新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第6講幕函數(shù)與二次函數(shù)

解題方法總結(jié)

1、暴函數(shù)y=x“（aeR）在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下:

①當4<0時，其圖象可類似y=k畫出；

②當0<々<1時，其圖象可類似v_1畫出；

③當〃>1時，其圖象可類似y=》2畫出.

2、實系數(shù)一元二次方程aP-A+c=O（〃wO）的實根符號與系數(shù)之間的關(guān)系

A=Z72-4ac>0

b八

（1）方程有兩個不等正根.5毛。<x1+x2=——>0

c

x}xy=—>0

、Qa

△=〃-4ac>0

b八

（2）方程有兩個不等負根冷電。，%)+x2=——<0

c

X1%,=—>0

一a

（3）方程有一正根和一負根，設(shè)兩根為牛占。為工=￡<0

~a

3、i元二次方程ad+bx+c=O（a。0）的根的分布問題

一般情況下需要從以下4個方面考慮：

（I）開口方向；（2）判別式；（3）對稱軸％=與區(qū)間端點的關(guān)系；（4）區(qū)間端點函數(shù)值的正負.

2a

設(shè)招,占為實系數(shù)方程a/+hx+c=0（a>0）的兩根，則一元二次aP+〃x+c=0（a>0）的根的分布與其

限定條件如表所示.

根的分布圖像限定條件

卜y

A>0

b

m<玉<當----->m

2a

Mr*/0n)>0

x,<m<x2/(〃?)<0

?ul\L/*

A>0

b

工、-----<m

2a

x<x<m

i2f(ni)>0

y

/

A<0

—L_1_

01m〃x

△=0

xt=x2<m

或％=x2>m

V0m〃X

L

A>()

b

在區(qū)間（〃?,〃）內(nèi)\-----<m

2a

沒有實根/(w)>0

m

Vo\nx

y

A>()

b

------>n

2a

f(n)>0

4fnn;x

k

/(/H)<0

./(/0<0

題型一：幕函數(shù)的定義及其圖像

【典例Li］已知第函數(shù)y=/（〃國CZ且〃M互質(zhì)）的圖象關(guān)于），軸對稱，如圖所示，則（）

B.q為偶數(shù)，〃為奇數(shù)，且彳＜。

C.q為奇數(shù)，〃為偶數(shù)，且:＞。

D.q為奇數(shù)，〃為偶數(shù)，且：＜0

【答案】D

【解析】因為函數(shù)廣丁的定義域為（YO,0）U（0，E）,且在（0，位）上單調(diào)遞減,

所以“V0,

q

因為函數(shù)），:小的圖象關(guān)干_y軸對稱.

所以函數(shù)尸/為偶函數(shù)，即〃為偶數(shù)，

乂P、夕互質(zhì)，所以q為奇數(shù)，

所以選項D正確，

故選：D.

【典例1?2】給出幕函數(shù)：①〃x）=x；②/（x）=Y；③/（x）=V；④/（刈=五；⑤/（x）=L其中滿

X

足條件/（七乜）＞，（"）；"*）（占＞0）的函數(shù)的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】由題，滿足條件＞?。?。）表示函數(shù)圖象在表?象限上凸，結(jié)合事函

數(shù)的圖象特征可知只有④滿足.

【方法技巧】

確定幕函數(shù)y=x”的定義域，當。為分數(shù)時，可.轉(zhuǎn)化為根式考慮，是否為偶次根式，或為則被開方式

非負.當時，底數(shù)是非零的.

【變式7］已知函數(shù)/（力=（〃1）.”為暴函數(shù)，則+/伽一/）=（）

A.0B.-1C.a2D.ab-a4

【答案】A

【解析】由題意有=可得〃?=2j（x）=f,其定義域為R,

且f㈠=（—）3=-X3=-〃力，則函數(shù)f（力為奇函數(shù),

所以/（/-2〃）+/（2〃一/）=。

故選：A.

題型二：幕函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

【典例24】滿足（,〃+1）-＜（3—2例）-%勺實數(shù)〃?的取值范圍是（）,

f23)2)

A.B.

223

—,+00D.(-00,-1)^*

33^2

【答案】D

【解析】轅函數(shù)v=/3在（0，xo）為減函數(shù)，且函數(shù)值為正,

在（-，（））為減函數(shù)，且函數(shù)值為負,

（m+1尹＜（3-2加尸等價于，

3-2m>0in+\<03-2m>0

m+1>3—2/葡，"+1>3—2m，"+1<0

23

解得一v機<—或/〃e0或〃2<-1,

32

所以不等式的解集為(-8，-1)2II-

故選:D.

