豐富的圖形世界（10大題型）

劃重點?沖高分4

幾何體的點、棱、面

計算平面圖形旋轉(zhuǎn)后所得立體圖形的體積

計算平面圖形旋轉(zhuǎn)后所得立體圖形的最大體積

常見立體圖形的相關(guān)計算

與展開圖相關(guān)的計算題

題型1幾何體的點、棱、面

1.（2024七年級上?全國?專題練習）已知一個直棱柱，它有18條棱，側(cè)棱長8cm,底面邊長都為5cm.

⑴這個直棱柱是棱柱，它有個面，個頂點；

（2）這個棱柱的所有棱長的和為；

（3）這個棱柱的所有側(cè)面的面積之和是多少？

【答案】（1）六，8,12

（2）108cm

（3）240cm2

【分析】（1）由〃棱柱有3九條棱，有2n個頂點，有（幾+2）個面求解可得；

（2）棱柱的所有棱長和=6個側(cè)棱長+12個底邊長；

（3）將側(cè)面長方形的面積乘以長方形的個數(shù)即可得.

本題考查了〃棱柱有3九條棱，有2〃個頂點，有（九+2）個面，側(cè)面積，棱長，熟練掌握基本內(nèi)涵是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】（1）解：???此直棱柱有18條棱，

???由18+3=6知，此棱柱是六楂柱：這個六棱柱有8個面，有12個頂點；

故答案為：六，8,12.

（2）解：???一條側(cè)棱長為8cm,底面各邊長都為5cm,

???棱柱的所有棱長和=6x84-2x5x6=108（cm）；

故答案為：108cm.

（3）解：這個楂柱的所有側(cè)面的面積之和是8x5x6=240（52）.

2.（2024七年級上?全國?專題練習）如圖，下列幾何體分別是三棱柱、四棱柱、五棱柱，觀察圖形并填

空.

三?校柱四?校柱0五樓柱

（1）三棱柱有一個面，_條棱，一個頂點；

（2）四棱柱有一個面，_條棱,一個頂點；

（3）五棱柱有一個面，_條棱,一個頂點；

（4）猜想：（n>3,且〃為止整數(shù)）棱柱有一個向，_條棱，一個頂點.

【答案】（1）5,9,6

（2）6,12,8

（3）7,15,1（）

（4）（〃+2）,3n,2n

【分析】此題考查了認識立體圖形，熟記常見棱柱的特征，可以總結(jié)一般規(guī)律：/?（n>3,且〃為正整數(shù)）

棱柱有（n+2）個面，3〃條棱，2九個頂點.

（1）結(jié)合圖形及四棱柱的特點即可求解；

（2）結(jié)合圖形及五棱柱的特點即可求解；

（3）結(jié)合圖形及六棱柱的特點即可求解；

（4）由三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱的特點，總結(jié)即可.

【詳解】（1）解：三棱柱有5個面，9條棱，6個頂點；

故答案為：5,9,6；

（2）四棱柱有6個面，12條棱，8個頂點；

故答案為:6,12,8；

（3）五棱柱有7個面，15條棱，10個頂點；

故答案為：7,15,10；

（4）/?（n>3,且〃為正整數(shù)）棱柱有（幾+2）個面，3九條棱，2幾個頂點；

故答案為:（n+2）＞3n,2n.

3.（24-25七年級上-廣東梅州?期中）綜合與實踐

新年晚會是我們最歡樂的時候，會場上，懸掛著五彩繽紛的小裝飾，其中有各種各樣的立體圖形.下面是

常見的一些多面體：

四面體六方體八面體十二面體

操作探究：

（1）通過數(shù)上面圖形中每個多面體的頂點數(shù)"）、面數(shù)（F）和棱數(shù)（E）,填寫下表中空缺的部分:

多面體頂點數(shù)（D面數(shù)⑺棱數(shù)（為

四面體44

六面體86

八面體812

十二面

1230

體

通過填表發(fā)現(xiàn)：頂點數(shù)"）、面數(shù)（尸）和棱數(shù)（E）之間的數(shù)量關(guān)系用式子表示為_____,這就是偉大的數(shù)學(xué)家

歐拉（L.Euler,1707-1783）證明的這一個關(guān)系式.我們把它稱為歐拉公式；

探究應(yīng)用：

（2）已知一個棱柱只有七個面，則這個棱柱是棱柱；

（3）已知一個多面體有16個頂點，并且過每個頂點都有3條棱，求這個多面體的面數(shù).

【答案】（1）填表見解析，V+F—E=2；（2）五；（3）10

【分析】本題考查了多面體與棱柱的認識，點線面體的相關(guān)概念，掌握圖形中各量之間的關(guān)系是解題的關(guān)

鍵.

（1）通過觀察，發(fā)現(xiàn)棱數(shù)=頂點數(shù)+面數(shù)-2；

（2）根據(jù)棱柱的定義進行解答即可；

（3）由（1）得出的規(guī)律進行解答即可.

【詳解】解：（1）填表如下：

多面體頂點數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）

（1）根據(jù)圓柱和圓錐的體積計算公式分別計算出甲、乙兩個立為圖形的體積即可得到答案.

（2）根據(jù)（1）直接求解即可.

【詳解】（1）解：甲的體積為7TX32x6—9X7TX32x（6—3）=457i（cm3）,

乙的體積為加X32X3+1XTTX32X（6-3）=367r（CIN）,

?5

???甲、乙兩個立體圖形的體積不相等，

???同意小紅的說法.

故答案為：小紅

⑵解:黑］

答：甲、乙兩個立體圖形的體積匕是5:4.

5.（24-25七年級上-陜西渭南-期末）如圖是一張長方形紙片，A8的長為4cm,3C的長為6cm.

