第十四章全等三角形--全等三角形判定重點(diǎn)題型梳理專題練(二)

2025?2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教版(2024)八年級(jí)上冊(cè)

一倍長中線模型

1.(24-25八年級(jí)上?重慶石柱?期中)如圖，在VABC中，A。平分E為C。的中點(diǎn),

ZDAC=ZADC.求證：AB=2AE.

2.(22-23八年級(jí)上?河北朵定?期中)如圖，點(diǎn)E在V/WC的中線A。的延長線上，且座=4).

⑴求證：BE=AC；

⑵若AB=3,AC=7,求AO的取值范圍；

(3)若8C=AE,求證：V/1BC是直角三角形.

3.(21-22八年級(jí)上?遼寧鞍山?階段練習(xí))如圖，/W為V4BC中8C邊上的中線(AB>AC).

(I)求證：AB-AC<2AD<AB+AC-

(2)若A8=8cm,AC=5cm,求A。的取值范圍.

二旋轉(zhuǎn)模型

1.（22-23八年級(jí)上?湖北孝感?期中）已知：AABC^DEC,ZACB=90,NB=32.

B

(1)如圖1當(dāng)點(diǎn)。在AB上，ZACD.

(2)如圖2猜想.80。與AACE的面積有何關(guān)系？請(qǐng)說明理由.(溫馨提示：兩三角形可以看成

是等底的)

2.(23-24八年級(jí)匕山東臨沂?期中)【基本模型】

(1)如圖1,ABC。是正方形，的尸=45。，當(dāng)E在BC邊上,〃在。。邊」二時(shí)，請(qǐng)你探究BE、

。尸與Er之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【模型運(yùn)用】

(2)如圖2,A8C。是正方形，ZE4F=45°,當(dāng)E1在8c的延長線上，尸在C。的延長線上時(shí)，

請(qǐng)你探究跖、。尸與E尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

圖I圖2

3.（20-21八年級(jí)上?山西臨汾?期中）如圖，AB=AE,AB//DE,/DAB=65°,ZE=37°

(I)求的度數(shù)；

(2)若N8=28。，求證：AD=BC.

三垂線模型

1.(22-23八年級(jí)上?新疆烏魯木齊?期中)如圖，-45石為等腰直角三角形，ZA砥=90°,BC=BD.

￡

（1）求證：AABC力△EBD；

（2）求證：AFLDE

2.（21-22八年級(jí)上?貴州銅仁?階段練習(xí)）（1）如圖I,已知VABC中，N84C=90。，AB=AC,

直線〃，經(jīng)過點(diǎn)A3。_L直線機(jī)，CE_L直線機(jī)，垂足分別為點(diǎn)。,石.求證：DE=BD+CE.

（2）如圖2,將（1）中的條件改為：在VA8C中，三點(diǎn)都在直線加上，并且

圖①圖②

3.（20-21八年級(jí)上?四川廣安?期末）在VA8C中，NAC8=90。.AC=8C,過點(diǎn)。作直線用N,

過點(diǎn)4作AW/MN于點(diǎn)過點(diǎn)“作“N_LM乂于點(diǎn)M

圖1圖2

（1）如圖1,當(dāng)直線MN在VAAC外時(shí)，證明：MN=AM+BN.

（2）如圖2,當(dāng)直線MN經(jīng)過VABC內(nèi)部時(shí)，其他條件不變，則AM,8N與MN之間有怎樣的數(shù)

量關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

四證明線段的和差問題

1.（24-25八年級(jí)上?河南深河?階段練習(xí)）如圖，在RtZXAAC中，NRAC=90。，NA8c=60。，

NBAC與NACK的平分線A。，CE交于點(diǎn)O.

￡

B

(1)求證：△ABD^△CAE.

(2)猜想50,DE,C石三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.(不寫證明)

(3)在圖②中，將圖①中的直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一任意角度，經(jīng)過三角形的內(nèi)部(不與

AC重合)時(shí)，上述三條線段之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出結(jié)論，并畫出圖形.

五全等三角形綜合問題

1.(24-25八年級(jí)上?河南南陽?期中)綜合與探究.

