第2章有理數(shù)

1.理解正數(shù)與負數(shù)的概念，掌握有理數(shù)的概念與分類。

2.掌握數(shù)軸、絕對值、相反數(shù)的相關概念，學會用數(shù)軸表示有理數(shù)，了解絕對值的幾何

意義，會分類討論數(shù)軸中的動點問題；學會用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小。

教學目標

3.掌握有理數(shù)的四則混合運算，學會運用有理數(shù)的四則運算法則進行計算，可以獨立解

決簡便計算問題；掌握有理數(shù)四則運算實際問題。

4.掌握科學記數(shù)法相關概念。

1.重點

（1）有理數(shù)的分類；

（2）數(shù)軸的表示、絕對值的性質(zhì)和相反數(shù)的定義：

（3）有理數(shù)的四則混合運算。

教學重難點

2灘點

（1）數(shù)軸上的動點問題，動點的表示等；

（2）學會表示絕對值的幾何意義，可以分類討論問題。

（3）有理數(shù)的實際應用問題，找到數(shù)量關系，列出算式解決問題

知識清單

知識點一正數(shù)與負數(shù)

正數(shù)與負數(shù)

正數(shù)：像3.5,2020,6.7,色4等這樣的數(shù)都是正數(shù)，它們都是大于0的；

o

負數(shù)：像一154,-3.4,-3.5%等這樣的數(shù)都是負數(shù)，它們都是小于0的：

0既不是正數(shù)，也不是負數(shù).

L一個數(shù)前面的“+”號或“一”號叫做它的符號，其中“+”號可以省略不寫，“一”號不能省略；

2.0的意義不但可以表示“沒有”，還可以表示一些特定的意義，如是一個確定的溫度，不能說0℃沒有

溫度；

具有相反意義的量

1.具有相反意義的量包括兩個因素?：①有相反的意義，②有數(shù)量.

（1）單獨的一個量不能稱為具有相反意義的量，即具有相反意義的量總是成對出現(xiàn)的；

（2）具有相反意義的量必須是同類量，如盈利200元與向東走200米就不是具有相反意義的量：

（3）具有相反意義的量只要求具有相反意義和數(shù)量即可，數(shù)最不一定要相等，例：與上升100米是相反意

義的量有很多，如下降10米、下降120米、下降200米等；

（4）常見的具有相反意義的量：以海平面為基準，高于海平面為正，則低于海平面為負；常見的還有前進

與后退，上升和下降，盈利和虧損，向南和向北等.

2.當我們把其中一種意義的量規(guī)定為正，用正數(shù)表示，則與它具有相反意義的量直接可以用負數(shù)表示.

整數(shù)和分數(shù)

整數(shù)：正整數(shù)、負整數(shù)、零統(tǒng)稱為整數(shù)；

分數(shù)：正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù)；

易錯點：

1.0不是分數(shù)，0是整數(shù)；

2.零和正整數(shù)又叫自然數(shù)；

3.正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)，負數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負整數(shù)（自然數(shù)），貨整數(shù)和零統(tǒng)

稱為非正整數(shù)；

4.有限小數(shù)和無線循環(huán)小數(shù)都可以化成分數(shù)（見知識點五的拓展）.

用正負數(shù)表示誤差范圍

【即學即練】

1.（2025?江蘇無錫?一模）我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中已經(jīng)用正負數(shù)來表示相反意義的量.若將向南

行走10步記作"+10”，則向北行走8步可記作（）

A.-8B.+8C.-2D.+2

知識點二有理數(shù)的概念與分類

我們把能夠?qū)懗煞謹?shù)形式:（m,n是整數(shù)，n^O）的數(shù)叫做有理數(shù).

1.有理數(shù)只包括整數(shù)和分數(shù)；

2.有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以化成分數(shù)，所以它們都是有理數(shù)；

拓展：循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)如果一個無限小數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字，從小數(shù)部分的某一位起，按-定順序不斷

重復出現(xiàn)，那么這樣的小數(shù)叫做無限循環(huán)小數(shù)，簡稱循環(huán)小數(shù)，其中重復出現(xiàn)的一個或幾個數(shù)字叫做它的

一個循環(huán)節(jié).

循環(huán)小數(shù)又可以分為純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù).

（1）純循環(huán)小數(shù)化分數(shù)

（2）混循環(huán)小數(shù)化分數(shù)

有理數(shù)的分類

山有理數(shù)的特征，一般會有以下兩種分法.

