勾股定理（知識(shí)梳理+32個(gè)高頻易錯(cuò)考點(diǎn)）

口稅考點(diǎn)分類目錄指引_________________________________________________________

知識(shí)梳理技巧點(diǎn)撥.......................................................................2

知識(shí)點(diǎn)梳理01：勾股定理..............................................................2

知識(shí)點(diǎn)梳理02：勾股定理的逆定理......................................................2

知識(shí)點(diǎn)梳理03：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系.................................3

優(yōu)選型考點(diǎn)練

考點(diǎn)1：利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）.........................................3

考點(diǎn)2：勾股定理的證明方法...........................................................4

考點(diǎn)3：以弦圖為背景的計(jì)算題.........................................................5

考點(diǎn)4：用勾股定理構(gòu)造圖形解決問(wèn)題...................................................6

考點(diǎn)5：求旗桿高度（勾股定理的應(yīng)用）.................................................6

考點(diǎn)6：求小鳥(niǎo)飛行距離（勾股定理的應(yīng)用）.............................................7

考點(diǎn)7：求大樹(shù)折斷前的高度（勾股定理的應(yīng)用）.........................................7

考點(diǎn)8：勾股樹(shù)（數(shù)）問(wèn)題.............................................................8

考點(diǎn)9：判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形...................................................9

考點(diǎn)10：在網(wǎng)格中判斷直隹三角形.....................................................10

考點(diǎn)11：利用勾股定理的逆定理求解...................................................11

考點(diǎn)21：勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題.........................................................11

考點(diǎn)22：勾股定理與折登問(wèn)題.........................................................12

考點(diǎn)23：求梯子滑落高度（勾股定理的應(yīng)用）...........................................13

考點(diǎn)24：解決水杯中筷子問(wèn)題（勾股定理的應(yīng)用）.......................................13

考點(diǎn)25：解決航海問(wèn)題（勾股定理的應(yīng)用）.............................................14

考點(diǎn)26：求河寬（勾股定理的應(yīng)用）...................................................15

考點(diǎn)27：求臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度（勾股定理的應(yīng)用）.........................................16

考點(diǎn)28：判斷汽車是否超速（勾股定理的應(yīng)用）.........................................17

考點(diǎn)29：判斷是否受臺(tái)風(fēng)影響（勾股定理的應(yīng)用）.......................................18

考點(diǎn)30：選址使到兩地距離相等（勾股定理的應(yīng)用）.....................................19

考點(diǎn)31：求最短路徑（幻股定理的應(yīng)用）...............................................19

考點(diǎn)32：勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用...................................................20

難度分層拔尖沖剌......................................................................21

基礎(chǔ)夯實(shí)............................................................................21

培優(yōu)拔高............................................................................23

日外知識(shí)梳理技巧點(diǎn)撥_________________________________________________________

知識(shí)點(diǎn)梳理01：勾股定理

1.勾股定理：直角三角形兩直角邊4、8的平方和等于斜邊。的平方.（即：/+〃=02）

2.勾股定理的應(yīng)用：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其

主要應(yīng)用是：

（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；

（2）利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問(wèn)題；

（3）求作長(zhǎng)度為6的線段.

知識(shí)點(diǎn)梳理02：勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)。、b、C,滿足/+〃=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角

形.

2.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的基本步驟：

（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長(zhǎng)為c；

（2）驗(yàn)證與/+〃是否具有相等關(guān)系，若/+〃=c2,則△ABC是以NC為直角的直角三角形,

反之，則不是直角三角形.

3.勾股數(shù)：滿足不定方程-+y2=z2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯

然,以X、y、Z為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.

常見(jiàn)的勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果（。、氏。）是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，以小、初、以為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三

角形.

觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：

1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；

2.較長(zhǎng)的直角邊與對(duì)應(yīng)斜邊相差1.

3.假設(shè)三個(gè)數(shù)分別為。、b、c,且a〈b<c,那么存在/=b+c成立.（例如④中存在72=24+25、

92=40+41等）

知識(shí)點(diǎn)梳理03：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系

區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；

聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).

優(yōu)選題型考點(diǎn)講練

考點(diǎn)1：利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）

【典例精講】（20-21八年級(jí)上?江蘇?期末）如圖，在Rt△力比中，ZC=90°,力8=6,則正方形力應(yīng)'。與

正方形86%的面積之和為.

