專題7.4數(shù)列求和

SI題型目錄

題型一倒序相加法

題型二分組求和法

題型三并項(xiàng)求和法

題型四奇偶數(shù)列求和

題型五裂項(xiàng)相消法

題型六含絕對(duì)值數(shù)列求和

題型七數(shù)列求和與不等式

區(qū)典例集練

題型一倒序相加法

例1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（%）=l+ln匕=設(shè)4=1,

.X

+L+/

⑴計(jì)算〃司+/（1-k的值.

⑵求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式.

例2.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）已知函數(shù)/。）=一￡一，則/。）+/（17）=_________

4'+2

數(shù)列｛為｝滿足肅，則這個(gè)數(shù)列的前2015項(xiàng)的和等于.

4UIV/

舉一反三

練習(xí)1.（2022秋.天津南開.高三天津市天津中學(xué)?？计谀┘褐瘮?shù)

/（x）=x+3sin（T）+g,數(shù)列｛叫滿足/=矗，則“4）+/（%）+..T〃限）=（）

A.2022B.2023C.4044D.4046

COSX

練習(xí)2.（2022秋?河南漂河?高二漂河高中?？计谀┮讶绾瘮?shù)/。）=,則

cos（30。一x）

〃巧+/（2。）+/（3。）++〃59。）=.

2023y73

練習(xí)3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知定義在R上的函數(shù)/（x）=X-+,則

3898；2022

【福卜］磊M嬴+???”勰卜----

2021

（丫+2CCSY（

練習(xí)4?（2。23?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知小+?1\=則V（運(yùn)i卜\一，

I-V

練習(xí)5.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（x）=l+ln——，設(shè)％=1,

X

%=/用+/舄+/（訃L+/［、1）（,?-?,”22）.求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

題型二分組求和法

例3.（2023春?四川廣安?高二四川省廣安友誼中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等比數(shù)列｛〃”｝的各項(xiàng)

均為正數(shù)，且生+%+4=39,%=2/+3%.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列也｝滿足bn=n+an,求也｝的前n項(xiàng)和T..

例4.（2023春?北京海淀?高二北京交通大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）已知等差數(shù)列｛4｝滿足

%=-9,即）=5.

⑴①求公差d;

②求數(shù)列幾｝的通項(xiàng)公式；

③設(shè)數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S”，求使得S”最小的〃的值：

⑵若數(shù)列｛%+"｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.

①求數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式；

②求數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和J

舉一反三

練習(xí)6.（2023春?吉林長(zhǎng)春?高二長(zhǎng)春十一高?？计谥校┰O(shè)等比數(shù)列｛，“｝的前〃項(xiàng)和為S,,公

比“>1,。2=16,/=84.

⑴求數(shù)列僅“｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列5+的前〃項(xiàng)和為。.

練習(xí)7.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，已知的面積為1,點(diǎn)。，E,尸分別為線段

AB,AC,8C的中點(diǎn)，記」）￡戶的面積為％；點(diǎn)G,H,/分別為線段A。，AE,OE的

中點(diǎn)，記-G”/的面積為a?；…；以此類推，第〃次取中點(diǎn)后，得到的三角形面積記為

⑴求叫，出，并求數(shù)列｛。｝的通項(xiàng)公式；

（2）若"=log2可，求數(shù)列［（-1/"｝的前〃項(xiàng)和S”.

練習(xí)8.（2023春?北京豐臺(tái)?高三北京市第十二中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列｛〃”｝的前n項(xiàng)和為S”,

且叼=4,3I/+1=4〃I2（〃eN）,則使得工>2023成立的〃的最小值為（）

A.32B.33C.44D.45

練習(xí)9.（2023?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛q｝滿足q=2,=3%+2"-2.

⑴令4=4,+2"-1,證明：數(shù)列｛2｝為等比數(shù)列;

⑵求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和s..

練習(xí)10.（2023?重慶?校聯(lián)考三模）已知數(shù)列｛可｝滿足：/+2+（-1）"%=2，％=1，”2

⑴求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

⑵記數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為工，求、%23.

題型三并項(xiàng)求和法

⑵數(shù)列低｝滿足“=%?sin^,求低｝的前100項(xiàng)和小.

練習(xí)15.（2023?海南?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛q｝滿足。”=2%-2〃+4（佗2,

4=4.

⑴求證：數(shù)列｛。,,-2〃｝為等比數(shù)列，并求也｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛（一1）"《,｝的前/!頂和S”.

題型四奇偶數(shù)列求和

例7.（2023?山東濟(jì)寧?統(tǒng)考二模）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S/%+4川=24（〃之2,"cN"）,

且4=1,55=15.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若2Ml,求數(shù)列也｝的前2〃項(xiàng)和4.

例8.（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考三模）已知等比數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為工，其公比〃工-1,

篤&且邑=久+93.

a7+427

（1）求數(shù)列｛g｝的通項(xiàng)公式；

log1可,”為奇數(shù)

⑵己知"川§,求數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和

凡，〃為偶數(shù)

舉一反三

練習(xí)16.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛q｝滿足4+3%++（2〃-1）4=”.

（1）求應(yīng)｝的通項(xiàng)公式;

⑵已知%='〃'口Z甲物求數(shù)列｛qj的前20項(xiàng)和.

。外+2，〃為體數(shù)，

練習(xí)17.（2023春?全國(guó)?亶三期中）已知數(shù)列｛4｝滿足4+%=2,，〃為偶數(shù)，

數(shù)列｛《｝滿足g="2”T.

（1）求數(shù)列｛%｝和｛%｝的通項(xiàng)公式;

⑵求數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和S“.

