2025年大學《應(yīng)用統(tǒng)計學》專業(yè)題庫——判別分析方法和邏輯回歸在統(tǒng)計學中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分）1.下列哪種情況適用于使用判別分析？（）A.預測連續(xù)型響應(yīng)變量B.對觀測進行分類C.建立變量之間的回歸關(guān)系D.分析變量之間的相關(guān)關(guān)系2.距離判別中，常用的距離度量不包括？（）A.馬氏距離B.曼哈頓距離C.歐幾里得距離D.卡方距離3.費希爾判別的主要思想是？（）A.尋找最大化類間差異、最小化類內(nèi)差異的投影方向B.基于貝葉斯理論進行分類C.計算樣本點到各個類別中心的距離D.建立邏輯回歸模型進行分類4.貝葉斯判別中，后驗概率的計算公式為？（）A.P(ωi|x)=P(x|ωi)P(ωi)/P(x)B.P(ωi|x)=P(x|ωi)/P(ωi)C.P(ωi|x)=P(ωi)/P(x)D.P(ωi|x)=P(x|ωi)+P(ωi)5.邏輯回歸模型的因變量通常是？（）A.連續(xù)型變量B.離散型變量C.時間序列數(shù)據(jù)D.分類變量6.邏輯回歸模型中，參數(shù)估計通常使用的方法是？（）A.最小二乘法B.最大似然估計C.線性回歸D.逐步回歸7.邏輯回歸模型中，回歸系數(shù)的解釋通常是？（）A.預測連續(xù)型響應(yīng)變量的變化率B.預測響應(yīng)變量取某個值的概率的變化率C.預測變量之間的相關(guān)程度D.預測變量的方差8.邏輯回歸模型中，常用的評估指標不包括？（）A.準確率B.召回率C.F1值D.決定系數(shù)9.邏輯回歸模型中，殘差分析主要用于？（）A.檢驗模型假設(shè)是否成立B.評估模型的擬合優(yōu)度C.選擇模型的自變量D.預測新的觀測值10.判別分析和邏輯回歸的主要區(qū)別在于？（）A.適用數(shù)據(jù)類型不同B.模型假設(shè)不同C.計算方法不同D.應(yīng)用領(lǐng)域不同二、填空題（每空2分，共20分）1.判別分析的基本任務(wù)是根據(jù)已知類別的樣本，建立一個判別函數(shù)，對新的觀測進行分類。2.距離判別中，馬氏距離可以用于處理______的問題。3.費希爾判別可以降維，其降維的目標是找到一個投影方向，使得投影后______最大化，______最小化。4.貝葉斯判別需要先確定先驗概率P(ωi)和條件概率P(x|ωi)。5.邏輯回歸模型假設(shè)響應(yīng)變量Y服從______分布。6.邏輯回歸模型中，odds比表示______。7.邏輯回歸模型中，ROC曲線可以用來評估模型的______。8.邏輯回歸模型中，似然函數(shù)用于衡量______。9.判別分析和邏輯回歸都可以用于______分析。10.邏輯回歸模型中，如果某個自變量的回歸系數(shù)顯著為正，說明該自變量______。三、計算題（每題10分，共30分）1.有三個類別，每個類別各有兩個樣本，樣本的均值向量和協(xié)方差矩陣如下：μ1=(1,1)T,Σ1=((1,0),(0,1))，μ2=(4,4)T,Σ2=((1,0.5),(0.5,1))，μ3=(7,7)T,Σ3=((1,0),(0,1))。使用馬氏距離計算一個新樣本x=(5,5)T屬于哪個類別？2.假設(shè)有一個邏輯回歸模型，其回歸系數(shù)為β0=-1，β1=0.5，β2=-0.5。計算當自變量x1=2，x2=3時，樣本屬于正類的概率。3.假設(shè)有一個邏輯回歸模型，其似然函數(shù)為L(β)=log(0.6*0.7*0.8)。計算該模型的對數(shù)似然函數(shù)值。四、證明題（15分）證明費希爾判別的投影方向d是最小化類內(nèi)散布矩陣與類間散布矩陣之比的廣義逆矩陣的最大的特征向量。五、案例分析題（15分）假設(shè)有一個銀行想要根據(jù)客戶的年齡和收入預測客戶是否會申請貸款。銀行收集了100個客戶的數(shù)據(jù)，其中50個客戶申請了貸款，50個客戶沒有申請貸款。請說明如何使用判別分析和邏輯回歸分別建立預測模型，并比較兩種方法的優(yōu)缺點。試卷答案一、選擇題1.B2.D3.A4.A5.D6.B7.B8.D9.A10.B解析1.