§1.2常用邏輯用語(yǔ)

【考試要求】1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質(zhì)

定理與必要條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系2理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對(duì)

兩種命題進(jìn)行否定.

-落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若〃今4，則p是q的充分條件,q是p的必要條件

p是q的充分不必要條件p0q且q#p

p是q的必要不充分條件p#q且q=p

p是q的充要條件p0q

p是q的既不充分也不必要條件p#q且q#p

2.全稱量詞與存在量詞

⑴全稱量詞：短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)表

示.

⑵存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)

“m”表示.

3.全稱量詞命題和存在曷詞命題

名稱全稱量詞命題存在量詞命題

結(jié)構(gòu)對(duì)M中任意一個(gè)x,〃(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立

簡(jiǎn)記漢x)〃(x)

否定㈱p(x)'八RM,

【常用結(jié)論】

1.充分、必要條件與對(duì)應(yīng)集合之間的關(guān)系

設(shè)A={即⑼,B={x\q(x)].

(1)若〃是的充分條件，則A&&

(2)若〃是q的充分不必要條件，則AB；

⑶若])是q的必要不充分條件，則BA；

(4)若〃是^的充要條件，則A=氏

2.含有一個(gè)量詞命題的否定規(guī)律是“改變量詞，否定結(jié)論”.

3.命題〃與〃的否定的真假性相反.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“義”）

（1）〃是q的充分不必要條件等價(jià)于9是〃的必要不充分條件.（J）

（2）“三角形的內(nèi)角和為180?！笔侨Q量詞命題.（J）

（3）已知集合4,B,的充要條件是4=8.（J）

（4）命題sin^+cos25=5"是真命題.（義）

【教材改編題】

1.命題“Dx￡R,e'—12x”的否定是（）

A.BxGR,B.VxGR,y-lWx

C.Bx^R,ev-l<xD.Vx￡R,eK-l<x-

答案C

解析由題意得命題“VxER,e■，一12『'的否定是“mx￡R,e'-la”.

2.（多選）下列命題中為真命題的是（）

A.\/x￡R,jr>0B.Vx^R,—KinxWl

C.3xeR,2'<0D.BxGR,tanx=2

答案BD

解析當(dāng)x=0時(shí)，A2=0,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)x￡R時(shí)，一iWsinxWl,所以B選項(xiàng)正確：

因?yàn)?、>0,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)楹瘮?shù)y=tanx￡R,所以D選項(xiàng)正確.

3.若“.>3”是“心>〃?”的必要不充分條件，則〃?的取值范圍是.

答案（3,+8）

解析因?yàn)?3”是的必要不充分條件，

所以+8）是（3,+8）的真子集，

由圖可知m>3.

■探究核心題型

題型一充分、必要條件的判定

例1（1）（2023?淮北模擬）"a>b>0”是“齊1”的（）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條住

答案B

解析由公社>0,得表1,反之不成立，

如。=一2,6=一1,滿足表1,但是不滿足?！?gt;0,

故%>/>()”是“齊1”的充分不必要條件.

(2)(2021?全國(guó)甲卷)等比數(shù)列■力的公比為4,前〃項(xiàng)和為S”.設(shè)甲：4>0,乙：｛&｝是遞增數(shù)列,

則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

答案B

解析當(dāng)0<(),q>\時(shí)，①=〃?門(mén)<0,此時(shí)數(shù)列｛SJ單調(diào)遞減，所以甲不是乙的充分條件.當(dāng)

數(shù)列｛5〃｝單調(diào)遞增時(shí)，有&”-5尸外+|=44>0,若《>0,則/>0(〃￡N"),即鄉(xiāng)>0；若如<0,

則上05WN'),不存在.所以甲是乙的必要條件.

思維升華充分條件、必要條件的兩種判定方法

(1)定義法：根據(jù)〃=>“，進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問(wèn)題.

(2)集合法：根據(jù)p,夕對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍

的推斷問(wèn)題.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022?長(zhǎng)春模擬)"a仍=|。|時(shí)'是與力共線”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析因?yàn)?。?|a||0|cos(a,b)=\a\\b\,

所以cos(〃，b)=1,

因?yàn)椤?h)e[0,兀],

所以〈a,b)=0,

所以。與力共線，

當(dāng)。與》共線時(shí)，(a,b)=0或(a,b｝=n,

所以。?b=M|g|cos(a,b)=|。|向或<rA=|a||b|cos(a,b)=~\a\\b\,

所以(tab=\a\\bC是“。與b共線”的充分不必要條件.