1.按定義分

2.按正負分

補充：有理數(shù)的分類原則

①標準要統(tǒng)一，必須按同一分類標準進行分類，如將有理數(shù)分為正有理數(shù)、0和負分數(shù)，分類標準就不統(tǒng)

—?■

②分類不重合，所分的各類應互不包含，如有理數(shù)分為非負有理數(shù)、0和正有理數(shù)就違反了這一原則；

③分類無遺漏，所分各類之“和”必須是原來的全部，如將有理數(shù)分為正有理數(shù)和負有理數(shù)就漏掉了0.

【即學即練】

4.（2425七年級上?江蘇無錫?階段練習）把下列各數(shù)分別填入相應的集合內(nèi)

負有理數(shù)集合{}

正分數(shù)集合{}

非負整數(shù)集合{}

知識點三數(shù)軸的概念與畫法

1.數(shù)軸定義：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸.

（1）數(shù)軸是一條可以向兩端無限延伸的直線；

（2）數(shù)軸有三要素?：原點、正方向、單位長度，缺一不可；

（3）數(shù)軸三要素是“規(guī)定”的，通常，我們習慣性向右為正方向，原點的位置和單位長度的大小要依據(jù)實

際恃況靈活選取，但是，一旦選定后就不能隨意改變：

（4）在同一條數(shù)軸上，單位長度的大小必須統(tǒng)一，要根據(jù)實際問題靈活選取單位長度的大小.

2.數(shù)軸的畫法

（1）畫一條直線（通常畫成水平位置）；

（2）在這條直線上取一點作為原點，這點表示0；

（3）確定正方向：規(guī)定直線上向右為正方向，畫上箭頭；

（4）選取適當?shù)拈L度，從原點向右每隔一個單位長度取?點，依次標上1,2,3,…從原點向左，每隔一

個單位長度取一點，依次標上1,2,3,???

有理數(shù)與數(shù)軸上點的對應關系

1.所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示.

（1）正數(shù)可以用數(shù)軸上原點右邊的點表示；

（2）負數(shù)可以用數(shù)軸上原點左邊的點表示；

（3）0用原點表示.

2.所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，但數(shù)軸上的點不一定表示有理數(shù).

3.數(shù)軸上的點與有理數(shù)建立了一一對應的關系，揭示了數(shù)與形的聯(lián)系，是數(shù)形結(jié)合的基礎.

利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小

1.在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；

2.正數(shù)都大于0,負數(shù)都小于0,正數(shù)大于負數(shù).

止確畫出數(shù)軸后，將各個有理數(shù)在數(shù)軸上表示出來，按照從左到右順序用“V”號或者按照從右到左順序

用“>”號連接起來，注意不要漏數(shù).

有理數(shù)大小關系的傳遞性

對于有理數(shù)。、b、c,

若a>b,且b>c,那么a>a

若且〃Vc,那么aVc；

【即學即練】

5.（2425七年級上?江蘇常州?期末）下列各圖中，所畫出的數(shù)軸正確的是（）

>

A.-OB.O1

c.-6ixD.~

知識點四絕對值與相反數(shù)

絕對值的幾何意義

在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應的點與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值.數(shù)Q的絕對值記作|。|,讀作“a的絕對值”.

1.因為距離不可能為負，所以一個數(shù)的絕對值都是非負數(shù)；

2.數(shù)軸上表示一個數(shù)的點離原點越遠，這個數(shù)的絕對值就越大，反之，數(shù)軸上表示一個數(shù)的點離原點越近,

這個數(shù)的絕對值就越小；

絕對值圖示：

-5-4-3-2-1012345

13.5|=3.5\2.5\=2.5

絕對值的性質(zhì)

1.絕對值的性質(zhì)

正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值還是0,即

2.絕對值的非負性

（1）若幾個非負數(shù)的和為0,則每個加數(shù)分別為0;

（2）絕對值是某個正數(shù)的數(shù)有兩個，且它們互為相反數(shù).

相反數(shù)的意義

1.相反數(shù)的定義：符號不同，絕對值相同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，其中?個數(shù)叫做另一個數(shù)的相反數(shù).

（1）0的相反數(shù)是0：

（2）相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，單獨的一個數(shù)不能說是相反數(shù)（類,以倒數(shù)）.

2.相反數(shù)的幾何意義：在數(shù)軸上位于原點兩側(cè)且到原點的距離相等的兩個點所表示的數(shù)互為相反數(shù).

（1）數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個點到原點的距離相等；

（2）數(shù)軸上與原點距離是a（a是一個正數(shù)）的點有兩個，分別在原點的左右兩邊，它們表示的數(shù)互為相

反數(shù).

