答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁重慶市部分學(xué)校2026屆高三上學(xué)期9月開學(xué)調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷（康德卷）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．計算（

）A． B． C．2 D．2．已知集合，則（

）A． B． C． D．3．已知向量，若，則實(shí)數(shù)（

）A．7 B．5 C．3 D．24．已知，則（

）A．1 B． C． D．5．利用一只小白鼠進(jìn)行的一項(xiàng)記憶功能試驗(yàn)中，訓(xùn)練次數(shù)與完成任務(wù)的時間（單位：分）的一元線性回歸方程為：，則這只小白鼠完成任務(wù)的平均時長約為（

）A．23分 B．25分 C．26分 D．28分6．將一個底面直徑與高相等的實(shí)心圓柱體挖去足夠大的球，使得剩余部分最少，則球的體積與剩余部分體積之比為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若，則（

）A． B．C． D．8．若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且在上單調(diào)遞增，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．某年級某班有24名女生和30名男生，準(zhǔn)備隨機(jī)抽取9名學(xué)生參加學(xué)情調(diào)研，那么（

）A．若采用抽簽法進(jìn)行抽取，可能抽到9名男生B．若采用抽簽法進(jìn)行抽取，男生甲被抽到的概率為C．若采用按比例分層抽樣進(jìn)行抽取，女生乙被抽到的概率為D．若采用按比例分層抽樣進(jìn)行抽取，男生甲和女生乙被抽到的概率不同10．已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時，B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．是的極大值D．在上單調(diào)遞增11．已知橢圓的離心率，左?右焦點(diǎn)分別為，經(jīng)過的直線與相交于兩點(diǎn)，則（

）A．的長軸長與短軸長之比為B．C．當(dāng)時，的面積為D．若，則三、填空題12．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是.13．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.14．口袋中有5個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字.從中有放回地隨機(jī)抽取次，每次取1個球.當(dāng)時，每個球恰都被取到1次的概率為；記為這5個球中至少被取出1次的球的個數(shù)，則的平均值為.四、解答題15．已知數(shù)列滿足，且，.(1)證明：是等差數(shù)列；(2)求的前項(xiàng)和.16．已知是正四棱柱.(1)證明：平面平面；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.17．已知中，內(nèi)角的對邊分別為，，.(1)若，求；(2)若，求的面積.18．已知雙曲線的虛軸長為2，一條漸近線方程為.(1)求雙曲線的方程；(2)已知是上的三個不同點(diǎn).①若，點(diǎn)在雙曲線的同一支上，且是等邊三角形，求；②若（異于原點(diǎn)）是外接圓的圓心，直線的斜率均存在，并分別記為，求的值.19．設(shè)函數(shù).(1)討論的單調(diào)性和極值；(2)證明：；(3)已知為常數(shù)，且，若，證明：.《重慶市部分學(xué)校2026屆高三上學(xué)期9月開學(xué)調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷（康德卷）》參考答案題號12345678910答案CBAACBDCACABD題號11答案BCD1．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求解即可.【詳解】，故選：C2．B【分析】化簡集合B，根據(jù)交集定義計算結(jié)果.【詳解】由已知，所以.故選：B3．A【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式求解即可．【詳解】，由可得，解得．故選：A．4．A【分析】解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件求出和的值，再利用兩角差的正弦公式計算.【詳解】已知，所以.已知，所以，.結(jié)合，，可得，.根據(jù)兩角差的正弦公式可得.故選：A.5．C【分析】由在線性回歸方程上，代入直線方程即可求解.【詳解】訓(xùn)練次數(shù)的平均值，由于在線性回歸方程上，則.故選：C6．B【分析】根據(jù)球及圓柱的體積公式求解即可.【詳解】設(shè)底面半徑為，由題意挖去球的半徑最大為，所以，.故選：B7．D【分析】根據(jù)解析式得，利用對稱性及不等式性質(zhì)即可得解.【詳解】由，則，所以當(dāng)時，.故選：D8．C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對稱性求得的可能取值，再根據(jù)單調(diào)性確定正確答案.【詳解】由于的圖象關(guān)于對稱，所以，因?yàn)?，所以?若，則，所以在上單調(diào)遞減，不合題意；若，則，所以在上單調(diào)遞增，符合題意.故選：C9．AC【分析】根據(jù)抽簽法是簡單隨機(jī)抽樣，即可判斷A；采用抽簽法時，求出男生甲被抽到的概率即可判斷B；在按比例分層隨機(jī)抽樣中，求出女生乙被抽到的概率即可判斷C；在按比例分層隨機(jī)抽樣中，求出每個個體被抽到的概率即可判斷D.【詳解】因?yàn)槌楹灧ㄊ呛唵坞S機(jī)抽樣，抽樣是隨機(jī)的，班里有30名男生，所以存在抽到9名男生的可能性，故A正確；總共有名學(xué)生，采用抽簽法時，男生甲被抽到的概率為，故B錯誤；在按比例分層隨機(jī)抽樣中，女生應(yīng)抽取的人數(shù)為名，女生乙被抽到的概率為，故C正確；在按比例分層隨機(jī)抽樣中，每個個體被抽到的概率是相等的，都等于，所以男生甲和女生乙被抽到的概率相同，故D錯誤.故選：AC10．ABD【分析】A選項(xiàng)利用的范圍直接進(jìn)行判斷即可；B選項(xiàng)利用進(jìn)行判斷；C選項(xiàng)利用函數(shù)的極值點(diǎn)來進(jìn)行判斷；D選項(xiàng)利用導(dǎo)數(shù)來判斷單調(diào)性即可.【詳解】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時，，，則，故A正確；對于B選項(xiàng)，，，，，關(guān)于對稱，故B正確；對于C選項(xiàng)，，，故不是極值點(diǎn)，即不是的極大值，故C錯誤；對于D選項(xiàng)，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ABD.11．BCD【分析】根據(jù)離心率求橢圓參數(shù)關(guān)系判斷A；由橢圓的性質(zhì)判斷的范圍判斷B；當(dāng)時，點(diǎn)為上（或下）頂點(diǎn)，寫出直線并聯(lián)立橢圓求交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求三角形面積判斷C；設(shè)直線為，聯(lián)立橢圓并應(yīng)用韋達(dá)定理，結(jié)合已知列方程求得，進(jìn)而確定直線斜率，即可判斷D.【詳解】由，可得，A錯誤，當(dāng)點(diǎn)為上（或下）頂點(diǎn)時，，易知，所以為等邊三角形，則，當(dāng)點(diǎn)為左（或右）頂點(diǎn)時，則，即，B正確，