□

（1）若將此長方形紙片繞它的一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，則形成的幾何體是」（填名稱）

（2）若將這個長方形紙片繞40邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，求形成的幾何體的體積.（結(jié)果保留開）

【答案】（1）圓柱

（2）967r（城）

【分析】本題考查了點、線、面、體，熟練掌握圓柱的特征，以及圓柱的體積計算公式是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)面動成體的原理，將此長方形紙片繞它的一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，則形成的幾何體是圓柱；據(jù)此

即可求解.

（2）根據(jù)題意可得，圓柱的底面半徑為4cm,高為6cm,再根據(jù)圓柱的體積公式進行計算即可解答.

【詳解】（1）解：若將此長方形紙片繞它的一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，則形成的幾何體是圓柱，

故答案為：圓柱；

（2）???長方形紙片繞4。邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，AD=BC=6cm,AB=4cm,

為圓柱體的高力=6cm,48為圓柱體底面圓的半徑r=4cm,

V=7Tx42x6=7rx16x6=967r（cm3）.

6.（24-25七年級上?山東濟南?階段練習）如圖，將平面圖形甲、乙分別繞軸1、m旋轉(zhuǎn)一周，可以得到

立體圖形①、②，圖形甲是直角邊分別為2、2a的直角三角形，圖形乙是長為2、寬為a的長方形.

（1）立體圖形②的名稱是;（答案直接填寫在答題卡的橫線上）

⑵請問立體圖形②比立體圖形。的體積大多少？（用含。和萬的式子表示，V圓惟=如2兒171al枝="2/0

【答案】（1）圓柱；

⑵》Q.

【分析】本題考查了面動成體，圓錐的體積、圓柱的體積等知識點，掌握知識點的應(yīng)用解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)面動成體即可解答；

（2）設(shè)圖形①、②的體積分別為匕、V2,然后分別求得圖形①、②的體積，然后作差即可解答.

【詳解】（1）解：以長方形的邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸得到的立體圖形為圓柱，

故答案為：圓柱；

（2）解：設(shè)圖形①、②的體積分別為七、^2，

則％=1TT-22-2a=a,

V2=n-22-a=4TTQ,

V2—Vy=47ra—緊Q=

即立體圖形②比立體圖形①的體積大，a.

7.（2024七年級上?全國?專題練習）如圖，在直角三角形ABC中，，ACB=90。，邊4c長4c明邊BC長3

cm,AB=5cm,高CD長2.4cm,AD=3.2cmtBD=1.8cm.求此三角形繞著它的邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周,所得幾

何體的體積為多少.

【答案】127rcm3?gl67rcm3^c9.67rcni3

【分析】本題考查了圓錐的體積公式，能根據(jù)已知條件求出旋轉(zhuǎn)后的圓錐的底面半徑和高是解此題的關(guān)鍵.

繞著邊AC旋轉(zhuǎn)，得到一個底面圓半徑為3,高為4的圓錐：繞著邊8c旋轉(zhuǎn)，得一個底面圓半隹半徑為4,

高為3的圓錐；

繞著邊AB旋轉(zhuǎn),得到兩個底面相同的圓錐，底面圓半徑都為24,高分別為3.2和1.8.

【詳解】解：三角形繞著邊AC所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的體積是；X7rx32x4=12ir(cni3)；

三角形繞著邊8c所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的體積是:X71x42x3=16兀(城)；

三角形繞邊力8所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是底面相同的一個正立，一個倒立的圓錐組合體，所以體積

是gx7ix2.42x3.2+/xyrx2.42x1.8=9.67r(cm3).

答：所得幾何體的體積為127rcm3或16?rcm3或9.67rcm3.

題型3計算平面圖形旋轉(zhuǎn)后所得立體圖形的最大體積

8.(24-25六年級上?山東濟寧?階段練習)如圖，以直角三角形的直角邊所在直線為軸把它旋轉(zhuǎn)一周，

得到的幾何體是什么形狀的？它的體積最大是多少？(結(jié)果保留n)

【答案】圓錐，167rcm3

【分析】本題考查了點、線、面、體，要分兩種情況進行計算，根據(jù)圓錐的特征，以及圓錐的體積公式，

進行計算即可解答.

【詳解】解：以直角三角形的直角邊所在直線為軸把它旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體是圓錐，

分兩種情況：

當以48邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的圓錐的體積：|x7rx42x3=167r(cin3)：

當以CA邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的圓錐的體積：gX7TX32x4-127r(cm3)；

綜上所述：它的體積最大是167rcm3.

9.(24-25七年級上?全國?假期作業(yè))如圖，有一個長6cm,寬4cm的長方形紙板，現(xiàn)要求以其一組對邊

中點所在直線為軸旋轉(zhuǎn)180。，可按兩種方案進行操作.

圖⑴圖⑵

方案一：以較長的一組對邊中點所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，如圖(1):

方案二：以較短的一組對邊中點所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，如圖(2).

(1)上述操作能形成的幾何體是,說明的事實是:

(2)請通過計算說明哪種方案得到的幾何體的體積大.

【答案】(1)圓柱體，面動成體

(2)方案一得到的圓柱的體積大

【分析】本題考查點，線，面，體，圓柱體積計算，解題的關(guān)鍵是掌握長方形旋轉(zhuǎn)可得圓柱體.

(1)根據(jù)面動成體解答即可；

(2)先分別求出所得幾何體的體積再比較大小即可.

【詳解】(1)解：???長方形旋轉(zhuǎn)可以得到圓柱，

二上述操作能形成的幾何體是圓柱，說明的事實是：面動成體.

故答案為：圓柱體，面動成體

(2)解：方案一：nxx4=367r(cm3),

方案二：nx(?)X6=247r(cm3),

v367r>24TT,

???方案一構(gòu)造的圓柱體的體積大.