3相反數(shù)的性質(zhì)

任何數(shù)都有相反數(shù)，且僅有一個.正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，。的相反數(shù)是0.

4.相反數(shù)的特征

若。與b互為相反數(shù)，則a=-6,反之，若。=一b,則。與b互為相反數(shù).

（1）求一個數(shù)或一個字母的相反數(shù)，只要在它的前面添上“一”號即可；

（2）求一個式子的相反數(shù)，要在這個式子整體前面添上“一”，如a-b的相反數(shù)為一（a-b）,括號不要

忘記了！

多重符號化簡

1.相反數(shù)的定義是多重符號化簡的依據(jù)，如一（一1）表示一1的相反數(shù)，所以一（-1）=1；

2.由相反數(shù)的性質(zhì)由內(nèi)向外化簡，當最前面的符號是“+”時，可省略，當最前面的符號是“一”時，去掉

“一”號，寫出括號內(nèi)的相反數(shù)；

3.先省略所有的“+”號，用“一”號的個數(shù)去掉結(jié)果的符號，當“一”號的個數(shù)是偶數(shù)時，化簡的結(jié)果為

正數(shù)；當“一”號的個數(shù)是奇數(shù)時，化簡的結(jié)果為負數(shù).

4.多重符號化簡后，最終的結(jié)果符號是由“一”號的個數(shù)決定的，與“+”號的個數(shù)無關.

【即學即練】

8.（2425七年級上?江蘇鹽城?期末）若2a與互為相反數(shù)，則”的絕對值等于.

知識點五比較有理數(shù)的大小

在上個專題中，講解了用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，這個專題中我們將學習利用絕對值比較有理數(shù)的大小.先

將有理數(shù)進行分類，然后分別比較大小.

1.正數(shù)比較大小，絕對值大的正數(shù)大：

2.負數(shù)比較大小，絕對值大的負數(shù)??；

3.正數(shù)要大于負數(shù)；

4.正數(shù)大于0,負數(shù)小于0.

【即學即練】

10.（2425七年級上?江蘇連云港?期中）把下列各數(shù)填在相應的大括號里，并用“〈〃把這些數(shù)連貶起來.

⑴負整數(shù)｛...｝

⑵正分數(shù)｛...）

⑶非負數(shù)｛...｝

⑷負有理數(shù)｛...）

（5）用把這些數(shù)連接起來為：.

知識點六有理數(shù)的四則混合運算

有理數(shù)加法法則

1.同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。

2.異號兩數(shù)相加，絕對值相等時，和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值

減去較小的絕對值。

絕對值不相等：

3.一個數(shù)與0相加，仍得這個數(shù)。

4.有理數(shù)加法運算步驟：

（1）看：看兩個加數(shù)是同號還是異號；

（2）定：確定和的符號；

（3）求：根據(jù)有理數(shù)加法法則求和.

有理數(shù)加法運算律

1.有理數(shù)相加，兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變；

加法交換律：a+b=b+a

2.有理數(shù)相加，三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變.

加法交換律：（a+b）+c=a+（b+c）

在有理數(shù)加法運算中，常利用有理數(shù)加法運算律先把正數(shù)和負數(shù)分開計算，各自求和后再相加.

3.有理數(shù)加法中的一些計算技巧：

（1）相反數(shù)結(jié)合法：互為相反數(shù)的兩個數(shù)先相加；

（2）同號結(jié)合法；符號相同的數(shù)先相加；

（3）同分母結(jié)合法：分母相同的數(shù)先相加；

（4）湊整法：幾個數(shù)相加能夠得到整數(shù)的先相加.

有理數(shù)減法法則

1.0減去任何數(shù)都等于這個數(shù)的相反數(shù)，任何數(shù)減去。仍等于這個數(shù).

有理數(shù)加減法混合運算

1.利用減法運算法則，將有理數(shù)加減混合運算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)加法運算：

2.去掉括號和括號前的加號（有絕對值的要先去掉絕對值后再計算）；

3.利用加法法則和加法運算律進行計算.

有理數(shù)乘法法則

1.兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；

2.。與任何數(shù)相乘都得0；

3.任何數(shù)與1相乘都等于它本身，任何數(shù)與一1相乘都等于它的相反數(shù)；

4.拓展：

（1）幾個不等于。的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定.當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；當負

因數(shù)的個數(shù)有偶數(shù)個時，積為正；

（2）幾個數(shù)相乘，如果有一個因數(shù)為0,那么積就等于0.反之，如果積為0,那么至少有一個因數(shù)

為0.

