專(zhuān)題3.1方程、一元一次方程及其解法（舉一反三講義）

【滬科版2024]

題型歸納

【題型1（一元一次）方程的概念】...............................................................5

【題型2列方程】...............................................................................5

【題型3由（一元一次）方程的解求代數(shù)式的值】..................................................6

【題型4由等式的性質(zhì)判斷變形正誤】.............................................................6

【題型5由等式的性質(zhì)比較大小】................................................................7

【題型6由兩個(gè)一元一次方程解之間的關(guān)系求字母的值】...........................................7

【題型7一元一次方程的整數(shù)解問(wèn)題】............................................................8

【題型8由一元一次方程的解的情況求值】........................................................8

【題型9錯(cuò)看或錯(cuò)解一元一次方程問(wèn)題】..........................................................8

【題型10一元一次方程的遮擋問(wèn)題】..............................................................9

【題型11整體換元求一元一次方程的解】..........................................................10

【題型12解含有絕對(duì)值的方程】..................................................................10

舉一反三

知識(shí)點(diǎn)1方程

含有未知數(shù)的等式叫作方程.

例如：x=0,2v=5,y+3=-5,a2+3a=7,x-2y=10,：+x=2等都是方程.

知識(shí)點(diǎn)2方程的解與解方程

1.一般地，使方程左、右兩邊的值相笠的未知數(shù)的值，叫作方程的解.例如：％=2是方程2x+1=5的解.

2.求方程的觸的過(guò)程，叫作解方程.

知識(shí)點(diǎn)3一元一次方程的概念

1.一般地，如果方程中只含有二個(gè)未知數(shù)（元），且含有未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)都是1,

這樣的方程叫作一元一次方程.

例如：x=1,2x-1=x+2,y+5=：等都是一元一次方程.

2.一元一次方程的最簡(jiǎn)形式為x=《（a工0）.

3.一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為ax+b=0（aH0）.

知識(shí)點(diǎn)4列簡(jiǎn)單的一元一次方程

列方程就是把實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系用方程的形式表示出來(lái).列方程的一般步驟如卜.:

（1）審：仔細(xì)審題，弄清題中的已知量、未知量和相等關(guān)系:

（2）設(shè)：設(shè)出恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，并把與相等關(guān)系有關(guān)的量用未知教表示出來(lái)；

（3）列：根據(jù)題中笠量關(guān)系列出一元一次方程.

知識(shí)點(diǎn)5等式的性質(zhì)

性質(zhì)內(nèi)容字母表示示例

對(duì)稱(chēng)性：如果a=b,那么b=a；若a=2,則2=c,則a=

兩個(gè)基本事實(shí)

傳遞性：如果a=b,b=c,那么a=cc

等式兩邊加（或遨）同一個(gè)如果a=b,那么Q±C=若a=b,則*±3=y±

性質(zhì)1

數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等b+c3

等式兩邊乘同一個(gè)數(shù),或除如果a=bf那么ac=be；若a=b,則ax3=bx

如果a=b(c*0),那么oa_b

性質(zhì)2以同一個(gè)不為0的數(shù),結(jié)果3,

仍相等ab

7=7

知識(shí)點(diǎn)6合并同類(lèi)項(xiàng)與系數(shù)化為1

1.合并同類(lèi)項(xiàng)

將一元一次方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)分別合并,使方程轉(zhuǎn)化為QX=b（QH0）的形式，變形依據(jù)是合

并同類(lèi)項(xiàng)法則.

2.系數(shù)化為1

方程兩邊同時(shí)除以未知數(shù)的系數(shù)，使一元一次方程Q%=b（aH。）變形為工=￡（。工0）的形式，變形的依據(jù)

是等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等.例如，解方程：x+2x=6-3,合并同

類(lèi)項(xiàng)，得3%=3,系數(shù)化為1,得x=l.

知識(shí)點(diǎn)7

1.移項(xiàng)

（1）把等式一邊的某項(xiàng)變號(hào)后移到另一邊，叫作移項(xiàng).

（2）移項(xiàng)的目的：使含有未知數(shù)的項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)分別位于方程的兩邊，以便為下一步合并同類(lèi)項(xiàng)創(chuàng)造條件.移

項(xiàng)的依據(jù)是等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等.

(3；移項(xiàng)的方法：通常把方程右邊的含未知數(shù)的項(xiàng)改變符號(hào)后移到方程左邊，把方程左邊的常數(shù)項(xiàng)改變符

號(hào)后移到方程右邊.但也不盡然，比如為使未知數(shù)的系數(shù)不出現(xiàn)負(fù)數(shù)，也可以把含未知數(shù)的項(xiàng)放在右邊，

常數(shù)項(xiàng)放在左邊.例如：-x+l=5,移項(xiàng)，得1-5=%,所以一4二%,即方程的解為％=-4.