10.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測)有一張直角三角形紙片，它的兩條直角邊分別為a和b(a<b),將這張

直角三角形紙片分別以它的兩條直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到兩個圓錐體(如圖①、?、?.試猜

想哪個圓錐體的體積大，并通過計算證明你的猜想.(注：V=^r2h,共中V為圓錐的體積，r為圓錐的底

【答案】繞邊長為&的直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐的體積較大，見解析

【分析】本題主要考查了平面圖形的旋轉(zhuǎn)、圓錐的體積計算，正確的計算出圓錐的體積并比較它們的大小

是解題的關(guān)鍵.

分別計算出繞邊長為b的直角邊旋轉(zhuǎn)一周時，得到的圓錐的體積；繞邊長為a的直角邊旋轉(zhuǎn)一周時，得到的

圓錐的體積，然后再比較它們的大小即可得出結(jié)論.

【詳解】解：繞邊長為。的直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐的體積較大，理由如下：

繞邊長為b的直角邊旋轉(zhuǎn)一周時，得到的圓錐的底面半徑為匹稻為b,

則該圓錐的體積為：無小山

繞邊長為a的直角邊旋轉(zhuǎn)一周時，得到的圓錐的底面半徑為瓦高為a,

則該圓錐的體積為：囪/。，

：.^na2b-^nb2a=^nab(a-b),

,：a<b,

G—b<09

：.jtab(a-b)<0,

即加12b<1b2Q,

故繞邊長為a的直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐的體積較大.

11.(24-25七年級上?河南?階段練習)如圖①，是一個兩直角邊長分別為3,4的直角三角形，按如圖②

以邊長為4的直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周；按如圖③過邊長為3的直角邊所對的頂點且與邊長為3的直

角邊平行的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到兩個不同的幾何體.試猜想哪個幾何體的體積更大，并通過計算證明

自己的猜想.(V網(wǎng)柱"Jir2h,V■回錐二：“=2h)

【答案】圖③中圓錐的體積更大，理由見解析

【分析】此題考杳了點、線、面、體中的面動成體，解題關(guān)鍵是：分兩種情況分別計算幾何體的體積，再

比較大小即可.

【詳解】解：圖3中圓錐的體積更大.

設(shè)圖②中圓錐的體積為％，圖③中圓錐的體積為卜2，

則％=；JI-32-4=12n,

22

V2=兀x4x3-yx3x4=32n.

???力＜匕，

???圖③中圓錐的體積更大.

題型4常見立體圖形的相關(guān)計算

12.（24-25七年級上-陜西西安?期中）小麗利用硬紙板制成了一個底面邊長都是4cm、側(cè)棱長是6cm的直

五棱柱形筆筒（有蓋）.

（1）這個五棱柱有多少個面？它的側(cè)面是什么形狀？這個五棱柱--共有多少條棱？

（2）這個五棱柱所有側(cè)面的面積之和是多少？

【答案】（1）這個五棱柱有7個面，五棱柱每個側(cè)面為長方形，一共有15條棱.

（2）這個五棱柱所有側(cè)面的面積之和是120cm2.

【分析】本題考查了棱柱的特征，側(cè)棱，側(cè)面積：

（1）直接根據(jù)五棱柱的特征，即可求解.

（2）根據(jù)側(cè)面是長方形，側(cè)面長方形的長為6cm,寬為4cm.

【詳解】（1）根據(jù)題意，這個五棱柱有7個面，五棱柱每個側(cè)面為長方形，一共有15條棱.

（2）側(cè)面長方形的長為6cm,寬為4cm.

5x6x4=120（cm2）.

所以，這個五棱柱所有側(cè)面的面積之和是120cm2.

13.（24-25七年級上?山西太原?階段練習）有一個硬紙做成的禮品盒（結(jié)果保留兀）

（1）做這樣一個禮品盒至少要硬紙多少平方厘米？

⑵這個禮品盒的體積是多少？

【答案】（1）做這樣一個禮品盒至少要硬紙4507r平方厘米

⑵這個禮品盒的體積是1000/T立方厘米

【分析】本題考查了幾何體的表面積和圓柱體的體積，解題的關(guān)鍵是掌握幾何體的表面積和圓柱體的體積

計算公式.

（1）根據(jù)幾何體的表面積計算即可；

（2）根據(jù)圓柱體的體積公式計算即可.

【詳解】（1）解：由題意，得：

40X107T+27TX（y）=450兀（平方厘米）；

答：做這樣一個禮品盒至少要硬紙4507r平方厘米.

（2）407rx咨）=10007r（cni3）：

答：這個禮品盒的體積是1000兀立方厘米.

14.（23-24七年級上-陜西咸任?階段練習）小明利用星期天制作了一個底面邊長都為4cm,側(cè)棱長為

16cm的五棱柱形的無蓋筆筒.

（1）這個五棱柱筆筒的外部共有多少個面？多少條棱？

⑵制作這個筆筒的側(cè)面至少需要多少平方厘米的材料？

【答案】⑴6個;15條

（2）320cm2

【分析】本題考查了棱柱的特征，側(cè)棱，側(cè)面積，熟練掌握棱柱的特征是解題的關(guān)鍵，

（1）直接根據(jù)五棱柱的特征，即可求解.

（2）根據(jù)側(cè)面是矩形，底面每條邊長相等且等于4cm,側(cè)棱為16cm,即可求解.

【詳解】（1）根據(jù)題意，得這個五棱柱筆筒的外部共有6個面，15條棱.

（2）由題意得：此五棱柱每個側(cè)面為長方形，側(cè)棱為16厘米，底面邊長為4厘米，有5個側(cè)面，

.,.4x16x5=320（cm2）＞

答：制作此筆筒的側(cè)面需要320cll2的材料.

15.（22-23六年級-上海?假期作業(yè)）淘氣和笑笑去參觀溫室無土蔬菜養(yǎng)植園.

X

<—33.12dm—?

