第1講函數(shù)的圖象與性質(zhì)

［考情分析］1.函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點和熱點，主要考查函數(shù)的定義域、分段函

數(shù)、函數(shù)圖象的識別與應(yīng)用以及函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性）的綜合應(yīng)用，

難度屬于中等及以上2此部分內(nèi)容多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時在壓軸題的位置，

多與導(dǎo)數(shù)、不等式、創(chuàng)新性問題相結(jié)合命題.

考點一函數(shù)的概念與表示

【核心提煉】

1.電合函數(shù)的定義域

⑴若於）的定義域為［〃?，川，則在中，由解得x的范圍即為（g（x））的定義

域.

⑵若人g（x））的定義域為［〃［，n］,則由mWxW〃得到g（x）的范圍,即為?r）的定義域.

2.分段函數(shù)

分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)值域的并集.

例?（1）（2022?南陽檢測）已知函數(shù)於）=也不，則函數(shù)ga）=/m—i）+1i的定義域是

（）

A.{巾v0或x>2}B.eq

C.{小>2}D.eq

答案B

|一r|一r

解析要使兒0=愴=有意義，則

1I人1HI>O,

即（I一制（1+此>0,解得一14<1,

所以函數(shù)7U）的定義域為（一11）.

要使g（x）=fix—\）+y［2x—\有意義，

［―l<x—1<1,I

則r，、八解得aWXV2,

［2x-120,2

所以函數(shù)g（x）的定義域為:

X2+2??X<1?

（2）已知實數(shù)a￡R,函數(shù)咒￥）=,若五1一幻>川+/，則實數(shù)。的取值范圍是

—X,x>\,

答案（-2,-1）U（O,+8）

解析由題意知〃KO,

①當(dāng)4<0時，興1,

:.一（1—。）>（1+a）2+2〃，

化簡得/+3〃+2<0,

解得一2<〃<—1,

又。<0,—2,—1）；

②當(dāng)〃>0時，1—

???（1一。）2+為>一（1+辦

化簡得。2+。+2>0,解得

又a>0,+°0）,

綜上，實數(shù)4的取值范圍是（一2,-1）U（O,4-00）.

規(guī)律方法⑴形如大線2）的函數(shù)求值時，應(yīng)遵循先內(nèi)后外的原則.

（2）對于分段函數(shù)的求值（解不等式）問題，必須依據(jù)條件準(zhǔn)確地找出利用哪一段求解.

X-3,10,

跟蹤演練1⑴（2022.濰坊模擬）設(shè)函數(shù)府）=L；八［二八則心）等于（

)

依戈+4））,x<10,

A.10B.9C.7D.6

答案C

x—3,Gl(),

解析因為yu）=

/(/(工十4)),

則18）=A/（12））=*9）=歡13））

=/U0）=7.

（2）（多選）設(shè)函數(shù)Ar）的定義域為。，如果對任意的xW。，存在yWD,使得火幻=一次），）成立，

則稱函數(shù)凡6為“M函數(shù)”.下列為“M函數(shù)”的是（）

A.y=sinxcosxB.y=Inx+e'

C.y=2xD.y=x2-2x

答案AB

解析由題意，得“M函數(shù)”的值域關(guān)于原點對稱.A中，y=sinxcos%=；sin2x￡一1,

其值域關(guān)于原點對稱，故A是“M函數(shù)”；B中，函數(shù)y=lnx+e'的值域為R,故B是“M

函數(shù)”；C中，因為y=2'>0,故C不是函數(shù)”；D中，1y=f-2r=（x—1）z-12—I,

其值域不關(guān)于原點對稱，故D不是“M函數(shù)”.

考點二函數(shù)的圖象

【核心提煉】

1.作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、

伸縮變換、對稱變換.

2.利用函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，作圖時要準(zhǔn)確畫出圖象的特點.

考向1函數(shù)圖象的識別

例2⑴(2022?全國甲卷)函數(shù)產(chǎn)⑶-3r>cosx在區(qū)間［甘，,上的圖象大致為()

答案A

n

M)-

取x=—1,則y=Q—3jcos(—I)

Q

=-］cosl<0.結(jié)合選項知選A.

