微重點(diǎn)5三角函數(shù)中“，°的范圍問(wèn)題

三角函數(shù)中G，夕的范圍問(wèn)題，是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，主要考查由三角函數(shù)的最值(值域)、

單調(diào)性、零點(diǎn)等求口，伊的取值范圍，難度中等偏上.

考點(diǎn)一三角函數(shù)的最值(值域)與電3的取值范圍

例I(1)若函數(shù)府尸$折加一縱心0)在［。，?上的值域是一零1,則3的取值范圍是

()

A.cqB.cq

C.eqD.eq

答案B

解析因?yàn)棰?gt;0,所以當(dāng)聞0,外時(shí)，

冗「兀conn

公丫一片［一不--4J.

又因?yàn)楹瘮?shù)危)=$而(。.￥—5(①>0)在

0,外上的值的是一坐，1,

所以已等-臺(tái)季

3

解得5遼口<3.

(2)已知函數(shù)/(x)=sinQ)x+acos①x(a>0,加>0)的最大值為2,若使函數(shù)人幻在區(qū)間［0,3］上至少

取得兩次最大值，則①的我值范圍是.

答案［京，+8)

解析人工)=sin3+acosCJX

1+a2sin(cwx+^),

因?yàn)?r)gx='I+『=2,?>0,

故a=①

原式為yU)=2sin(tox+W),

當(dāng)段)取到最大值時(shí),s甘=^+2E,kQZ,

當(dāng)x￡［0,3］,凡i)取得兩次最大值時(shí)，女分別為0和1,當(dāng)&=1時(shí)，s+號(hào)巖+2小尸善，

J/V/Ctz

此時(shí)需滿足*W3,

解得①2噂.

規(guī)律方法求三角函數(shù)的最值（值域）問(wèn)題，主要是整體代換cox±s，利用正、余弦函數(shù)的圖象

求解，要注意自變量的范圍.

跟蹤演練I已知函數(shù)以尸sin（s+9）（①>0,磔4）的圖象與直線尸1的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距

離為兀，若對(duì)任意的低，與，不等式人此《恒成立，則8的取值范圍是（）

A.eqB.eq

C.eqD.eq

答案A

解析因?yàn)楹瘮?shù)），=/（x）的圖象與直線），=1的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為兀，所以函數(shù)y=/U）的最

小正周期為T(mén)=兀，所以①=了=2,

所以人幻=sin（2x+u）.

當(dāng)任’1）時(shí),,+0<〃+夕<聾+8.

因?yàn)橐焕顓n號(hào)

所以一五〈五+伊干，6^+^-

又因?yàn)椴坏仁礁秾?duì)任意的.r（=信，§恒成立，

解得它W04

因此°的取值范圍是［古，I.

考點(diǎn)二單調(diào)性與小伊的取值范圍

例2（1）已知函數(shù)"r）=sin（①X+：）（Q>0）在島，目上單調(diào)遞減，則co的最大值為

答案10

解析府）=sin（sx+：

當(dāng)（金，且①＞。時(shí)，

neo,it,TIneo.it

記+i+z＜『不

因?yàn)殪叮┰趨^(qū)間（含，§上單調(diào)遞減，

所以（第+：,詈+彳）￡弓+2也，苧+2E）（攵WZ）,

器+于港+2E（MZ）,

叫,

Tt（f）?7t..37r?___

飛~+WWE+2E（kwZ）,

解得4+32kW（yW10+16?k￡Z）,

因?yàn)棰伲?,從而4WcoW10,

因此，co的最大值為10.

（2）（2022.柳州模擬）若直線r=于是曲線＞,=sin（〃比一也（〃）〉0）的一條對(duì)稱軸，旦函數(shù)y=

sin（s—；）在區(qū)間［o,制上不單調(diào)，則①的最小值為（）

A.9B.7C.11D.3

答案C

解析因?yàn)橹本€l=今是曲線丁=$而（3—；）（加＞0）的一條對(duì)稱軸，貝曲一：=尿+aAez,即

0=4k+3,keZ,

由一得一看WxW瑞,則函數(shù)y=sin（3x-；）在［一看,明上單調(diào)遞增,

而函數(shù)產(chǎn)sin（“T）在區(qū)間［。，制上不單調(diào)，則含哈，解得①＞9,

所以4的最小值為11.

