培優(yōu)點2對數(shù)平均不等式、切線不等式

在高考壓軸題中，經(jīng)?？疾榕c導數(shù)有關的不等式問題，這些問題可以用常規(guī)方法求解,

也可以轉(zhuǎn)變成對數(shù)平均不等式、切線不等式進行求解，起到事半功倍的效果.

考點一對數(shù)平均不等式

例1若心0,Q0,“從求證：板

證明不妨設

a-b

①要證，益V成立,

Ina-Inb

即證M石V-即證111斤〈忑了,

即證In

則需證明21n/</—y(/>1),

構(gòu)造函數(shù)/f)=21nr—r+y(/>l),

21(/—IV

則/")=7_]―/=_」產(chǎn)]<。，

所以內(nèi))在(1,+8)上單調(diào)遞減，又/u)=o,

所以期<0,即21nf<T，原不等式得證.

a—ba-\-ba_ba

&要證Ina-In尸亍，八需證2，^<lnI

即證2^—<lnp令

小

t—14

即證2?萬TyVln/.即證2—丁彳<1111,

4

構(gòu)造函數(shù)夕(。=2一幣"一In?〉1),

41—"-1)2

0(/)=(7+17-7=?什|)2〈也

二少⑺在(1,+8)上單調(diào)遞減,

4

⑺<0(1)=0,即2—1,

???原不等式得證.

,r-a~ba~\-b

不上，標<ina-ln尸h

規(guī)律方法該類問題的特征是雙變量，將雙變量問題轉(zhuǎn)變?yōu)閱巫兞繂栴}處理，即將月看成一個

新對象（整體），從而進行降維打擊.

跟蹤演練1已知函數(shù)4x）=：—x+alnx

⑴討論火此的單調(diào)性；

（2）若7U）存在兩個極值點為，不

,T而XX!)-/(X2)..

證明：---------<4-2.

X\—X2

⑴解危）的定義域為（0,+8）,

jr-ax+1

f。)=-K+h

①若〃W2,則/（x）W0,當且僅當。=2,x=l時，f（x）=0,.\/U）在（0,+8）上單調(diào)遞減.

②若。＞2,令/（工）=0,得

a--44+52-4

x=2或2,

當x《o,+8）時，/（x）＜o；

當心尸尹,哼三）時，/（X）＞0.

.?次V）在0，七尹）（呼三，+8）上單調(diào)遞減，

在（空嘩三，組嘩習上單調(diào)遞增.

（2）證明由（1）知，y（x）存在兩個極值點當且僅當。＞2.由于/U）的兩個極值點％],刈滿足/一

ax-\-1-0,所以由應―1,不妨設％2＞為＞0,

則X2＞1.

由小1)一/(.0)

X\—X1

1

X\X2X\-X2

c?”(Inxi—h】X2)

=—2十

X\—X2

由對數(shù)平均不等式知

X]—X2

\[x\X2=I,

InX|—InX2

又X2>Xl>0,

Axi—%2<0,InX|—InX2<0,

Inxj—InX2

0<<1,

X]~X2

.即)一兒3)ci"On-vi—Inx)

..----------=-24-------------2<—2十ta,

X\—X2X\~X2

即證原不等式成立.

考點二以泰勒公式為背景的切線不等式

泰勒公式：將函數(shù)展開為一個多項式與一個余項的和.

/5)=/■))+/(xo)(.r-Xo)+』2『0%_XO)2H---1,『％一")"+凡仆)，

r(”+i)0

其中余項Rn(x)=；,(X—Xo)n*1(<f在Xo與X之間)，

當xo=O時為麥克勞林公式.

其中e'與ln(I+x)的麥克勞林公式為

er=I+x+%2+*+o(x3),

ln(l+x)=x-%+$3+o(.d),

從中截取片段就構(gòu)成了常見的不等式：

e'21+x或e'21+x+，(/20),

ln(l+x)Wx(x20)或InxWH一l(.r>0),

ln(l+x)2x—5(x20),

例2設函數(shù)4r)=ae'lnx+1一，曲線y=/U)在點(I,川))處的切線方程為y=e(x—1)+2.

⑴求a,b\

(2)證明：。)>1.

(1)解函數(shù)./U)的定義域為(0,+8),

f(x)=de'lnx+^er-Aer-1+ge「L

由題意可得/U)=2,f(l)=e.

故a=l,b=2.

(2)證明方法一由⑴知，

2

/(x)=e'lnx+-ev

X

2

從而7U)>1等價于xlnx>xex—~.

e

設函數(shù)g(x)=xlnx,則g'(x)=l+lnx.

所以當x￡(0,I),gf(x)<0；

當.iwQ,+8)時，g'(A-)>o.

故g。)在(0,§上單調(diào)遞減，在Q,+8)上單調(diào)遞增，

從而g(x)在(0,+8)上的最小值為0=一5

?

設函數(shù)h(x)=xe-v—

則/?'(x)=er(l—x).

所以當工￡(0,1)時，h1(x)>0;

當x￡(l,+8)時，h'(x)<0.

故/心)在①』)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，從而/?(%)在(0,+8)上的最大值為

1

綜上，當心>0時，g(x)》a),即於)>i.

