10.8概率統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題

考試要求

1

會(huì)綜合利用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)，解決頻率分布直方圖、回歸模型、獨(dú)立性檢驗(yàn)與分布到的綜

合問(wèn)題.

匡鍵能力提升互動(dòng)探究?考點(diǎn)精講

考點(diǎn)1頻率分布直方圖與分布列的綜合

【例1】為提高學(xué)生的環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)舉辦了一次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，并從所有參賽大

學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)他們的競(jìng)賽分?jǐn)?shù)均分布在［450,950］內(nèi)，根據(jù)調(diào)資的結(jié)

果繪制了競(jìng)賽分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖，如圖所示.分?jǐn)?shù)不低于850分的學(xué)生被稱為“特優(yōu)選

手”.

(1)求。的值，并估計(jì)該校學(xué)生競(jìng)賽分?jǐn)?shù)的第70百分位數(shù)和平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用

該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表〕：

(2)現(xiàn)采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方式從分?jǐn)?shù)在［750,850),［850,950］內(nèi)的兩組學(xué)

生中共抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取4人，記被抽取的4名學(xué)生中“特優(yōu)選手”的人

數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【解】(1)由頻率分布直方圖知(0.0015X2+?+0.0025+0.0010)X100=1=4=0.0035.

設(shè)第70百分位數(shù)為超，前兩組所占頻率為(0.0015+0.0035)X100=0.5,

前三組所占頻率為(0.0015+0.0035+0.0025)X100=0.75,則m位于第三組數(shù)據(jù)中，

所以‘"-65°=750-w=〃?=73o,即第70百分位數(shù)的估計(jì)值為730.

70%-50%75%-70%

平均數(shù)x=(500X0.0015+600X0.0035+700X0.0025+800X0.0015+900X0.0010)

X100=670,

即該校學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)的估計(jì)值為670.

(2)由⑴知分?jǐn)?shù)在［750,850),［850,950］內(nèi)的兩組學(xué)生分別有100X0.0015X100=15：人),

100X0.0010X100=10(人)，

所以各自抽取的人數(shù)分別為10X15=6,10X10=4,

15+1()15+1()

顯然“特優(yōu)選手”有4人,

故X可取0,1,2,3,4,則P(X=())=?=1,尸(X=l)=a，=8,0(*=2)=&了=

CTO14CTO21CTO

/小=*―)嘴=2；0,

所以X的分布列為

X01234

18341

P

1421735210

E(A,)=0X1+1X8+2X3+3X4+4X1=8.

規(guī)律總結(jié)L

高考中常將頻率分布直方圖與分布列等交匯在一起進(jìn)行考查，解題時(shí)要正確理解撅率分

布直方圖，能利用頻率分布直方圖正確計(jì)算出各組數(shù)據(jù).概率問(wèn)題以計(jì)算為主，往往和實(shí)際

問(wèn)題相結(jié)合，要注意理解實(shí)際問(wèn)題的意義，使之和相應(yīng)的概率計(jì)算對(duì)應(yīng)起來(lái).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】某甜品店為了解某款甜品的銷(xiāo)售情況，進(jìn)而改變制作工藝，根據(jù)以往

的銷(xiāo)售記錄，繪制了日銷(xiāo)售量的頻率分布直方圖，如圖所示.假設(shè)每天的銷(xiāo)售量相互獨(dú)立，

用頻率估計(jì)概率.

(1)估計(jì)某一天此款甜品銷(xiāo)售量不超過(guò)60個(gè)的概率.

(2)用X表示在未來(lái)3天里，此款甜品日銷(xiāo)售量超過(guò)60個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布

列和數(shù)學(xué)期望.

(3)該店改變了制作工藝以后，抽取了連續(xù)3()天的銷(xiāo)售記錄，發(fā)現(xiàn)這其中有2()天的銷(xiāo)售

量都超過(guò)7()個(gè)，根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為改變工藝后，此款甜品的銷(xiāo)售情況發(fā)生了變化？請(qǐng)

說(shuō)明理由.

解：(1)設(shè)事件力為“某一天此款甜品銷(xiāo)售量不超過(guò)60個(gè)”，

所以0(4)=(0.01+0.03)X10=0.4.

(2)根據(jù)題意得X~Z?(3,0.6),則

P(X=0)=04=0.064,

P(X=1)=C3X0.6X0.42=0.288,

P(X=2)=C3X0.62X().4=0.432,

P(^=3)=0.63=0.216,

所以X的分布列為

X0123

P0.0640.2880.4320.216

所以￡(A9-0X0.064-lX0.288+2X0.432+3X0.216-1.8.