如圖①，AB=10cm,ACLAB,I3DJ.AB,垂足分別為A、B,AC=7cm.點(diǎn)P在線段48上

以3cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)在射線8。上運(yùn)動(dòng).它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，(s)(當(dāng)

(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)〃的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)，=1時(shí)，△4"與VNPQ是否仝等，并判斷此

時(shí)線段PC和線段尸。的位置關(guān)系，請(qǐng)分別說明理由；

(2)如圖②，若"ACJ.AB,5。_/月4''改為"/。鉆=/。8A”，點(diǎn)(2的運(yùn)動(dòng)速度為人51人，其他

條件不變，當(dāng)點(diǎn)P、。運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)有△AC?與V8P。全等，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的x的值.

2.(24-25八年級(jí)上?江蘇無錫?階段練習(xí))如圖，在VA8C中，A。為高，AC=24,點(diǎn)E為AC

上的一點(diǎn)，CE=3AE,連接跖，交A。于。，若

(1)求/88的度數(shù)；

(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，沿線段08以每秒1個(gè)單位長檢的速度向終點(diǎn)“運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)

沿射線4c以每秒3個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，P、。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)“時(shí)，P、。兩點(diǎn)

同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)〃的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒，

①設(shè)△POQ的面積為請(qǐng)用含/的式子表示，，并直接寫出相應(yīng)的/的取值范圍；

②點(diǎn)?是直線8c上一點(diǎn)，且CF=4O,當(dāng).MOP與人尸CQ全等時(shí)，求/的值.

3.（24-25八年級(jí)上?山東濟(jì)寧?期末）四邊形48co中，AB=BC,NA+NC=180。，E,尸分

別是邊AO,CD上的動(dòng)點(diǎn)，且ZABC=2NEBF.

圖1圖2

⑴如圖1,當(dāng)E,r分別在線段A。，上時(shí)，

①填空：若設(shè)ND=a,NEBF=Q,則a,￡之間的數(shù)量關(guān)系是；

②猜想A2七之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）如圖2,當(dāng)石，尸分別溶動(dòng)到在線段。4,CO延長線上時(shí)，其它條件不變，（1）中②你的猜

想是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明：若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)據(jù)關(guān)系，并證明.

答案

一倍長中線模型

1.證明：延長4E至點(diǎn)尸，使A￡=E/L連接。/，則：AF=2AE,

???E為C￡>的中點(diǎn)，

DE=CE,

:ZAEC=NDEF,

/.FED,

???NF=NCAE,

丁AO平分284E,

???ZBAD=ZDAE,

???ZADC=NB+ZBAD,ZDAC=Z.DAE+ZCAE.且/力八。.

JZB=ZC4E,

???/B=NF,

又???Na4D=Nn4E,AD=AD,

JAA8恒AAED,

-\AB=AF,

AAB=2AE.

2.(1)解：證明：?.?AD是VABC的中線，

:.BD=CD,

在AADC和AEDB中,

AD=ED

/ADC=/EDB,

CD=BD

.?△ADgAEDB(SAS),

:.AC=BE：

(2)vAB=3,BE=AC=7,

/.7-3<AE<7+3,

即4v2A/)N10.

:.2<AD<5,

AO的取值范圍是2vAO<5.

⑶VAD^DE,BD=CD,BC-AEf

???AD=BD=CD,

ZDAB=/DBA,ZC=ZLDAC,

XZZMB+ZDZM+ZC+ZttAC=18()°,

J^BAC=^DAB+^DAC=ix180°=90°,

2

即VA8C是直角三角形.

3.(I)證明：如圖延長AD至E,使OE=/V)，連接航，

丁AO為VA4c中3c邊上的中線，

???DC=BD,

在.人CO和△￡?7)中：

DC=BD

-NADC=NBDE,

AD=DE

；.△ACgAEBD(SAS),

AAC=RE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)，

在，一ABE中，由三角形的三邊關(guān)系可得AB-BEvAE<zAB+BE,

即AB-AC<2AD<AB+AC-

(2)解：VAB—8cm,AC=5cm,

由(1)可得A8-AC<2AO<A8+AC,

A8-5<2AD<8+5,

313

：.-<AD<—,

22

二旋轉(zhuǎn)模型

1.(1)解：：^ABC^DEC,

CA=CD,

乂JNAC4—90，NO-32，

ZA=ZADC=90°-32o=58°,

..在nACD中，ZACD=180°-ZA-z^4DC'=180O-2x58o=64o,

故答案為：64。.