【典例2-2］已知基函數(shù)”耳=,2_3卜夕"2在(0,+的上單調(diào)遞減，函數(shù)”(力=3?〃,對任意Ne[l,3],

總存在門叩,2］使得/&)=Mw),則小的取值范圍為

【答案】一8一?三6

【解析】因為函數(shù)〃月=(/_3卜產(chǎn)―是累函數(shù)，則/一3=1，a=±2,

???/(x)在(0,+e)上單調(diào)遞減，貝葉/+。一2<0,可得〃二一2,

.\/(x)=x-2\/(X)在［1,3］上的值域為!，1,

力(工)在［1,2］上的值域為［3+〃7,9+叫,

\9+m>\{m>-8r--

根據(jù)題意有L1=>26,;?〃?的范圍為-8,-之.

3+//Z<-m<-----9

I99

故答案為：-8,-y.

【典例2?3】已知函數(shù)/(x)=(x-2)3+3i-3"+2xln3-41n3+l,則滿足〃x)+/(8—3x)>2的x的取值

范圍是

【答案】(fo,2)

【解析】由題意得/(x)=(x-2丫+3--32T+2(x_2)In3+1,

設(shè)a(x)=V+3'-37+2彳加3,則/(x)=g(x-2)+l,火(x)的定義域為R,

且g(-X)=-x3+3-'-3V-2xln3=-g(x),所以g(x)為奇函數(shù)，

)，=Jy=31y=-3-x,)，=2xln3都是增函數(shù)，所以g(x)是增函數(shù)，

/(》)的圖象是由g(x)的圖象先向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度得到的，所以/(力圖象

的對稱中心為(2,1),所以/(力+/(4-力=2.

易知〃x)在R上單調(diào)遞增，因為“工)+〃8-3刈>2=/(力+/(4-力，

所以/（8—3x）>/（4-x）,所以8-3x>4-x,解得x<2,

故答案為：（-8,2）.

【方法技巧】

緊扣察函數(shù)y=x"的定義、圖像、性質(zhì)，特別注意它的單調(diào)性在不等式中的作用，這里注意。為奇數(shù)

時，/為奇函數(shù)，。為偶數(shù)時，￡為偶函數(shù).

【變式2?1］已知〃jH，l,2,3卜若某函數(shù)/*）=.”為奇函數(shù)，且在①,+00）上遞減，貝1］。=_.

【答案】-1

【解析】因為塞函數(shù)=N在（。，+8）上遞減，所以。=-2,-1,-3，

又暴函數(shù)/*）=V為奇函數(shù)，可知。為奇數(shù)，即。=-1.

故答案為：-1

【變式2?2】已知函數(shù)=則關(guān)于/的表達式/t-2。+/（2『-|）<0的解集為.

【答案】卜?。?/p>

【解析】由題意可知，/（X）的定義域為（3,技），

所以/（-x）=（~X）3=-3=-f（x）?

所以函數(shù)“力是奇函數(shù)，

由恭函數(shù)的性質(zhì)知，困數(shù)”x）=j在困數(shù)（3，”）上單調(diào)遞增，

由『（一一2，）+/（2/-1）<0,得/（『—2/）<—/（2/一1）,即/（—一力）</（1—2J）,

所以「一2，〈1一2產(chǎn)，即3產(chǎn)一2，一1<0，解得一；〈/<1,

所以關(guān)于，的表達式/（產(chǎn)-2/）+〃25-1）<0的解集為（一；」）.

故答案為：（一；，0?

題型三：由幕函數(shù)的單調(diào)性比較大小

712）

【典例3?1若〃=（‘，8=log/，c=3-4，則〃，兒c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.a<b<c

【答案】C

,,2.I2-2—16—3—I191

【解析】/^=log,->log,-=1,（7=（-）3=［（_）4p2=（_）12>（2_））2=（_）4=c,而4

所以“，b,C的大小關(guān)系為〃

故選：C

232

【典例3?2】設(shè)a=（|『，T|J,c=（|,則4瓦0大小關(guān)系是

【答案】a>c>b

【解析】因為〃力=J在（。,+8）單調(diào)增,

所以但丫/窗,即空。,

因為g（x）=6）在（",位）單調(diào)減,

所以（可/可，即c>4

⑸[5）

綜上，a>c>b.

故答案為：a>c>b.

【典例3?3】已知〃=e",八兀e,。=（&尸，則這三個數(shù)的大小關(guān)系為.（用連接）

【答案】c<b<a

【解析】由lna=7t,ln）=eln7r,令人工）=生土且xw[e,*o）,則/'（x）=?!-v-^<0,

XX*

所以/（x）在xe[e,+co）上遞減，則回生=7T>eln7T,B[Jln?>lnZ?.

e兀

所以〃<。，

由b=兀°,c=[（V2）nr，只需比較兀與（右）*的大小，

根據(jù)），=（&）、與）相交于（2,2）,（4,4）兩點，圖象如下，

由2<兀<4,結(jié)合圖知?！担ɡ玻?故匕=/>。=[（五）*『，

綜上，c<b<a.

故答案為：c<b<a

【方法技巧】

在比較塞值的大小時，必須結(jié)合基值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較.

1/1Y?