【變式訓(xùn)練】（20-21八年級(jí)上?III東青島?期末）如圖，在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明從營(yíng)地月出發(fā)，沿北

偏東53°方向走了400nl到達(dá)8點(diǎn)，然后再沿北偏西37°方向走了300nl到達(dá)目的地C此時(shí)4。兩點(diǎn)之間

的距離為I

（3）如圖，將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖所示擺放，其中NDAB=90。，求證：a2+b2=c2.

證明：如圖所示：連接BD,過(guò)點(diǎn)〃作BF1DE,交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)“則BF=b-a請(qǐng)補(bǔ)全證明過(guò)程:

考點(diǎn)3：以弦圖為背景的計(jì)算題

【典例精講】（23-24八年級(jí)上-陜西西安?期中）如圖，清代數(shù)學(xué)家梅文鼎在《勾股舉隅》一書(shū)中，用四

個(gè)全等的直角三角形拼出正方形ABCD的方法證明了勾股定理.連結(jié)CE,若CE=5,BE=4,則正方形ABCD

的面積為_(kāi)_______

AB

【變式訓(xùn)練】（22-23八年級(jí)下-安徽馬鞍山-期末）如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與I個(gè)小正方形鑲嵌

而成的正方形圖案，已知大正方形的面積為49,小正方形面積為4,若用x,y表示直角三角形的兩條直角

邊長(zhǎng)（x>y）,下列四個(gè)說(shuō)法：①x2+y2=49：②x-y=2；③2xy+4=9；?x±y=9,其中正確的說(shuō)

法是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.????

考點(diǎn)4：用勾股定理構(gòu)造圖形解決問(wèn)題

【典例精講】（24-25八年級(jí)上?河南平頂山?期中）李老師家因裝修準(zhǔn)備用電梯搬運(yùn)一些木條上樓，如圖,

已知電梯的長(zhǎng)、寬、高分別是lm.lm,2m,那么電梯內(nèi)能放入下列木條中的最大長(zhǎng)度是（）

A.3mB.2.5mC.2.4mD.2m

【變式訓(xùn)練】（24-25八年級(jí)上-陜西西安-階段練習(xí)）請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式G3+J（x—24尸+16的最小

值為.

考點(diǎn)5：求旗桿高度（勾股定理的應(yīng)用）

【典例精講】（23-24八年級(jí)上?陜西西安?期中）如圖，小明想要測(cè)量旗桿P。的高度（已知旗桿直立于地

面，即，POA=90。），他將繩子拉到旗桿底端5m處力點(diǎn)，并在繩子上打了個(gè)結(jié)，然后向后退11米到達(dá)〃處,

發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距打結(jié)處約7米，設(shè)法求出旗桿PO的高度.

【變式訓(xùn)練】如圖，為了測(cè)算出學(xué)校旗桿的高度，小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在與旗桿等長(zhǎng)的地

方打了一個(gè)結(jié)，然后將繩子底端拉到離旗桿底端5米的地面某處發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約1米，則

旗桿的高度是多少米？

考點(diǎn)6：求小鳥(niǎo)飛行距離（勾股定理的應(yīng)用）

【典例精講】（21-22八年級(jí)上-陜西-階段練習(xí)）小紅從家里出發(fā)向正北方向走80米，接著向正東方向走

150米，現(xiàn)在她離家的距離是米.

【變式訓(xùn)練】（21-22八年級(jí)上-全國(guó)-單元測(cè)試）校園內(nèi)有兩棵樹(shù)，相距12m,一棵樹(shù)高10m,另一棵樹(shù)高

5m,一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的頂端飛到另一棵樹(shù)的頂端，小鳥(niǎo)至少要飛m.

