§8.3圓的方程

【考試要求】1.回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一

般方程2能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.

主干梳理基礎(chǔ)落實(shí)^

知識梳理

1.圓的定義和圓的方程

定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓

圓心C(a,b)

標(biāo)準(zhǔn)(x-fl)2+(j-Z?)2=r(r>0)

半徑為工

方

圓心｛一冬-f)

程/+)2+6+￡>，+/=0

一般

(0+七2-4尸>0)半徑/*=1\/》+/一4萬

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

平面上的一點(diǎn)M(xo，光)與圓C：(x—。尸+?一人)2=戶之間存在著下列關(guān)系:

(1)|MC1>?OM在圓外,即的一a)2+(y()一)尸>戶㈡M在圓外；

(2)|MQ=*>M在圓上,即(配一。)2+()，0一8)2=戶臺M在圓上；

(3)|MC]vrOM在圓內(nèi),即的-4)2+?)—4V70M在圓內(nèi).

【微思考】

1.二元二次方程+Bf+。)2+。大+6，+b=0表示偃的條件是什么？

A—CW0,

提示“0,

D2-}-Ep-4AF>().

2.寫出圓『+)，2+。、+與+/=0和兩坐標(biāo)軸都相切的條件.

D2+E2-4F>0,

提示

D1=E2=4F.

基礎(chǔ)自測

題組一思考辨析

I.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“X”)

(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(J)

(2)已知點(diǎn)A(x\,巾)，B(X2>J2)?則以AB為直徑的圓的方程是(.1一即)。—")+()，一》)。一52)

=0.(J)

(3)若點(diǎn)M(xo，yo)在圓/+)2+。/+七丁+尸=0外，則焉+)B+Dro+￡>)?+￡>().(J)

(4)方程。+〃)2+()，+。)2=?(/￡對表示圓心為3,b),半徑為/的圓.(X)

題組二教材改編

2.圓心為(1,1)且過原點(diǎn)的圓的方程是()

A.(x-l)2+(y-l)2=lB.(x+l)2+(y+l)2=l

C.(x+1)2+0，+1)2=2D.(x-l)2+(>-1)2=2

答案D

解析因?yàn)閳A心為(I,I)且過原點(diǎn)，所以該圓的半徑，=廳卬=啦，則該圓的方程為(3一1)2

+°-1)2=2.

3.圓F+),2—4x+6y=0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是()

A.(2,3),3B.(-2,3),小

C.(-2,一3),13D.(2,一3),713

答案D

解析圓的方程可化為(工一2猿+()，+3)2=13,所以圓心坐標(biāo)是(2,-3),半徑「=#1

4.(2021?石家莊模擬)圓心在直線1一2)，+7=0上的圓C與x軸交于兩點(diǎn)4一2,0),以一4,0),

則圓C的方程為.

答案(X+3)2+(.V-2)2=5

解析因?yàn)橹本€48的中垂線方程為x=-3,代入直線/-2)，+7=0,得y=2,

故圓心的坐標(biāo)為。(一3,2),再由兩點(diǎn)間的距離公式求得半徑r=|Aq=<5,

所以圓C的方程為。+3)2+。-2)2=5.

題組三易錯(cuò)自糾

5.方程/+)，2+如+24)，+2/+〃-1=0表示圓，則〃的取值范圍是()

2

A.a<~2B.一鏟〃<0

C.-2<?<0D.-2<?<^

答案D

解析由方程表示圓的條件得

〃2+(2〃)2—4(2/+°—1)>0,

即3a2+4?-4<0,

6.(多選)圓/+9一以一1=0()

A.關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱

B.關(guān)于直線)，=0對稱

C.關(guān)于直線x+3y—2=0對稱

D.關(guān)于直線X—y+2=0對稱

答案ABC

解析A24-y2-4A—I=0=>(X-2)2+/=5,所以圓心的坐標(biāo)為(2,0).

圓是關(guān)于圓心對稱的中心對稱圖形，而點(diǎn)(2,0)是圓心坐標(biāo)，所以A選項(xiàng)正確；

圓是關(guān)于直徑對稱的軸對稱圖形，直線y=0過圓心，所以B選項(xiàng)正確；

圓是關(guān)于直徑對稱的軸對稱圖形，直線x+3y-2=0過圓心，所以C選項(xiàng)正確；

圓是關(guān)于直徑對稱的軸對稱圖形，直線x—y+2=0不過圓心，所以D選項(xiàng)不正確.

故選ABC.

