3.2.2奇偶性

【知識梳理】

知識點一函數(shù)奇偶性的定義

前提條件：奇（偶）函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱.

奇偶性定義圖象特點

一般地，設(shè)函數(shù)7U）的定義域為/,如果都有

偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱

一%￡/,且八一x）=/u）,那么函數(shù)yu）就叫做偶函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)凡6的定義域為/,如果Wx￡/,都有

奇函數(shù)關(guān)于原點對稱

-xe/,且人一幻=一人幻，那么函數(shù)人/）就叫做奇函數(shù)

知識點二用奇偶性求解析式

如果已知函數(shù)的奇偶性和一個區(qū)間［小句上的解析式，想求關(guān)于原點的對稱區(qū)間［一從一〃］上的解析式，其

解決思路為：

（1）“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個區(qū)間上設(shè).

⑵要利用已知區(qū)間的解析式進行代入.

（3）利用yu）的奇偶性寫出一/u）或五一不），從而解出/U）.

知識點三奇偶性與單調(diào)性

若函數(shù)7U）為奇函數(shù)，則/U）在關(guān)二原點對稱的兩個區(qū)間［〃，。］和［一4一可上具有相同的單調(diào)性；若函數(shù)/U）

為偶函數(shù)，則凡!?）在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間口，切和［―〃，-a上具有相反的單調(diào)性.

【基礎(chǔ)自測】

1.下列函數(shù)中奇函數(shù)的個數(shù)為（）

①Ax）=/；②/2-）=/；

（3）/iA-）=x+p④/㈤=￡

人人

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

2.設(shè)函數(shù)yu）=/、'［'且/（X）為偶函數(shù)，則式一2）等于（）

g（x）,x<0,

A.6B.-6C.2D.-2

【答案】A

［詳解］虱_2）={_2）=/（2）=22+2=6.

3.若/（x）=a+〃）（x—4）為偶函數(shù)：則實數(shù)。=.

【答案】4

【詳解】_/U）=f+（〃-4）X—4”是偶函數(shù)，a=4.

4.函數(shù)人x）為偶函數(shù)，若Q0時，K1）=?則KO時，人幻=.

【答案】一］

【詳解】方法一令必0,則一心>0,

?\A一力=一心

又為偶函數(shù)，?\A-X）=yu）,

，財=一%（。<0）.

方法二利用圖象（圖略）可得x<0時，兀r）=-x.

5.已知偶函數(shù)人工）在區(qū)間K）,+8）上單調(diào)遞增，則滿足八公一的X的取值范圍是________

【答案】生5

【詳解】依題意有九。在［0,+8）上單調(diào)遞增，在（-8,0］上單調(diào)遞減，

|2x—1|<|,即—1<2x—1<1,解得;

【例題詳解】

一、判斷函數(shù)的奇偶性

例I判斷卜.列函數(shù)的奇偶性:

（1施）=人kA5；

（2次X）=|x+l|+|Ll|；

2AJ+2V

（3?A）=

x+1,

【洋解】（1）函數(shù)的定義域為R.：貝一工）=（一%）3+（一3）5=一。3+2）=一大幻，.?jq）是奇函數(shù).

（2如）的定義域是R.—%）=|—%+l|+|—X—1|=k一1|+僅+1|=y㈤，?\信）是偶函數(shù).

（3）函數(shù)段）的定義域是（一8,-1）U（-1,+8）,不關(guān)于原點對稱，???於）是非奇非偶函數(shù).

【答案】AC

【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義逐一判斷即可.

故選：AC

跟蹤訓(xùn)練1判斷下列函數(shù)的奇偶性

故F。)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，

則f。)是非奇非偶函數(shù).

(6)設(shè)函數(shù)凡x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是()

A.五此十|期冷|是偶函數(shù)

B.yu)—板(x)i是奇函數(shù)

c.|/U)|+g(x)是偶函數(shù)

D.|/U)|—g(x)是奇函數(shù)

【答案】A

【詳解】由凡K)是偶函數(shù)，可得|一工)=應(yīng)。，

由g(x)是奇函數(shù)可得g(-x)=-g(x),

故k(x)l為偶函數(shù)，

，負X)+|g(x)|為偶函數(shù).

二、由奇偶性求解析式

命題角度I求對稱區(qū)間上的解析式

【答案】c

故選:C.

(3)已知人幻是R上的奇函數(shù)，且當/￡((),+8)時，人工)=%(1+外,求人工)的解析式.

【詳解】因為工￡(一8,0)時，一工￡(0,4-oo),

所以4—X)=—x[l+(—X)]=x(x—1).

因為yu)是R上的奇函數(shù)，

□(Zx-1)(x+?)=(2A+1)(x-a),

艮|12/+C2a-1)x-a=2x2-(2a-1)x-a,

故答案為:

【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性的定義建立方程是解決本題的關(guān)

鍵.

【答案】-2

故答案為：-2

【答案】3

【分析】由定義域關(guān)于0對稱得〃，由奇函數(shù)的定義求得〃，從而可得結(jié)論.

故答案為：3.

【答案】4

【詳解】函數(shù)的定義域為R,

故答案為：4.

四、利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性比較大小

【答案】B

故選:B.

【答案】D

【分析】由已知條件得M單調(diào)性，再由偶函數(shù)把自變量轉(zhuǎn)化到同?單調(diào)區(qū)間上，由單調(diào)性得結(jié)論.

故選：D.