2.移項(xiàng)法解一元一次方程的步驟

(1)移項(xiàng)；

(2)合并同類(lèi)項(xiàng)；

(3)系數(shù)化為1.

例如，解方程：10-4y=6y+5,移項(xiàng)，得一4y-6y=5-10.

合并同類(lèi)項(xiàng)，得-10y=-5.系數(shù)化為1,得'

知識(shí)點(diǎn)8去括號(hào)與去分母

1.去括號(hào)

(1)解含有括號(hào)的一元一次方程時(shí)，利用去括號(hào)法則去掉括號(hào).

(2)去括號(hào)是為了下一步能用移項(xiàng)法解方程，實(shí)質(zhì)是分配律.

(3)去括號(hào)各項(xiàng)的變化：

①如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)符號(hào)相同，例如：+(a-b)=a-bi

②如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后要改變?cè)ㄌ?hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)，例如：-(a-b)=-a+b；

③當(dāng)括號(hào)前不是“+1”或“-1”時(shí)，去括號(hào)時(shí)，將括號(hào)外的因數(shù)連同前面的符號(hào)看成一個(gè)整體，按分配律

乘括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)，再把積相加.

(4)去括號(hào)解一元一次方程的步驟：

①去括號(hào)：②移項(xiàng)；③合并同類(lèi)項(xiàng)；④系數(shù)化為1.

2.去分母

(1)在含有分?jǐn)?shù)系數(shù)的方程兩邊都乘同一個(gè)數(shù)(該數(shù)為各分母的最小公倍數(shù))，使方程中不含分母，這樣

的變化過(guò)程叫作去分母.

(2)去分母的目的是將方程中的分?jǐn)?shù)系數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，再利用去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1解

方程.去分母的依據(jù)是等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為。的數(shù)，結(jié)果仍相等.

(3)對(duì)于含小數(shù)的一元一次方程，先將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再利用去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)

化為1解方程.

知識(shí)點(diǎn)9解一元一次方程的步驟

【題型1(一元一次)方程的概念】

【例1】(2425七年級(jí)上?河北邯鄲?期中)已知關(guān)于x的方程二。是一元一次方程，則機(jī)的值

是()

A.3B.2C.1D.1或3

【變式111(2425七年級(jí)下?全國(guó)?課后作業(yè))下列各式:①7-8y；②3d+牝=4；③4+6=10；④2y+1=

y-2；(5)3x-l=4；?2z>3；⑦g=；，其中是方程，是一元一次方程.

【變式12］若(m+5)/+6mx+4m=0是關(guān)于x的一元一次方程，則m=.

【變式13】己知下列各式:

①-3x+2y=l；②X=5；(3)|+1=3；?4-3=1；(5)x2-%-2=0：⑥3%-2；(7)2x-2=x.

其中方程有,一元一次方程有

【題型2列方程】

【例2】王強(qiáng)參加3000米的長(zhǎng)跑，他以8米/秒的速度跑了一段路程后，又以5米秒的速度跑完了其余的路

程，一共花了15分鐘，他以8米/秒的速度跑了多少米？設(shè)以8米/秒的速度跑了x米，列出的方程是()

.X,3000-xTL?X,3000-X._

A.5+丁=15X60B.己+十=15

cx3000-xcX3000-x.-

C.--一—=15X60D.--一—=15

【變式21】一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為32cm,若這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)減少2cm,寬增加3cm就變成了一個(gè)正方形，設(shè)

長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為xcm,可列方程().

A.x4-2=(32—x)—3B.x-2=(16—x)+3

C.x-2=(32-x)+3D.x+2=(16-x)-3

【變式22】《兒童算術(shù)》中記載了一個(gè)問(wèn)題，大意是：有幾個(gè)人一起去買(mǎi)一件物品，每人出8錢(qián)，多3錢(qián)；

每人出7錢(qián)，少4錢(qián)，問(wèn)人數(shù)是多少？若設(shè)人數(shù)為尤則下列方程正確的是()

A.8x+3=7%-4B.8x-3=7%+4

C.8(x-3)=7(x+4)D.8x+4=7x3

【變式23】根據(jù)圖中給出的信息，可得正確的方程是()

A.nx(1)2x=7rx(^)2x(x+5)B.nx(1)2x=nx.(^)2x(x—5)

C.7Tx82X=TTx62x(x+5)D.7Tx82X=TTx62x5

【題型3由（一元一次）方程的解求代數(shù)式的值】

【例3】（2425七年級(jí)下?河北石家莊?開(kāi)學(xué)考試）已知％=2是關(guān)于x的方程-2a=0的解，則代數(shù)式2a-1

的值是.

