專題17.1勾股定理

典例體系(本專題共42題38頁)

一、知識點(diǎn)

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方之和等于斜邊的平方。

勾股定理的證明：勾股定理的證明主要采用面積法。

勾股定理應(yīng)用：分成兩個方面：

1、計算：利用勾股定理構(gòu)造方程求解幾何量或解決實(shí)際問題；初中階段勾股定理的重要作用在于應(yīng)用它來

構(gòu)迂方程，以解決兒何問題。同時，數(shù)學(xué)史上異彩紛呈的證明方法為勾股定理證明問題的命制提供了大量

資源。

2、用于幾何證明

二、考點(diǎn)點(diǎn)撥與訓(xùn)練

考點(diǎn)1：勾股定理的證明

圖①

(1)圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖②推導(dǎo)勾股定理.

c

圖③

【詳解】

(2)VCA=X,

解得x=1.25,

即CA=1.25,

CACH=1.251.2=005(千米),

答：新路CH比原路CA少0.05千米;

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題主要考查了勾股定理的證明與應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)

際問題常用的方法，

鞏固練習(xí)

1.(2021?四川資陽市?八年級期末)中國古代數(shù)學(xué)家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特

的貢獻(xiàn)和地位，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展，現(xiàn)用4個全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”.RtA/l?C

中，ZACB=90°.AC=b,BC=a,AB=c,請你利用這個圖形解決下列問題：

(1)試說明:展+從=明;

(2)如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是3,求3+〃)2的值.

【答案】(1)證明見解析：(2)23

【詳解】

解：(1廠??大正方形面積為C2,直角三角形面積為:向，小正方形面積為S-02,

.*.c2=4x—ab+(ei-b)2=2ab^a2-lab+b2即c2=a2+b2'

2

(2)由圖可知：

(Z>-a)2=3,4x—6JZ?=13-3=10,

12ab=10,

(a+b)2=(b-a)2+4〃0=3+2x10=23.

2.(2021?江蘇蘇州市?八年級期末)三國時代東吳數(shù)學(xué)家趙爽(字君卿，約公元3世紀(jì))在《勾股圓方圖注》一

書中用割補(bǔ)的方法構(gòu)造了“弦圖”(如圖1,并給出了勾股定理的證明.已知，圖2中涂色部分是直角邊長為。涉,

斜邊長為c的4個直角三角形，靖根據(jù)圖2利用割補(bǔ)的方法驗(yàn)證勾股定理.

（圖1）（圖2）

【答案】見解析

【詳解】

①②

（I）愛動腦筋的小明把這四個全等的直角三角形拼成了另一個大的正方形（如圖②），也能驗(yàn)證這個結(jié)論，請你

幫助小明完成驗(yàn)證的過程.

9

【答案】（1）證明見解析；（2）阿圖見解析，—.

【詳解】

（1）愛動腦筋的小明把這四個全等的直角三角形拼成了另一個大的正方形（如圖2）,也能驗(yàn)證這個結(jié)論，請你

幫助小明完成驗(yàn)證的過程；

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【詳解】

（I）證明：大正方形面積為：

5.（2020?江蘇常州市?八年級期中）如圖①，美麗的弦圖，蘊(yùn)含著四個全等的直角三角形.

⑴弦圖中包含了一大，一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為較短的直角邊為從斜邊

長為c,結(jié)合圖①，試驗(yàn)證勾股定理；

⑵如圖②，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（粗線）的周長為24,OC=3,求

該飛鏢狀圖案的面積；

（3）如圖③，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形A8CZ）,正方形EFGH,正方形MNK7的

面積分別為Si、S?、S3,若S+&+53=16,則S2=

【答案】⑴見解析；（2）該飛鏢狀圖案的面積是24；⑶號.

［詳解】解：（1）5小正方形=（〃?b）2=a2-2ab-\~b2,另一方面S小正方彩=/-4x^-ab=c1-2ab,

即P2-2ab+d2-=c2-2ab,

則/+〃=/.

⑵24:4=6,

設(shè)依題意有

Q+3)2+32=(6?K)2,

解得：X=l，

gX(3+1)x3x4

=—x4x3x4

2

=24.