當(dāng)時，點(diǎn)為上（或下）頂點(diǎn)，，，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，則直線為，令，聯(lián)立，則，所以，得到，則對應(yīng)，則，同理當(dāng)在軸下方時，也有，C正確，由題意，設(shè)直線為，聯(lián)立，整理得，，則，若，則，即，所以，則，解得，所以直線的斜率為，均有，D正確.故選：BCD12．1.【分析】寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程即可得到答案.【詳解】由已知，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，故拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是1.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，注意焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，本題是一道基礎(chǔ)題.13．【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，，，則切線方程為，即.故答案為：.14．【分析】根據(jù)古典概型概率計算公式、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望等知識進(jìn)行計算，從而求得正確答案.【詳解】①當(dāng)時，總的取球方法數(shù)為，每個球恰都被取到1次的情形有，所以每個球恰都被取到1次的概率為.②若有放回地隨機(jī)抽取次，記這5個球至少被取出1次的球的個數(shù)為，記，則，且，從而.故答案為：；15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由條件可得，根據(jù)等差數(shù)列的定義證明結(jié)論；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】（1）由，兩邊除以得，，又，所以是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，（2）由（1）可得，所以，故，所以.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）先得到，⊥，從而平面，進(jìn)而證明面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，得到各個點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩平面的法向量，求出兩平面夾角的余弦值.【詳解】（1）由題意，平面，因?yàn)槠矫?，所以，在正方形中，⊥，因?yàn)槠矫媲遥云矫?，又平面，所以有平面平面；?）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立直角坐標(biāo)系，所以有，則有，設(shè)平面的法向量為，則有，取法向量為，又平面的法向量，所以平面與平面夾角的余弦值為.17．(1)或(2)【分析】（1）利用正弦定理求出角，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出角即可.（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及兩角和余弦公式求出，再利用正弦定理求出，最后根據(jù)三角形面積公式求的面積.【詳解】（1）由正弦定理，，因?yàn)?，所以或，?dāng)時，；當(dāng)時，，所以或.（2）由題意，則，所以，因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，又由正弦定理，所以，所以的面積.18．(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)虛軸長及漸近線方程可求出，即可得出曲線方程；（2）①設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角形為等邊三角形，利用邊長相等求出點(diǎn)坐標(biāo)即可得解；②根據(jù)點(diǎn)差法及斜率公式表示出，再求出的中垂線，代入點(diǎn)坐標(biāo)，所得兩式相減即可得解.【詳解】（1）由題意，且，所以，故曲線的方程為.（2）如圖，①若，設(shè)，因?yàn)?，所?因?yàn)樵陔p曲線上，所以.以上三個方程聯(lián)立，解得或.當(dāng)時，則，由，得，再由，可解得.此時.當(dāng)時，因?yàn)樵谕恢?，則不滿足條件，舍，所以.②根據(jù)條件均存在知均不為零，設(shè)點(diǎn)，三角形外心，則有，兩兩相減可得：，則的中垂線為，將代入則：，整理得，又點(diǎn)在直線上，所以有①同理有的中垂線為，又點(diǎn)在直線上，所以有②由①②得，，整理得：，即，則有.19．(1)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，的極小值為，無極大值；(2)證明見解析；(3)證明見解析【分析】（1）先求定義域，求導(dǎo)，從而得到函數(shù)單調(diào)性和極值情況；（2）即證明，令，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，故，證明出結(jié)論；（3）不妨設(shè)，令，則有，，則，令，其中，求導(dǎo)得到在上是增函數(shù)，要使成立，則需滿足，分別考慮②和①，最終求出.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時，時，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，的極小值為，無極大值.（2）要證明，即證明，令，則，當(dāng)