（3）一般地，在乘法運算中，若有帶分數(shù)和小數(shù)，應先把帶分數(shù)化為假分數(shù)，小數(shù)化為分數(shù)之后再

計算，方便約分.

有理數(shù)的乘法運算律

1.拓展：

（1）三個或三個以上有理數(shù)相乘，任意交換因數(shù)的位置，或者先把其中幾個因數(shù)相乘，積相等；

（2）乘法分配律對一個有理數(shù)同多個有理數(shù)的和相乘仍適用

倒數(shù)

1.倒數(shù)：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，其中一個數(shù)叫做另一個數(shù)的倒數(shù).

PS：單獨的一個數(shù)不能稱為倒數(shù)；0與任何數(shù)相乘都等于0,不可能等于1,所以。沒有倒數(shù).

2求一個數(shù)的倒數(shù)的方法：

（1）一個不為。的整數(shù)的倒數(shù)，是用這個數(shù)作分母，1作分子的分數(shù)；

（2）求一個真分數(shù)的倒數(shù)，就是將這個分數(shù)的分子與分母交換一下位置；

（3）求帶分數(shù)的倒數(shù)，要先將帶分數(shù)化成假分數(shù)，再交換分子與分母的位置；

（4）求小數(shù)的倒數(shù)，先將小數(shù)化為分數(shù)，再求倒數(shù).

3.化為倒數(shù)的兩個數(shù)的符號是相同的，止數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)，0沒有倒數(shù).

有理數(shù)除法法則

1.除以一個不等于0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)；

2.兩個不為0的數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除；

3.。除以任何一個不為。的數(shù)都等于0,。不能作為除數(shù)，無意義.

4.一個非零的數(shù)除以它的本身等于1.

兩數(shù)相除要先確定商的符號，再確定絕對值，其中商的符號的確定方法與有理數(shù)乘法中積的符號確定方

法相同.

補充：

（1）兩個數(shù)相除，若商是1,則這兩個數(shù)相等；若商是1,則這兩個數(shù)互為相反數(shù).

（2）有理數(shù)的除法中沒有交換律、結(jié)合律、分配律.

有理數(shù)乘除混合運算

1.有理數(shù)乘除混合運算順序：沒有括號的情況下，按照從左到右的順序計算，有括號的要先算括號里面的；

2.要先將除法化為乘法，化成連乘的形式，同時，有帶分數(shù)的先化成假分數(shù)，有小數(shù)的要先化成分數(shù)，然

后按照有理數(shù)乘法運算法則進行計算.

有理數(shù)乘方的意義

求相同因數(shù)的積的運算叫做乘方，相同因數(shù)叫做底數(shù)，相同因數(shù)的個數(shù)叫做指數(shù)，乘方的運算結(jié)果叫做暴.

1.乘方與幕不同，乘方是幾個相同因數(shù)的乘法運算，哥是乘方運算的結(jié)果；

2.一個數(shù)可以看作是它本身的一次方，指數(shù)1可省略不寫；

3.底數(shù)一定是相同的因數(shù)，當?shù)讛?shù)不是單純的一個數(shù)時，要用括號括起來；

4.當負數(shù)或分數(shù)作為底數(shù)時，底數(shù)必須用括號括起來：

5.一個數(shù)的二次方又稱為這個數(shù)的平方，一個數(shù)的三次方又稱為這個數(shù)的立方.

有理數(shù)乘方的運算

1.有理數(shù)乘方運算的符號法則

（1）正數(shù)的任何次累都是正數(shù)；

（2）負數(shù)的奇數(shù)次冢是負數(shù)，負數(shù)的偶數(shù)次塞是正數(shù)；

（3）0的任何正整數(shù)次冢都是0:

（4）任何一個數(shù)的偶數(shù)次幕都是非負數(shù).

2.有理數(shù)的乘方運算

計算一個自埋數(shù)的乘方時，應先將乘方運算:轉(zhuǎn)化為乘法運算，先確定箱的符號，再計算轅的絕對值.

3.拓展：

（1）1的任何次第都是1;

（2）-1的偶數(shù)次塞是1,一1的奇數(shù)次第是一1；

（3）平方等于它本身的數(shù)有。和1,立方等于它本身的數(shù)有0,1,-1.

有理數(shù)的混合運算順序

1.先算乘方，再算乘除，最后算加減；

2.同級運算，按照從左到右的順序進行；

3.如果有括號，先進行括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次計算：如需去括號，一般先去小括

號，再去中括號，最后去大括號.