圖1圖2

（1）養(yǎng)植園是個長方形，畫在1：10。0的圖紙上，長10cm,寬3cm,這個養(yǎng)植園實際的長和寬各是多少米？

（2）養(yǎng)植園外形是一個半圓柱形（如圖1）,半圓柱形外覆蓋了一層塑料薄膜，需要多少平方米的塑料薄

膜？

（3）利用如圖2中的陰影部分鐵皮，剛好能做成一個園區(qū)內(nèi)的圓柱形營養(yǎng)液蓄儲桶（接口處忽略不計），這

個營養(yǎng)液蓄儲桶的容積是多少？

【答案】（1）100米；30米

（2）5416.5平方米

（3）803.84升

【分析】（1）根據(jù)實際距離等于圖上距離除以比例尺，進行換算即可；

（2）養(yǎng)殖園的長等于圓柱的高，養(yǎng)殖園的寬等于圓柱底面直徑，塑料薄膜面積等于圓柱底面積和側(cè)面積的

和除以2,據(jù)此列式解答；

（3）圓柱側(cè)面沿高展開是個長方形，觀察可知，長方形的長等于圓柱底面周長，底面直徑乘以2等于圓柱

的高，設(shè)底面直徑是x分米，根據(jù)底面直徑加底面周長等于33.12分米，列出方程求出底面直徑，再根據(jù)

圓柱體積等于底面積乘以高，求出容積即可.

【詳解】（1）解；104--^=10x1000=10000cm=100m,

3+=3x1000=3000cm=30m,

答：這個養(yǎng)植園實際的長和寬各是100米、30米：

（2）解：3.14x（30+2）2+3.14x30x100+2

=3.14X152+4710

=3.14x225+4710

=706.5+4710

5416.5（平方米）

答：需要5416.5平方米的塑料薄膜：

（3）解：解：設(shè)底面直徑是x分米，

x+3.14x=33.12

4.14x=33.12

4.14%+4.14=33.12+4.14

x=8

3.14x（8+2/x（8x2）

=3.14x42x16

=3.14x16x16

=803.84（立方分米）

=803.84（升）

答：這個營養(yǎng)液蓄儲桶的容積是803.84升?.

【點睛】關(guān)鍵是掌握圖上距離與實際距離的換算方法，熟悉圓柱特征，掌握并靈活運用圓柱表面枳和體積

公式.

題型5與展開圖相關(guān)的計算題

16.（24-25七年級上-陜西漢中?期末）寧興紙箱廠生產(chǎn)的長方體紙箱表面展開圖如圖所示，工廠工人準

備將這個表面展開圖折疊成一個長方體紙箱.若AE=CM=12cm,LE=2cm,KL=4cm,求這個長方體的

表面積和體積.

MN

【答案】表面積為112cm2,體積為64cm3

【分析】本題主要考查了長方體的展開與折疊，

先求出C”，即可知折疊為長方體的長、寬、高分別為8cm,4cm,2cm,再根據(jù)長方體的表面積和體枳公式

得出答案.

【詳解】解：由4E=CM=12cm,KL=4cm,可得CH=CM—LK=12—4=8cm,

長方體的表面積:2X（8x4+2x44-2x8）=112cm2,

體積:4x8x2=64cm3.

17.（24-25七年級上-廣東深圳?期中）如圖，是一個幾何體的表面展開圖：

木3米

閑_________弊43米港

2米

/卜

3米

（1）請說出該幾何體的名稱__________;

（2）用一個平面去截該幾何體，截面形狀可能是（填序號）

①三角形；②四邊形；③五邊形；④六邊形；⑤七邊形；

（3）求該幾何體的表面積；

（4）求該幾何體的體積.

【答案】（1）長方體

⑵?④

（3）22m2

（4）6m3

【分析】本題主要考查長方體的展開圖及其表面積與體積的計算方法，用平面截圖的方法等，熟練掌握長

方體的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

（1）直接根據(jù)幾何體的展開圖判斷即可；

（2）根據(jù)長方體有六個面，用平面去截長方體時最多與六個面相交得六邊形，最少與三個面相交得三角形

即可得出結(jié)果：

（3）利用長方體的表面積計算公式求解即可；

（4）利用長方體的體積計算公式求解即可.

【詳解】（1）解：?.?兒何體的展開圖共有6個面，

且各面都是長方形，

，此幾何體為長方體.

（2）解：???長方體有六個面,

???用平面去截長方體時最多與六個面相交得六邊形，

最少與三個面相交得三角形，

???用一個平面去截長方體，

截面的形狀可能是三角形、四邊形、五邊形、六邊形，

???截面形狀可能是①@③④.

(3)解：5=1x3x24-1x2x2+3x2x2=22(m2),

???表面積是22m2.

⑷解：17=1x2x3=6(m3),

?,?體積是6m3.

18.(24-25七年級上?河南鄭外'?期中)綜合與實踐

主題：制作盒子.

情境：在學(xué)校的勞技課上，老師要求同學(xué)們利用手頭的材料制作一個長方體盒子，用于存放學(xué)習用品.

素材：?塊長方形硬紙板和熱熔膠.

步驟1：把這塊長方形硬紙板的匹個角(虛線)都剪去一個長方形(如圖1)：

步驟2：再折疊成一個長方體盒子(如圖2),用熱熔膠把邊粘起來.

問題解決：圖2是形狀為K方體的某種包裝盒,它的長：寬：舟=3:2:1.5,其展開圖如圖1所示(不包含包

圖1圖2

(1)設(shè)該包裝盒的長為6分米，則展開圖中MN的長度為分米；

(2)若該包裝盒的長為a分米，求該包裝盒的體積；

(3)若MN的長度為45分米，現(xiàn)對該包裝盒外表面涂色(含底面)，且每平方分米涂料的價格為0.15元，求

整個包裝盒外表面涂色的費用是多少元？

【答案】(1)18

⑵款

(3)101.25元

【分析】(1)根據(jù)長：寬：高二3:2:1.5,設(shè)長為則寬為"，高為1.5羽結(jié)合

包裝盒的長為6分米，得到3%=6,根據(jù)題意，得展開圖中MN的長度為3x+3%+1.5xx2=9%,代入解答即

可;

（2）根據(jù)長:寬：高=3:2:1.5,設(shè)長為3%,則寬為2%,高為1.5工，結(jié)合

包裝盒的長為a分米，得到3%=a,解得％=會繼而得到，寬，高，計算體積即可；

（3）根據(jù)長：寬：高=3:2:1.5,設(shè)長為3%,則寬為2%,高為1.5七根據(jù)題意，得展開圖中MN的長度為3x+

3x+1.5xx2=9%,結(jié)合MN的長度為45分米，得到9%=45,確定長，寬，高，根據(jù)表面積計算公式解答

即可.