練習(xí)18.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為s“，，=3,且

a+l,n=2A:-l,/:eN*

n則S[6=

+1,〃=2k,kGN*

練習(xí)19.（2023春?北京?高三北京五十五中?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”,

且生=8,S4=40,數(shù)列｛〃,｝的前〃項(xiàng)和為人且2b“+3=0,

⑴求數(shù)列｛q｝，他｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)q,二?'〃為他和，求數(shù)列｛q｝的前2〃+1項(xiàng)和E…

On,rly'J］內(nèi)XA.

練習(xí)20.（2023春?浙江杭州?高三浙江大學(xué)附屬中學(xué)期中）（多選）已知數(shù)列｛為｝滿足4=1,

為奇數(shù)

則卜.列說法正確的是（)

q+2向，〃為偶數(shù)

A.6=7B.。2022=42C./舊=

2n+3

D.352B+1=2-6n-5

題型五裂項(xiàng)相消法

例9.（2023?福建龍巖?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）己知等差數(shù)列｛〃』前八項(xiàng)和為S“,%=5,S「53=27,

數(shù)列｛2｝前〃項(xiàng)積為T=3竽.

⑴求｛q｝，｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)c“二；互，求數(shù)列上｝的前〃項(xiàng)和

n"+n

例10.（河南省TOP二十名校2023屆高三猜題大聯(lián)考（二）數(shù)學(xué)（文科）試題）已知等差

數(shù)歹6｛%｝的前〃項(xiàng)和為Sn,a2+%=&S’,=36.

⑴求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

出若數(shù)列匕,｝滿足*「1=，'（〃￡⑹）2=1,求數(shù)列｛5｝的通項(xiàng)公式.

舉一反三

練習(xí)21.（2023春?河南南陽?高三鎮(zhèn)平縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列1/:1的

前2022項(xiàng)和為（）

A.,2022+1B.32022-1C.J2023+ID.72023-1

練習(xí)22.（2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S”，且『=一.

⑴證明：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列；

（2）若生+1,4+1，生成等比數(shù)列.從下面三個(gè)條件中選擇一個(gè)，求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和人

（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）

.n.1,2〃+3

①"=22；②"=/,/；③瓦=^7?.

練習(xí)23.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃┮阎?xiàng)數(shù)列｛q｝滿足q=1,

%=2q+1.

⑴證明：數(shù)列｛4+1｝是筆比數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)“=旦土」，求數(shù)列低｝的前〃項(xiàng)和人

an,an+\

練習(xí)24.（2023春.河南南陽?高三鎮(zhèn)平縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛q｝的前〃

項(xiàng)和為Sn,且滿足a”=；S0+2,〃eN".

（1）求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

（2）令"=loga,求數(shù)列的前n項(xiàng)和T?.

2n5-1J

練習(xí)25.（2023?安徽合肥合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝,其前〃項(xiàng)和

為S…且滿足（可+1『=4⑸+1）,數(shù)列也｝滿足2=（-1產(chǎn)—，其前〃項(xiàng)和小設(shè)北N,

anan+l

若4%對(duì)任意,?GN'恒成立，則2的最小值是___________.

題型六含絕對(duì)值數(shù)列求和

例11.（2023?河北.統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正項(xiàng)數(shù)列｛叫中，“2=24=4,

=2a：+2a,4T？2）.

⑴求數(shù)列上｝的通項(xiàng)公式；

⑵若〃=K-31|,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和T?.

例12.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）等差數(shù)列｛%｝中，S”是它的前〃項(xiàng)的和，且滿足

q=13,S3=S”.則S”的最大值為；數(shù)歹U||??|）的前〃項(xiàng)和（=.

舉一反三

練習(xí)26.（2022秋?上海浦東新?高三上海市建平中學(xué)校考開學(xué)考試）已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公

式為%=|〃-13|,那么滿足4+%+…+*9=102的整數(shù)攵的個(gè)數(shù)為.

練習(xí)27.（2023春?高三課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為=〃+寸，則

|4-%|+|4一局+…+|%-4oo|=（）

A.150B.162C.180D.210

練習(xí)28.（2022兩三課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)歹U｛〃,+81｝是公比為3的等比數(shù)列，若為=-78,則

數(shù)列｛同｝的前100項(xiàng)和￡oo=（）

3101-162033'00-15387廠3KH—15387「3100-16203

AA.--------DB.--------C.--------L）.--------

2222

練習(xí)29.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且〃”+5“=1.

⑴求數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列出｝滿足么=12+log24,設(shè)4=間+陶+…+聞，求卻

練習(xí)30.（2023春?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和S.=14〃-/+i,

若北=聞+|電|+同+—+同，則金=（）

A.578B.579

C.580D.581

題型七數(shù)列求和與不等式

例13.（2023春?山東德州?高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足

4+4生+：%++L“=/+〃（〃WN+）,設(shè)數(shù)列也｝滿足：2=衛(wèi)上L數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)

23nanan+\

和為若（＜34〃wN+）恒成立，則實(shí)數(shù)4的取值范圍為（）

A.卜8）B,（卜8）C.

例14.（河南省開封市等2地學(xué)校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期普高聯(lián)考測(cè)評(píng)（六）理科數(shù)學(xué)

試題）數(shù)列｛《,｝是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，S.為數(shù)列幾｝的前〃項(xiàng)和，則使不等式

R+之+…+成立的最小正整數(shù)〃的值是（）

A.8B.9C.10D.11

舉一反三

練習(xí)31.（2023春?北京?高三北京四中?？计谥校┮阎獢?shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和S,,=〃26wN）

數(shù)列低｝的前〃項(xiàng)和為