PS：在有理數(shù)混合運算中，通常情況下，帶分數(shù)要先化成假分數(shù)，小數(shù)要先化成分數(shù)，再進行計算，有些

計算是可以同時進行的.

利用運算律簡便計算

1.有理數(shù)運算律包括加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律及乘法分配律等；

2.一些計算優(yōu)先結(jié)合會簡便很多，如卜.所示：

（1）相反數(shù)結(jié)合；

（2）湊整結(jié)合；

（3）正、負分別結(jié)合；

（4）同分母結(jié)合；

（5）倒數(shù)結(jié)合

【即學即練】

11.（2425七年級上?江蘇南通?期末）計算：

12.（2425七年級上?江蘇南通?期末）計算:

知識點七科學記數(shù)法

1.如何確定科學記數(shù)法中的a和n

（1）確定n的兩種方法：①若這個數(shù)是大于10的數(shù)，則n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1：②按小數(shù)點移動的

位數(shù)來確定n的值，小數(shù)點向左移動了幾位，n就等于兒.

a）用科學記數(shù)法表示的數(shù)只是改變數(shù)的形式，而沒有改變數(shù)的性質(zhì)和大小；

b）用科學記數(shù)法表示一個帶有單位的數(shù)時，其表示的結(jié)果也應帶有單位，并且前后要一致：

c）用科學記數(shù)法表示負數(shù)的方法和正數(shù)一樣，就是要在前面多一個“一”號；

d）對用科學記數(shù)法表示的數(shù)進行還原時，只需將小數(shù)點向右移動n位（不足的數(shù)位用。補齊），并把乘號

和10”去掉.

【即學即練】

13.（2025?江蘇鹽城?三模）2025年“五一”假期，鹽城市A級旅游景區(qū)、鄉(xiāng)村旅游重點村、旅游休閑街區(qū)共

接待游客人次.數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示為（）

題型精講

題型01正數(shù)與負數(shù)

4.出租車司機小張某天在季華路（近似的看成一條直線）上行駛，如果規(guī)定向東為“正”，向西為"負”，他

這天上午的行程可以表示為：+5,-3,+3,-1,+2,-2,-5,-8（單位：千米）

⑴小張將最后一名乘客送達目的地后需要返回出發(fā)地換班，請問小張該如何行駛才能回到出發(fā)地？

（2）若汽車耗油量為（）.6升/千米，發(fā)車前油箱有32.2升汽油，若小張將最后召乘客送達目的地，再返回出

發(fā)地，問小張今天上午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出發(fā)地？若不用加油，請說明理

由.

題型02有理數(shù)5.把下列各數(shù)填入相應的集合內(nèi):

整數(shù)集合：｛).

負數(shù)集合：｛}.

非負整數(shù)集合：｛).

分數(shù)集合：｛｝.（填序號）

6.把下列各數(shù)填入相應的集合中:

⑴負分數(shù)集合｛)

⑵正整數(shù)集合｛)

⑶非負有理數(shù)集合｛)

7.把下面的數(shù)的序號填在相應的大括號里：（填序號）

正數(shù)集合：｛｝;整數(shù)集合：（）：

有理數(shù)集合：｛）：非負整數(shù)集合：｛};

8.在學習《有理數(shù)》一章時?，小君了解到：有理數(shù)是“比率數(shù)〃，有理數(shù)可以寫成兩個整數(shù)之矗.小君想“所

有的有理數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)之商嗎?〃對此，他展開了研究,他分以下幾步來研究，請你來幫他補充完成:

（1）整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù);

（4）無限循環(huán)小數(shù)能化為分數(shù)嗎?

根據(jù)小君的研究，回答下列問題：（以下計算結(jié)果均用最簡分數(shù)表示）

題型03數(shù)軸

⑴畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上表示出這幾個數(shù)，并用連接起來：

⑵這幾個有理數(shù)中是正數(shù)的有.

⑴把下列這條直線補充成一條數(shù)軸，并把這些數(shù)用數(shù)軸上的點表示出來；

-5-4-3-2-10123456

（2）把這些數(shù)按照從小到大的順序排列，并用“〈〃號連接起來.

⑴這些有理數(shù)中，整數(shù)有個，負數(shù)有個；

⑵而出數(shù)軸并在數(shù)軸上標出上述有理數(shù)，并按從小到大的順序用"”連接起來.