【詳解】C）解：根據(jù)長：寬：高-3:2:1.5,不妨設(shè)長為3x,則寬為2x,高為1.5x,

???包裝盒的長為6分米，

.'.3x=6,

解得產(chǎn)2,

根據(jù)題意，得展開圖中MN的長度為3x+3x+1.5xx2=9x,

故我=18（分米），

故答案為：18.

（2）解：根據(jù)長:寬:高=3:2:1.5,設(shè)長為3%,則寬為2%,高為1.5%,

???包裝盒的長為a分米，

3x=a,

解得乃=%

O1

，寬為2%=§a,高為1.5%=5。，

；?長方體的體積為：a-|a-1a=（立方分米）.

（3）解：根據(jù)長:寬：高=3:2:1.5,設(shè)長為3x,則寬為2%,高為1.5%,根據(jù)題意，得展開圖中MN的長度為

3x43x4-1.5%x2=9%,

???MN的長度為45分米，

A9x=45,

解得％=5,

:.長為3%=15,寬為2%=10,高為1.5%=7.5,

故長方體的表面積為：15x10x2+15x7.5x2+7.5x10x2

=675（平分分米），

故整個包裝盒外表面涂色的費用是：0.15x675=101.25（元）.

【點睛】本題考查了幾何體的展開圖，幾何體的體積，表面積，生活應(yīng)用，熟練掌握幾何體的展開，計算

是解題的關(guān)鍵.

19.（24-25七年級上?遼寧鐵嶺?期中）【問題情境】

《制作無蓋的長方體紙盒》是北師大版七上的課題學(xué)習，某綜合實踐小組在學(xué)習了這一課后，開展了“長

方體紙盒的制作”實踐活動.

【問題解決】

（1）如圖所示圖形中，是無蓋正方體的表面展開圖的是（填序號）

①②③④

（2）綜合實踐小組利用邊長為30cm的正方形紙板制作出兩種不同方案的長方體盒子（圖1）為無蓋的長方

體紙盒,圖2為有蓋的長方體紙盒）.問答下列問題：

圖1圖2

①圖1方式制作一個無蓋的長方體盒子的方法：先在紙板四角剪去四個同樣大小邊長為5cm的小正方形，再

沿虛線折合起來.則長方體紙盒的底面周長為多少cm?

②圖2方式制作一個有蓋的長方體紙盒的方法：先在紙板四角剪去兩個同樣大小邊長為5cm的小正方形和兩

個同樣大小的小長方形，再沿虛線折合起來.則該長方體紙盒的體積為多少cnF?

【問題進階】

（3）若一個無蓋長方體的長、寬、高分別為6、4、3,它缺一個長為6、寬為4的長方形底面，將它的表

面沿某些棱剪開，展開成一個平面圖形，請直接寫出長方體表面展開圖的最大外圍周長.

【答案】（1）①③④：（2）①長方體紙盒的底面周長為80（cm）；②長方體紙盒的體積為1000（cm3）；（3）

58（cm）

【分析】本題考查簡單幾何體的展開圖，熟練根據(jù)簡單幾何的展開圖得出長方體的長寬高是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)無蓋正方體紙盒的面數(shù)和構(gòu)成求解；

（2）①根據(jù)正方形周長公式即可得解；

②根據(jù)長方體的體積公式即可得解：

(3)根據(jù)邊長最長的都剪，邊長最短的剪得最少，露出外圍的邊都是長邊，邊長最短的都剪，邊長最長的

不剪，露出外圍的邊都是短邊，據(jù)此可得答案.

【詳解】(1)根據(jù)展開圖的折疊，

②只能折成4個面，①③④才能折成一個無蓋正方體紙盒，

故答案為：①③④；

(2)①長方體紙盒的底面周長為：(30-2x5)x4=80(cm)；

②長方體紙盒的長：30-5-5=20(cm),

???正方形紙板的邊長由空白的兩個小長方形的寬和空白的兩個大長方形的寬組成，

，寬二(30-2x5)+2=10(cm),

，該長方體紙盒的體積為：20x10x5=1000(cm3)：

(3)如圖所示，

4

6

__646

3||

，該長方體表面展開圖的最大外圍周長為：6x64-4x4+3x2=58(cm).

20.(24-25七年級上-廣東東莞?期末)綜合與實踐

問題情景：學(xué)校綜合實踐小組進行廢物再利用的環(huán)保小衛(wèi)士行動，他們準備用廢棄的宣傳單制作裝垃圾的

無蓋紙盒.

操作探究：

(1)若準備制作一個無蓋的止方體紙盒，圖中的_____經(jīng)過折疊能圍成無蓋正方體紙盒；

rFHAATIrrm

ABCD

(2)如圖，是小明的設(shè)l|圖，把它折成無蓋正方體紙盒后與“保”字相對的字是—

保小衛(wèi)士

(3)如圖，有一張邊長為30cm的正方形廢棄宣傳單，張樂準備將其四角各剪去一個小正方形，折成無蓋長

方體紙盒：

①請你在圖中畫出示意圖，用實線表示剪切線，虛線表示折痕；

②若四角各剪去了一個邊長為4cm的小止方形，求這個紙盒的體枳.