(3)可以認(rèn)為改變制作工藝后，此款甜品的銷(xiāo)售情況發(fā)生了變化.理由如下：

改變制作工藝前，設(shè)事件C表示“日銷(xiāo)售量超過(guò)70個(gè)”，用y表示30天內(nèi)日銷(xiāo)信量超

過(guò)70個(gè)的天數(shù)，

由頻率分布直方圖可得P(O=0.2,則y?8(30,0.2),

所以E(r)=30X0.2=6<20,

所以可以認(rèn)為改變制作工藝后，此款甜品的銷(xiāo)售情況發(fā)生了變化.

考點(diǎn)2回歸模型與分布列的綜合

【例2】(2025?山東淄博二模)汽車(chē)尾氣排放超標(biāo)是導(dǎo)致全球變暖、海平面上升的重

要因素.我國(guó)近幾年著重強(qiáng)調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大新能源項(xiàng)目的支持力度，積極推動(dòng)新能源汽

車(chē)產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展.某汽車(chē)制造企業(yè)對(duì)某地區(qū)新能源汽車(chē)的銷(xiāo)售情況進(jìn)行調(diào)杳，得到下面的統(tǒng)

計(jì)表：

年份，20202021202220232024

年份代碼X12345

銷(xiāo)量w萬(wàn)輛1012172026

(1)計(jì)算銷(xiāo)量y關(guān)于年份代碼x的樣本相關(guān)系數(shù)尸，并判斷是否可以認(rèn)為y與x有較強(qiáng)的

線性相關(guān)關(guān)系(若川20.75,則認(rèn)為有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系).若是，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回

歸方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)為了解購(gòu)車(chē)車(chē)主的購(gòu)車(chē)種類(lèi)(分為新能源汽車(chē)與傳統(tǒng)燃油汽車(chē))的情況，該企業(yè)調(diào)查

了該地區(qū)4位購(gòu)買(mǎi)新能源汽車(chē)車(chē)主和4位購(gòu)買(mǎi)傳統(tǒng)燃油汽車(chē)車(chē)主，現(xiàn)從這8位購(gòu)車(chē)車(chē)主中隨

機(jī)抽取3位，用X表示抽取的3位購(gòu)車(chē)車(chē)主中購(gòu)買(mǎi)新能源汽車(chē)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布

列與均值.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(xi,y\),(力，J?！?x”，yn),變量x,?的樣本相關(guān)系數(shù)r=

X*y，一心丫

錯(cuò)誤!=7^''-------.n經(jīng)驗(yàn)回歸方程￡=短+。中，3=錯(cuò)誤!=

乙-nx?_Zjy-~"

?

一〃zy

/_|AA

-----------------------,a=y-bx.

個(gè)2-2

【解】⑴由題意得X=1x(l+2+3+4+5)=3,

y=*X(10+12+174-20+26)=17,錯(cuò)誤!仙=295,錯(cuò)誤9=55,錯(cuò)誤『=1609,

一錯(cuò)誤=295TX3XI7=心。-g

55-5X32X1609-5X1724141

因此，銷(xiāo)量y與年份代碼x有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.

0295-5X3X17

)=錯(cuò)誤!==44,

55-45

一

②經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+”中，b=--；----------------。=y-bx.

X--1IJC2

③若隨機(jī)變量X?N(〃，O2),貝|J尸("一(7<X<〃+G*0.6826,尸(〃一2戶六〃+2(7)40.9544,

P(/i-3K—+3a)Q0.9974.

解：(I)依題意，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，且X的可能取值為0,I,2,3,則尸(X

=0)=5,=4?(>=1)=?，=18

?35G35

CIC\\2

P(X=2)==

G-35'

aa1

P(X=3)==

C)"35'

由此可得尸(X=l)=；最大，即X=l的可能性最大，故X最有可能的取值為I.

(2)(i)依題意，y=Qcx兩邊取對(duì)數(shù)，得In_y=cx+lnA,即z=cx+In尤其中工=

32+41+54+68+74+80+92

=63,

7

由提供的參考數(shù)據(jù)，可知c"0.02,

又一0.642=0.02X63+1112,故一扭=一69,所以入七廣？

由提供的參考數(shù)據(jù)，可得2-0.15,故/=0.15Xe03r.

當(dāng)x=60時(shí)，^A=O.I5Xeoo2X6°^O.498,即估計(jì)其績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率為0.498.

(ii)由(i)及提供的參考數(shù)據(jù)可知，產(chǎn)x=63,。="20,

又片20.78,即0.15Xe。吟0.78,可得0.02r21n5.2,即喘;心83.

