2025年大學《統(tǒng)計學》專業(yè)題庫——統(tǒng)計學專業(yè)專業(yè)素養(yǎng)培養(yǎng)評價考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請將正確選項的字母填在題后的括號內）1.設隨機變量X的分布律如下表所示：|X|-1|0|1||----|----|----|----||P|a|1/3|b|若E(X)=1/6，則參數(shù)a和b的值分別是（）。A.a=1/6,b=1/3B.a=1/3,b=1/6C.a=1/4,b=1/2D.a=1/2,b=1/42.從總體X中抽取樣本X?,X?,...,X?，若用S2=(Σ(X?-X?)2)/(n-1)計算樣本方差，則S2是總體方差σ2的（）。A.無偏估計量B.最大似然估計量C.矩估計量D.有效估計量3.在假設檢驗H?:μ=μ?vsH?:μ≠μ?中，若選用的檢驗統(tǒng)計量服從t分布，則該檢驗稱為（）。A.Z檢驗B.χ2檢驗C.t檢驗D.F檢驗4.設總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2已知。若要檢驗H?:μ=μ?，則應選擇合適的檢驗統(tǒng)計量，使其服從（）分布。A.標準正態(tài)分布N(0,1)B.t分布C.χ2分布D.F分布5.在方差分析（ANOVA）中，總離差平方和（SST）可以分解為（）。A.組內平方和與組間平方和B.模型平方和與誤差平方和C.處理平方和與誤差平方和D.總和與平方和6.回歸分析中，模型R2表示（）。A.自變量對因變量的解釋程度B.模型對觀測值的擬合優(yōu)度C.因變量的變異性D.模型的預測精度7.對于一元線性回歸模型Y=β?+β?X+ε，若增加自變量X的觀測值，使得樣本量n增加，則下列說法正確的是（）。A.回歸系數(shù)β?的估計值一定會增大B.回歸系數(shù)β?的估計值一定會減小C.回歸系數(shù)β?的估計值可能增大也可能減小D.回歸系數(shù)β?的估計值的方差一定會增大8.在進行顯著性檢驗時，犯第一類錯誤α是指（）。A.統(tǒng)計結論正確B.統(tǒng)計結論錯誤，拒絕了實際上正確的原假設C.統(tǒng)計結論錯誤，未能拒絕實際上錯誤的原假設D.模型設定錯誤9.設X?,X?,...,X?是來自總體X的樣本，若總體X的概率密度函數(shù)為f(x;θ)，其中θ為未知參數(shù)，則θ的最大似然估計量是指（）。A.使樣本均值最小的θ值B.使樣本方差最小的θ值C.使似然函數(shù)L(θ;X?,...,X?)最大的θ值D.使信息量最大的θ值10.對兩個分類變量進行獨立性檢驗，通常使用（）。A.方差分析B.t檢驗C.F檢驗D.卡方檢驗二、填空題（每小題2分，共20分。請將答案填在題后的橫線上）1.設隨機變量X的期望E(X)=2，方差Var(X)=4，則隨機變量Y=3X-5的期望E(Y)=______，方差Var(Y)=______。2.樣本標準差s是總體標準差σ的______估計量（請?zhí)睢盁o偏”或“有偏”）。3.假設檢驗中，假設H?:μ≥μ?vsH?:μ<μ?，此檢驗稱為______檢驗。4.在單因素方差分析中，若檢驗的原假設H?為真，則組間平方和（SSA）的期望值E(SSA)=______（用樣本量n?,n?,...,k和總體均值μ?,μ?,...,μk表示）。5.一元線性回歸模型Y=β?+β?X+ε中，ε是服從______分布的隨機誤差項，其均值為0。6.在線性回歸分析中，檢驗回歸系數(shù)β?是否顯著異于0的統(tǒng)計量通常服從______分布。7.設總體X~N(μ,16)，從中抽取樣本量為n的樣本，要使μ的95%置信區(qū)間的寬度不超過4，根據(jù)正態(tài)分布分位數(shù)，所需的最小樣本量n約為______（取整數(shù)）。8.統(tǒng)計推斷中，參數(shù)的______估計是指估計值在所有可能的無偏估計值中，方差最小的那個。9.對于分類數(shù)據(jù)，描述每個類別中個體數(shù)的統(tǒng)計量是______。10.抽樣調查中，為了使樣本能更好地代表總體，常采用______抽樣方法。三、計算題（每小題10分，共30分）1.從總體X中隨機抽取樣本X?,X?,...,X?，觀測值為：2,3,1,4,5。（1）計算樣本均值X?和樣本方差S2。（2）假設總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，求μ的95%置信區(qū)間（已知σ=1）。2.某研究人員想考察兩種不同的教學方法（方法A和方法B）對考試成績的影響是否有差異。隨機選取60名學生，其中30人采用方法A，30人采用方法B，考試成績數(shù)據(jù)如下（單位：分）：方法A：78,82,85,80,79,83,81,76,84,77方法B：81,83,79,85,80,82,86,84,81,80假設兩總體方差相等，檢驗兩種教學方法下的平均成績是否存在顯著差異（α=0.05）。3.某工廠生產一批零件，其長度X（單位：mm）服從正態(tài)分布N(μ,σ2)。為檢驗生產是否穩(wěn)定，隨機抽取16個零件，測得長度數(shù)據(jù)的樣本均值X?=50.2mm，樣本標準差s=0.5mm。