方法二yU)=e1nx+%|=8(111X+自.

當￡>0時,er>1+A-,所以

即日2工，e'2ex,當％=1時等號成立，

即e-,njr^e(-lnx),

所以;、e(—Inx),

人

即In,當％=二時等號成立，

所以eA(lnN+自沁(-2+自=言>1(等號不同時成立j.

規(guī)律方法指數(shù)的放縮.形如：

e'-12x—1+1=e*2ex,

土xen

e"2e;=e"2mp.

對數(shù)的放縮.形如：

e,nv>1+lnx=In啟ll=>ln(l+x)Wx,

=>ln(l+x)-Inx>]+

xx

In二W二一l=x2elnx.

ee

跟蹤演練2已知函數(shù)/U)=；aF—(2^4-l)x+21nx[a￡R).

(I)當。>0時,求函數(shù)段)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)當a=0時，證明：J(x)<2e-x-4.

(1)解人力的定義域為(0,+8),

~,2(ax—\)(x-2)

f(x)=or—(2。+1)+；=,

當0<*2,即公時，

在(°，5)和Q，+8)上，/(A-)>O,yu)單調(diào)遞增；

當5=2,即時，/'(x)20,,/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當，2,即時，

在(0,2)和七，+8)上，f(力>0,人x)單調(diào)遞增.

綜上所述，當時，次處的單調(diào)遞增區(qū)間為(°，5)和Q，+8)；

當。=3時，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,4-°°)；

當0<〃<，時，兒。的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2)和自，+8)

(2)證明方法一當a=0時，

要證人工)〈28一工一4,

即證e*—Inx—2>0,

構(gòu)造函數(shù)h(x)=ev—InA—2(A>0),

令0。)=-一點心>0),

則“(x)=e'+/>0,

所以〃'(幻在(0,+8)上單調(diào)遞增，

h'(，=/一2<0,h'(l)=e—1>0,

故存在沖￡(；,1),

使得力'(沏)=0,即e"=>.

當工￡(0,加時，4(x)vO,力(x)單調(diào)遞減；

當工￡(沏,+8)時,h1W>0,Mx)單調(diào)遞增.

所以當x=xo時，僅幻取得極小值，也是最小值.

/z(xo)=ex°一加為-2=:一In二一2

Ao巳/

所以//U)=er-lnA—2>0,

故yU)v2e*—x—4.

方法二當。=0時，要證外)<29一］一4,

即證e*一In工一2>0,

由,v>0時，e'>x+1可得e7—l>x,

由A>0時，InxWx—1可得%》Inx+1,

故ex—l>x21nx+1,

即ex-lnx-2>0,

即原不等式成立.

專題強化練

1.(2022?葫蘆島模擬)已知函數(shù)/(x)=r4-/?(l+lnx)(/?ER).

(1)求段)的單調(diào)區(qū)間:

(2)設g(x)=/(x)—:sinx,若存在―，使得以內(nèi)尸雙㈤，求證：

①〃<0；

?x\X2<4lr.

⑴解由題意，定義域為(。，+8),/'。)=片"，

若〃>0,則r(x)>0,?￥)在(0,+8)上單調(diào)遞增；若〃<0,令/(x)=0,得”=一兒

當x￡(0,一位時,/(x)<0,7U)單調(diào)遞減；

當XW(一4+8)時，f(x)>0,式幻單調(diào)遞增,

綜上，若人20,人文)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),無單調(diào)遞減區(qū)間；

若X0,火功的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,f單調(diào)遞增區(qū)間為(一公+8).

(2)證明g(x)=x+〃(1+lnx)—；sinx,

，/、icosx.b

K。)=1一一二十？

①若〃20,則由1—竽>0,=20得

4人

gf(x)>0,g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故不存在0<Xl<X2,使得g<Xl)=g(X2),

所以zo.

②令m(x)=x—sinX(A>0),

m'(x)=I—cosxX),當x-0時，w(x)-*0,

故〃?(x)>0,即x>sinx,

因為g(%l)=g(%2)，

即xi+Z;(l+lnXi)—xsinx\

=12+〃(1+In%2)一；sinM,

所以一〃(InX2—Inxi)

=X2—xi—^(sin及一sin即)>條2—xi),

又0<Xi令2,

處一內(nèi)

所以一2/?》>0,

InX2-lnxi

根據(jù)對數(shù)平均不等式國〈下息7V號,

所以記號二篇向,

所以一2bxX2X1，故A|X2<4/?2.

2.(2022?撫州模擬)已知函數(shù)段)=Mlnx+〃),〃WR.

(1)求人工)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當。=1時,求證：於)&。^?在(0,+8)上恒成立.

(1)解因為./U)=x(lnx+a),

故可得/'(x)=lnx+〃+l：

又)，=lnx+a+l為單調(diào)遞增函數(shù)，

令，。)=0,解得工=屋。「，

故當0<9一。一|時，f(x)<0；

當心>廣門時，/(x)X),

故y(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,

單調(diào)遞增區(qū)間為化-a1，+8).

(2)證明方法一當a=l時，/U)=*lnx+1),

要證

即證x(lnx+l)Wx&Li,

又x>(),則只需證Inx+lWeii,

即證Inx—x+