§5.2平面向量基本定理及坐標表示

【課標要求】1.了解平面向量基本定理及其意義2掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.3.會用坐標表示平

面向量的加法、減法與數(shù)乘運算4理解用坐標表示的平面向量共線的條件.

I.平面向量基本定理

如果臼，也是同一平面內的兩個包線向量，那么對于這一平面內的任一向量有且只有一對實數(shù)

力，x.2?彳變cr=/eiI22?2.

若白，以不共線，我們把｛幻，62｝叫做表示這一平面內所有向量的一個基底.

2.平面向量的正交分解

把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

3.平面向量的坐標運算

（1）向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模

設。=即％）,6=（X2，"），則

。+1=（片+］2,月+⑹,力=（/|一九，月—V2）,Afl=（Zri,zvi）,lal=Jxf+yf.

（2）向量坐標的求法

①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.

②設A（xi，y\）,8（x2，”），則說=（12-xi，V2—yI），I麗］=J（x?一/尸+⑶？一當）2

4.平面向量共線的坐標表示

設。=（汨，yi）,b=（x?,力），其中b#0,則a〃〃=即v—二〃i=0.

1.判斷下列結論是否正確.（請在括號中打“4”或“X”）

（I）平面內的任何兩個向量都可以作為一個基底.（x）

⑵設ia,力｝是平面內的一個基底,若實數(shù)Z1,jUl,^2,42滿足4。+〃仍=12。+〃力,則Z1=2,2,〃|=

"2.（7）

⑶設。=（即，V）"=（也，M,當且僅當爾2/0時，。〃》與3=血等價.（<）

“2V2

（4）若。=（汨，yi）,h=（x2,丫2）,貝1］。=〃=即=及且yi=）2（Y）

2.設平面向量a=（—1,0）,力=（0,2）,則2a—3方等于（）

A.（6,3）B.（—2,—6）

C.（2,1）D.（7,2）

答案B

解析2a—3b=2(—1,0)-3(0,2)=(-2,-6).

3.在正方形A8CO中，E為DC的口點,若屈=2荏+〃前(九〃￡R),則A+〃的值為()

A.-B.--C.lD.-1

22

答案A

解析因為E為OC的中點，所以配=而+而=［詬通+同超+屁+同=9麗+荏，即荏

=一：麗+冠，所以％=一：,〃=1,所以2+〃=：.

222

4.已知平行四邊形A8C。的頂點4(-1,-2),8(3,-1),C(5,6),則頂點。的坐標為.

答案(1,5)

解析設O(x,y),則說=反，

得(3-(一1),-1-(-2))=(4,1)=(5—x,6-y),

即5-％解得「=1,即a］，習.

.1=6-y,ly=S,

1.熟記以下常用結論

(1)如果對于一個基底｛g,e2j，有。=為6|+2202=〃14+〃262，那么可以得到即基底給定，同一向量

的分解形式唯一.特別地，若九4+2262=0,則為=22=().

(2)已知△48C的重心為G,若A5,>'1),8(X2,竺)，C(x3,券)，則G點坐標為("手巴，”+:十%)

2.謹防三個易誤點

(1)基底｛幻，蟲｝必須是同一平面內的兩個不共線向量.因為零向帚平行于任意向量，所以不能作為基底中的

向量.

(2)0〃8的充要條件不能表示為3=也，因為V有可能為0.

x2yz

(3)向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關系.兩個相等的向量，無論起點在什么

位置，它們的坐標都是相同的.

題型一平面向量基本定理的應用

例1(1)(2025?鹽城模擬)若他，川是平面內的一個基底，則下列四組向量中能作為平面向量的基底的

是()

Aib-aB.2a+b,a+卞

C.2〃-3a,6。-4〃D.aD.a+b,a-b

答案D

解析A選項，力一a=一(“一方),所以a—力，〃一。共線，不能作為基底.

B選項，2a+Z>=2(a+狗，所以2a+8”+/共線，不能作為基底.

C選項，6a—4b=-2(2b—3a),所以2b—3。，6a—4b共線，不能作為基底.

D選項，易知。+力，。一6不共線，可以作為基底.

(2)如圖，在平行四邊形A8C。中，E,尸分別為邊48,8C的中點，連接CE,。凡交于點G.若這

=/而+〃函九40，則卜.

AEB

答案!

解析由題圖可設庶=xCE(O<x<1),

則葡=x(而+兩=工物+海)

=-CD+xCB.

2

因為蕉=2而+〃而，而與而不共線，

所以2=：,N=X,所以:=

思維升華(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、

減或數(shù)乘運算.

(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量

的形式，再通過向量的運算來解決.