(2)(多選)已知事函數(shù)yu)=(4〃?-1)上川，則下列選項(xiàng)中，能使得7(。)習(xí)(〃)成立的一個(gè)充分不必要

條件是()

110,

A.0<^<^B.cr>b-

C.ln?>ln/?D.2">2〃

答案AC

解析由題設(shè)知4機(jī)—1=1,可得〃?=；,故/(幻=5，

所以，要使貝。)》〃)，則如乃/，即〃>心。.

。3<1臺(tái)4>}>0,A符合題意；

In6/>lnb—a>b>0,C符合題意；

B,D選項(xiàng)中a,〃均有可能為負(fù)數(shù)，B,D不符合題意.

題型二充分、必要條件的應(yīng)用

例2在①4UB=B；②"x￡A”是“xSB”的充分條件；③“X￡[RA”是“X￡1R/T的必

要條件這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到本題第(2)問(wèn)的橫線處，求解下列問(wèn)題.

問(wèn)題：已知集合A={x|aWxWa+2},8={.r[(x+l)(x—3)<0}.

(1)當(dāng)4=2時(shí)，求408；

(2)若,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

解(1)由(工+1)(.￥—3)<0,

解得一1<x<3,

所以8={A|(X+1)。-3)<0}="|-17<3},

當(dāng)a=2時(shí)，A={x|2W/W4},

所以4nB={x[2Wx<3}.

(2)若選①則AW5,所以]“：]：解得一即〃￡(一1,1)；

[a+2<3,

ci>—I,

若選②“x￡A”是“xRB”的充分條件，則AU8,所以,.解得一

[〃+2<3,

即?！?—1,1)；

若選③"X￡[RA"是'"￡[通”的必要條件，則AGB,所以"「:解得一1%<1,即

.。+2<3,

aG(—1,1).

思維升華求參數(shù)問(wèn)題的解題策略

（1）把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出

關(guān)于參數(shù)的不等式（或不等式組）求解.

（2）要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).

跟蹤訓(xùn)練2（2023?宜昌模擬）已知集合A={x|-2yW3},B={xLr-2/7rv+/M2-KO}.

（1）若〃?=2,求集合ACB：

（2）已知〃：是否存在實(shí)數(shù)”使〃是"的必要不充分條件，若存在實(shí)數(shù)〃

求出〃?的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解⑴由rn=2及x2—2〃比+〃「一］<（）,

得f-4x+3<0,解得l<x<3,

所以?={x|l<v<3},

又A={x|-2<xW3},

所以A08=3183}.

（2）tbAT—2nix-\-nr—1<0,

得［%—（〃?-1）］［x—（5+1）］<0,

所以in—1令<〃?+1,

所以?={.v|w-l<r<w+l}.

由〃是g的必要不充分條件，

得集合8是集合A的真子集，

m~12一2,

所以今一兩端等號(hào)不會(huì)同時(shí)取得），

所以〃?的取值范圍為

題型三全稱量詞與存在量詞

命題點(diǎn)1含量詞命題的否定

例3（2022?漳州模擬）命題“Wa￡R,/—or+1=0有實(shí)數(shù)解”的否定是（）

A.V?eR,f-ar+l=O無(wú)實(shí)數(shù)解

B./一四+1=0無(wú)實(shí)數(shù)解

C.f—ar+lHO有實(shí)數(shù)解

D.3?eR,f-at+lWO有實(shí)數(shù)解

答案B

解析因?yàn)槿Q量詞命題的否定是存在量詞命題，

所以“Da￡R,f-ai+l=O有實(shí)數(shù)解”的否定是“三。￡&x2-笊+1=0無(wú)實(shí)數(shù)解”.

命題點(diǎn)2含量詞命題真假的判斷

例4（多選）（2023?沈陽(yáng)模擬）下列命題中為真命題的是（）

A.BxeR,

B.對(duì)于〃￡N*且〃>1,都有很=x

C.VxeR,ln(x-l)2^O

D.lnx2x—1

答案AD

解析當(dāng)后0時(shí)，0§Wl,故A項(xiàng)是真命題;

當(dāng)〃為偶數(shù)，且1<0時(shí)，々R=-x,故B項(xiàng)是假命題；

當(dāng).1=1時(shí)，ln(x—1)2無(wú)意義，故C項(xiàng)是假命題：

當(dāng)x=l時(shí)，lnx2x-l,故D項(xiàng)是真命題.