A.1B.3或5C.3D.1或5

題型04數(shù)軸上點的移動

p

。4344/

14.數(shù)軸上一動點A,向左移動2個單位長度到以再向右移動3個單位長度到。點，若點C表示的數(shù)為

5,則點4表示的數(shù)為.

(2)相遇時P點對應的數(shù)是多少？

16.如圖，數(shù)軸上的點A和點8分別在原點的左側(cè)和右側(cè)，點A、8對應的實數(shù)分別是〃、。，下列結(jié)論一定

成立的是()

AB

—J------1---------1->

a0b

題型05根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負

17.實數(shù)mb,c在數(shù)軸上對應的點如圖，下列式子正確的是()

???

Qb0c

19.已知4、〃是有理數(shù)，其在數(shù)軸上對應的點如圖所示.

-----1-----1----1~?

ba0

ABC

IIII?

a0bc

題型06相反數(shù)與絕對值

21.下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

23.在數(shù)軸上，如果點A表示的數(shù)是-5,那么到點A的距離等于3個單位的點所表示的數(shù)是

CBA

1111上

cb0a

⑴"0,b0,c0.(填”>〃"<""=")

題型07絕對值的性質(zhì)

A.3B.-1C.-2D.0

28.已知：〃與3互為相反數(shù)，方的絕對值為最小的正整數(shù)，回答以下問題.

(1)?=，b=：

題型08絕對值化簡

1III

a0bc

1111>

aObc

32.有理數(shù)mb,。在數(shù)軸上的位置如圖所示:

1]I______I?

a0bc

題型09絕對值的其他應用

33.水文站以警戒線為標準測量水庫的水位，超過警戒線記為正，低于警戒線記為負，下表是一天五次的

測量數(shù)據(jù)，其中第次測量時水位離警戒線最近.

次序12345

水位(厘米)168-3-18

理解：(1)數(shù)軸上表示2和-3的兩點之間的距離是；

(2)數(shù)軸上表示4和-5的兩點A和B之間的距離是；

應用：某環(huán)形道路上順次排列有四家快遞公司：A、B、C、D,它們順次有快遞車16輛，8輛，4輛，12

輛，為使各快遞公司的車輛數(shù)相同，允許一些快遞公司向相鄰公司調(diào)出，問共有種調(diào)配方案，使調(diào)

動的車輛數(shù)最少.

題型10有理數(shù)大小比較

37.比較T與-9的大小.

38.比較下列各組數(shù)的大小：

(2)一色與-2；

39.比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

(1)-7和2：

Q6

叫和_子

⑴按要求填空：正分數(shù)有二負整數(shù)有二非負有理數(shù)有

(2)將其中的整數(shù)按從小到大的用心〃號連接起來.

題型n有理數(shù)的四則混合運算

41.計算

42.計算:

43.計算:

44.計算

題型12有理數(shù)混合運算的實際應用

45.胡老師的新能源汽車上周日行駛里程為75km,記該汽車上周日的行駛里程為0,下表是該汽車本周行

駛里程的變化情況（正號表示里程比前一天多，負號表示里程比前一天少，上周日的行駛里程記為0）.

星期―-二三E/L六日

里程變化/km-5-1+7+3+1-6-2

⑴本周哪一天該汽車行駛里程最多？這一天該汽車行駛了多少千米？

⑵本周該汽車的行駛里程為多少千米？

⑶已知該汽車滿電續(xù)航里程（汽車充滿電時可以行駛的總路程）為550km,當續(xù)航里程不足滿電續(xù)航里程

的10%時需要為汽車充電，木周一早上出發(fā)時該汽車為滿電狀態(tài).請通過計算說明，本周日胡老師使用完

該汽車后，是否需要為該汽車充電？

46.小穎大學暑假期間在某玩具廠勤工儉學.廠里規(guī)定每周工作6天，每人每天需生產(chǎn)4玩具30個，每周

生產(chǎn)180個.下表是小穎某周實際的生產(chǎn)情況（增產(chǎn)記為正、減產(chǎn)記為負）：

星期—?二三四五六

增減產(chǎn)值+9-74+81+6

⑴根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知小穎星期二生產(chǎn)玩具個；

（2）根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知小穎本周實際生產(chǎn)玩具個；

⑶該廠規(guī)定：每生產(chǎn)一個玩具可得工資5元，若超額完成任務，則超過部分每個另獎3元，少生產(chǎn)一個則

倒扣2元；工資采用“每周計件工資制〃.小穎本周工資是多少？

47.西安市地鐵2號線北起草灘站，南至常寧宮站，如圖是2號線的部分站點圖，某天，李剛從小寨站出

發(fā)，負貨2號線上這10站路段志愿者服務活動，到A站下車時，本次志愿者服務活動結(jié)束，若規(guī)定向北為

正，向南為負，當天的乘車站數(shù)按先后順序依次記錄如下（單位：站）：+6,-2,+5,-9,+8,+1,-3,

-2.