故該飛鏢狀圖案的面積是24.

（3）將四邊形M7KN的面積設(shè)為x,將其余八個全等的三角形面積?個設(shè)為戶

???正方形A8CD,正方形EFGH,正方形MNKT的面積分別為5i,S2,S3,SI+S2+S3=16,

：.Si=8y+x,S2=4y+x,53=x,

???S+S2+S3=3X+12)，=16,

16

?』+4尸——，

3

16

.?.S2=x+4y=—.

故填：一

3

6.（2020?福建寧德市?八年級期中）意大利著名畫家達(dá)?芬奇用如圖所示的方法證明了勾股定理，其中左圖的

空白部分是由兩個正方形和兩個直角三角形組成，右圖的空白部分由兩個直角三角形和一個正方形組

成.設(shè)左圖中空白部分的面積為多，右圖中空白部分的面積為也.

⑴清用含〃，b,c的代數(shù)式分別表示S,52；

（2）請利用達(dá)?芬奇的方法證明勾股定理.

【詳解】

7.（2020.中北大學(xué)附屬學(xué)校八年級期中）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們就勾股定理的驗(yàn)證方法展開熱烈的討論.下面是

創(chuàng)新小組驗(yàn)證過程的?部分.請你認(rèn)真閱讀并根據(jù)他們的思路將后續(xù)的過程補(bǔ)充完整.

驗(yàn)證如下：連接CE,BE.

???點(diǎn)O在線段AC上，

【詳解】過程如下：

8.（2020,山西晉中市?八年級期中）（背景閱讀）勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為

畢達(dá)哥拉斯定理.在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為

了驗(yàn)證勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1）,后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今.

（實(shí)踐操作）（1）請敘述勾股定理：

（2）驗(yàn)證勾股定理，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的驗(yàn)證方法中任選一種來驗(yàn)證該定理：

（以下圖形均滿足驗(yàn)證勾股定理所需的條件）

圖1圖2S3圖4

(4)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案(圖中陰影部分)的面積分別為加、

S2,直角三角形面積為名，請判斷3、邑、的關(guān)系并說明理由.

【詳解】(1)勾股定理為：在平面上的一個直角三角形中，兩個直足邊邊長的平方加起來等于斜邊長的平方；

(2)如圖2

b

圖2

小正方形面積為：c2

???大正方形面積=小正方形面積+四個直角三角形面積之和

⑶設(shè)面積為5的正方形邊長為a,面積為邑的正方形邊長為b,面積為邑的正方形邊長為c；

如圖4：

如圖6：

圖6

故答案為:3；

???陰影部分面積（5+S?）=以a為直徑的半圓面積+以b為食徑的半圓面積非陰影部分去除三角形后的面積

考點(diǎn)2：以弦圖為背景的勾股定理應(yīng)用

典例：（2020?江陰市夏港中學(xué)八年級月考）圖①是我國古代著名附，趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直

角三角形圍成的.

（2）在（1）的條件下，若將圖①中的四個直角三角形中較長的直角邊分別向外延長一倍，得到圖②所示的“數(shù)學(xué)

風(fēng)車”，求這個風(fēng)車的外圍周長（圖中實(shí)線部分）.

【答案】（1）121；（2）76

/.AC=5,BC=6,

VZACB=90°,AC=5,CD=12,

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題是勾股定理在實(shí)際情況中應(yīng)用，并注意隱含的已知條件來解答此類題.讀懂題目信息并準(zhǔn)確識圖是解

題的關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.[2020?河南鄭州市?八年級期中）1876年，美國總統(tǒng)伽菲爾德利用如圖所示的方法驗(yàn)證了勾股定理，其中兩

個全等的直角三角形的邊AE，砧在一條直線上，證明中用到的面積相等關(guān)系是（）

【詳解】

故答案為B.

【答案】A

【詳解】由題意，畫出圖形如下:

故選：A.

3.（2021?大慶市慶新中學(xué)八年級期末）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形構(gòu)成的

大正方形，若直角三角形的兩直角邊長分別為3cm和5cm,則小正方形的面積為（）.