【變式31］（2425七年級(jí)下?福建泉州?期中）若％=3是關(guān)于4的方程3女一以=6的解，則40-6。+2b的

值是.

【變式32］若x=3是方程ax+b=4的解，則代數(shù)式一：。一《的值是.

【變式33】（2425七年級(jí)下?遼寧丹東?開(kāi)學(xué)考試）已知％=-2是關(guān)于％的方程2a%—b+5=0的解，則8Q+

2b+2032=.

【題型4由等式的性質(zhì)判斷變形正誤】

【例4】下列等式變形錯(cuò)誤的是（）

A.若Q=b,則*7=B-若Q=b，則3。=3匕

C.若a=b,則ax=bxD.若a=b,則g=—

mm

【變式41】（2425七年級(jí)下?四川遂寧?期末）下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若一3%=4,則x=

4

B.若一2xN4,貝hN—2

C.若a>b,則。。2>兒2

D.若“與5的差是非正數(shù)，則用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為％-540

【變式42】（2425七年級(jí)下?河南南陽(yáng)?開(kāi)學(xué)考試）下列方程中移項(xiàng)正確的是（）

A.由％-3=4,得％=4-3

B.由2=3+x,得2+3=x

C.由3-2%=5+6,得2%-3=5+6

D.由-4%+7=5%+2,得5x+4%=7-2

【變式43】（2425七年級(jí)上?山東棗莊?階段練習(xí)）下列變形正確的是（）

A.若3%—1=2%+1,則3x+2x=l+l

B.若3（%+1）—5（1一％）=0,則3%+3—5—5%=0

C.若1一丑二=%,則2-3%-1=%

2

c-M.X+1Xr八|X+lX

D-若右一指二10,則mi三一5=1

【題型5由等式的性質(zhì)比較大小】

【例5】已知mxq=幾+T（〃?、〃都不為零），比較加、〃的大小正確的是（）

A.m<nB.m>nC.m>nD.m<n

【變式51】（2425七年級(jí)上?河南鄭州?開(kāi)學(xué)考試）【等量代換】某益智節(jié)目有這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖所示，兩

個(gè)天平都平衡，根據(jù)圖示回答三個(gè)球的質(zhì)量等于個(gè)正方體的質(zhì)量.

mu

△

【變式52】已知9"一1=:八，試用等式的性質(zhì)比較m與幾的大小為_(kāi)_____.

44

【變式53］若Q-b>0,Ma>b：若a-b=O,則a=b；若a-b<0,則a<b,這是利用"作差法"比較

兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)代數(shù)式值的大小.

⑴試比較代數(shù)式5m2-4m+2與4m2-4m-7的值之間的大小關(guān)系；

⑵已知代數(shù)式3Q+2b與2a+3b相等，試用等式的性質(zhì)比較a,b的大小關(guān)系.

⑶已知——l=；〃一gm,試用等式的性質(zhì)比較九的大小關(guān)系.

【題型6由兩個(gè)一元一次方程解之間的關(guān)系求字母的值】

［例6］（2425七年級(jí)下?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）若關(guān)于%的方程3%+2=2%-5的解與方程式3x+2）=5+

DAU

）工-1）的解互為相反數(shù)，則A的值為.

【變式61】（2425七年級(jí)下?四川內(nèi)江?期中）如果2%+6=。的解與一2%+5=4-3%的解相同，則a的值

是.

【變式62】（2425七年級(jí)上?陜西渭南?期中）關(guān)于%的方程：+8%=7〃+6%的解比關(guān)于工的方程版2+%）=

x（k+2）（kMO）的解大6,則k的值為.

【變式63］（2425七年級(jí)下?重慶?開(kāi)學(xué)考試）己知關(guān)于%的方程牛=餐的解是關(guān)于y的方程則言=l-3m

的解的5倍，則771=.

【題型7一元一次方程的整數(shù)解問(wèn)題】

【例7】(2425七年級(jí)下?四川巴中?開(kāi)學(xué)考試)k是一個(gè)正整數(shù)，關(guān)于％的一元一次方程2—一9=(k+2)x有

正整數(shù)解，則k=.

【變式71]關(guān)于“的?元一次方程37nx-^=1(x-2)的解為整數(shù),則整數(shù)m的所有可能的取值之和為.

【變式72】(2425七年級(jí)下?河南南陽(yáng)?階段練習(xí))已知關(guān)于%的方程為-^=4一3的解是非正整數(shù)，則

6.52

符合條件的所有整數(shù)a的和是.