(3)定義在R上的奇函數(shù)/U)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(.r)在區(qū)間［(),+8)上的圖象與人力的圖象重合，設(shè)心/?0,

下列不等式中成立的有.(填序號)

①AGX—b)；：

③g(a)>g(—〃)；@g(-ci)<g(b)；

⑤g(一〃)》一〃).

【答案】①③⑤

【詳解】人工)為R上奇函數(shù)，增函數(shù)，且心比>0,

，加)酒40)=0,

又一av—〃<0,.*.y(—a)<fi—b)<fiO)=0,

，加)習(xí)仍)>0?—b)>f(—a),

???①正確，②錯誤.

問0,+8）時，g（x）=/（x）,

.??g（x）在［0,+8）上單調(diào)遞增,

，g（-a）=g（a）＞gS）=g（—A）,；?③正確，④錯誤.

又式一〃）=8（々）=人4）習(xí)1一4）,???⑤正確.

跟蹤訓(xùn)練5（1）設(shè)偶函數(shù)凡丫）的定義域為R,當x￡［0,+8）時，氏t）是增函數(shù)，則人一2）,八兀），火-3）的大

小關(guān)系是（）

A.大兀）》一3）次—2）B.1冗）/一2）》（一3）

C.y（n）＜A-3）＜A-2）D.^）＜A-2）＜/（-3）

【答案】A

【詳解】因為函數(shù)40為R上的偶函數(shù)，所以八-3）=/（3）,共-2）=火2）.

又當x￡［0,+8）時，火x）是增函數(shù)，且心3＞2,

所以人兀）》（3）》（2）.故人兀）刁1-3）次-2）.

（2）已知偶函數(shù)7U）在［0,+8）上單調(diào)遞減，則,*1）和人一10）的大小關(guān)系為（）

A.川）次一10）B.川）勺（一10）

C./D=y（-io）D.7U）和人一10）關(guān)系不定

【答案】A

【詳解】:/U）是偶函數(shù)，且在［0,+8）上單調(diào)遞減，?,小-10）=八10）勺U）.

五、由函數(shù)奇偶性解不等式

【答案】C

故選:C.

【答案】B

故選：B

【答案】B

故選：B

六、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

例7已知函數(shù)對Vx,閩R,都有凡r+y）=/W+/M，當x＜。時?，凡t）＞0,且＜1）=一2.

⑴證明函數(shù)/（X）在R上的奇偶性；

⑵證明函數(shù)4r）在R上的單調(diào)性；

⑶當?shù)兀?,2］時，不等式Hl—"M+Ax）V4恒成立，求實數(shù)小的取值范圍.

7

跟蹤訓(xùn)練7已知函數(shù)危）對于任意x,MR，總有小）+八丫）=凡丫+力且當x＞0時，危）vo,/（i）=--.

（1）求證：＜/?是奇函數(shù)；

（2）求證：凡t）在R上是減函數(shù)；

（3）求凡I）在［-3,3］上的最大值和最小值.

【答案】（1）證明見解析：（2）證明見解析；（3）最大值是2.最小值是一2.

【分析】（1）由已知令x=y=O,得的）=0.再令尸一x,得J（r）=—/⑴，由此可得證.

（2）在R上任取也X2，且X/VX2,.f{X2）—Jixi）=J［X2—XI）.再由已知判斷凡切＞/（工2），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的

定義可得證；

（3）由（2）得|x）在R上是減函數(shù)，由此可求得函數(shù)的最值.

【詳解】（1）證明：因為函數(shù)4）對于任意x,）＜3R,總有7W+Av）=,/（x+y），所以令x=y=o,得加）=0.

再令y=-x，得＜-x）=-＜x）,所以,兒丫）是奇函數(shù).

（2）證明：在R上任取A7,X2,且Xl＜X2t凡⑼一兒5=7（X2）+＜—X/）={￥2—X/）.

又因為當Q0時，兒￥）＜0，而玄一口＞0，所以小2—刈）＜0,即危/）＞加2）,因此凡、?）在R上是減函數(shù).

（3）解：因為./{X）在R上是減函數(shù)，所以凡r）在［—3,3］上是減函數(shù)，所以J（x）在［―3,3］上的最大值和最

小值分別為J（—3）與人3）.而/（3）=切1）=-2,人-3）=—力3）=2.所以/⑴在［―3,3］上的最大值是2,最小

值是一2.

【課堂鞏固】

AK

只.-°.

【答案】B

【分析】利用特殊值，分類討論,借助反比例函數(shù)、對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進行排

除.

故選：B.

uf2'

-20|2N

:

【答案】D

故選：D.

A.-2B.—1C.1D.2

【答案】A

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知定義域關(guān)于原點對稱，由此列出方程,求得答案.

故選：A.

A.±1B.+3C.-1或3D.±1或±3

【答案】B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義求解.

故選:B.

【答案】D

故選：D.

【答案】D

故選：D

【答案】1

【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義結(jié)合指數(shù)運算求解.

故答案為：1.

【答案】2

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出解析式后即可代入求解.

函數(shù)是偶函數(shù)，

故答案為：2.

【點睛】方法點睛:該題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題，屬F難題，關(guān)于解不等式的方法有:

⑴根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)的奇偶性；

⑶根據(jù)單調(diào)性奇偶性，列出不等式解出.

⑴求函數(shù)/J）在R上的解析式；

【課時作業(yè)】

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）

【答案】C

【分析】首先判定A,B不是奇函數(shù)，然后根據(jù)嘉函數(shù)的知識判定C,D的單調(diào)性.

故選：C.

【