考點(diǎn)7：求大樹(shù)折斷前的高度（勾股定理的應(yīng)用）

【典例精講】如圖，一木桿在離地某處斷裂，木桿頂部落在離木桿底部8米處，已知木桿原長(zhǎng)16米，求木

桿斷裂處離地面多少米？

【變式訓(xùn)練】由于臺(tái)風(fēng)的影響，一棵樹(shù)在離地面6m處折斷，樹(shù)頂落在離樹(shù)干底部8m處，則這棵樹(shù)在折斷

前（不包括樹(shù)根）長(zhǎng)度是（）

A.8mB.10mC.16mD.18m

考點(diǎn)8：勾股樹(shù)（數(shù)）問(wèn)題

【典例精講】（24-25八年級(jí)上?江蘇南京?期中）閱讀材料：勾股定理a2+b?=c2本身就是一個(gè)關(guān)于a、

b、c的方程，我們知道這個(gè)方程有無(wú)數(shù)組解，滿足該方程的正整數(shù)解（a,b,c）通常叫做勾股數(shù)組，我國(guó)古籍

《周髀算經(jīng)》中記載的“勾三股四弦五”中的“3,4,5”就是一組最簡(jiǎn)單的勾股數(shù).為了進(jìn)一步了解勾股

數(shù)的奧秘，數(shù)學(xué)劉老師給出下面的兩個(gè)表格.（以下a,b,c為RtZkABC的三邊，l.a<b<c）

表1表2

abcabc

3456810

5121381517

72425102426

⑴請(qǐng)你根據(jù)上述表格的規(guī)律寫(xiě)出勾股數(shù)：11、、;

（2）當(dāng)a=2n+l（n為奇數(shù)，且nN3）時(shí)，若6=,c=時(shí)可以構(gòu)造出勾股數(shù)（用含n的

代數(shù)式表示）；并證明你的猜想；

⑶構(gòu)造勾股數(shù)的方法很多，請(qǐng)你尋找當(dāng)a或b=20時(shí)，c=.（寫(xiě)出所有滿足條件的O.

【變式訓(xùn)練】（22-23八年級(jí)上-江蘇連云港?期中）有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，在

他的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，其中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后,

變成了如圖，如果繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，它將變得“枝繁葉茂”，清你算出“生長(zhǎng)”了2022次后形成的圖形

)

C.2021I).1

考點(diǎn)9：判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形

【典例精講】（23-24八年級(jí)上-陜西咸陽(yáng)-階段練習(xí)）下列各組線段中，可以組成直角三角形的是（）

A.V3>V4>V5B.0.7,2.4,2.5

C.32,42,52D.8,15,19

【變式訓(xùn)練】（23-24八年級(jí)上?四川達(dá)州?期末）如圖，在△ABC中，AD1BC,AD=12,BD=9,

CD=5.

求:

（0△ABC的周長(zhǎng);

⑵判斷△ABC是否是直角三角形？為什么？

考點(diǎn)10：在網(wǎng)格中判斷直角三角形

【典例精講】(23-24八年級(jí)下?遼寧鞍山?期中)如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都

⑴求aABC的周長(zhǎng)；

(2)若點(diǎn)P為直線AC上任意一點(diǎn)，則線段BP的最小值為一

【變式訓(xùn)練】(23-24七年級(jí)上?江蘇南京?期末)如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三

個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求完成下列各題：

(1)畫(huà)線段AD||BC且使AD=BC,連接CD；

(2)線段AC的長(zhǎng)為」AACD的形狀為」

⑶若E為成的中點(diǎn)，則AE的長(zhǎng)為

考點(diǎn)11:利用勾股定理的逆定理求解

【典例精講】（23-24八年級(jí)下-天津南開(kāi)-期末）如圖,正方形ABCD中，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為BC上一

點(diǎn),且CE=；BC,設(shè)CE的長(zhǎng)為a（a>0）.

（1）用含有a的式子表示AF和EF；

⑵求乙AFE的大小.

【變式訓(xùn)練】（21-22八年級(jí)上?河南洛陽(yáng)?期末）如圖,在△ABC中，AB=6,AC=10,AD是BC邊上的

中線，且AD=4,則BC的長(zhǎng)為

考點(diǎn)21：勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題

【典例精講】（24-25八年級(jí)上?陜西西安?期中）如圖,方格線中每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，在下面的方格

紙上畫(huà)一條長(zhǎng)為曲的線段.

【變式訓(xùn)練】（23-24八年級(jí)上-浙江紹興?期中）如圖1、圖2中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,在圖1中

畫(huà)出一個(gè)面積是2的直角三角形；在圖2中畫(huà)出一條長(zhǎng)度等于g的線段.