【答案】C

【詳解】

結(jié)合題意，可知：小正方形的邊長=直角三角形較長的直角邊長直角三角形較短的直角邊長

???直角三角形的兩直角邊長分別為3cm和5cm

?,?小正方形的邊長=5cm3cm=2cm

【答案】A

故選A

A.①②B.①②?C.①?@D.①②③④

【答案】D

故①正確；

故②正確；

③由圖可知：四個直角三角形與小正方形面積之和等于大正方形面積，

故③正確；

故④正確；

故選：D.

6.（2021?全國八年級「趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖所示

的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形.設(shè)直角三角形較長直角邊長

為，，較短直角邊長為尻若必=6,大正方形的面枳為16,則小正方形的面積為（）

A.8B.6C.4D.3

【答案】C

【詳解】

?,?小正方形的面積=（。?/＞）2=岸+按-2ab=16-12=4,

故選：C.

7.（2020?渠縣文崇中學(xué)八年級月考）如圖，是我國占代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角

三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.如果大正方形的面積是12,小正方形的面積是2,直角三

角形的短直角邊為a,較長的直角邊為b,那么（a+bA的值為（）

A.144B.22C.16D.13

【答案】B

【詳解】解：???大正方形的面積12,小正方形的面積是2,

:.2ab=10,

???直角三角形的短直角邊為a,較長的直角邊為b

:.a2+b2=12

(a+b)2=a2+b2+2ab=22.

故答案為B.

???AD=CD=3,

:.a=b3,

9.(2020.江蘇淮安市?八年級期中)如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形/WCQ,中間陰影的部分

是一個小正方形EFG”，這樣就組成了一個“趙爽弦圖若AB=13,AE=\2,則正方形EFGH的面積為

【詳解】

故答案為：49.

【答案】6

故答案為：6.

考點(diǎn)3：利用勾股定理解決實(shí)際問題

典例：（2021?沙坪壩區(qū)?重慶一中八年級期末）下圖是某“飛越從林”俱樂部新近打造的一款兒童游戲項目，工

作人員告訴小敏，該項目A8段和8c段均由不銹鋼管材打造，總長度為26米，長方形CDEF為一木質(zhì)平

臺的主視圖.小敏經(jīng)過現(xiàn)場測量得知：米，AQ=15米，于是小敏大膽猜想立柱44段的長為10米，

請判斷小敏的猜想是否正確？如果正確，請寫出理由，如果錯誤，請求出立柱段的正確長度.

【答案】小敏的猜想錯誤，立柱AB段的正確長度長為9米.

【詳解】

解：如圖，延長/C交A8于點(diǎn)G

B

貝I」CG±AB,AG=CD=\米，GC=AD=\5米

設(shè)BG=x米，則8c=（26—1-x）米

在R98GC中，

??-8A=BG+GA=8+1=9（米）

???小敏的猜想錯誤，立柱AB段的正確長度長為9米.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形

鞏固練習(xí)

1.（2020?渠縣第四中學(xué)八年級月考）如圖，某會展中心在會展期間準(zhǔn)備將高5〃?，長13機(jī)，寬2加的樓道上鋪

地毯，已知地毯每平方米20元，請你幫助計算一下，鋪完這個嘍道至少需要元錢

【詳解】如圖,

在R@ABC中，由勾股定理可得，

則地毯總長為12+5=17（m）,

則地毯的總面積為17x2=34（平方米），

所以鋪完這個樓道至少需要34x20=680元.

【詳解】在RSABC中,0=30。

解得BC=3,（負(fù)值舍去）

4.（2021?河南洛陽市?八年級期末）小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多Im,當(dāng)他

杷締子護(hù)展后,下端剛好接觸地面，被抖直的繩子下端折開5m倒子下端與旗桿根部的距離），請你幫小明

計算旗桿的高.

【答案】12m.

答：旗桿的高是12m.