規(guī)律方法若三角函數(shù)在區(qū)間［出加上單調(diào)遞增，則區(qū)間口，勿是該函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間的子集,

利用集合的包含關(guān)系即可求解.

跟蹤演練2已知府尸sin（2x—9）（0〈局在［。，雪上單調(diào)遞增，且危）在（0,芝）上有最小值,

那么＜p的取值范圍是（）

A.eqB.eq

C.eqD.eq

答案B

解析由xW0,三，可得2x—伊￡一夕，竽一夕?

因?yàn)閤￡[O,l],

所以COX—色7171

6,w-6'

因?yàn)?U）在區(qū)間Mi］上有且僅有3個(gè)零點(diǎn),

.rH71...TC19兀

所以可忘/一石汗,

則

2n^co<J~,

又/（｝）=2如】?<。一1）+1,

匕「八？4兀-3Q;n7n

所以于.才一彳氣,

則TWsin售冷）等,

所以一1W2sin（苧一5）+1〈小+1,

即一小+1.

規(guī)律方法已知函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)求口，°的取值范圍問(wèn)題，一是利用三角函數(shù)的圖象求

解；二是利用解析式，直接求函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)即可，注意函數(shù)的極值點(diǎn)即為三角函數(shù)的

最大值、最小值點(diǎn).

跟蹤演練3設(shè)函數(shù)/（x）=sin（s+%>0）,已知於）在［0,2兀］上有且僅有5個(gè)零點(diǎn).給出以

下四個(gè)結(jié)論：

①/U）在（0,2兀）上有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)；

②/U）在（0,2兀）上有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)；

③/U）在僅，高上單調(diào)遞增；

④G的取值范圍是［5，部

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①⑷B.②③C.①②③D.①③⑷

答案D

解析如圖，根據(jù)題意知，XAW2TT<3,根據(jù)圖象可知函數(shù)凡r）在（0,2兀）上有且僅有3個(gè)極大值

點(diǎn)，所以①正確；但可能會(huì)有3個(gè)極小值點(diǎn)，所以②錯(cuò)誤；根據(jù)以W2?！捶福械萟2冗片不

JI"

得號(hào)。瑞，所以④正確；當(dāng)x￡（0,哈）時(shí)，我猶+楙〈希因?yàn)樘?hào)〈口瑞，所以篙

所以函數(shù)4丫）在（（）,聆）上單調(diào)遞增，所以③正確.

專題強(qiáng)化練

1.（2022?安康模擬）已知函數(shù)段尸Aian（s+§（4＞0,口＞0）的圖象向左平移竽個(gè)單位長(zhǎng)度后

與原圖象重合，則實(shí)數(shù)①的最小值是（）

A.eqB.eqC.eqD.8

答案A

解析由題意可知，竽是該函數(shù)的周期的整數(shù)倍，即智界匕kWZ,解得“=竽，&WZ,

又少＞0,故其最小值為京4

2.（2022?湖南六校聯(lián)考）將函數(shù)五幻=3如口一習(xí)的圖象向右平移夕（?！??！簇＃﹤€(gè)單位長(zhǎng)度后得到

g（x）的圖象.若g（x）在（去胡上單調(diào)遞增，則8的取值范圍為（）

A.eqB.eq

C.eqD.cq

答案B

解析,*)=3$m［一看—0

山加5兀4n2兀

當(dāng)不＜1＜^■時(shí)，_§4一《一爐式一如

由0＜3〈冗，得一夕￡（一九，0）,

2兀一,兀2瓦、

7―0￡（一予司,

zs兀y/兀

付不＜力W亍

3.已知①小，函數(shù),幾￥）=5皿（23+彳）在區(qū)間停平）內(nèi)沒(méi)有最值，則口的取值范圍為（

A.eqB.eq

C.eqD.cq

答案C

兀n4女+1

解析由2tox+w=E+],kGZ,得x=，8（,）兀,k?Z,

因?yàn)楹瘮?shù)./U）=sin（2s+；）在區(qū)間一）內(nèi)沒(méi)有最值，

所以對(duì)任意*z,都有需潑&竽），

當(dāng)切=；/=1時(shí)，需尸全住包故選項(xiàng)A,D不正確；

當(dāng)①=段時(shí)，存在左=1使得嗡4=等￡住為，故選項(xiàng)B不正確.