(2)解：如下圖所示：過點(diǎn)B作.8DC的邊CQ上的高BG,過點(diǎn)E作△4CE的邊AC上的高,

由作圖及AABCGDEC知：

N8CX7+ZDC尸=90°,NECF+NDCF=900,CD=AC,

；./BCG=/ECF(同角的余角相等)，

在Rt-BCG與RtAECF中有：

/BCG=/ECF

<NBGC=NEFC=9/

BC=EC

RaRCG學(xué)RRECF(A4S).

ABG=EF,

S=-CDBGSEF,

"HI)e27f1,2CF=-AC7

CD=AC,BG=EF,

?q_q

??JBDC~uACE?

2.解：（1）結(jié)論：EF=BE+DF.

理由：如圖1,將△斗。尸繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AO與A8重合，得到

圖1

則：ZFfAB=ZDAF,^ABF'=ZD=90°,AF=AF1,BF=DF，

???NAAk+NABC=180°,即：F',8,E三點(diǎn)共線，

ZE4F=45°,

???ADAF+/BAE=90°-ZE4F=45°,

???NBAF'+NBAE=45。,

NEA尸'=NEAF=45。,

在△Ab和/\AEF中，

AF=AF'

ZEAF=4EAF',

AE=AE

??.△AE尸0△次/(SAS),

:.EF=EFf,

又EF'=BE+BF',

:.EF=BE+DF.

(2)結(jié)論：EF=BE-DF.

理由：如圖2,將△AO尸繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與AB重合,ABF',

圖2

則：BF'=DF,AF'=AF,

同法(1)可得：ZMEF^zMEr(SAS),

:.EF=EF,

又EF'=BE-BP=BE-DF,

:.EF=BE-DF.

3.(1)解；?.?AB〃DE,ZE=37°,

.*.ZEAB=ZE=37O,

ZDAB=65°,

???ZDAE=ZDAB-ZEAB=65°-37°=28°,

(2)證明：由(1)得/DAE=280???NB=28。,

???NDAE=NB,

在AADE與ABCA中，

NB=NDAE

AB=AE,

NBAC=NE

/.△ADE^ABCA(ASA),

???AD=BC.

三垂線模型

1.(1)證明：是等腰直角三角形,

???AB=BE,

?/NA^E=90°,

???NEBO=90。,

ZABE=NEBD,

在VABC與VH/汨中，

AB=BE

■/ABE=/DBE,

BC=BD

：.△48Cg/\E8O(SAS)

(2)證明：?：LAB8AEBD,

???/BAC=/BED,

?//BED+/D=90。,

???ZBAC+ZD=90°,

ZL4/<D=90u,

:.ZAFE=90°,

AF1DE.

2.(1)DE=BD+CE.理由如下：

YBDLm,CE1fn,

???ZBDA=ZAEC=90°

又???N8AC=90。，

???/BA￡>+NCAE=90°,ZBAD+ZABD=90°,

：?/CAE=NABD

在AA8Q和△C4E中，

ZABD=ZCAE

ZADB=Z.CEA=9Q0,

AB=AC

：.AABD^ACAE(AAS)

：?BD=AE.AD=CE,

'：DE=AD+AE,

：,DE=CE+BD-

(2)DE=BD+CE,理由如下：

?：ZBDA=ZAEC=ZBAC,

???ZDBA+ZBAD=ZBAEh-ZCAE,

:.NCAE-NABD,

在和中，

ZABD=ZCAE

ZADB=/CEA,

AB=AC

：.AADB^ACEA(AAS),

:?AE=BD,AD=CE,

：.BD+CE=AE+AD=DE；

3.(1)證明：，：AM1MN,BN1MN,

/.NAMC=NaV8=90°,

/.ZM4C+ZACA/=90°.