方法二令)，=段)，

則艮一幻=(3-r—3A)cos(—x)

=-(3r-3-')cosx=—fix),

所以函數(shù)y=(3*—3-v)cos.M是奇函數(shù)，

排除B,D；

取x=l,則y=(3—1=gcosl>0,排除C,故選A.

(2)(2022?全國乙卷)如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖象，則該函數(shù)是

()

——+3x-

A-kf+iB.y=7+r

c2rcosx、2sinx

c

-尸KTD.尸77r

答案A

解析對于選項B,當(dāng)x=l時，y=0,與圖象不符，故排除B；對于選項D,當(dāng)x=3時，y

=1sin3>0,與圖象不符，故排除D；對于選項C,當(dāng)0?狎，0<cosx<l,故尸等廣

V號W1，與圖象不符，所以排除C.故選A.

人I1

考向2函數(shù)圖象的變換及應(yīng)用

A.a>0,b=0,c<0

B.a>(),b=0,c>()

C.a<0,b<0,c=0

D.avO,b=O,c<0

答案A

解析因為函數(shù)/Cr)的圖象關(guān)于)，軸對稱,

所以_/u)為偶函數(shù)，

“…~cos(—x)-F2

斤以貝一幻=a(r)2+.r)+c

cosx+2cosx十2

=ar2—/+c=a『+。=凡”，

解得〃=0,

3

由圖象可得/(0)=-<0,得(?<0,

由圖象可得分母加+。=0有解，

所以f=一；有解，

所以一；>0,解得a>0.

考點三函數(shù)的性質(zhì)

【核心提煉】

1.函數(shù)的奇偶性

(I)定義：若函數(shù)的定義域關(guān)干原點對稱，則有

?r)是偶函數(shù)號/(-x)=J(x)=fi\x\):

/U)是奇函數(shù)號/(一幻=一").

(2)判斷方法：定義法、圖象法、奇偶函數(shù)性質(zhì)法(如奇函數(shù)X奇困數(shù)是偶函數(shù)).

2.函數(shù)單調(diào)性判斷方法：定義法、圖象法、導(dǎo)數(shù)法.

3.函數(shù)的周期性

若函數(shù)於)滿足/+。)=/一。)或風(fēng)v+2a)=/U),則函數(shù)y=/(x)的周期為21al.

4.畫數(shù)圖象的對稱中心和對稱軸

（1）若函數(shù)yu）滿足關(guān)系式4。+工）+44-x）=2b,則函數(shù)y=/u）的圖象關(guān)于點（a,。）對稱.

（2）若函數(shù)7U）滿足關(guān)系式負(fù)。+%）=/（力一用，則函數(shù)y=/U）的圖象關(guān)于直線對稱.

考向1單調(diào)性與奇偶性

例4（2022?廣東大聯(lián)考）已知函數(shù)危尸陰一cosx,則/曲，負(fù)0）,/'（一三）的大小關(guān)系為（）

A.a）4妙f（一￡）

B.xo）＜f（-|）＜r（f）

c-/（粉（一'?

D./（-1）＜rt0）＜f?

答案B

解析,?,y（x）=ekl—cosx,

/?fl—x）=e「&-cos（—.r）=ew—cosx=J（x）,

?\/U）為偶函數(shù)，

當(dāng)x＞0時,/x）=e*—cosx,

則/a）=e、+sinx,

,當(dāng)x￡（0,+8）時，，（x）=e，+sinx＞0,

??.函數(shù)段）在（0,+8）上單調(diào)遞增，

??爪°R（G）q（5）,

即旭）＜/（-￡）喧.

考向2奇偶性、周期性與對稱性

例5（多選）（2022?新高考全國I）已知函數(shù)/U）及其導(dǎo)函數(shù)/㈤的定義域均為R,記以幻=

，（?.若2A）,g（2十外均為偶函數(shù)，貝"（）

A.10）=0B.g（V）=。

c.7（-l）=y（4）D.g（_l）=g（2）

答案BC

解析方法一（轉(zhuǎn)化法）因為/（|一2。，g（2+x）均為偶函數(shù)，

所以/0〃)=/0+2，

即/(?/(1+J

g(2+x)=g(2—x),

所以43-x)=/(x),g(4-.r)=g(x),

則1-1)=犬4),故C正確；

3

函數(shù)/U)，g(x)的圖象分別關(guān)于宜線X=3，4=2對稱，又g(x)=/'(X),且函數(shù)人￥)可導(dǎo)，

所以0=0，g(3-x)=-g(x),

所以g(4-x)=g(x)=-g(3—x),

所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以<_g=g(l)=o，

g(—l)=g(D=-g(2),故B正確，D錯誤：

若函數(shù)滿足題設(shè)條件，

則函數(shù)yu)+qc為常數(shù))乜滿足題設(shè)條件，

所以無法確定人。)的函數(shù)值，故A錯誤.