4.（2022?邵陽(yáng)模擬）設(shè)函數(shù)yU）=sin（cox+§（co>0）,已知於）在［一看，上單調(diào)遞增，則fix）

在（0,2昉上的零點(diǎn)最多有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)

C.4個(gè)D.5個(gè)

答案A

冗TJT

解析由-5+2EWcox+dW5+2E,攵￡Z,

得一守+地<4+的，kGZ,

3coco3coco

取2=0,可得奇4磷.

若府）在［一會(huì)用上單調(diào)遞增，

4

解得0<COWQ.

若xW(02r),則①x+?！耆?，2M+,

設(shè)/=3+看，

<71-，兀、

則rtI2"兀+。，

因?yàn)?批+色備誓］

所以函數(shù)尸sin/在值2山幾+阻的零點(diǎn)最多有2個(gè).

所以人處在（0,2兀）上的零點(diǎn)最多有2個(gè).

5.已知函數(shù)/（x）=sin（3+0）（Q?O,lebg），/（一1）=0,/）W/償）恒成立，且府）在區(qū)間

（一有給上單調(diào)，那么下列說(shuō)法中正確的是（）

①存在0,使得yu）是偶函數(shù);

頷。）=僧）；

③①是奇數(shù)；

④3的最大值為3.

A.①②③B.①③

C.②④D.②③

答案D

解析由.借知尸"為函數(shù)段）圖象的一條對(duì)稱軸，

所以知）=/管）.

又“（1=。,

所以與L7=?一（一曰=畀￡Z）,

.2〃十12九n

即丁一?W=Z（〃wz），

即①=2〃+l（〃EZ）.

因?yàn)?U）在（一專，立）上單調(diào)，

所以六拉次一（一黝弋，

所以ft）W8,所以Qmax=7.

因?yàn)閨夕|專

所以（女WZ）,

所以不存在如使得?r）是偶函數(shù).

6.（2022?萍鄉(xiāng)模擬）設(shè)函數(shù)yU）=sin（2￥+；）在區(qū)間［a,a+］上的最大值為M,最小值為小,

則M—m的最小值為（）

A.cqB.cq

yf2

C.1~2Deq

答案B

解析當(dāng)回a,a+同時(shí)，

右+:比/々,2a+1生，

令2x+w=f,2。+山=人,

則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g（/）=sinr在"，力+爭(zhēng)］上的最大值是M,最小值是小，

由正弦函數(shù)性質(zhì)，可知&z）=sin/的周期是2兀，要使得M一機(jī)最小，則g⑺的最大值或最小

值點(diǎn)是區(qū)間［6〃+用的二點(diǎn)，

由周期性，不妨取〃+〃+于=?；颉?/?+,=3兀，即〃=/或仁普，

當(dāng)人=時(shí)，M=l,/〃=si吟=g,M-m=^y

當(dāng)。=個(gè)時(shí)M=W

M—m=y

匹

7.已知函數(shù)/A)=\3sin卬x—cos5(co>0)在0,內(nèi)有且僅有1個(gè)最大值點(diǎn)和3個(gè)零點(diǎn)，則

2

CD的取值范圍是.

答案厚?

解析fix)=y[3sincox-cosCDX

=2sin(s-",,.,(XW，

2b.々13116

conn57tJJ

萬(wàn)飛可

則①的取值范圍是［呈竽）

8.（2022?濟(jì)南模擬）已知函數(shù)_/U）=cos（口x—；）3>0）,則下列說(shuō)法正確的是

（填序號(hào)）

①若將/"）的圖象向左平移;個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與原圖象重合，則①的最小值為4；

②若/6）=/（5），則⑴的最小值為I；

③若府）在（”）上單調(diào)遞減，則①的取值范圍為鳥(niǎo)，1］;

37

④若於）在（多兀）上無(wú)零點(diǎn)，則①的取值范圍）--

24

答案②③

工

解析fix)=CO^COX-jj=cos

2_

=sin，ox+宇)(co>0),