題型突破核心探究

z題型一圓的方程H主演練

1.已知圓E經(jīng)過三點(diǎn)401),5(2,0),C(0,一1),則圓石的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

3

-2+245B22-5

-2-

A.+y16

C^

2o

C-+25X725

rD.l^12+'4

4J16

答案c

解析方法一(待定系數(shù)法)

設(shè)圓石的一般方程為f+/+Dr+Ey+尸=0(￡)2+序一4八>0),

1+E+F=O,fo=-|,

則由題意得，4+2。+尸=0,解得｛E=O,

L-"o,

所以圓E的一般方程為『十)2一$-1=0,

即(小》+)?噎

方法二(幾何法)

因?yàn)閳AE經(jīng)過點(diǎn)40,1),以2,0),所以圓石的圓心在線段/1B的垂直平分線1y—：=2(工一1)上.

由題意知圓E的圓心又在,r軸上，

設(shè)點(diǎn)40,2)關(guān)于直線x+y+2=0的對稱點(diǎn)為A'(〃?，n),

〃?+0,〃+2,

-^—+^-+2=0,

w=-4,

故解得c故A'(—4,-2).

2n=—2,

=

m—0n]，

連接A'C交圓C于Q,由對稱性可知

|以|+|PQ|=|4'尸I+IPQWQ\=\A'C\-r=2y[5.

(2)已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程f+y2—?+1=0,求;的最大值和最小值.

解原方程可化為。-2)2+)2=3,

表示以(2,0)為圓心，小為半徑的圓.

千的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率,

?兒

所以設(shè)即曠=履.

當(dāng)直線＞=近與圓相切時(shí)，斜率k取最大值和最小值,

此時(shí)家^=小，解得k=4.

所以千的最大值為小，最小值為一小.

“1

■引申探究

本例(2)中，求f+)，2的最大值和最小值.

解表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓

的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值.

又圓心到原點(diǎn)的距離為亞2―0)2+(0_())2=2,

所以『+產(chǎn)的最大值是(2+小)2=7+44，

/+)2的最小值是(2—小)2=7—4小.

思維升華與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略

(I)與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題的解法.一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾

何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解.

(2)與圓上點(diǎn)(x,)，)有關(guān)代蓑式的最值的常見類型及解法.

①形如〃=?型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)(出力和點(diǎn)U,)，)的直線的斜率的最值問題：

XCI

②形如(1一〃)2+6,一加2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)(凡〃)的距離的平方的最值問題.

跟蹤訓(xùn)練1已知M(x,)，)為圓C：『+32-41一14)，+45=0上任意一點(diǎn)，旦點(diǎn)。(一2,3).

(1)求|MQ|的最大值和最小值；

(2)求Si的最大值和最小值.

解(1)由圓C：jr+y2—4x—14v+45=0,

可得。-2)2+°，-7)2=8,

???圓心C的坐標(biāo)為(2,7),半徑/?=241

又1匿=、(2+2)2+(7-3)2=45,

???IMQmax=4陋+2g=66，

|M0|min=4啦一2/=2&.

y-3

(2)可知F表示直線MQ的斜率k.

人I4

設(shè)直線MQ的方程為_)，-3=4。+2),

即船一>+2女+3=0.

???直線MQ與圓。有交點(diǎn)，

|2/-7+2&+3|

二加+必W2?

可得2-小WkW2+小,

.,?旨|的最大值為2+5，最小值為2一小.

題型三與圓有關(guān)的軌跡方程

師生共研

例2已知RlAASC的斜邊為AB,且A(—1,0),8(3,0).求：⑴直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；

(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.

解(1)方法一設(shè)C(x,>,)?因?yàn)?,B,C三點(diǎn)不共線，所以y#0.

因?yàn)锳C_LBC,且BC,AC斜率均存在，

所以以(7融(=-1，

又以c=力？無c=M'所以X3?二3=f

化簡得l+y2—2x—3=0.

因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為爐+9一2工-3=0。H0).

方法二設(shè)A/6的中點(diǎn)為。，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得力(1,0),由直角三角形的性質(zhì)知|CQ|=4|/18|

=2.由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以。(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于4,B,C三點(diǎn)不共

線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn)).

所以直角頂點(diǎn)。的軌跡方程為(x—1>+)2=4°必0).

(2)設(shè)M(x,y),C(xo,刈)，因?yàn)?(3.0),M是線段BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得工=包片，

yo+0

尸2'

所以xo=2x—3,yo=2y.

由(1)知，點(diǎn)C的軌跡方程為(x—l)2+y2=4(yW0),

將xo=lv—3,yo=2yftA#(2r—4)2+(2y)2=4,

即(L2)2+y2=l.

因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(X—2)2+j，2=l(yW0).

思維升華求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：

⑴直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.

(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程.

(3)幾何法:利用圓的幾何性質(zhì)列方程.

(4)相關(guān)點(diǎn)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式.

跟蹤訓(xùn)練2已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,6),端點(diǎn)A在圓C：A2+/+4X=0上運(yùn)動(dòng)，求

線段4B的中點(diǎn)P的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么.