方法二(特例法)因為/(1—2工)，g(2+x)均為偶函數(shù)，所以函數(shù)於)的圖象關(guān)于直線片方對

稱，函數(shù)月(X)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.取符合題意的一個函數(shù)/(x)=l(%WR),則.*0)=1,

排除A；

取符合題意的一個函數(shù)?r)=sinnx,

則/(X)=7TCOS7UC,即g(X)=7CC0SKX,

所以g(—1)=兀cos(一兀)=-兀，g(2)=兀cos2兀=元，

所以g(-l)Xg(2),排除D.故選BC.

二級結(jié)論(1)若風(fēng)r+a)=-yU)(或Ax+0=點，其中,工)工0,則/U)的周期為2間.

(2)若y(x)的圖象關(guān)于直線］="和對稱，則人工)的周期為2|〃一辦

(3)若風(fēng)￥)的圖象關(guān)于點3,0)和直線對稱，則危)的周期為4R一夙

跟蹤演練3(1)若函數(shù)_/i.x)=-+aer(q￡R)為奇函數(shù)，則不等式4n力勺(|】n川)的解集為

答案(0,1)

解析易知JU)定義域為R,

又寅力為奇函數(shù)，???/0)=0,得。=一1,

??,/(x)為奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞增，

又川nx)勺

/.Inx<|lnx|,/.Inx<0,/.0<x<l.

(2)(2022?新高考全國II)已知函數(shù)yu)的定義域為R,且?i+)，)+yU-)，)=/(x求)，)，則

宣必)等于()

A.-3B.-2C.0D.1

答案A

解析因為yu)=i,

所以在於+y)+以一了)=力切(y)中，

令y=1,

得於+1)+火x—l)=/UVU),

所以人丫+1)+,人工-1)=八0①

所以人工+2)+久0=/5+1).②

由①②相加，得_/U+2)+J(x—l)=0,

故7U+3)+兀t)=o,

所以次x+3)=~/U),

所以yu+6)=-/U+3)=yu),

所以函數(shù)_/U)的一個周期為6.

在於+丁)+於一)，)=以次V)中，

令y=0,得?r)+?r)=/m求。)，

所以7(0)=2.

令x=y=l,得?2)+的)=*次1),

所以」2)=-1.

由/U+3)=-Ki),

得人3)=一40)=—2,./(4)=—也)=-1,

15)=-/(2)=1,46)=一貫3)=2,

所以/U)+W2)T-----卜葉6)=1-1-2-1+1+2=0,

根據(jù)函數(shù)的周期性知，考”)=川)+人2)+人3)+44)=1-1一2—1=-3,故選A.

專題強化練

一、單項選擇題

1.(2022?哈爾濱檢測)下列既是奇函數(shù)，又在(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.y=sinxB.y=lnx

C.y=tanxD.y=~~

答案D

解析對于A,y=sinx是奇函數(shù)，且在（0,+8）上有增有減，故不滿足；

對于B,y=lnx的定義域不關(guān)于原點對稱，是非奇非偶函數(shù)，故不滿足；

對于C,），=tanx是奇函數(shù)，且在（0,+8）上只有單調(diào)遞增區(qū)間，但不是一直單調(diào)遞增，故

不滿足；

對于D,y=—《是奇函數(shù)，且在（0,+8）上單調(diào)遞增，故滿足.

2.（2022?西安模擬）設(shè)府）=,若府）=3,則x的值為（）

l0g2（A7—1）,A>3,

A.3B.1

C.-3D.1或3

答案B

解析當(dāng)xW3時，令2巾一1=3,解得x=l,

當(dāng)x>3時，令log2（F—l）=3,

解得x=±3,這與Q3矛盾，

/?X=1.