⑴請通過計算說明A站是哪?站？

48.2024年9月8日至11日，第二十四屈中國國際投資貿(mào)易洽談會在廈門舉行，本次主題為"投資鏈接世

界”，共吸引了120個國家和地區(qū)、18個國際組織、1000多個境內(nèi)外政府機構(gòu)及工商企業(yè)團組、近8萬名

客商參展參會.通過展覽展示、會議論壇、項目對接和信息發(fā)布等多種形式，助力投資合作精準匹配，讓

國際資本進入中國、中國企業(yè)走向國際.為了確保本次洽談會的順利進行，廈門國際會議展覽中心沿線加

強警力巡邏，某巡警早上從會展路路口出發(fā)，騎摩托車在東西走向的會展路上巡邏，晚上停留在會展路A

處，規(guī)定向東為正，向西為負，當天行駛記錄如下（單位：千米）：

⑴通過計算說明A處在會展路路口的什么方向？距離會展路路口有多遠？

⑵若巡警所騎摩托車行駛1千米耗油0.05升，則這一天摩托車共耗油多少升？

題型13有理數(shù)的簡便運算與規(guī)律計算

49.計算下面各題，能簡便的用簡便方法計算.

50.簡便計算:

這種求和的方法稱為裂項求和法：裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項分解，然后重新組合，使之能消去一些

項，最終達到求和的目的.規(guī)律應用:

rr中八將1121231234

52.一串分數(shù)5,釬屋廠““『二，丁亨…，問:

⑴g是這串分數(shù)的第.個，第50個分數(shù)是,

O

題型14科學記數(shù)法

53.2024年10月30日，“神舟十九號"載人飛船發(fā)射取得圓滿成功.在發(fā)射過程中，飛船的飛行速度約為

米/分，請將數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示為（）

54.2024年6月25日嫦娥六號順利返回地球，帶回大約2kg的月背樣本，實現(xiàn)世界首次月背采樣返回，標

志著我國對月球背面的研究又進入了一個新的高度.已知月球到地球的平均距離約為千米，數(shù)據(jù)用科學記

數(shù)法表示為（）

55.今年1月3F1,我國的嫦娥四號探測器成功在月球背面著陸，標志著我國已經(jīng)成功開始了對月球背面

的研究，填補了國際空白.月球距離地球的平均距離為38.4萬千米，數(shù)據(jù)38.4萬用科學記數(shù)法表示為.

題型15程序流程圖

58.按如圖所示的程序計算，若開始輸入的數(shù)為0,則最后輸出的結(jié)果為.

59.請你在2,-3,4,-5,6中任選四個數(shù)，利用有理數(shù)的混合運算，使得這四個數(shù)的運算結(jié)果為24,

請列出2種表達式一

60.游戲"24點〃規(guī)則如下：從一副撲克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進行混

合運算（每張牌必須用一次且只能用一次），使得運算結(jié)果為24,其中紅色（方塊、紅桃）撲克牌代表負數(shù)，

黑色（梅花、黑桃）撲克牌代表正數(shù).請用如圖抽取出的4張牌，寫出一個符合規(guī)則的算式：.

題型16拓展訓練之數(shù)軸綜合

O

-5-4-3-2-1012345

63.已知點。是數(shù)軸的原點，點A、8、C在數(shù)軸上對應的數(shù)分別是-12、b、c,且。、c滿足(b-9)2+|c

-151=0,動點尸從點A出發(fā)以2單位/秒的速度向右運動，同時點Q從點C出發(fā)，以1個單位/秒速度向

左運動，0、B兩點之間為“變速區(qū)”，規(guī)則為從點。運動到點B期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，之后立刻恢復?/p>

速，從點8運動到點O期間速度變?yōu)樵瓉淼?倍，之后立刻恢復原速，運動時間為一秒時，P、。兩點

到點B的距離相等.

64.我國著名的數(shù)學家華羅慶曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非.”可見數(shù)形結(jié)合對于數(shù)學學習是

多么重要，數(shù)學課上老師讓同學們將數(shù)軸對折探究其中的數(shù)學網(wǎng)題.