跟蹤訓練1⑴(2022?新高考全國I)在中，點。在邊A8上，8￡>=2D4.記方=m，CD=n,則

麗等于()

A.3/W-271B.-2帆+3〃

C.3m+2〃D.2/w+3〃

答案B

解析因為BD=2DA,所以四=3而，所以詼=85+同=斤+3而=85+3(而一萬5)=—285+3而=

-2m4-3/i.

(2)在△A8C中，點。在邊A8的延長線上，AB=2BD,CB=fnCA+nCD,in,〃WR,貝lj()

._2_1n_l_2

A./??----,n----B./w----?n---

3233

(2)向量的坐標表示使向量運算代數(shù)化，成為數(shù)與形結合的載體，可以使很多幾何問題的解答轉化為我們熟

知的數(shù)量運算.

跟蹤訓練2(1)已知點A(0,1),以2,3),向量或=(-3,1),則向量而等于()

A.(l,-2)2)

C.(l,-3)D.(-l,3)

答案D

解析因為A(0,I),8(2,3),所以彳5=(2,2),

所以就=而+而=(2,2)+(-3,1)=(-!,3).

(2)(2025?成都模擬)在正方形48CD中，M是8c的中點.若n=2而麗(九〃￡R),則關+〃的值為

()

A.-B.-C.—D.2

338

答案B

解析在正方形48CD中，以點A為原點，43,4。所在直線分別為軸建立平面直角坐標系，如圖，

令A8=2,則B(2,0),C(2,2),D(0,2),M(2,1),AC=(2,2),AM=(2,1),麗=(一2,2),i宿+

〃麗=(27—2〃，A+2/z),

因為n=).俞+〃麗,所以，人一？兒一2，

X+2a=2,

解得,1=.〃=[2+〃=^,

所以的值為*

題型三向量共線的坐標表示

例3⑴(2024?臨沂模擬)已知向量。二(3,〃?)，力二(一1,1),若?！?則〃2等于()

A.lB.-lC.9D.-9

答案B

解析因為向量0=(3,M,8=(一1,J,

普a4b,則3x^=-m,即"z=-1.

3

(2)己知點A(4,0),8(4,4),C(2,6),O為坐標原點，則AC與08的交點P的坐標為.

答案(3,3)

解析方法-04=(4,0),05=(4,4),沆=(2,6),

由0,P,8三點共線，可設而=而§=(42,4z),2eR,則而=而一瓦?=(42—4,42).又前=沆一瓦5

=(—2,6),

由而與尼共線，得(47—4)x6—4數(shù)(-2)=0,解得2=：,所以而=；而=(3,3),

44

所以點P的坐標為(3,3).

方法二設點P(x,)，)，則赤=(x,y),因為礪=(4,4),且赤與礪共線，所以*=：，即x=y.又前=(x

-4,y),AC=(-2,6),且而與而共線，所以(彳一4怵6—)0<(—2)=0,解得x=y=3,所以點尸的坐標為

(3,3).

思維升華平面向量共線的坐標表示問題的解題策略

⑴若。=(即，y\),b=(xi,沏,其中力W0，則a//b的充要條件是汨竺=12?.

⑵在求與一個已知向量。共線的向量時，可設所求向量為〃(2ER).

跟蹤訓練3(1)(2025?景德鎮(zhèn)模擬)已知向量a=(2,3),b=Q,sina—3),c=(2,cosa),若(a+))〃c,

則tana的值為()

A.2B.-2C.-D.--

22

答案A

解析因為?=(2,3),b=(2,sina-3),

所以a+b=(4,sina),

又c=(2,cosa)且(a+A)〃c,

所以4cos?=2sina,則tana=列史=2.

cosx

(2)已如向最。=(1,4),Z>=(2,3),若?！?a—力)，且|c|=l,則c的坐標為.

答案(哼*)或俘，/)

解析因為?=(1,4),2(2,3),

所以。一力=(一1,1),

因為c〃(a—力，且|c|=l,所以cntLu,

|a-o|

又萬一加=/，所以。=等=(一1,曰)或,=一等=償，-y).

■微拓展----------------------------------------------------------------------------------------------

定比分點坐標公式

定比分點是中點、三等分點的延伸拓展，在解決平面向量和解析幾何題目中都有應用.

如圖，線段PiP?的端點P1,P?的坐標分別是(M.M).(X2,J2),點P是直線PiP?上異于P1.P?的點，當

第=7畫(2并且拄-1)時，而=—0P1+—OP^,點P的坐標是(士二生,汽*)，當幺>0時，點p

1+A1+A\1+A1+A)

在線段P1P2上，稱為內分點；當2<0且耳?1時，點尸在線段PiP?的延長線上，稱為外分點.