3.（2022?常德模擬）函數(shù)?甘）=普”的圖象大致是（）

VIC

答案C

解析函數(shù)人幻=普粵的定義域為R,

CIC

sin(—TLX)—sin(jLf)

尸產(chǎn)+百=eA+e-x=~^f

即人。是奇函數(shù)，A,B不滿足;

當(dāng)（0,1）時，即0<心<冗，

則sing)>0,而ev4-e-x>0,

因此7U)>0,D不滿足,C滿足.

4.（2022?張家口檢測）已知函數(shù)./U）=Wr，則（）

VI1

A.函數(shù)J5）是奇函數(shù),在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增

B.函數(shù)./U）是奇函數(shù),在區(qū)間（一8,0）上單調(diào)遞減

C.函數(shù)凡r）是偶函數(shù),在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減

D.函數(shù)人r）非奇非偶,在區(qū)間（一8,0）上單調(diào)遞增

答案A

1一」

eA—1ev

解析一大一#=一丁47=一3不7

=

ex_|_|,故J(x)是奇函數(shù).

ev+1-22

v=1

又A)ex+leZH,

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知7U)在R上單調(diào)遞增.

1-x

5.(2021?全國乙卷)設(shè)函數(shù)人")=不，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A.B.7(x-l)+l

c.yu+i)-iD.yu+i)+i

答案B

1—r2—I)2

解析方法一fix)=--r-=；..i,為保證函數(shù)變換之后為奇函數(shù)，需將函數(shù)

1I人1I人1IA

y=/(x)的圖象向右平移一人單位長度，再向上平移一個單位長度，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為

y=/(x—l)+l.

1—x

方法二因為危)=[;，

1-(X-1)2-X

所以yu—1)=

I—(x+l)-X

，心+1)=I+(x+l)=x+2,

2—x2-2x

對于定義域關(guān)亍原點對稱，但不滿足尸(%)=一尸(一

A,F(x)=J(x-\)-1=^—人-1=^人-,

X)；

2—X9

對于B,G(x)=J(x-1)+1=—人1=7人?定義域關(guān)于原點對稱，且滿足G(x)=-G(—x)；

—x—x—v-22v+2

對于C,於+1)-1=1一1=<+2=一宣片定義域不關(guān)于原點對稱；

對于D,兀LH)+I=F+1=—匚廠=%,定義域不關(guān)于原點對稱.

x十2x十2x十2

6.設(shè)定義在R上的函數(shù)/*)滿足人止/(犬+2)=13,若41)=2,則次99)等于()

A.1B.2

C.0D.eq

答案D

解析依題意yu)：/u+2)=13,

13

%+2)=冠，

13

所以/U+4)=/U+2+2)=由百

=爰=流辦

危)

所以_/u)是周期為4的周期函數(shù)，

所以人99)=/(25X4—l)=尺一1)

13_13_13

々7+2)=布

7.已知函數(shù)./U)是定義在(-8,0)U(0,+8)上的偶函數(shù)，且當(dāng)心>0時，貝%)=

(x-2)2,0<rW4,

?1則方程Ax)=l的解的個數(shù)為()

那x—4),A>4,

A.4B.6C.8D.10

答案D

解析由題意知，當(dāng)x>0時，

f(x-2)2,0<xW4,

函數(shù)yu)=(i

那一4),x>4,

作出函數(shù)/U)的圖象，如圖所示，

又由方程兀0=1的解的個數(shù)，即為函數(shù)y=/(x)與y=1的圖象交點的個數(shù)可知，

當(dāng)x>0時，結(jié)合圖象，函數(shù)幻與)，=1的圖象有5個交點，

又因為函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于)，軸對稱，所以當(dāng)大<0時，函數(shù)y=/(x)與y=l的圖

象也有5個交點，

綜上可得，函數(shù),，=兒0與y=l的圖象有1()個交點，即方程<x)=l的解的個數(shù)為10.