圖I圖2

考點(diǎn)22：勾股定理與折疊問(wèn)題

【典例精講】（22-23八年級(jí)上-陜西咸陽(yáng)-期中）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4cm,AD=5cm,在CD

邊上取一點(diǎn)M,將△ADM折疊后點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)N處，則△MNC的面積為.

【變式訓(xùn)練】（22-23八年級(jí)F?浙江杭州-期中）（1）如圖①，將矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，點(diǎn)。落在

點(diǎn)￡處，已知NBDC=56。.求NDFE的度數(shù).

（2）如圖②，將矩形ABCD沿AE折疊，點(diǎn)〃落在點(diǎn)邊CD上的一、處.已知AD=4,AB=6,求線段EF的長(zhǎng).

圖①

考點(diǎn)23：求梯子滑落高度（勾股定理的應(yīng)用）

【典例精講】（24-25八年級(jí)上-四川-期中）一架長(zhǎng)5m的梯子，如圖那樣斜靠在一面墻上，梯子的底端離

墻1.4m,如果梯子的頂端下滑0.8m,那么他的底部滑行了（）

A.0.8mB.1mC.1.2mD.1.6m

【變式訓(xùn)練】（22-23八年級(jí)上?河南鄭州?階段練習(xí)）如圖，一架云梯AB長(zhǎng)為25米，頂端A靠在墻AC上,

此時(shí)云梯底端B與墻角C距離為7米，云梯滑動(dòng)后停在DE的位置上，測(cè)得AE長(zhǎng)為4米，求云梯底端B在水平方

向滑動(dòng)了多少米？

AI

E[\

CBD

考點(diǎn)24：解決水杯中筷子問(wèn)題（勾股定理的應(yīng)用）

【典例精講】（24-25八年級(jí)上?廣東深圳?期中）如圖，一支鉛筆放在圓柱形筆筒中，筆筒內(nèi)部的底面直

徑BC為9cm,內(nèi)壁高為12cm,則這支鉛筆的長(zhǎng)度可能是（）

A.1.9cmB.12cmC.15cmD.18cm

【變式訓(xùn)練】（23-24八年級(jí)上-廣東深圳?開(kāi)學(xué)考試）如圖，一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體小杯子放置在桌面上,

AB=BC=6cm,CD=16cm；

⑴一只螞蚊從力點(diǎn)出發(fā)，沿小杯子外表面爬到〃點(diǎn)，求螞蟻怎樣走最短，最短路程是多少？

⑵為了怕杯子落入灰塵又方便使用，現(xiàn)在需要給杯子蓋上蓋子，并把一雙筷子放進(jìn)杯子里，請(qǐng)問(wèn)，筷子的

最大長(zhǎng)度是多少？

考點(diǎn)25：解決航海問(wèn)題（勾股定理的應(yīng)用）

【典例精講】（（23-24八年級(jí)下?河南商丘?期中）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，“遠(yuǎn)航”號(hào)、

“海天”號(hào)輪船同時(shí)從港口村出發(fā)，“遠(yuǎn)航”號(hào)以每小時(shí)24nmile的速度沿北偏東35。方向航行，“海天”號(hào)

以每小時(shí)10nmile的速度沿北偏西55。方向航行，一小時(shí)后，“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)分別位于0,分處，則此

時(shí)“遠(yuǎn)航”號(hào)與“海天”號(hào)的距離RQ為nmile.

【變式訓(xùn)練】（23-24八年級(jí)下-廣東惠州-階段練習(xí)）如圖，某港口位于東西方向的海岸線上.“惠州”號(hào)、

“中山”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”號(hào)每小時(shí)航行10海里，“中山”號(hào)每小時(shí)

航行7.5海里.它們離開(kāi)港口2h后相距25海里.如果知道“惠州”號(hào)沿東北方向航行，能知道“中山”號(hào)

沿哪個(gè)方向航行嗎？

考點(diǎn)26：求河寬（勾股定理的應(yīng)用）

【典例精講】（20-21八年級(jí)下-廣西南寧?期中）去年某省將地處A,B兩地的兩所大學(xué)合并成了一所綜合

性大學(xué)，為了方便A,B兩地師生的交往，學(xué)校準(zhǔn)備在相距2.732km的A,B兩地之間修筑一條筆直公路（即

圖中的線段AB）,經(jīng)測(cè)量，在A地的北偏東60度方向、B地的西偏北45度方向C處有一個(gè)半徑為0.7km的公

園，問(wèn)計(jì)劃修筑的這條公路會(huì)不會(huì)穿過(guò)公園？為什么？（參考數(shù)據(jù)行“1.732）

【變式訓(xùn)練】22-23八年級(jí)下?陜西延安?期末）如圖，湖的兩岸有A,B兩棵景觀樹(shù)，在與AB垂直的BC方向

上取一點(diǎn)c,測(cè)得BC=5米，AC=13米.求兩棵景觀樹(shù)之間的距離.