【變式3?1】已知log“w＜L＜＞＞涼＜1，則實數(shù)。的取值范圍為（）

1

A-(/OnJX

4B.\9/

【答案】A

［解析】由log”，得或0＜a＜；,

由（:＜1,得。＞0,

由）＜1,得0＜。＜1,

工當log“!＜l，f-1＜1，/同時成立時,取交集得0＜a＜；.

4141al4

故選:A.

【變式3?2】已知第函數(shù)?。┑膱D象過點［，用，尸（…），Q（"J（O＜N＜F）是函數(shù)圖象上的任意不同

兩點，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.xJ（xJ＞W(wǎng)（X2）B.司/（七）〈七/（內(nèi)）

（）

rfM.fMn/（X）/%

X2%%為

【答案】D

【解析】設(shè)幕函數(shù)/（x）=x"，

因為“X）的圖象經(jīng)過點修耳］則出、字，解得a=g，

所以/（X）=X2.

因為函數(shù)/"）=）在定義域（°，+8）內(nèi)單調(diào)遞增，

則當。＜玉＜七時，。＜/（與）＜/（9），

所以藥/（芭）＜//（七）?且"'＜"，

X2A

故選項A,C錯誤；

又因為函數(shù)￡區(qū)=）單調(diào)遞增，

則當0<x(<X2時，'J(一)，且工2,(內(nèi))VX/(七)，

%X,

故選項D正確，選項B錯誤.

故選:D.

題型四：二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性與最值

【典例4.1】滿足(力7?工內(nèi)匕m==的實數(shù)對“7,〃構(gòu)成的點(〃?,〃)共有()

A.1個B.2個C.3個D.無數(shù)個

【答案】C

【解析】ttl{.v|/22<x<7?}={yIy=x2,7H<x</?},xy=X2>0,

則〃足0,所以y=一在［孫網(wǎng)單調(diào)遞增,

故值域為"(MJ5)］，

即用，〃是爐=”的兩根，解得％=0,占=1，

當〃2=〃=0時，點(m,n)為(0,0),

當加=〃=1時，點(〃?,〃)為(1,1),

當m=0,n=1時，點(m,n)為(0,1).

故選：C

【典例4?2】若函數(shù)/(幻=k2-(〃!-2次+1|在一；［上單調(diào)，則實數(shù)機的取值范圍為()

【答案】C

9I

解得34mK］或一］WmW1,

1。

即實數(shù)用得取值范圍為6嘰吟.

故選：c.

【方法技巧】

解決二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性與最值常用的方法是數(shù)形結(jié)合.

【變式已知=i)(口),并且〃7、〃是方程/。)=。的兩根，則實數(shù)。、〃、加、〃的大小關(guān)

系可能是()

A.rn<a<b<nB.a<m<n<b

C.a<m<h<nD.m<a<n<b

【答案】A

【解析】設(shè)g(i)=-(x-a)(x-3,X/(x)=l-(x-a)(x-Z?),

分別畫出這兩個函數(shù)的圖象，

其中/(幻的圖象可看成是由g(x)的圖象向上平移1個單位得到，如圖，

【變式4?2]若函數(shù)〃力=[;：2+?”>0在區(qū)間5_],3一%)上有最大值，則實數(shù)。的取值范圍是

2x~,x<0

【答案】。1)

【解析】令g(x)=-2Y+4x,x>0.

所以以刈在(0,1)上單調(diào)遞增，在(L?c)上單調(diào)遞減，

又f⑴=2=/(—1),作出函數(shù)f(x)的大致圖象，

由于函數(shù)/(%)=,；：/在區(qū)間(〃一1,3-2〃)上有最大值,

，?兒Vz

3-2a>\

結(jié)合圖象，由題意可得解得0?。<1,

-1<?-1<1

所以實數(shù)〃的取值范圍是［0,1),

故答案為：［0,1)

題型五：二次方程實根的分布及條件

【典例5?1】若關(guān)于x的一元二次方程f+(3a-l)x+a+8=。有兩個不相等的實根小W，且用<1,9>1.則

實數(shù)。的取值范圍為一.

【答案】"一2

【解析】令函數(shù)/。)=/+(3”1：戊+4+8,依題意，f(x)=。的兩個不等實根牛毛滿足N<1,毛>1，

而函數(shù)”6圖象開I響上，因此/⑴<0,則12+(3a-l)xl+a+8v0,解得。<一2,

所以實數(shù)〃的取值范圍為。<-2.

故答案為：a<-2

【典例5?2】方程〃浸-(〃?-1卜+1=0在區(qū)間(。,1)內(nèi)有兩個不同的根，則〃?的取值范圍為

【'冷案】m>3±25/2

【解析】令/(x)=g'-(〃I)x+l,圖象恒過點(0,1),

方程">—(〃-l)x+l=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個不同的根，

/?>()

八，〃一1.m>0

0<----<1

2m=機>1，解得機>3+2&.

/(0>0(-1)2_4〃？>0

A>0

故答案