【答案】（DC

⑵衛(wèi)

⑶①畫圖見解析：②這個紙盒的體積為1936cm3.

【分析】本題考查正方體的表面展開圖、正方體相對兩面上的字.

（1）根據(jù)正方體的折疊，可得有5個面，依據(jù)正方體的展開圖可得答案；

（2）根據(jù)正方體的表面展開圖的特征，得出答案；

（3）①畫出相應(yīng)的圖形即可；②直接根據(jù)體積公式計算即可.

【詳解】（1）解：???制作一個無蓋的正方體紙盒，

???展開圖有5個面，選項B不符合題意；

再根據(jù)正方形的展開圖的特征，可得選項A和選項D不符合題意，選項C符合題意；

故選C；

（2）解：正方體的平面展開圖中，相對的面中間必須隔著一個正方形，所以“?！弊窒鄬Φ淖质恰靶l(wèi)”

故答案為：衛(wèi)；

（3）解：①所畫出的圖形如圖所示：

JTZZL

II

II

II

II

II

II

II

eI

n......r

②當小正方形的邊長為為4cm時，

紙盒的底面積為（30-2x4）2=484cm2

紙盒的體積為4x484=1936cm3

答：這個紙盒的體積為1936cm3.

21.（24-25七年級上?河南鄭州?期中）【問題情境】某綜合實踐小組計劃進行廢物再利用的環(huán)保小衛(wèi)士

活動.他們準備用廢棄的宣傳單制作成裝垃圾的無蓋紙盒.

日開缶。國

ABcD1J□------------

圖⑴圖⑵圖⑶

【操作探究】

(1)若準備制作一個無蓋的正方體紙盒，如圖(1),圖形一經(jīng)過折疊能圍成一個無蓋正方體紙盒.(填A(yù),B,

C,或D)

⑵如圖(2)是小明的設(shè)計圖，把它折成一個無蓋正方體紙盒后與“保”字所在面相對的面上的文字是

(3)如圖(3),有一張邊長為20cm的正方形廢棄宣傳單，小華將其四個角各剪去一個邊長為4cm小正方形后，

折成無蓋長方體紙盒.求這個無蓋長方體紙盒的底面積和容積.

【答案】(1)C

⑵衛(wèi)

(3)這個尢蓋長方體紙盒的底面積為144cm?,容積為576cnP

【分析】本題主要考查了正方體的展開和折疊，

對于(1),根據(jù)正方體的折疊逐項判斷：

對于(2),將正方體折疊可得各面相對的字，進而得出答案；

對于(3),畫出示意圖，再根據(jù)面積和體積計算公式計算即可.

【詳解】(1)要圍成一個無蓋正方體紙盒，說明展開圖有5個面，選項A不能制作成無蓋正方體紙盒：選

項B有4個面，不符合題意：選項D有6個面，不符合題意，只有選項C中的圖形符合題意.

故選:C.

(2)將正方體折登可知“小”字對“環(huán)”字，“?！弊峙c“衛(wèi)”字.

故答案為：衛(wèi)；

(3)正方形四個角各剪去一個小正方形后，如圖所示.

因為剪去的小正方形的邊長為4cm,

所以無蓋長方體紙盒的底面積為(20-2x4)x(20-2x4)=144(cm2),容積為4x144=576(cm3).

答：這個無蓋長方體紙盒的底面積為144cm2,容積為576cm\

題型6畫三視圖

畫一個幾何體的三視圖時，要從三個方面觀察匚何體，

1)確定主視圖的位置.畫HI主視圖：！

2)在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長對正”；！

3)在主視圖的正右方畫出正視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.；

【注意】幾何體上被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線應(yīng)畫成虛線，看得見的部分的輪廓線應(yīng)畫成

實線.I

■■■?■■■■■MB?■■■■0■MM--MM■■■■■*■MM-?■(■■■■■■-MBB

22.(2025七年級上-廣東-專題練習)用7個棱長1分米的正方體拼成一個幾何體，按圖1的方式擺放在

桌面上.

1dm

從前面看從上面看從左面看

圖1圖2

⑴這個幾何體覆蓋桌面的面積是()平方分米.

(2)在這個幾何體上又添加了兩個棱長1分米的正方體，得到一個新的幾何體.從新幾何體的前面看到的圖

形如圖2,從上面看到的圖形和原來一樣.在方格紙上畫出從新幾何體的上面和左面看到的圖形.

【答案】⑴5

(2)畫圖見解析

【分析】本題考查了從不同方向看幾何體，正確識圖是解題的關(guān)鍵.

(1)畫出從上面看到的圖形，再求出面積即可：

(2)由題意可知，添加的兩個正方體一個放在左邊第一列第一排，另外一個放在右邊第一列正方體上，據(jù)

此畫出圖形即可；

【詳解】(1)

解：從上面看立體圖形是

?.?正方體每個面的面積是1X1=1（平方分米,

???幾何體覆蓋桌面的面積是1X5=5平方分米,

故答案為:5；

（2）解：畫圖如下：

1dm

23.（24-25七年級上-山東威海?期末）如圖所示的幾何體，由五個大小相同的小正方體搭成.

正面

（D分別畫出從正面，左面和上面看到的該幾何體的形狀圖：

（2）當去掉一個小正方體時，剩余部分從左面看形狀沒有改變（填寫圖中小正方體的序號）.

【答案】（1）圖見解析

⑵②

【分析】本題考查從不同方形看幾何體：

（1）分別畫出從前面，左面和上面看到的圖形即可；

（2）根據(jù)從左面看的形狀不變，進行判斷即可.

【詳I解】（n1）解：由題意由，作圖如下：11cBi

從正面看M左面啟從卜而看

（2）由圖可知：去掉①或③時，從左面看的形狀都會發(fā)生改變，去掉②時，形狀不變,

故答案為：②.