考點(diǎn)27：求臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度（勾股定理的應(yīng)用）

【典例精講】（20-21八年級(jí)上-四川達(dá)州-期末）如圖所示的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3厘米、2厘米、4

厘米.若一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著長(zhǎng)方體的表面爬行到棱BC的中點(diǎn)M處.則螞蟻需爬行的最短路程是

厘米.

【變式訓(xùn)練】（20-21八年級(jí)下-廣西桂林-期末）某小區(qū)樓梯如圖所示，欲在樓梯上鋪設(shè)紅色地毯，已知

這種地毯每平方米售價(jià)為20元，樓梯寬為2m,則購(gòu)買(mǎi)這種地毯至少需要元.

考點(diǎn)28：判斷汽車是否超速（勾股定理的應(yīng)用）

【典例精講】（2122八年級(jí)上?四川眉山?期中）某市規(guī)定；小汽車在該市城市街道上行駛時(shí)，速度不得

超過(guò)60千米/時(shí).如圖，一輛小汽車在該市街道上沿直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀力

正前方30米處的C處，過(guò)了2秒后到達(dá)8處，測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間的距離為50米，請(qǐng)問(wèn)這輛小汽

車超速了嗎？為什么？若超速，則超速多少？

小汽車小汽車

By-----------------

、、、、、:

車速檢測(cè)儀

【變式訓(xùn)練】（24-25八年級(jí)上-陜西西安-階段練習(xí)）某條道路限速60km/h,如圖，一輛小汽車在這條道

路上沿直線行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到車速檢測(cè)儀力正下方5m的〃處，過(guò)了1s,小汽車到達(dá)「處，此時(shí)測(cè)

得小汽車與車速檢測(cè)儀間的距離AC為13m.

A檢測(cè)儀

一「

CB

小汽車小汽車

⑴求BC的長(zhǎng)：

⑵這輛小汽車超速了嗎？

考點(diǎn)29：判斷是否受臺(tái)風(fēng)影響（勾股定理的應(yīng)用）

【典例精講】（2024八仔級(jí)上?仝國(guó)?專題練習(xí)）如圖，力城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在/城正西方向78的4

處，以每小時(shí)20的速度沿BC方向移動(dòng)，力至IJBC的距離AD=30,在距臺(tái)風(fēng)中心50的圓形區(qū)域都將受到臺(tái)風(fēng)

的影響.

（1）臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間將到達(dá)D點(diǎn)？

（2）月城受這次臺(tái)風(fēng)的影響有多長(zhǎng)F寸間？

【變式訓(xùn)練】（23-24八年級(jí)上-陜西西安?期中）2023年7月五號(hào)臺(tái)風(fēng)“杜蘇芮”登陸，使我國(guó)很多地區(qū)

受到嚴(yán)重影響，據(jù)報(bào)道，這是今年以來(lái)對(duì)我國(guó)影響最大的臺(tái)風(fēng)，風(fēng)力影響半徑250km（即以臺(tái)風(fēng)中心為圓

心，250km為半徑的圓形區(qū)域都會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響），如圖，線段BC是臺(tái)風(fēng)中心從C市向西北方向移動(dòng)到8市的

大致路線，月是某個(gè)大型農(nóng)場(chǎng)，且ABJ.AC.若4。之間相距300km,力，〃之間相距400km.