解設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(項(xiàng)，光)，

由于點(diǎn)4的坐標(biāo)為(8,6),且。為線段A8的中點(diǎn)，

.&+8yo+6_?,__

??x——2~?y=2，于咫I有-VO=2A'-8,y()=2y-6.

???點(diǎn)A在圓。上運(yùn)動(dòng)，

???點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程f+爐+4.?=0,

即高+h+4的=0,

/.(2A-8)2+(2)，-6)2+4(2r-8)=0,

化簡整理，得/+9一6w一6)，+17=(),

即(%—3)2+()，-3)2=1.

故點(diǎn)尸的軌跡是以(3,3)為圓心，1為半徑的圓.

課時(shí)精練

用基礎(chǔ)保分練

1.圓F+y2+4x—6y—3=0的圓心和半徑分別為()

A.(4,-6),16B.(2,一3),4

C.(-2,3)，4D.(2,-3),16

答案C

解析方法一易知0=4,E=—6,F=—3,則一■=—2,一4=3,,配+爐-42=4,

故圓心坐標(biāo)為(一2,3),半徑為4.

方法二將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x+2)2+。-3)2=16,則圓心坐標(biāo)為(-2,3),半徑

為4.

2.圓心在x軸上，半徑為1,且過點(diǎn)(2,1)的圓的方程是()

A.(x—2產(chǎn)+)2=1B.(A+2)2+/=1

C.(X-2)2+G，-3)2=1D./+0—2)2=1

答案A

解析設(shè)圓的圓心為30),則dm—24+(0—1)2=1,解得。=2,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是a—2)2

+尸=1.故選A.

3.若一圓的圓心坐標(biāo)為Q,—3),一條直徑的端點(diǎn)分別在A軸和y軸上，則此圓的方程是()

A.(X-2)2+(.V+3)2=13B.。+2)2+。-3)2=13

C.(x—2)2+0+3)2=52D.(x+2)2+(y—3)2=52

答案A

解析直徑兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0),(0,-6),可得直徑長為2g則半徑長為皿，所

以所求圓的方程是(x—2)2+()，+3尸=13.

4.已知圓G：。+1)2+。-1)2=4,圓。2與圓G關(guān)于直線x—y—l=0對稱，則圓G的方

程為()

A.(x+2)2+(.y-2)2=4B.(A—2)2+(>*+2)2=4

C.(x+2)2+°，+2產(chǎn)=4D.(X-2)2+(>--2)2=4

答案B

解析根據(jù)題意，設(shè)圓C2的圓心為3,b),

圓G：(X+1)2+G，-1)2=4,其圓心為(一1,1),半徑為2.

若圓C2與圓C1關(guān)于直線[一)，-1=0對稱，則圓Cl與C2的圓心關(guān)于直線工一y一1=()對稱，

仁=-1，,

Ia+1，]〃=2,

且圓C2的半徑為2,則有〈解得，c

a-\b+\h=~2

則圓Q的方程為“一2)2十&十2產(chǎn)=4.

5.(多選)已知直線/與圓Cf+V+2x—4y+a=0相交于兩點(diǎn)，弦A8的中點(diǎn)為M(0，1),

則實(shí)數(shù)a的取值可以為()

A.1B.2C.3D.4

答案AB

解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(工+l)2+(y—2)2=5—a,故“<5.

又因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)為M(0,1),

故M點(diǎn)在圓內(nèi),所以(0+1)2+(1—2)2<5一出

即a<3.綜上a<3.

故選AB.

6.(多選)設(shè)有一組圓G：(X-&)2+G，-%)2=4(&￡R),下列命題正確的是()

A.不論人如何變化，圓心。始終在一條直線上

B.所有圓CJ勻不經(jīng)過點(diǎn)(3,0)

c.經(jīng)過點(diǎn)(2.2)的圓a有且只有一個(gè)

D.所有圓的面積均為4兀

答案ABD

解析圓心坐標(biāo)為(上k),在直線y=x上，A正確；

令(3—左)2+(0一62=4,化簡得23一6女+5=0,

VJ=36-40=-4<0,???2合-6左+5=0無實(shí)數(shù)根，

AB正確：

由(2—左)2十(2一62=4,化簡得產(chǎn)-4A+2=0,

VJ=16-8=8>0,有兩個(gè)不相等實(shí)根，

???經(jīng)過點(diǎn)(2,2)的圓Ci有兩個(gè)，C錯(cuò)誤；

由圓的半徑為2,得圓的面積為4”，D正確.

7.已知圓C：(工一2)2+()，+5-4)2=1,當(dāng)機(jī)變化時(shí)，圓C上的點(diǎn)與原點(diǎn)O的最短距離是

答案1

解析圓C：(x—2)2+°，+/"—4產(chǎn)=1表示圓心為

。(2,一6+4),半徑「=1的圓，

則|OC|=、22+(一〃?+4)2,所以當(dāng)加=4時(shí)，|0。的最小值為2,故當(dāng)m變化時(shí)，圓C上的點(diǎn)

與原點(diǎn)的最短距離是ioq-—=2—1=1.