題型7根據(jù)已知視圖，確定幾何體含小正方體個數(shù)

■"""-W-MM-W-MM-MB-MM-■MM*-MM-■MM-MM--W■MM-MM■■■■-MM■*■

g@0

i）根據(jù)主視圖，從左到右數(shù)出每列中的小正方形個數(shù)，在俯視圖從左到右對應(yīng)的列中的每個小正方形內(nèi)i

I

埴人相應(yīng)的數(shù)字：

2）根據(jù)左視圖，從左到右數(shù)出每列中的小正方形個數(shù)，在俯視圖從上到卜對應(yīng)的行中的每個小正方形內(nèi)；

I

也填入相應(yīng)的數(shù)字；；

3）將這些數(shù)字相加就得到組成幾何體的小正方體的個數(shù).i

I

24.（24-25七年級上?陜西咸陽?期末）如圖是由若干個相同的小正方體搭建而成的幾何體從三個方向看

到的圖形，請你在從上面看到的圖形中寫出對應(yīng)位置小正方體的個數(shù).

從正面看從左面看從上面看

【答案】見解析

【分析】本題考查了從不同方向看幾何體的知識，解決本類題目不但有豐富的數(shù)學(xué)知識，而且還應(yīng)有一定

的空間想象能力.由上面看可得該組合幾何體最底層的小木塊的個數(shù)，由從正面看和從左面看可得第二層

和第二層小木塊的個數(shù)，依此將得到的正方體的個數(shù)在圖上標出來即可；

【詳解】解：???從上面看有5個正方形，

???最底層有5個正方體小木塊，

由從正面看和從左面看可得第二層有2個正方體小木塊，第三層有1個正方體小木塊，

.從上面看

25.（24-25七年級上-陜西咸陽?期末）如圖是由若干個大小相同的小立方塊搭成的幾何體從上面看到的

形狀圖，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置上的小立方塊的個數(shù)，請畫出從正面和從左面看到的這個兒

何體的形狀圖.

從正面看從左面看

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了畫從正面和從左面看到的幾何體的形狀圖.根據(jù)題意利用空間想象能力觀察得到

本題答案即可.

【詳解】解：???從正面看有3列，最左邊一列有4個正方形，中間一列有2個正方形，最左邊一列有2個

正方形，從左面看有3列，最左邊一列有2個正方形，中間?列有4個正方形，最右邊一列有1個正方形,

，從正面和從左面看到的這個幾何體的形狀圖，如圖所示:

從正面看從左面看

26.（24-25六年級上-山東泰安?期末）如圖是由幾個小立方塊所搭成的幾何體從上面看到（I勺形狀圖，小

正方體中的數(shù)字表示在該位置小立方塊的個數(shù)，請畫出這個幾何體的從正面，從左面看到的形狀圖.

【答案】見解析

【分析】本題考查不同方向看幾何體.由已知條件可知，從正面看有3歹IJ,每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為3,

2,4；從左面看有3歹ij,每列小正方形數(shù)目分別為2,4,3.據(jù)此可畫出圖形.由從上面看的形狀圖及小正

方形內(nèi)的數(shù)字，可知從正面看的列數(shù)與從上面看的列數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為從上面的形狀圖中該

列小正方形數(shù)字中的最大數(shù)字.從左邊看的列數(shù)與從上面看的行數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為從上面看

的中相應(yīng)行中正方形數(shù)字中的最大數(shù)字.

27.(24-25六年級上-山東泰安?期末)一個幾何體由10個大小相同的小立方塊搭成，從上面觀察這個

幾何體，看到的形狀如圖所示.其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方塊的個數(shù).

(1)當1時，y的值為_____;

(2)當x=3時，請在網(wǎng)格中畫出從正面、左面看到的這個幾何體的形狀圖；

【答案】⑴3

(2)見解析

【分析】此題考查從不同方向看幾何體，求幾何體的表面積.

(1)由y=—解答即可；

(2)由已知條件可知，正面看有3歹IJ,每列小正方形數(shù)目分別是2,3,3,從左面看，有2列，每列小正

方形數(shù)目分別是3,3畫出圖形即可；

(3)根據(jù)幾何體的表面積解答即可.

【詳解】(1)解：當％=1時，y=10-l-l-2-2-l=3,

故答案為：3；

(2)當％=3時，y=10-1-1-2-2-3=1,

題型8由俯視圖、左視圖(或主視圖)確定小正方體最多的個數(shù)

00@百

1）若已知左視圖和俯視圖，將左視圖中每一列小正方形的個數(shù)慎入俯視圖中對應(yīng)行的每個小正方形內(nèi)，Ii

此時俯視圖的每個小正方形內(nèi)都填入了1個數(shù)字，將這些數(shù)字相加就得到所求的最多個數(shù).!

2）若已知主視圖和俯視圖，將主視圖中每一列小正方形的個數(shù)滇入俯視圖中對應(yīng)列的每個小正方形內(nèi)，

I

此時俯視圖的每個小正方形內(nèi)都填入了1個數(shù)字，將這些數(shù)字相加就得到所求的最多個數(shù).

28.（24-25七年級上-陜西咸陽-期中）用若干個形狀大小相同的小正方體搭成一個幾何體，從正面、上

面看到的形狀圖如圖所示，問：搭成這樣的幾何體，最少需要多少個小正方體？最多需要多少個小正方

體？

從正面看從上面看

【答案】最少需要9個小正方體？最多需要13個小正方體.

【分析】本題考杳從不同方向看幾何體.根據(jù)從正面看和從上面看得到的圖形在從上面看的佟形上標上所

有位置小正方體的個數(shù)，進行計算即可得答案.

【詳解】解：個數(shù)最少時：如圖（圖不唯一）；

從上面看2+1+2+14-3=9；

個數(shù)最多時：如圖:

從上面看2+2+3+3+3=13；

答：最少需要9個小正方體，最多需要13個小正方體.

29.（2024七年級上-全國?專題練習）易錯題從正面和上面看到的用大小相同的小立方塊搭成的幾

何體的形狀圖如圖所示.