5.（2020?太原市行知宏實(shí)驗(yàn)中學(xué)校八年級月考）本題分為A,B兩題，可以自由選擇一題，你選擇_____題

A：如圖，小明想知道學(xué)校旗桿的高度，他將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個結(jié)，然后將繩

子拉到離旗桿底端6m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子底端距離打結(jié)處2m,則旗桿的高度為多少米？

B：如圖，AB為一棵大樹，在樹上距地面10m的D處有兩只猴子，它們同時發(fā)現(xiàn)地面上的C處有一筐水

果，一只猴子從D處爬到樹頂A處，利用拉在A處的滑繩AC,滑到C處，另一只猴子從D處滑到地面B,

再由B跑到C,已知兩只猴子所經(jīng)路程都是16m,求樹高AB.

【詳解】解：A題：設(shè)旗桿的高度為x米，則繩子長為（x+2）米，

答：旗桿的高度為8米；

B題：由題意可得：BD=10m,BC=6m,

6.（2020?江蘇蘇州市?蘇州中學(xué)八年級期中）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之奠定了中國傳統(tǒng)

數(shù)學(xué)的基本框架.如圖所示是其中記載的一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者

高幾何?”題意是：一根竹子原高1丈（1丈=1（）尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷

處離地面多高？

T

9

A

W

-

i兒

一

-**

■

■

?

S之

u

2a

MA

a

【答案】竹子折斷處離地面三尺

20

【詳解】

解：設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為(10x)尺,

根據(jù)勾股定理得：x2+32=(10x)2,

91

答：竹子折斷處離地面二尺.

20

7.(2020.張掖育才中學(xué)八年級月考)如圖，一根旗桿在離地面9〃7處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部126處，

將旗桿接好后，由于臺風(fēng)影響，旗桿再次斷裂，已知旗桿的頂部落在距離旗桿底部6”處，問旗桿第二次是

在離地面多少米處斷裂的？

【答案】旗桿笫二次是在離地面下米處斷裂的

4

【詳解】解：如下圖所示

由題意可知：OA=9〃2,OB=12m，OD=6m

???旗桿的長為OA+AB=24m

設(shè)0C=xm,則CD=(24-x)m

45

答：旗桿第二次是在離地面＜米處斷裂的.

4

B

【答案】y

【詳解】解：???在AABC中,ZACB=90°,

/.AC2+BC2=AB2,

VAC+AB=10,BC=4,

設(shè)AC=x,貝ijAB=10-x,

/.x2+42=(10-x)2,

21

解得：x=—,

答：AC的長為g.

【答案】1.6米

解得X=L6.

答:彎折點(diǎn)B與地面的距離為1.6米.

【答案】鉛筆盒的寬AB的長度為8cm.

【詳解】

答：鉛筆盒的寬A3的長度為8cm.

11.（2021.重慶萬州區(qū).八年級期末）“某市道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城市街路上行駛速度不得超過

40千米/時，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路面對車速檢測儀A正前

方18米的C處，過了2秒后到達(dá)B處（BC_L4C）,測得小汽車與車速檢測儀間的距離A8為30米，請問這

輛小汽車是否超速？若超速，則超速了多少？

Br--------------------------

、、、'

、、?

、、?

、、?

、、?

、、、?

-----------------------------------

A

觀測點(diǎn)

【答案】這輛小汽車超速，每小時超速3.2千米.

【詳解】

在RSACB中，根據(jù)勾股定理可得：

小汽車2秒行駛24米，

12.（2020?山東省平邑縣第一中學(xué)八年級月考）“中華人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城街路上

行駛速度不得超過70千米/小時，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路面

對車速檢測儀A的正前方50米處的C點(diǎn)，過了6秒后，測得小汽車所在的B點(diǎn)與車速檢測儀A之間的距

離為130米.

⑴求BC間的距離；

⑵這輛小汽車超速了嗎？請說明理由.

3小汽車C小汽車

月觀測盧

【答案】（1）120米；（2）超速,理口見解析

【詳解】解：（1）在RQABC中，

VAC=50m,AB=130m,且AB為斜邊,

根據(jù)勾股定理得：BC=120（m）；

⑵這輛小汽車超速了.

理由：V120-6=20（nVs）,平均速度為：20m/s,

20m/s=72km/h,

72>70,

???這輛小汽車超速了.