8.若圓。+1)2+。-3)2=9上相異兩點(diǎn)P,Q關(guān)于直線入+2>-4=0對稱，則k的值為

答案2

解析圓是軸對稱圖形，過圓心的直線都是它的對稱軸，已知圓的圓心為(-1,3),由題設(shè)知，

直線履+2)，-4=0過圓心，則左X(—l)+2X3—4=0,解得女=2.

9.已知P,9分別為圓M：(%—6)2+。-3)2=4與圓N：(x+4)2+(y-2)2=l上的動(dòng)點(diǎn),9

為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，貝I|AP|+14Q|的最小值為.

答案5小一3

解析圓Ma+4)2+G，-2)2=1,關(guān)于x軸對稱的圓為圓M:a+4)2+(y+2)2=l,

則依產(chǎn)|l|AQ的最小值為|1-2=^/102452-3=5>/5-3.

10.如果圓。一㈤2+()，一"=8上總存在到原點(diǎn)的距離為明的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

答案[-3,-1]U[1,3]

解析圓(x—〃)2+(y—a)2=8的圓心3，〃)到原點(diǎn)的距離為電。|,半徑r=2y[2,由圓(二一〃產(chǎn)

+。一。)2=8上總存在點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為也，得2?一啦支|、/力|忘26+娘，???lW|a|W3,

解得或一—1.

二實(shí)數(shù)〃的取值范圍是[-3,-1]U[1,3].

11.已知圓心為心的圓經(jīng)過點(diǎn)A(—1，1)和3(—2,-2),且圓心在直線L：x+y—1=0上.

⑴求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)點(diǎn)P在圓C上，點(diǎn)Q在直線X-)，+5=0上，求|PQ|的最小值.

解(1)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(%—a)2+(y—加2=戶〃.>0),

???圓經(jīng)過點(diǎn)A(—1,1)和5(—2,-2),

且圓心在直線￡：x+y—l=0上，

f(-1-6/)2+(1—Z?)2=r,

???{(―2—?)2+(-2—/?)2=r,

1=0,

解得a=3,b=-2,r=5.

???圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(K—3)2+()，+2)2=25.

(2)???圓心。到直線工一)，+5=0的距離為4=網(wǎng)巖3=56>5,

???直線與圓C相離，

???|尸QI的最小值為d~r=5\l2~5.

12.已知點(diǎn)A(—3,0),5(30),動(dòng)點(diǎn)P滿足|網(wǎng)=2|P8|.

(1)若點(diǎn)P的軌跡為曲線C求此曲線的方程；

(2)若點(diǎn)Q在直線/i：x+y-3=0上，直線，2經(jīng)過點(diǎn)。且與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)M,求?M

的最小值.

解(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,)，)，

則Ka+3)2+)2=2m—3)2+)2,

化簡可得(x—5)2+)2=16,此方程即為所求.

(2)曲線C是以點(diǎn)(5,0)為圓心，4為半徑的圓，如圖所示.

由題意知直線/2是此圓的切線,

連接CQ,

則IQM=、|CQF-|CM2=、|CQ|2-16,

當(dāng)IQM最小時(shí)，ICQI最小，

此時(shí)CQ_L/i,

|5+3|

\CQ\=r

則IQM的最小值為732-16=4.

立技能提升練

13.直線x+y+2=（）分別與x軸、），軸交于A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)。在圓（x—2尸+,2=2上，511]AABP

面積的取值范圍是（）

A.[2,6]B.[4.8]

C.柩3^2]D.[2<2,3小]

答案A

解析設(shè)圓（3一2）2+爐=2的圓心為C,半徑為「，點(diǎn)P到直線K+J，+2=0的距離為"，則圓

心C（2,0）,「=也，所以圓心C到直線x+y+2=0的距離為2吸，可得dmax=2也+r=3明，

dmin=2啦一廠=隹由已知條件可得H8|=2?所以面積的最大值為款叫dmax=6,

△A8P面積的最小值為glA8Mmm=2.綜上，￡^3戶面積的取值范圍是[2,6].故選A.

14.圓jr4->,2+4A—12y+1=0關(guān)于直線ar—〃y+6=0（“>0,歷>0）對稱，則?+?的最小值是

（）

A.2#B.苧C.苧D.y

答案C

解析由圓/+9+44-12y+l=0知，其標(biāo)準(zhǔn)方程為（工+2）2+。-6）2=39,二?圓/+）2+4]

一12），+1=0關(guān)于直線ax-by^6=0（a>0f比>0）對稱，?,?該直線經(jīng)過圓心（-2,6）,即一2〃一

6》+6=0,

/.a+3b=3（a>0,b>0）,

?