從正面看從上面看

(1)這樣的幾何體有多少種？

(2)它最多需要多少個小立方塊？最少需要多少個小立方塊？

(3)分別畫出需要小立方塊最少和最多時，從左面看到的幾何體的形狀圖.

【答案】(1)3種

⑵最多8個，最少7個

(3)見解析

【分析】本題考查了從不同方向看幾何體.

(1)根據(jù)從正面和上面看到的形狀求解即可；

(2)根據(jù)第2列小立方塊的個數(shù)即可求解；

(3)根據(jù)從左面看的情況分別畫出需要小立方塊最少和最多時的情況即可.

【詳解】(1)解：第2列小立方塊前面1個，后面2個；第2列小立方塊前面2個，后面1個；第2列小

立方塊前面2個，后面2個；故這樣的幾何體有3種；

(2)解：它最多需要3+2+2+1=8個小立方塊；最少需要3+2+1+1=7個小立方塊；

(3)解:如圖所示:

最少最多

30.(24-25六年級上-山東煙臺?期末)如圖，是由幾個大小相同的小立方塊所搭成的幾何體從上面看到

的形狀圖，小正方形中的數(shù)字表示這個位置小立方塊的個數(shù).

21

322

(1)請畫出從正面和左面看到的這個幾何體的形狀圖；

(2)要保持從正面和左面看到的形狀圖不變，最多可以再添加個這樣的小立方塊.

【答案】(1)見詳解

⑵3

【分析】本體主要考查了從不同方向看幾何體.

（1）直接利用圖中所標數(shù)字進而得出從正面和左面看到的這個幾何體的形狀圖:

（2）直接利用從正面和左面看到的這個幾何體的形狀圖得出最多的排列方式.

【詳解】（1）解：從正面和左面看到的這個幾何體的形狀圖如下：

（2）解：如果保持從正面看到的和從左面看到的形狀圖不變，則需最多在右上角加1個小立方塊，在

左上角和右上角的中間最多加2個小立方塊，則最多加3個小立方塊.

31.（24-25七年級卜?重慶?期?末）【問題情境】元旦節(jié),班級需要進行文化布置，各個學(xué)習小組分T制

作裝飾品：

（1）小穎所在的綜合實踐小組準備制作一些無蓋正方體紙盒收納班級講臺上的小物件.圖1中的哪些圖形經(jīng)

過折疊能圍成無蓋正方體紙盒？______（填序號）.

①②③④

圖1

（2）小志組準備制作一個有蓋的大正方體盒子，他們先用5個大小一樣的正方形制成如圖2,3所示的拼接

圖形（陰影部分），經(jīng)折疊后發(fā)現(xiàn)還少一個面，請你在圖2,圖3中的圖形上再各拼接一個位置不同的正方

形（用陰影表示），使新拼接成的圖形經(jīng)過折疊后能成為一個封閉的正方體盒子.

圖2圖3

（3）小亮組制作了若干個小正方體盒子，搭成幾何體的形狀，它從正面和上面看到的圖形如圖4所示，則這

樣的幾何體有種？它最多需要個小立方塊？最少需要個小立方塊？請分另!畫出需要小

立方塊最少時，從左面看到的幾何體的形狀圖.（畫出所有可能的情況）

從正面看從上面看

圖4

【答案】（1）①③④

（2）作圖見解析：（答案不唯一）

（3）3,7,8,作圖見解析

【分析】本題考查了正方體的表面展開圖，從不同方向看立體圖形，掌握正方體的表面展開圖的模型以空

間想象力是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)正方體的展開圖，逐個分析即可求解；

（2）根據(jù)正方體的展開圖每個面都有對面即可解答；

（3）根據(jù)從止面看和上面看得到的圖形，分析第2列小正方體的個數(shù)解答，根據(jù)左視圖的定義即可畫出最

少和最多的情況即可.

【詳解】（1）解：圖①有5個面，可以經(jīng)過折疊能圍成無蓋正方體形紙盒，圖②經(jīng)折疊后有兩個面重復(fù),

因此折疊不能圍成無蓋正方體形紙盒；圖③④有5個面，均可以折疊為無蓋的正方體紙盒，

???經(jīng)過折疊能圍成無蓋正方體紙盒的有：①③④：

故答案為：①③④.

（3）解：第2列小立方塊前面1個，后面2個；第2列小立方塊前面2個，后面1個：第2列小立方塊前

面2個，后面2個；

故這樣的幾何體有3種；

它最多需要3+2+2+1=8個小立方塊；最少需要3+2+1+1=7個小立方塊；

如圖所示：

最少

故答案為：3,7,8.

32.（24-25六年級上?山東煙臺?期中）下圖是由若干個小立方塊所搭建幾何體從正面看與從上面看的形

狀圖.

從正面看從上面看

（1）搭建這個幾何體最少、最多各需多少個小立方塊？搭建這個幾何體需小立方塊最少、最多可能有多種搭

建方式，請你各拿出一種在從上面看的形狀圖的小正方形中用數(shù)字表示該位置所放小立方塊的個數(shù)；

（2）搭建該幾何體有多種搭建方式，請你畫出其中三種從左面看的形狀圖.

【答案】（1）最少需要11個，最多需要17個，畫圖見解析

（2）見解析

【分析】本題主要考查從不同方向看小正方體的搭建的圖形，解題的關(guān)鍵是：

（1）根據(jù)正面圖和上面圖可知，第一層有8個第二層最少有2個，最多有6個，第三層最少有1個，最多

有3個，即可求解；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，在從上面看的形狀圖中標上搭建所需要小正方體的個數(shù)，然后畫出其從左面看的

形狀圖即可.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得第一層有8個第二層最少有2個，最多有6個，第三層最少有1個，最多

有3個，

???搭建這個幾何體最少需要8十2+1=11個、最多需要8十6十3=