8.(2022.河北聯(lián)考)若函數(shù)/(2x+l)a￡R)是周期為2的奇函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是()

A.函數(shù)/U)的周期為4

B.函數(shù)八r)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱

C./2021)=0

D.fl2022)=0

答案D

解析函數(shù)J[2x+I)(x￡R)是奇函數(shù)，

?7/(2r+l)=一4-2x+l)=>

_A2x+l)+A-2.v+l)=0,

???函數(shù)段)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱,故B正確：

???函數(shù)02x+l)(x￡R)的周期為2,

?7/(2。+2)+1)=;(您+1),

即_/(2X+5)=_A2X+1),

.??/)的周期為4,故A正確；

;(202l)=/(4X505+1)=/(1)=0,故C正確；

./(2022)=/(4X505+2)=/(2),無法判斷A2)的值，故D錯誤.

二、多項選擇題

9.下列函數(shù)中，定義域與值域相同的是()

A.y=-B.y=\nx

c]x+1

C.)'=31D-尸—

答案AD

解析對于A,

定義域、值域都為(一8,0)U(0,4-oo),滿足題意；

對于B,定義域為(0,+8),值域為R,不滿足題意;

對于C,定義域為(一8,D)U(0,+8),

又3r>0,且3，華1,

故3，一1>一1,且3,一1X(),故)y-I或)>0,

故值域為(一8,—1)U(O,+8),不滿足題意;

定義域、值域都為(一8,1)U(1,+8),滿足題意.

1,x￡Q,

10.(2022?淄博檢測)函數(shù)D(x)=,被稱為狄利克雷函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是

0,.母Q

()

A.函數(shù)。(幻的值域為[0川

B.若Q(.ro)=l,則。(%+1)=1

C.若。(為)一。(也)=0，則.一M￡Q

D.D(x+y/2)=l

答案BD

解析選項A,函數(shù)。(幻的值域為{()1},A錯誤；

選項B,若。(網(wǎng))=1,則沏￡Q,xo+ieQ,

則。(沏+1)=1,B正確；

選項C,ZX2n）-D（7t）=O-O=O,

但2兀一兀=TT4Q,C錯誤；

選項D,當(dāng)犬=一也時，

O（x+的=0（一也+6）=。（0）=1,

則ZXx+也）=1,D正確.

11.下列可能是函數(shù)五幻=蕓』（其中〃，6c￡（-1,0,1））的圖象的是（）

（X十C）

答案ABC

解析A選項中的圖象關(guān)于），軸對稱，B選項中的圖象關(guān)于原點對稱，兩個選項均可得函數(shù)

的定義域為{小W0},可得c=0,又函數(shù)7U）的零點只能由產(chǎn)生，所以函數(shù)/U）可能沒

有零點，也可能零點是X=—1,0,1,所以A,B選項可能符合條件；

而由D選項中的圖象知，函數(shù)46的零點在（0,1）上，但此種情況不可能存在，所以D選項不

符合條件；觀察C選項中的圖象，由定義域猜想c=l,由圖象過原點得力=0,猜想4=1,

可能符合條件.

12.已知函數(shù)），1）的圖象關(guān)于直線X=-1對稱，且對有x）=4.當(dāng)

x￡（0,2］時，/U）=x+2,則下列說法正確的是（）

A.8是/U）的周期

B.7U）的最大值為5

C./2023）=1

D.yu+2）為偶函數(shù)

答案ACD

解析因為函數(shù)），=/口一1）的圖象關(guān)于直線x=-l對稱，

故人外的圖象關(guān)于直線x=-2對稱，

因為對Vx￡R有＜%）+八一%）=4,

所以函數(shù)y=/U）的圖象關(guān)于點（0,2）成中心對稱，所以八一2+1+2）=/（—2—。+2））,

即大幻=次—4一工）=4-A—x）,

又人—4—x）+_/U+4）=4,

即大一4—x）=4—*x+4）,

所以人工+4）=火-工），

所以貝。+4）+4）=/（—。+4））=/（工），

所以_/U+8）=/U）,

所以8是7U）的周期，故A正確；

又yu+2）=z（—x+2）,故函數(shù)yu+2）為偶函數(shù)，故D正確；

因為當(dāng)x￡（0,2］時，7U）=x+2,

且yu)+y(一工)=4,

則當(dāng)x￡[—2,0)時，一x￡(0,2],

所以火一的=—x+2=4-J(x),

所以_/U)=x+2,

故當(dāng)x￡[—2,2]時，7U)=x+2,

又函數(shù)y=/U)