又〃+。=83,且05—M￥%+。)比0.6826,

由正態(tài)分布的性質(zhì)，得P(x283)=；［l—尸缶一公q+㈤尸;X(1-0.6826)=0.1587,

記”績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率不低于0.78”為事件4則P(4)=P(x283)=0.1587,

所以績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率不低于0.78的概率等于0.1587.

考點(diǎn)3獨(dú)立性檢驗(yàn)與分布列的綜合

【例3】(2024?山共青島三模)為了研究高三年級(jí)學(xué)牛的件別和身高是否低干170cm

的關(guān)聯(lián)性，隨機(jī)調(diào)查了某中學(xué)部分高三年級(jí)的學(xué)生，整理得到如下列聯(lián)表：

身高

性別合計(jì)

低于170cm不低于170cm

女生14519

男生81018

合計(jì)221537

⑴依據(jù)小概率值《=()」的獨(dú)①性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生的性別與身高有關(guān)

聯(lián)？

(2)從身高不低于170cm的15名學(xué)生中隨機(jī)抽取三名學(xué)生，設(shè)抽取的三名學(xué)生中女生人

數(shù)為X,求X的分布列及期望反㈤.

(3)若低于170cm的8名男生身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x=166.5cm,方差為4=9,不低于

170cm的10名男生身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)為V=180cm,方差為s?=18.請(qǐng)估計(jì)該中學(xué)男生身高

數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差.

附：尸=〃(ai)2，〃-+6+c+a

(a+-X。+-+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【解】(1)零假設(shè)：該中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生的性別與身高無(wú)關(guān)聯(lián).

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得

、37X(14X10-5X8)2

/=^3.278>2.7O6=xo.i,

19X18X22X15

由此可知根據(jù)小概率值a=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，零假設(shè)不成立，可以認(rèn)為性別與身高有關(guān)

聯(lián).

(2)由題意，可得隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,則P(X=0)=C?=24,p(.Y=l)

Ch91

_m_45MY_6_QCIO_2O冏丫_八_或_2

"C0-]，"-2)-c-]，。…飛-加，

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

2445202

Lp

91919191

所以期望為fCA^-OX24+1X45+2X20+3X2

91919191

(3)由題意知，18名男生身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)

4S

z=^X166.5+^Xl80=174(cm),

18名男生身高數(shù)據(jù)的方差

；55—-』尸=；［￡(—+-)2+錯(cuò)誤!@

1Ou-J10I|

1-1

一y+y—Z)2］=I［錯(cuò)誤！(為一人)2+8(X—z)2+錯(cuò)誤！(以一y)2十［0()■一Z)

18

]=；X原+(x—z)2]+：x[0+(V—z))=59,

所以估計(jì)該中學(xué)男生身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)為174cm,方差為59.

/規(guī)律總結(jié)

高考中常將獨(dú)立性檢驗(yàn)與分布列等交匯在一起進(jìn)行考查，解決獨(dú)立性檢臉問(wèn)題，要注意

過(guò)好“三關(guān)”：假設(shè)關(guān)、公式關(guān)、對(duì)比關(guān).解決概率問(wèn)題要準(zhǔn)確地把握題中所涉及的事件,

明確所求問(wèn)題所屬的事件類(lèi)型.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】(2024?山東臨沂二模)“趕大集”出圈彰顯了傳統(tǒng)民俗的獨(dú)特魅力.為

了解年輕人對(duì)“趕大集”的態(tài)度(態(tài)度分為非常喜歡和感覺(jué)一般)，隨機(jī)調(diào)查了200位年輕人,

得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如卜面的不完整的2X2列聯(lián)表所示.

對(duì)“趕大集”的態(tài)度

性別合計(jì)

非常喜歡感覺(jué)一般

男性3/100

女性t

合計(jì)60

⑴求/的值，試根據(jù)小概率值。=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為年輕人對(duì)“趕大集”

的態(tài)度與性別有關(guān).

(2)從樣本中篩選出5名男性和3名女性共8人作為代表，這8名代表中有2名男性和2

名女性非常喜歡“趕大集”.現(xiàn)從這8名代表中任選3名男性和2名女性進(jìn)一步交流，記X

為這5人中非常喜歡“趕大集”的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望

參考公式")+/箸篇3+萬(wàn)其中

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

解：(1)由題意可知3f+(60—1)=10(),解得/=20,

零假設(shè)：年輕人對(duì)“過(guò)大集”的態(tài)度與性別無(wú)關(guān)，2X2列聯(lián)表如下:

對(duì)“趕大集”的態(tài)度

性別合計(jì)

非常喜歡感覺(jué)一般

男性6040100

女性802010()

合計(jì)14060200

200X(60X2()-40X80)^200X200023$24>6635

100X100X140X60140X60X100X100

根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢臉，零假設(shè)不成立，可以認(rèn)為年輕人對(duì)“趕大集”的

態(tài)度與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于().()1.