*.*N4CB=90。，

???ZNCB+ZACM=900,

???ZM4C=/NC8.

ZAMC=ZC/VB.

在..AMC和..CNA中，，MAC=NNCB、

AC=CB,

：.AMC^CNB(AAS)t

???AM=CN、MC=NB.

*：MN=MC+CN,

：.MN=AM+BN.

(2)解：MN=BN-AM.

???AM工MN,BN工MN,

/.NAMC=NGV3=90°.

???/MAC+NACM=90。.

*.*ZACH=90。，

:.NNCR+ZACM=900.

???ZMAC=/NCB.

ZAMC=/CNB,

在..AMC和一CNB中,</MAC=NNC及

AC=CB.

：.,AMC^CNB(AAS)t

AM=CN、MC=NB.

,:MN=MC-CN,

:?MN=BN-AM.

四證明線段的和差問題

1.⑴解：VZftAC=90°,ZABC=60°,

???ZACB=30°,

???/84C與N4CB的平分線八。，CE交于點(diǎn)O

???ZCAD=；/BAC=45°,ZACE=；ZACI3=15°,

,/ZAOE是△AOC的外角，

???ZAOE=ZCAD+ZACE=60。；

(2)證明：在AC上截取3=?！?,連接O尸，

CE平分NACB,

：.4DC0=4FC0,

在.OCO和戶CO中，

CD=CF

<NDCO=NFCO,

OC=OC

：.4DC6X^_FCO(SAS),

JZCOD=ZCOF,

「NAOE=60。，

???ZCOZ)=ZCOF=60°,

???ZAOF=180°-ZAOE-ZCOF=60°,

/.ZAOE=ZAOF,

???AO平分—84C,

???ZEAO=ZFAO,

在.E4O和EAO中

ZEAO=ZFAO

AO=AO,

ZAOE=ZAOF

：.f71O(ASA),

AE=AF,

*/AC=AF+CF,

???AC=AE+CD.

2.(1)證明：如圖，延長EB至點(diǎn)H,使BH=DF,

c

VZABC+ZA￡)C=180o,ZABC+ZABH=\S0°,

：.ZADC=ZABH,

在.A3H和△AO產(chǎn)中,

AB=AD

<NABH=ZADC,

BH=DF

AABH名八ADF,

/.AH=AF,/BAH=ZDAF,

?JZEAF=-ZDAB,

2

，Z.EAF=ZDAF+ZBAE=ZBAH+ZBAE=ZEAH,

在4￡4尸和」E4H中，

AF=AH

,NEAF=NEAH,

AE=AE

???^EAF^^EAH,

EF=EH,

*/EH=BE+BH,

???EF=BE+BH=BE+DF；

(2)解：如圖，在。尸上截取。M=￡B,

VZABC+Z4Z)C=180o,Z4^C+ZABE=180°,

/.ZADC=ZABE,

在一和△A/W中，

AB=AD

■/ABE=NADC,

BE=DM

；?_ABE^^ADM,

AAE=AM,/BAE=NDAM,

NBAE+NBAM=QAM十々BAM,

UP/FAM=/DAB,

???NEAF」NDAB,

2

???ZEAF=-ZEAM,

2

ZEAF=ZMAF,

在l\FAE和/XMAF中，

AE=AM

,ZEAF=NMAF,

AF=AF

：?^EAF^MAF,

JEF=MF,

,/DF=DM+MF,

???DF=BE+EF,

即：EF=DF-BE.

3.(1)證明：如圖，在/上截取A尸=身>連接C2B,

A3C為等腰直角三角形，ZACB=90。,3D上！，

:.AC=BC,NBDA=9U。,

NCBD+ZCAD=360。-/BDA-ZACB=360。-90。-90°=180°,

???ZG4F+ZG4D=180°,

："CBD=4CAF,

在△C8O和VC4/中，

CB=CA

<ZCBD=/CAF,

BD=AF

CBD^.CAF(SAS),

:.CD=CF,

又CEL,CE=CE,

RtCED^RtCEF（HL）,

DE=EF=^DF=^（DA+AF）=^（DA+DB）,

:.DA+DB=2DE.