典例(1)若過兩點P|(-1,2),P2(5,6)的直線與X軸相交于點P,則點P分有向線段R瓦所成的比A的值為

(?

A.--3B.--5C.S-D.3-

答案A

解析設P(x,0),則2=浮=-I.

6—03

(2)已知M(-2,7),Ml。，?2),點P是線段MN上的點，且麗二-2PM,則尸點的坐標為()

A.(-14,16)B.(22,-II)

C.(6,1)D.(2,4)

答案D

解析由解=2兩,可知。分有向線段而所成的比是2=2.設O為坐標原點，所以赤二二一而+

1+A6河

則p(吆,士上)，即(2,4).

\1+21+2)

課時精練

［分值：90分］

閾知識過關

一、單項選擇題(每小題5分，共30分)

1.已知。=(5,-2),力=(一4,-3),若。-2b+3c=0,則c等于()

答案D

解析Va-2/F+3c=U,

???c=一刎-2b).

*：a-2b=(5,一2)一(一8,—6)=(13,4),

?3一料―2b)=(g,-；).

2.(2024.北京模擬)已知向量”=(4+1,3),b=Q,3),若。與共線，則實數(shù)2等于()

A.—2B.—1C.lD.2

答案C

解析???。=(2+1,3),力=(2,3),

?,?。+》=(2+3,6),

又??7與〃+力共線，

/.(Z+1)X6-(z+3)x3=0,解得+=1.

3.平面內任一向量m都可以表示成及+〃伙2,〃￡R)的形式，下列關于向量。，b的說法中正確的是()

A.向量a,8的方向相同

B.向置a,力中至少有一個是零向量

C.向曾心力的方向相反

D.當且僅當7=4=0時，〃+油=0

答案D

解析因為任一向量機=2a+〃b(A,"WR),

所以根據(jù)平面向量基本定理得，向量a,〃不共線，故A,B,C不正確；

因為a,力不共線，所以當且僅當；.=4=0時，；.a+/^=0,故D正確.

4.己知費=(1,-1),C(0,1),若加=2而，則點。的坐標為］)

A.(-2,3)B.(2,—3)

C.(-2,1)D.(2,-1)

答案D

解析設D[x,y),則麗=(x,廠1),2而二(2,-2),

根據(jù)而=2而，得(x—1)=(2,-2),

v=2%=2,__

即'解得即0(2,-I).

(y-1=-2,ly=-1,

5.在△A8C中,點M是8C的中點，點N在邊AC上，且4V=2NC,AM與BN交于點P,若AM=5.5,則

4P的長是()

A.3.8B.4C.4.2D.4.4

答案D

解析方法一設的=6，CN=e2,

則＜M=Z^+C/v/=-3e?—ei,

BN=BC^-CN=2e^e2,

因為點A,P,M和點8,P,N分別共線，

所以存在實數(shù)2,",使而=7而7=一?-3處,掘=廊=2幽十g,

所以瓦5=前一通=(2+24)4+(3/1+4)62,

又曲=近+彳=261+302,

所以『+2〃=2,解得,=?

(3A+M=3,

所以而=(祠,

所以A-=IM=4.4.

方法二設而=7麗，2￡R,

因為M是8c的中點,AN=2NC,

則而=*而+硝=3通+:而，

AP=XAM=-AAB+,

24

又B、P,N三點共線，所以弱=1,

24

解得,l=g,所以”二1"=4.4.

6.如圖，在△/WC中，/AAC=90。，AB=BC=1,以4c為直徑的半圓上有一點歷，麗=幺玩+每瓦5,

則實數(shù)2等于()

B3

c2D.x/3

答案A

解析以3為原點，〃C,84所在直線分別為x軸、'軸建立如圖所示的平面直角坐標系.

貝ljA(0,1),C(1,0),AC=V2,

則以AC為直徑的圓的圓心為人。的中點og,1).

則以AC為直徑的圓的方程為

設M(x,y),

則兩=Q,y),前=(1,0),BA=(0,1),

前=痂+每曲=",V3A),

所以［*=%

(y=V3A,

22

由點M在圓(％_1)+(y—9)=:上，

可得a_m+(V3A-=1,

即4/一（1+逐況=0,

解得】=絆1或2=0（舍去）.

二、多項選擇題（每小題6分，共12分）

7.已知向量。=（2,—1）,b=（—1,3）,則下列向量與2a+b平行的是（）

A.（2,B.（l,-3）

C.（l,-2）D.（-l,-J

答案AD

解析因為a=（2,-1）1=（—1,3）,所以2a+力=（3,1）,故若向量（x,y）滿足3），-x=0，則該向量與

2。+力平行.檢驗易知A,D符合題意.