(2)設(shè)進(jìn)一步交流的男性中非常喜歡“趕大集”的人數(shù)為〃?，女性中非常喜歡“趕大集”

的人數(shù)為〃，則且X的所有可能取值為1,2,3,4.

Clclcl21

P(X=l)=P(/〃=0,w=l)=,,P(X=2)=P(m=ln=l)+P(/M=0,〃=2)

CgQ3015t

=隼叩+坐=13P-=2,〃=1)+尸(叩1,C3CJC1CIC1C?C312

ciacia30''/i，W=2)=c^c?+cia=30

=2,P(X=4)=P(〃?=2,八=2)=C號(hào)?=3=1.

5'ClCl3010

所以X的分布列為

X1234

11321

P

1530510

所以%)=IX#2吟+3＞：；+4＞＜薩：；.

課時(shí)作業(yè)75

▲jl/基礎(chǔ)鞏固.

1.(13分)(2025?北京東城區(qū)一模)某中學(xué)為了解高二年級(jí)學(xué)生閱讀水平現(xiàn)狀，從該年

級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取100人進(jìn)行一般現(xiàn)代文閱讀速度的測(cè)試，以每位學(xué)生平均每分鐘閱讀的字

數(shù)作為該學(xué)生的閱讀速度，將測(cè)試結(jié)果整理得到頻率分布直方圖：

(1)若該校高二年級(jí)有1500人，試估計(jì)閱讀速度達(dá)到620字/分及以上的人數(shù)；

(2)用頻率估計(jì)概率，從該校高二學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中閱讀速度達(dá)到540字

/分及以上的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望可㈤；

(3)若某班有10名學(xué)生參加測(cè)試，他們的閱讀速度的數(shù)據(jù)如下:506,516,553,592,

617,632,667,693,723,776,從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中閱讀速度達(dá)到

540字/分及以上的人數(shù)為匕試判斷數(shù)學(xué)期望E(K)與(2)中的E(㈤的大小，并說(shuō)明理由.

解；(1)1500X(0.00375+0.00100J-0.00025)X80=600,

故可估計(jì)閱讀速度達(dá)到620字/分及以上的人數(shù)為6(X).

(2)從中隨機(jī)抽取一人，其閱讀速度達(dá)到540字/分及以上的概率為(0.0050()+0.00375+

0.00100+0.00025)X80=0.8,

X的可能取值為0,1,2,3,

P(X=0)=C?X0.23=0.008,

P(X=1)=C!X0.8X0.22=0.096,

P(X=2)=QX0.82X().2=0.384,

〃(X=3)=5XU.H3=(J.5I2,

則X的分布列為

X0123

P0.0080.0960.3840.512

期望為E(X)=3X0.8=2.4.

(3*(X)=E(y),理由如下：這10名學(xué)生中，閱讀速度達(dá)到540字/分及以上的人數(shù)為8,

則丫的可能取值為1,2,3,

C&Q=567

p(y=2)=

Clo—12()15'

ac?567

p(r=3)===

C]o—12()-15'

則F(F)=1X1+2X7+3X7=2.4,故可㈤=E(K).

151515

2.(13分)(2024?江西鷹潭三模)某校體育鍛煉時(shí)間準(zhǔn)備提供三項(xiàng)體育活動(dòng)供學(xué)生選擇.為

了解該校學(xué)生對(duì)“三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有籃球”這種觀點(diǎn)的態(tài)度，隨機(jī)調(diào)查了20()名學(xué)生，數(shù)

據(jù)如下：

性別

態(tài)度合計(jì)

男生女生

同意7050120

不同意305080

合計(jì)100100200

(1)能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生對(duì)“三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有籃身R”這種觀點(diǎn)的態(tài)度與性別

有關(guān)？

(2)現(xiàn)有足球、籃球、跳繩供學(xué)生選擇.

①若甲、乙兩名學(xué)生從這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中隨機(jī)選一種，且他們的選擇互不影響.記事件力為

“甲學(xué)生選擇足球”，事件〃為“甲、乙兩名學(xué)生的選擇不同”，判斷事件44是否獨(dú)立,

并說(shuō)明理由.