（2）解：在圖②和圖③中，（1）的結(jié)論不成立.

圖②中，結(jié)論：DA-DB=2DE；

圖③中，結(jié)論：DB-DA=2DE.

對(duì)于②，截取AF=A/）,連接CD,3,

ABC為等腰直角三角形，ZACB=900,BDL,

；.AC=BC,NBDA=90。,

/.ZCfiD+ZBAD=45°,NCA廠+N3AD=45。,

/CBD=NCAF,

在/\。8。和VC4產(chǎn)中.

CB=CA

<ZCBD=ZCAF,

BD=AF

:^CBD^^CAF（SAS）,

:.CD=CF,

又；CEU,CE-CE,

Rt.CED^Rt.CEF（HL）,

/.DE=EF=^DF=^DA-AF）=^DA-DB）,

：.DA-DB=2DE.

:.ZBDA=ZAEC=90°,4DBA+NBAD=90。，N8W+/E4C=90。，

/./DBA=^EAC.

在△4BD和△CAE中

ZDBA=ZEAC

,ABDA=ZAEC,

AB=CA

1A瓦注一C4E（AAS）.

（2）解：DE=BD+CE.理由如下：

由（1）知，LABD^CAE,則g￡）=AE,AD=CE

???DE=AD+AE=CE+DB

???DE=BD+CE；

（3）解：結(jié)論：DE=BD-CE或DE=CE-BD.

理由：設(shè)尸。與BC的交點(diǎn)為M,

當(dāng)M離。點(diǎn)近時(shí)，結(jié)論為DE=BD—CE；

當(dāng)M離5點(diǎn)近時(shí)，結(jié)論為DE=CE-BD（注：當(dāng)"為BC中點(diǎn)時(shí)，D,E兩點(diǎn)重合，線段OE不

存在）.

同(1)可證明ABD^.CAE(AAS),

:.BD=AE,AD=CE.

DE=AE-AI),

DE=BD—CE.

當(dāng)M離6點(diǎn)近時(shí)，如圖:

V

同理，得DE=CE—BD.

五全等三角形綜合問題

1.(1)解：AC3>BPQ,線段尸C和線段尸。的位置關(guān)系是PCJ_PQ,理由如下:

?：AC±AB,BDJ,AB,

.\ZA=ZB=90°,

???當(dāng)1=1時(shí)，AP=BQ=?cm,

BP=7cm,

/.BP=AC,

在△ACT和△AC/中，

CA=PB

,NA=N8,

AP=BQ

AAC乂△BPQlSAS).

:"C=/BPQ.

ZC+ZAPC=90°,

/.ZAPC+ZBPQ=90°,

又ZAPC+/BPQ+/CPQ=180°,

NCPQ=90。，

PC1PQ.

(2)解：由題意可得：RQ="cm,/W=3fcm,

4P=00-3/)cm,

?/^CAB=ZDBA

???分兩種情況討論：

①若「ACg_BPQ,則AC=BP,AP=BQ,

可得7=10-37,3t-xt?

解得1=1,x=3；

②若則AC=B。，AP=BP,

可得7=xf,3t=10—3/,

解得'=?，>弓.

21

綜上，當(dāng)△4CF與V8PQ全等時(shí)，x的值為3或

2.(1)解：???在VA4C'中，AD為高，

JZ4D/?=90°,

?二ZACDZDAC=90°,

,：BDg一ADC,

???4)BD=/DAC，

???ZACD+NOBD=90。,

，ZBEC=90°.

(2)解：@V^BDO^^ADC,

???130=AC=24,

VC￡=3AE,CE+AE=24,

???AE=6,CE=18,

當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)七時(shí)，1=2,當(dāng)點(diǎn)?運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，r=24,

當(dāng)0</<2時(shí)，

I?3

如圖，s——OPxQE=—?*-(6—3/)=——/2+3/；

222

②???ABOD/AACD,

???ZBOD=ZACD,

當(dāng)點(diǎn)尸在線段8c延長線二時(shí)，如圖,

■:NBOD=ZACD,

???ZAOP=AACF,

*/AO=CFf

???當(dāng)OP=CQ時(shí)，VAO&V"CQ,

/.r