8.已知△ABC中，點尸滿足同+麗=麗，點。在△P3C內（含邊界），其中而=入了豆+）就，則（）

A.若工=/）'=|，則需=2

B.若P,Q兩點重合，則而=:而+：而

C.存在x,），，使得工+2），=：

D.存在x,卜使得x+2y二弓

答案BCD

解析對于A,AQ=^AS+^AC,即3AQ=A§+2AC,故而—而=2而—2而，則的=2無，故整="

33BQ2

故A錯誤；

對于B,由瓦?十麗=而得，而+而+定=0,故P為的重心，則。為△A8C的重心，故前=

^AB-^AC,故B正確；

對于C,D,取AC的中點。，則點=以至+2）而，由點。在△尸8c內（含邊界），

過點。作MN〃用D（當點。在線段8P上時，MN與8。重合），與線段CD交于點、M,與射線人8交于點N,

如圖所示，

設麗二攵而，攵￡[1,2],則前二女而，

因為點M,Q,N三點共線，所以存在實數(shù)2,使而=2萬7+（1—力而=6而+41-2）而，

因為前=工而+2)，而，所以卜一旗1一')'則x+2y=A￡[l,2],故C和D正確.

,2y=kA,

三、填空題(每小題5分，共10分)

9.己知向量57=(3,4),礪=(6,—3),OC=(5-m,一3一〃?)，若點A,B,C能構成三角形，則實數(shù)〃7

應滿足的條件是.

答案〃?工一高

解析因為而=而一次=(3,-7),AC=OC-OA=(2~/n,一7一〃。，

又點A,B,C能構成三角形，

所以點A,B,C不共線，即而與尼不共線，

所以3(—7—〃?)一(一7)(2—〃?)W0,

解得冽w一高.

10.在梯形ABC。中，AB//CD,且CZ)=2A8,若點A(l,2),比2,1),C(4,2),則點。的坐標

為.

答案(2,4)

解析?.?在梯形48C。中，CD=2AB,AB//CD,

：.~DC=2AB,

設點。的坐標為(x,y),則方？=(4—x,2—y),

又而=(1,-1),???(4-x,2-y)=2(l,-1),

即[4r=2,..尸2,

2-y=-2,(y=4,

???點D的坐標為(2,4).

四、解答題(共27分)

11.(13分)平面內給定三個向量。=(3,2),8=(—1,2),c=(4,1).

⑴若(a+履)〃(2方一0),求實數(shù)十(6分)

(2)若d滿足(d-c)〃(a+b),且|d-c|=遍,求d的坐標.(7分)

解(1)。+履=(3+4*,2+Q,2b~a=(-5,2),

由題意得2x(3+4k)—(―5)x(2+攵)=0,

解得攵=一號.

(2)設d=(x,y),則d~c=(x—4,y—1),

又a+b=(2,4),(d-c)//(a+〃)，

\d-c\=V5,

.f4(x-4)-2(y-1)=0,

??仆一鏟+⑶-1)2=5,

x=3(x=5

解得‘或‘

y=-1ly=3.

???d的坐標為(3,一1)或(5,3).

12.（14分）如圖所示，已知矩形ABCO中，AB=2,AD=l,DM=^DC,麗=|近，AC與MN相交于點E.

（I）若標=）.荏+〃而，求實數(shù)2和4的值；（7分）

（2）用向量前，麗表示樂.（7分）

解（1）如圖，以4點為原點，AB所在直線為x軸，A。所在直線為1y軸，建立平面直角坐標系，則。（0,

l),〃(2,0),M(|,1),N(2,I),

所以而=(『,AB=(2,0),AD=(0,1),

所以標=G,=7而+〃而=(22,//),

4/

24=

所以《3]解得｛

1

LI---

六3

(2)設荏=沅，AC=niAM+nAN,r,/n,〃￡R,

因為福=(|,1),AN=(2,I),

又C(2,1),則前=(2,1),

所以1?=(2,l)=(|m+2n,機+|九).

f-yn+2n=2,(m=

即92解得67

(m+§n=l,[n=",

^AC=-AM+-AN,

77

所以標=為？=*而?+*麗，

又因為M,E,N三點共線，

所以a+*=1,則f=，

所以而制福+g麗.

10能力拓展

13題6分，14題5分，共11分

13.(多選)如圖，在中，E是人。的中點，尸是8。上的一點，旦就一4秒，若沆一小灰+/?赤，其

中〃?，〃WR,則()

2

A.，〃+〃=—B.m-n=-

77

C.2，〃=3〃D.3〃z=2〃

答案ABC

解析在口04C8中，OA=BC,OB=AC,OC=OA^OB,

因為E是AC的中點，所以荏m=；而，

所以OE=04+4E=O4+tOB,

因為阮=4而，所以麗