命題點(diǎn)3含量詞命題的應(yīng)用

例5若“能"一字為，sin.r<〃?”是假命題，則實(shí)數(shù)，〃的最大值為()

A.；B.一；C坐D.一坐

答案D

解析因?yàn)椋邸?對(duì)，sinxcW'是假命題，

所以一爭(zhēng)1,mWsinx”是真命題，

即〃Wsinx對(duì)于VxU—金，，恒成立,所以〃《(sinx)mn，

因?yàn)槭瑂inx在一會(huì)，外上單調(diào)遞增，

所以x=-W時(shí)，尸sinx最小，其最小值為尸sin(一§=—sin號(hào)=一坐，

所以機(jī)W一坐，所以實(shí)數(shù)，〃的最大值為一堂.

思維升華含量詞命題的解題策略

⑴判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一

個(gè)成立即可.當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判定時(shí)，可以先判斷其否定的真假.

(2)由命題其假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍；二是可利用等價(jià)命題求

參數(shù)的范圍.

跟蹤訓(xùn)練3(1)已知命題p：m〃￡N,/22〃+5,則能少為()

A.V/zGN,序22〃+5

B.m〃￡N,〃2忘2〃+5

C.VnGN,代2〃+5

D./?=2〃+5

答案C

解析由存在量詞命題的否定可知，睇〃為〃2<2〃+5.所以C正確，A,B,D錯(cuò)誤.

(2)(多選)下列命題是真命題的是()

A.VxeR,T-lvO

B.V〃仁Z,nn\—in

C.所有圓的圓心到其切線的距離都等于半徑

13

D.存在實(shí)數(shù)x,使得/_〃+3=^

答案ABC

解析VA-GR,-fwo,所以一故A項(xiàng)是真命題；

當(dāng)〃?=0時(shí)，〃〃?="?恒成立，故B項(xiàng)是真命題：

任何一個(gè)圓的圓心到切線的距離都等于半徑，故C項(xiàng)是真命題；

因?yàn)閒-2x+3=(x-a+222,

—3

所以4-<-

24故D項(xiàng)是假命題.

(3)若命題f+伍-l)x+l<0”的否定是假命題，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

答案(一8,-1)U(3,+8)

解析命題“mx￡R,『+("-l)x+lvO”的否定是假命題，

則命題“=IY￡R.~+(〃-1)丫+1<0”是真命題.

即/=(4-1)2—4>0,

解得。>3或(!<—1,

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-8,-1)U(3,+8).

課時(shí)精練

旦基礎(chǔ)保分練

1.(2023?上饒模擬)“心>2021”是“42022”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析若『>2022,因?yàn)?022>2021,故r>2021,

故"f>2022”可以推出“『>2021”，

取x2=2021.5,則滿足r>2021,但『>2022不成立,

所以“『>2021”不能推出“『>2022”，

所以“6>2021”是“f>2022”的必要不充分條件.

2.已知命題p：3XEQ,使得.毋N,則睇〃為（）

A.VKQ,都有依NB.使得為￡N

C.VxeQ,都有x￡ND.3xeQ,使得x￡N

答案C

解析因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定是全稱量詞命題，

所以由p：使得.&N,

得^p：VxGQ,都有x￡N.

3.已知命題：“Vx￡R,方程f+4x+a=0有解”是真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.。<4B.

C.a>4D.“24

答案B

解析“Vx￡R,方程『+4x+a=0有解”是真命題，

故4=16—4a20,解得a<4.

4.（2023?武漢模擬）已知a，力是兩條不重合的直線，a為一個(gè)平面，且a_La,則“_L"”是

“a〃b”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析當(dāng)〃_La時(shí)，結(jié)合a_La,可得a〃〃，充分性滿足；

當(dāng)。〃力時(shí)，結(jié)合a_La,可得〃_La,必要性滿足.

故“人”是ua//bn的充要條件.

5.命題“D1W4W2,為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.B.“25

C.”W4D.后5

答案B

解析因?yàn)槊}“VlWx《2,x2—“W0”是真命題，

所以\ZlWxW2,恒成立,

所以“24,

結(jié)合選項(xiàng)，命題是真命題的一個(gè)充分不必要條件是。25.