②若該校所有學(xué)生每分鐘跳繩個(gè)數(shù)X?M185,169).根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校學(xué)生經(jīng)過(guò)訓(xùn)凍后,

跳繩個(gè)數(shù)都有明顯增加.假設(shè)經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比開(kāi)始時(shí)個(gè)數(shù)增加10,該校有

1000名學(xué)生，預(yù)估經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后該校學(xué)生每分鐘跳182個(gè)以上的人數(shù)(結(jié)果四舍五入到整數(shù)).

_n(ad-bc)2

附:7其中〃=a+b+

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0250.0100.005

Xa5.0246.6357.879

若X?N@,次)，則P(W一”＜。)、0.6827,尸(小一川＜2。)和0.9545,P(W一川＜3田=0.9973.

解：(1)由題設(shè)列聯(lián)表，有

200X(70X50-50X30)2=25=&33＞6.635,

120X80X100X1003

故有99%的把握認(rèn)為學(xué)生對(duì)“三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有籃球”這種觀點(diǎn)的態(tài)度與性別有關(guān).

(2)①事件力，8獨(dú)立，理由如下：

P⑷=\尸(8)=咨常,尸(陰=*=：,則P(AB)=P(mP(B),故事件4B獨(dú)立.

3CrC139

②訓(xùn)練后X?N(195,132),P(X>182)=P(X>^~o)=^r_+rT)

1+0.6827

=0.84135,

2

故預(yù)估經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后該校學(xué)生每分鐘跳182個(gè)以上的人數(shù)為0.84135X10004841.

3.(17分)(2024?江蘇南通模擬)某高校統(tǒng)計(jì)的連續(xù)5天入校參觀的人數(shù)(單位：千人)

如下:

第X天12345

參觀人數(shù)w千人2.42.74.16.47.9

并計(jì)算得錯(cuò)誤!必=85.2,錯(cuò)誤弓=55,戈=3,V=47

（1）求y關(guān)于戈的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)第10天入校參觀的人數(shù).

（2）已知該校開(kāi)放1號(hào)、2號(hào)門(mén)供參觀者進(jìn)出，參觀者從兩門(mén)進(jìn)校的概率相同，且從進(jìn)校

處的門(mén)離校的概率為:，從另一處門(mén)離校的概率為:?假設(shè)甲、乙兩名參觀者進(jìn)出該?；ゲ挥绊?，

已知甲、乙兩名參觀者從I號(hào)門(mén)離校，求他們從不同門(mén)進(jìn)校的概率.

附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：：=短+2其中沙=錯(cuò)誤!，。=y-bx.

解：⑴依題意，號(hào)錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!=歌2-5義3：4.7=]47,

55-5X32

V-bx=0.29,所以（=1.47x+0.29.當(dāng)x=10時(shí)，（=14.99,

故第10天入校參觀的人數(shù)約為14.99千人.

（2）記“兩名參觀者從不同門(mén)進(jìn)?！睘槭录?，“兩名參觀者都從1號(hào)門(mén)離校”為事件8,即

求P（AIB）.

+1X2X1X24-CX3X2X3]X2=1,

232323234

ill?1

P（/1i?）=x,x*x^x2=，,

23239

所以P（A|B）=P（幽=t

P（B）9

故他們從不同門(mén)進(jìn)校的概率為4

9

理素養(yǎng)提升4

4.（17分）（2024?河北滄州模擬）“南澳牡蠣”是我國(guó)地理標(biāo)志產(chǎn)品,產(chǎn)量高、肉質(zhì)肥、

營(yíng)養(yǎng)好，素有“海洋牛奶精品”的美譽(yù).2024年某基地考慮增加人工投入，現(xiàn)有以往的人工投

入增量x（單位：人）與年收益增量y（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下：

人工投入增量力人234681013

年收益增量w萬(wàn)元13223142505658

該基地為了預(yù)測(cè)人工投入增量為16人時(shí)的年收益增量，建立了），關(guān)于x的兩個(gè)回歸模型.

模型①：由最小二乘公式可求得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程：^=4.1x4-11.8；

模型②：由散點(diǎn)圖的樣本點(diǎn)分布（如圖），可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線：y=2x+＞的附

近，對(duì)人工投入增量x做變換，令，=x,則卜="+〃，且有/心2.5,%38.9,錯(cuò)誤?。?/p>

-1）（弘一）心81.0,錯(cuò)誤?。ò艘籌）2*3.8.

人工投入增量”人

(1)(i)根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)量，求模型②中y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(精確到0.1)；

(ii)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的決定系數(shù)改，并選擇擬合精度更高、更可

靠的模型，預(yù)測(cè)人工投入增量為16人時(shí)的年收益增量.

回歸模型模型①模型②