判別分析主要用于對觀測進行分類，根據(jù)已知類別的樣本建立判別函數(shù)。2.曼哈頓距離不屬于常用的距離度量。3.費希爾判別的思想是尋找最大化類間差異、最小化類內(nèi)差異的投影方向，以實現(xiàn)有效分類。4.貝葉斯判別中后驗概率P(ωi|x)=P(x|ωi)P(ωi)/P(x)。5.邏輯回歸模型的因變量通常是二元的分類變量。6.邏輯回歸模型使用最大似然估計方法估計參數(shù)。7.邏輯回歸模型中，回歸系數(shù)解釋的是自變量取某個單位變化時，響應(yīng)變量取某個值的概率的變化率。8.決定系數(shù)是回歸分析中的指標，不是邏輯回歸模型常用的評估指標。9.邏輯回歸模型中，殘差分析主要用于檢驗模型假設(shè)是否成立。10.判別分析和邏輯回歸的主要區(qū)別在于模型假設(shè)不同，判別分析假設(shè)類別的均值向量不同，邏輯回歸假設(shè)響應(yīng)變量服從伯努利分布。二、填空題1.不同2.協(xié)方差矩陣不等或不全相等3.類間散布/類間距離/類間差異，類內(nèi)散布/類內(nèi)距離/類內(nèi)差異4.先驗概率/類別先驗概率5.伯努利/二元伯努利6.自變量取某個單位變化時，odds的變化率/odds比7.模型的預測能力/模型的區(qū)分能力8.模型對觀測數(shù)據(jù)解釋的程度/模型的似然程度9.分類/步驟10.提高響應(yīng)變量取某個值的概率/增加響應(yīng)變量取某個值的概率三、計算題1.計算馬氏距離：*計算每個類別的馬氏距離公式：d(x,ωi)=(x-μi)TΣi-1(x-μi)*計算x=(5,5)T與μ1,μ2,μ3之間的馬氏距離：*d(x,ω1)=((5-1),(5-1))T*((1,0),(0,1))-1*((5-1),(5-1))T=8√2*d(x,ω2)=((5-4),(5-4))T*((1-0.5),(0.5-1))*((5-4),(5-4))T=2√6*d(x,ω3)=((5-7),(5-7))T*((1,0),(0,1))-1*((5-7),(5-7))T=8√2*比較三個距離，d(x,ω2)最小，因此x屬于類別2。2.計算樣本屬于正類的概率：*邏輯回歸模型公式：logit(P(Y=1|x))=β0+β1x1+β2x2*計算logit(P(Y=1|x))：logit(P(Y=1|x))=-1+0.5*2-0.5*3=-1.5*計算P(Y=1|x)：P(Y=1|x)=1/(1+e^(-(-1.5)))=1/(1+e^1.5)≈0.1823.計算對數(shù)似然函數(shù)值：*對數(shù)似然函數(shù)公式：LL(β)=log(L(β))*計算對數(shù)似然函數(shù)值：LL(β)=log(0.6*0.7*0.8)=log(0.336)≈-1.09四、證明題證明思路：1.寫出費希爾判別的目標：最小化類內(nèi)散布矩陣W與類間散布矩陣B之比的廣義逆矩陣SwB-1的最大特征值。2.寫出廣義逆矩陣的定義：如果矩陣A是非滿秩矩陣，則其廣義逆矩陣A+滿足A(A+A+)A=A。3.設(shè)投影方向為d，則投影后的樣本點為xd。4.寫出類內(nèi)散布矩陣W和類間散布矩陣B的表達式。5.寫出費希爾判別的目標函數(shù)：J(d)=dTW-1d/dTBd。6.使用拉格朗日乘數(shù)法求解目標函數(shù)的最小值。7.求解得到最優(yōu)投影方向d為SwB-1的最大特征向量。五、案例分析題解答思路：判別分析：1.計算每個類別（申請貸款、未申請貸款）的均值向量和協(xié)方差矩陣。2.選擇合適的判別方法（例如馬氏距離判別或費希爾判別）。3.建立判別函數(shù)。4.使用訓練數(shù)據(jù)計算判別函數(shù)的參數(shù)。5.對新的客戶數(shù)據(jù)進行分類預測。優(yōu)缺點：*優(yōu)點：原理簡單，計算方便。*缺點：對樣本量要求較高，對異常值敏感，假設(shè)條件較多，可能不滿足實際情況。邏輯回歸：1.將“是否申請貸款”變量轉(zhuǎn)換為二元變量（例如1表示申請貸款，0表示未申請貸款）。2.建立邏輯回歸模型。3.使用訓練數(shù)據(jù)估計模型參數(shù)。4