當(dāng)四邊形CE『P周長最小時，求￡的值.

JLJ

53.(2022?安徽六安??？家荒?如圖，直線A8E)y=x-3與x軸、y軸分別交于48兩點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c

經(jīng)過點(diǎn)48,拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)。，與直線48交于點(diǎn)N,頂點(diǎn)為C

⑴求拋物線的解析式；

⑵點(diǎn)M在線段8/V上運(yùn)動，過點(diǎn)M作線段EF平行于y軸，分別交拋物線于點(diǎn)F,交x軸于點(diǎn)￡,作FG3CD

于點(diǎn)G：

①若設(shè)E（30）,試用含t的式子表示DE的長度；

②試求四邊形EFG。的周氏取得最大值.

題型07利用二次函數(shù)解決線段比最值問題

54.（2024?山西太原?三模）綜合與探究

如圖1,經(jīng)過原點(diǎn)。的拋物線），=-2f+8x與X軸的另一個交點(diǎn)為小直線/與拋物線交于A,8兩點(diǎn)，已

知點(diǎn)3的橫坐標(biāo)為1,點(diǎn)M為拋物線上一動點(diǎn).

圖2圖3

⑴求出A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線/的函數(shù)表達(dá)式.

（2）如圖2,若點(diǎn)M是直線/上方的拋物線上的一個動點(diǎn)，直線OW交直線/于點(diǎn)C,設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為機(jī),

求生X4C的最大值.

⑶如圖3,連接OB,拋物線上是否存在一點(diǎn)M,使得NM04=N840,若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);

若不存在，請說明理由.

55.（2024?山東濟(jì)南?一模）如圖，拋物線），=d-3級-44的圖象經(jīng)過點(diǎn)。（0,2）,交x軸于點(diǎn)A,3（點(diǎn)A在

點(diǎn)B左側(cè)），連接BC直線），=a十1（攵>0）與丁軸交于點(diǎn)￡>,與8C上方的拋物線交于點(diǎn)E與8C交于點(diǎn)F.

⑴求拋物線的解析式；

（2）空是否存在最大值？若存在，請求出其最大值及此時點(diǎn)E的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

Dr

⑶第一象限內(nèi)拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得ABCO中有一個銳角與/PCF相等？若存在，求點(diǎn)尸得橫坐

標(biāo)，若不存在，請說明理由.

56.（2024?四川廣元?二模）如圖1,二次函數(shù)y=以2+灰+。的圖象與工軸交于點(diǎn).A（—l,0）,B（3,0）,與y

軸交于點(diǎn)C（O「3）.

⑴求二次函數(shù)的解析式.

⑵點(diǎn)尸為拋物線上一動點(diǎn).

①如圖2,連接8C,若點(diǎn)P在直線8c下方的拋物線上，連接。P,與BC交于點(diǎn)E,求會的最小值；

PE

②如