6.（多選）,卜列命題是真命題的是（）

A.所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)

B.有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使f+lr+3=0

C."a=『是"sina=si"”成立的充分不必要條件

D.命題x+2W0”的否定是“Wx￡R,x+2>0”

答案CD

解析2是一個(gè)素?cái)?shù)，但2是偶數(shù)，所以A是假命題；

對(duì)于方程f+2x+3=0,其中/=22-4X3=-8<0,

所以不存在實(shí)數(shù)，使得f+2x+3=0成立，所以B是假命題；

由a=^=>sina=sin[i,但由sina=sin1｝不能得到a=B，故"a=是“sina=sin(T成立

的充分不必要條件，所以C是真命題；

根據(jù)全稱量詞命題與存在量詞命題的關(guān)系，可得命題“mxER,x+2W0”的否定是

x￡R,x+2>0"，所以D是真命題.

7.(多選)若“mx￡(0,2),使得ZF—乂+1<0成立”是假命題，則實(shí)數(shù)，可能的值是()

A.1B.2^2C.3D.3啦

答案AB

解析由題意可知，命題“Vx￡(0,2),2『一"+120成立”是真命題，

所以MW2F+1,可得AW2Y+L

X

當(dāng)x￡(0,2)時(shí)，由基本不等式可得

2A+；221/2X[=2小，

當(dāng)且僅當(dāng)》=坐時(shí)，等號(hào)戌立，

所以AW2陋.

8.南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家祖麗.在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn)，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出祖廂原理：”轅

勢(shì)既同，則積不容異”.其含義是：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)

平行平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)械面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相

等.如圖，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體的體積分別為％,V2,被平行于這兩個(gè)平面

的任意平面截得的兩個(gè)截面面積分別為$,S2,則S2不總相等”是“%，丫2不相等”

的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析命題：如果S2不總相等”,那么“修，吻不相等”的等價(jià)命題是：如果

丫2相等“，那么“多,S2總相等”.

根據(jù)祖唯原理，當(dāng)兩個(gè)截面的面積多,S2總相等時(shí)，這兩個(gè)幾何體的體積匕，L相等，所以

逆命題為真，故是必要條件；

當(dāng)兩個(gè)三棱臺(tái)，一正一反的放在兩個(gè)平面之間時(shí)，此時(shí)體積相等，但截得截面面積未必相等，

故是不充分條件，所以S2不總相等”是“％,卜2不相等”的必要不充分條件.

9.命題“Vxe（0,7）,siuvcos『'的否定是.

答案j）,sinx>cos.r

解析因?yàn)?sinxvcosx"的否定是"sinxBcosx",

所以“Tx￡（0,；）,sinx<cosx"的否定是“三工￡（0,；）,sinxNcosx”，

10.使得“2'>4”成立的一個(gè)充分條件是.

答案文<一1（答案不唯一）

解析由于4、=2汽故2、>2合等價(jià)于x>2x,

解得x〈0,

使得“2、>4”成立的一個(gè)充分條件只需為集合口以〈0}的子集即可.

11.已知命題“三丫￡{1|一24<3},使得等式〃一〃?=0成立”是假命題，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍是?

答案（一8,—4]U[6,+8）

解析若原命題為真命題，則].v|-2<r<3},

使得利=2x成立，則一4<m<6;

故若原命題為假命題，

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（一8,-4JU[6,+8）.

12.已知a：xv2/〃-1或%>一〃]，氏%<2或x24,若a是夕的必要條件，則實(shí)數(shù)〃?的取值范

圍是.

答案G，+8）

解析設(shè)4={巾<2〃?一1或Q—〃?},B={x\x<2或x24},

若a是”的必要條件，則B墨A,

當(dāng)2機(jī)一1>一機(jī)，即機(jī)時(shí)，此時(shí)A=R,8UA成立；

12，〃一122,

當(dāng)2，〃一1W-即m時(shí)，若此時(shí)J無(wú)解.

綜J-.

應(yīng)綜合提升練

13.(多選)若"VxEM,\x\>x,f為真命題，“機(jī)￡加,心>3”為假命題，則集合M可以是()

A.(-8,-5)B.(-3,-1]

C.(3,+8)D.[0,3]

答案AB

解析Vx>3為假命題，

???何，xW3為真命題，

可得(—8,3],

又|A1>X為真命題，

可得MU(—8