13.（2020.云南臨滄市.八年級期中）國家交通法規(guī)定：小汽車在城市街道上行駛速度不得超過60如?〃??一?輛

小汽車在i條城市.街道上由西向東行駛，此時在小汽車正南方向25陽處有-一個車速檢測儀，過了4$后，測

得小汽車距離測速儀65〃?.這輛小汽車超速了嗎？通過計算說明理由（1〃而=3.6切德?）

【答案】不超速，理由詳見解析

【詳解】

解：由勾股定理得：

60-4=15米/秒=54千米/小時V60千米/小時，

所以不超速了.

小汽車小汽車

..............

'、、、：

、、I

、、I

、、I

、、、a

'摘||點(diǎn)

14.（2020?成都嘉祥外國語學(xué)校八年級月考）《中華人民共和國道路交通管理條例》規(guī)定：小汽車在城市街道

上行駛速度不得超過70千米/時，一輛小汽車在一條城市街道上直向行駛，某一時刻正好行駛到距車速檢測

儀A正前方50米的。處，過了6秒后，測得小汽車的位置8與車速檢測儀A之間的距離為130米，這輛

小汽車超速了嗎？請說明理由.

三

B二二..........:。

*??

________________",

觀1點(diǎn)

【答案】小汽車超速「理由見解析

【詳解】

???該小汽車超速了.

15.（2020.全國八年級課時練習(xí)「中華人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在高速公路上的行駛速度

不得超過120千米/小時，不得低于60千米/小時，如圖，一輛小汽車在高速公路上直道行駛，某一時刻剛

好行駛到“車速檢測點(diǎn)4”正前方60米8處，過了3秒后，測得小汽車位置C與“車速檢測點(diǎn)力”之間的距離為

10（）米，這輛小汽車是按規(guī)定行駛嗎？

小普Cg............g3小油

■?I

、?I?

?、■?

、?I■

----------------------------a

A檢測儀

【答案】這輛小汽車是按“中華人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定行駛.□

【解析】解：由勾股定理得，BC=\MC2-4加=走10。2一602=80（米）,

v=80-T-3=弓（米/秒），

??喘米/秒=96千米/時,而60<96V120,

???這輛小汽車是按“中華人民共和國道路交通管理條例''規(guī)定行駛.

考點(diǎn)4：利用勾股定理證明線段關(guān)系

(3)如圖4,連接AC.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查作高線，勾股定理，利用勾股定理推出銳角三角形，鈍角三角形結(jié)論，用分割法求四邊形面積，

掌握高線最煩，利用勾股定理構(gòu)造方程，判讀銳角三角形與鈍角三角形，利用分割法四邊形求面是解題關(guān)

鍵.

鞏固練習(xí)

【答案】①③④

【詳解】

設(shè)BE交AC于點(diǎn)R,

故①符合題意.

故②不符合題意.

故④符合題意.

故答案為：①③④.

【答案】(1)126：(2)見解析

3.（2020?浙江金華市?八年級期末）已知，等腰Rt/kABC,Z.BAC=Rtz,在直角邊71B的左側(cè)直線/IP,點(diǎn)8關(guān)

于直線4P的對稱點(diǎn)為E,連接BE,CE,其中CE交直線4P于點(diǎn)F.

（1）依題意，在圖1中補(bǔ)全示意圖：當(dāng)匕PA8=18。時，求乙ACF的度數(shù)；

（2）當(dāng)0。<4PAB<90。且4p48*45。時，求乙4F8的度數(shù)；

（3）如圖2,若45。<ZPAB<90。，用等式表示線段4B,FE,FC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】⑴27。；（2）135?；?5。；（3*￡2+憶2=24#,證明見解析

【詳解】

解：（1）補(bǔ)全示意圖如圖所示

連接AE,設(shè)AP與BE交于點(diǎn)M,如圖:

由軸對稱的性質(zhì)得

AE=AB,BM=EM,AM_LBE,Z.4ME=Z.BMA=90°

Z.EAP=Z.PAB=18°

:.Z.EAC=90°+2x18°=126°

???2L4BC是等腰直角三角形

.*.AB=AC

AAE=AC

：.AACF=Z.AEC=1(180°-126°)=27°

(2)當(dāng)0。</24B<45。時，如圖：

由(1)得44EC=44CE,/-EAP=