【變式73】(2425六年級(jí)下?黑龍江大慶?期末)已知關(guān)于無(wú)的方程無(wú)-老二：-2有整數(shù)解，則滿足條件的

63

所有整數(shù)Q的和為.

【題型8由一元一次方程的解的情況求值】

【例8】若關(guān)于X的方理筆2=F+2,無(wú)論我為仟何數(shù)時(shí)，官的解點(diǎn)、?是X=l,則771-九=______.

36

【變式81】(2425七年級(jí)下?重慶?期中)若關(guān)于%的方程￡%+1=-]+；有無(wú)數(shù)個(gè)解，則m+n的值為—

【變式82】(2425八年級(jí)下?上海?期中)如果Q工人那么關(guān)于x的方程(a—b)%=(a+b)(a—b)的解為

x=.

【變式83】(2425六年級(jí)上?上海?階段練習(xí))已知關(guān)于工的方程以2%-1)=3%-2無(wú)解，則a的值為

【題型9錯(cuò)看或錯(cuò)解一元一次方程問(wèn)題】

【例9】(2526八年級(jí)上?重慶萬(wàn)卅開(kāi)學(xué)考試)小玉在解方程手=等-1去分母時(shí)，方程右邊的“-1〃項(xiàng)沒(méi)

有乘6.因而求得的解是％=10,則a=___.

【變式91】(2425六年級(jí)下?山東煙臺(tái)?期中)下面是曉彬同學(xué)解一元一次方程的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相

應(yīng)任務(wù).

解A,.：—3X+1"r2=—3X-1"―2X+3

5(3%+1)-20=(3x-1)-2(2%+3)第一步

15x+5-20=3x-l-4x-6第二步

15x-3x+4x=-1-6+5+20第三步

16x=18第四步

x=l第五步

o

⑴任務(wù)一：①以上步驟第一步是進(jìn)行去分母，依據(jù)是.

②以上步驟從第步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是.

（2）任務(wù)二：①請(qǐng)你將正確的解方程過(guò)程寫(xiě)在下面；

②除糾正上述錯(cuò)誤外，請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就解一元一次方程還需要注意的事項(xiàng)給其他同學(xué)提出一

條建議.

【變式92］（2425七年級(jí)上河南商丘期末）小明在解方程芋+g=x+a時(shí)，誤將％看成了％—a,解得

方程的解是％=4,則原方程的解為.

【變式93】（2425七年級(jí)上?江西上饒?階段練習(xí)）本學(xué)期學(xué)習(xí)了一元一次方程的解法，下面是小明同學(xué)的解

題過(guò)程：

解方程:2X-0.1x+0.2

解：原方程可化為空f(shuō)一/詈=1,第一步

方程兩邊同時(shí)乘以6,去分母，得

3（20x-l）-2（10x+2）=6,......第二步

去括號(hào)，得60%-3-20x+4=6,......第三步

移頂，得60%一20%=6+3-4,......第四步

合并同類(lèi)項(xiàng)，得40%=5,.........第五步

系數(shù)化為1,得％=......第六步

8

所以％=9是原方程的解.

上述小明的解題過(guò)程從第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是.

請(qǐng)你寫(xiě)出正確的解題過(guò)程.

【題型10一元一次方程的遮擋問(wèn)題】

【例10】（2425七年級(jí)上?吉林松原?期中）小明在做解方程作業(yè)時(shí)，不小心將方程中的一個(gè)常數(shù)污染了看不

清楚，被污染的方程是=怎么辦呢？小明想了想便翻看了書(shū)后的答案，此方程的解是y=

他很快就補(bǔ)好了這個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)應(yīng)是.

【變式101）（2425七年級(jí)上?廣東佛山?期末）小明不小心將墨水滴在試卷上，只能看到"解方程：10-0=4/，

團(tuán)處被污染看不清.若方程的解是x=3,則團(tuán)處的數(shù)字是應(yīng)是:

【變式102】嘉洪在進(jìn)行解一元一?次方程的練習(xí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)有■一個(gè)方程“3%+7=團(tuán)-產(chǎn)中的常數(shù)被"回〃遮擋.

⑴嘉淇猜想“團(tuán)"遮擋的常數(shù)是1,請(qǐng)你算一算X的值；

（2）老師說(shuō)此方程的解與方程2%=+4的解相同，請(qǐng)你算一算"中遮擋的常數(shù)是多少？

【變式103】小明解關(guān)于x的一元一次方程容-營(yíng)=1時(shí)，有一個(gè)數(shù)△看不清楚，但小紅解得的答案是％=

36

一1,則這個(gè)數(shù)△為（）

A.-7B.-2C.0D.1

【題型1