⑴判斷農(nóng)場(chǎng)力是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑵若臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度為25km/h,則臺(tái)風(fēng)影響該農(nóng)場(chǎng)持續(xù)時(shí)間有多長(zhǎng)？

考點(diǎn)30：選址使到兩地距離相等（勾股定理的應(yīng)用）

【典例精講】（24-25八年級(jí)上-全國(guó)-課后作業(yè)）某地區(qū)要在公路AB上建一個(gè)蔬菜批發(fā)廠E,使得C,〃兩

村莊到￡的距離相等，已知AB=18km,DA=9km,CB=15km.口A_148于點(diǎn)力，CBJ.AB于點(diǎn)員貝iJAE

的長(zhǎng)是（)

C.12kmI).13km

【變式訓(xùn)練】如圖，在筆直的鐵路上】、〃兩點(diǎn)相距25km,C,〃為兩村莊，DA=10km,CB=15km,DA1

AB于兒CB_LAB于H現(xiàn)要在/歷上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站￡使得G〃兩村到￡站的距離相等，求￡應(yīng)建在距/1

多遠(yuǎn)處？

考點(diǎn)31：求最短路徑（勾股定理的應(yīng)用）

【典例精講】2025七年級(jí)上-江蘇?專題練習(xí)）如圖，一只螞蟻想從圓柱形水桶外側(cè)的/I點(diǎn)爬到內(nèi)側(cè)的月

點(diǎn)尋找食物.已知月點(diǎn)到桶口的距離AC=20厘米，6點(diǎn)到桶口的距離BD=16厘米，圓弧CD長(zhǎng)15厘米.螞

蟻爬行的最短路程是厘米.

【變式訓(xùn)練】（24-25八年級(jí)上?陜西渭南?期中）如圖，一圓柱高4m,底面周長(zhǎng)為6m,小蟲(chóng)在圓柱表面

爬行，從下底面上的點(diǎn)A處出發(fā)，爬到上底面上與點(diǎn)A相對(duì)的點(diǎn)B處，然后再沿另一面爬回A點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行

的最短路程為m.

a

考點(diǎn)32：勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用

【典例精講】（24-25八年級(jí)上-江蘇宿遷?期中）在學(xué)校組織的研學(xué)活動(dòng)中，需要學(xué)生自己搭建帳篷.7

圖是搭建帳篷的示意圖.在△ABC中，支架AD從帳篷頂點(diǎn)A支撐在水平的支架BC上，且AD1BC于點(diǎn)D,經(jīng)

測(cè)量得：AB=2m,AD=1.2m,CD=0.9m.按照要求，帳篷支架AB與AC所夾的角需為直角.請(qǐng)通過(guò)計(jì)算

說(shuō)明學(xué)生搭建的帳篷是否符合條件.

【變式訓(xùn)練】（23-24八年級(jí)上-江西吉安?期末）張明家有一塊菜地如圖所示，已知AB=3X,BC=4米,

CD=12米，DA=13米，且4B=90。，求這塊菜地面積是多少平方米？

CD

口網(wǎng)難度分層拔尖沖刺_________________________________________________________

基礎(chǔ)夯實(shí)

1.（24-25八年級(jí)上?陜西西安?階段練習(xí)）松松同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了計(jì)算如圖所示的風(fēng)箏

高度CE,測(cè)得如下數(shù)據(jù)：①測(cè)得BD的長(zhǎng)度為12m；（BD1CE）；②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線BC的

長(zhǎng)為15m；③松松身高AB為1.6m,若松松同學(xué)想使風(fēng)箏沿CD方向下降4m,則他應(yīng)該往回收線（）

米.

2.（23-24八年級(jí)上?廣東河源?階段練習(xí)）圖中數(shù)字表示對(duì)應(yīng)正方形的面積，則圖中正方形A、B、C、D

225

A.B.C.

3.;22-23八年級(jí)上?江蘇宿遷-階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形紙片，將其沿MN折疊,

使點(diǎn)8落在CD邊上的B'處，點(diǎn)力對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A；且B'C=2,則AM的長(zhǎng)為.

4.（23-24八年級(jí)上?四川眉山?期末）如圖，圓柱的底血周長(zhǎng)是10cm,圓柱高為12cm,一只螞蟻如果要

沿著圓柱的表面從下底面點(diǎn)力爬到與之相對(duì)的上底面點(diǎn)8那么它爬行的最短路程為.

5.（24-25八年級(jí)上?福建漳州?期中）如圖，在修一條東西走向的公路AB時(shí)遇到一座小山，于是要修一

條隧道BC.已知A