檢驗假設H?:σ2≤0.22vsH?:σ2>0.22（α=0.05）。四、分析題（每小題15分，共30分）1.在一項關于廣告效果的研究中，研究者收集了不同廣告類型（類型A、類型B、類型C）下消費者的購買意愿數(shù)據(jù)（購買=1，不購買=0）。數(shù)據(jù)整理如下：類型A：購買20人，不購買30人類型B：購買25人，不購買25人類型C：購買30人，不購買20人請使用卡方檢驗分析不同廣告類型對消費者購買意愿是否有顯著影響（α=0.05）。2.某公司想研究員工的月工資Y（單位：千元）與其工齡X（單位：年）之間的關系。隨機抽取10名員工，得到數(shù)據(jù)如下：X（工齡）：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10Y（工資）：20,22,25,27,30,32,34,36,38,40（1）建立Y關于X的一元線性回歸方程。（2）計算回歸系數(shù)β?的標準化統(tǒng)計量t，并檢驗H?:β?=0vsH?:β?≠0（α=0.05）。（3）解釋回歸系數(shù)β?的經濟意義。試卷答案一、選擇題1.A2.A3.C4.A5.C6.B7.D8.B9.C10.D二、填空題1.1,362.無偏3.左側4.(k-1)σ25.0,N(0,σ2)6.t7.168.最佳9.頻數(shù)10.隨機三、計算題1.（1）X?=(2+3+1+4+5)/5=3S2=[(2-3)2+(3-3)2+(1-3)2+(4-3)2+(5-3)2]/(5-1)=(1+0+4+1+4)/4=10/4=2.5（2）μ的95%置信區(qū)間為：X?±z_(α/2)*(σ/√n)=3±1.96*(1/√5)=3±1.96*(1/2.236)≈3±0.877=(2.123,3.877)2.計算兩組均值和合并方差：X??=(78+82+...+77)/30=81X??=(81+83+...+80)/30=81.7S_p2=[(29*782+1*822+...+1*772)/30+(29*812+1*832+...+1*802)/30-60*81.72]/(60-2)≈19.77S_p=√19.77≈4.45檢驗統(tǒng)計量：t=(X??-X??)/(S_p*√(1/30+1/30))=(81-81.7)/(4.45*√(2/30))≈-0.7/(4.45*0.258)≈-0.7/1.15≈-0.61查t分布表，df=58,α/2=0.025,t_(0.025,58)≈2.002由于|t|=0.61<2.002，未拒絕H?，認為兩種方法平均成績無顯著差異。3.檢驗統(tǒng)計量：χ2=(n-1)s2/σ?2=(16*0.52)/0.22=(16*0.25)/0.04=4/0.04=100查χ2分布表，df=n-1=15,α=0.05,χ2_(0.05,15)≈25.00由于χ2=100>25.00，拒絕H?，認為方差大于0.22。四、分析題1.列聯(lián)表：||購買|不購買|合計||---------|------|--------|------||類型A|20|30|50||類型B|25|25|50||類型C|30|20|50||合計|75|75|150|計算期望值：E??=(50*75)/150=25,E??=(50*75)/150=25,E??=(50*75)/150=25,E??=(50*75)/150=25,E??=(50*75)/150=25,E??=(50*75)/150=25計算χ2統(tǒng)計量：χ2=Σ((O-E)2/E)=((20-25)2/25)+((30-25)2/25)+((25-25)2/25)+((25-25)2/25)+((30-25)2/25)+((20-25)2/25)=(25/25)+(25/25)+0+0+(25/25)+(25/25)=1+1+1+1=4查χ2分布表，df=(行數(shù)-1)*(列數(shù)-1)=2*2=4,α=0.05,χ2_(0.05,4)≈9.488由于χ2=4<9.488，未拒絕H?，認為廣告類型對購買意愿無顯著影響。2.（1）計算協(xié)方差和方差：Σ(XiYi)=2*20+2*22+...+10*40=330ΣXi=55,ΣYi=245,ΣX?2=385Cov(X,Y)=(ΣXY-nX?Y?)/(n-1)=(330-10*5.5*24.5)/9=(330-1347.5)/9=-1017.5/9≈-112.5S?2=(ΣX?2-nX?2)/(n-1)=(385-10*5.52)/9=(385-302.5)/9=82.5/9≈9.167回歸系數(shù)：β?=Cov(X,Y)/S?2≈-112.5/9.167≈-12.25截距：β?=Y?-β?X?=24.5-(-12.25*5.5)=24.5+67.375=91.875回歸方程：Y?=91.875-12.25X（2）計算t統(tǒng)計量：t=β?/S??=β?/(S?*√(1/R2))R2=1-SSres/SStot=1-Σ(Y?-Y??)2/Σ(Y?-Y?)2Y??=91.875-12.25XiSSres=Σ(Y?-Y??)2=(20-76.375)2+(22-64.125)2+...+(40-8.875)2≈980.625SStot=Σ(Y?-Y?)2=(20-24.5)2+(22-24.5)2+...+(40-24.5)2≈13