⑴如圖①，勤學小組的同學將數(shù)軸對折，使表示2的點與表示-2的點重合.

①對折后表示5的點與表示的點重合；

②對折后表示〃?的點與表示的點重合.(用含機的代數(shù)式表示)

(2)如圖②，善思小組的同學將數(shù)軸對折，使表示3的點與表示-1的點重合.

①對折后表示7的點與表示的點重合；

②對折后數(shù)軸上的點A與點區(qū)重合(點A在點B的左側(cè))，且點A與點8之間的距離為8,則點A表示的數(shù)

為，點8表示的數(shù)為.

題型17拓展訓練之絕對值綜合

65.閱讀材料：

-5-4-3-2-1012345

回答問題：

⑴數(shù)軸上表示6與T的兩點之間的距離是；數(shù)軸上表示1與2的兩點之間的距離是:

66.小紅和小明在研究絕對值的問題時，碰到了下面的問題：

請你根據(jù)他們的解題解決下面的問題：

67.數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學工具，它使數(shù)軸上數(shù)和點建立起對應關系，揭示了數(shù)與點之間的內(nèi)在聯(lián)系，

它是“數(shù)形結(jié)合〃的基礎，如圖，請同學們解決下面有關數(shù)軸的問題：

11111111111^

-5-4-3-2-1012345

②在①的條件下，動點P出發(fā)的同時，動點Q從A出發(fā)，沿著數(shù)軸反方向以每秒1個單位長度的速度運

動，經(jīng)過秒，點。到點8的距離是點尸到點A距離的2倍？

理解：

（1）數(shù)軸上表示數(shù)1和5的兩點之間的距離是；（用含的式子表示）

應用：

題型18拓展訓練之新定義問題

⑴求數(shù)軸上點，、4所表示的數(shù)？

①經(jīng)過x秒后，M點表示的數(shù)是一，N點表示的數(shù)是_（用含x的式子表示，結(jié)果需化簡）.

②求MN（用含x的式子表示，結(jié)果需化簡）.

-7-6-5-4-3-2-101234567

「716—‘5—屋312」

1I7

⑵在（1）的假設下，現(xiàn)有只電子螞蟻甲從“oT”所表示的點出發(fā)不斷跳躍，依次跳至1T、3個、;T、（T、

Z。

［T、［T、、…，另有一只電子螞蟻乙從“0J”所表示的點出發(fā)，然后跳躍到］J,接著又

42455

跳回0J其后再次跳到1J,下一步又跳回01，按此規(guī)律在05和1J之間來回跳動.假設兩只螞蟻同時跳

躍同時落下，步調(diào)一致.

①當螞蟻甲第3次跳到;T所表示的點時，請問此時螞蟻甲共跳躍了多少次？

②當甲乙兩只螞蟻的距離為巳時，請直接寫出3個符合條件的跳躍次數(shù).

7L【定義新知】

⑴【初步應用】

⑶【解決問題】

如圖，一條筆直的公路邊有三個代工廠A、B、。和城區(qū)。，代工廠A、B、C分別位于城區(qū)左側(cè)5km,

右側(cè)1km,右側(cè)3km.A代工廠需要芯片1000個，8代工廠需要芯片2000個，C代工廠需要芯片3000

個.現(xiàn)需要在該公路上建一個芯片研發(fā)實驗室為這3代工廠輸送芯片.若芯片的運輸成本為每千米1

元/千個，那么實驗室P建在何處才能使總運輸成本最低，最低成本是多少？請說明理由.

72.數(shù)軸上有A,B,C三點，給出如下定義：若其中一個點與其它兩個點的距離恰好滿足2倍的數(shù)量關系，

則稱該點是其它兩個點的“關聯(lián)點”.

ABC

I1IIIII

-1012345

圖1

⑴如圖2所示，點八表示數(shù)-2,點B表示數(shù)1,下列各數(shù)2,4,6所對應的點分別是C,Ci,C;其中是

點A,B的“關聯(lián)點〃的是」

AB

-4-3-2-10123456789

圖2

⑵如圖3所示，點A表示數(shù)TO,點8表示數(shù)15,P為數(shù)軸上一個動點：

①若點。在點8的左側(cè)，且〃是點A,B的“關聯(lián)點”，求此時點P表示的數(shù)；

②若點尸在點8的右側(cè)，點P,A,B中，有一個點恰好是其它兩個點的“關聯(lián)點〃，請求出此時點P表

示的數(shù).

AB

------1-----11>

-100----15

圖3

強化訓練

A.4個B.3個C.2個D.1個