幻燈片1：封面標(biāo)題：16.3.2完全平方公式副標(biāo)題：探索多項(xiàng)式乘法的特殊二次展開式背景圖：左側(cè)展示完全平方和公式推導(dǎo)“(a+b)2=a2+2ab+b2”，右側(cè)用大正方形面積模型（邊長為a+b，由邊長為a的正方形、邊長為b的正方形及兩個長a寬b的長方形組成）直觀表示面積關(guān)系，標(biāo)注“(a+b)2=a2+2ab+b2”，下方補(bǔ)充完全平方差公式“(a-b)2=a2-2ab+b2”的幾何模型（大正方形減兩個長方形加小正方形），初步呈現(xiàn)公式的代數(shù)與幾何意義?；脽羝?：學(xué)習(xí)目標(biāo)理解完全平方和與完全平方差公式的推導(dǎo)過程，明確公式的結(jié)構(gòu)特征（“首平方、尾平方、積的2倍放中央，符號看前方”）。掌握完全平方公式的表達(dá)式“(a+b)2=a2+2ab+b2”和“(a-b)2=a2-2ab+b2”，能準(zhǔn)確識別公式中的“a”和“b”（可表示數(shù)字、字母或多項(xiàng)式）。能運(yùn)用完全平方公式解決直接應(yīng)用、符號變形、底數(shù)為多項(xiàng)式及混合運(yùn)算等問題，提升整式乘法的準(zhǔn)確性與效率。體會“從一般到特殊”“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)觀察、歸納與推理能力，能區(qū)分完全平方公式與平方差公式?；脽羝?：導(dǎo)入——從多項(xiàng)式乘法的特殊形式切入復(fù)習(xí)回顧：回顧多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，計(jì)算練習(xí)：(x+3)(x+3)；(2a-1)(2a-1)。學(xué)生計(jì)算后發(fā)現(xiàn)：這兩個式子均為“兩個相同二項(xiàng)式相乘”，即“(m+n)2”或“(m-n)2”的形式，展開后結(jié)果有規(guī)律可循。提出問題：對于“(a+b)2”“(a-b)2”這類“二項(xiàng)式的平方”，展開后是否有統(tǒng)一的公式？與平方差公式有何區(qū)別？引出本節(jié)課核心——完全平方公式。幻燈片4：完全平方和公式的推導(dǎo)（代數(shù)與幾何結(jié)合）一、代數(shù)推導(dǎo)：定義：(a+b)2

表示“(a+b)與(a+b)相乘”，即(a+b)2=(a+b)(a+b)。按多項(xiàng)式乘法展開：(a+b)(a+b)=a?a+a?b+b?a+b?b=a2+ab+ab+b2。合并同類項(xiàng)：ab+ab=2ab，最終得(a+b)2=a2+2ab+b2。二、幾何驗(yàn)證（面積法）：幾何模型：邊長為(a+b)的大正方形，可分割為三部分：邊長為a的正方形、邊長為b的正方形、兩個長為a、寬為b的長方形。面積關(guān)系：大正方形面積=(a+b)2；三部分面積和=a2+b2+ab+ab=a2+2ab+b2。結(jié)論：(a+b)2=a2+2ab+b2，從幾何角度驗(yàn)證公式正確性。動畫演示：分步展示大正方形的分割過程，標(biāo)注各部分邊長與面積，直觀呈現(xiàn)“整體面積=部分面積和”的關(guān)系。幻燈片5：完全平方差公式的推導(dǎo)（類比與變形）一、代數(shù)推導(dǎo)：方法1：類比完全平方和公式，將(a-b)2

看作(a+(-b))2，代入完全平方和公式：(a+(-b))2=a2+2?a?(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2。方法2：直接展開多項(xiàng)式：(a-b)2=(a-b)(a-b)=a?a-a?b-b?a+b?b=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2。二、幾何驗(yàn)證：幾何模型：邊長為a的大正方形，在其中一個角剪去一個長為a、寬為b的長方形，再補(bǔ)上一個長為(a-b)、寬為b的長方形，最終形成邊長為(a-b)的正方形（結(jié)合圖形變形）。面積關(guān)系：邊長為(a-b)的正方形面積=(a-b)2；面積計(jì)算：大正方形面積-兩個長方形面積+小正方形面積（補(bǔ)全部分）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2。結(jié)論：(a-b)2=a2-2ab+b2，驗(yàn)證公式正確性。公式總結(jié)：完全平方和公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；完全平方差公式：(a-b)2=a2-2ab+b2；統(tǒng)一口訣：“首平方，尾平方，積的2倍放中央，符號看前方”（“首”指a，“尾”指b，“符號”由(a±b)的符號決定）?；脽羝?：完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征分析結(jié)構(gòu)拆解：以(a±b)2=a2±2ab+b2

為例：左邊：二項(xiàng)式的平方，形式為“(首

±

尾)2”；右邊：三項(xiàng)式，包含“首

2”“尾

2”“±2×

首

×

尾”三部分，且“首

2”與“尾

2”的符號恒為正，中間項(xiàng)的符號與左邊“±”一致。易錯對比：避免與“(ab)2=a2b2”混淆（前者是二項(xiàng)式的平方，后者是積的平方）；避免漏寫中間項(xiàng)“2ab”（如誤將(a+b)2

寫成a2+b2）；避免中間項(xiàng)系數(shù)錯誤（如誤將(a+b)2

寫成a2+ab+b2）。示例分析：(3x+2y)2：首=3x，尾=2y，右邊=(3x)2+2×3x×2y+(2y)2=9x2+12xy+4y2；(5a-1)2：首=5a，尾=1，右邊=(5a)2-2×5a×1+12=25a2-10a+1?；脽羝?：完全平方公式的應(yīng)用1——直接應(yīng)用（a、b為數(shù)字或單個字母）例題1：計(jì)算下列各題：(x+4)2；(2a-3)2；(-m+2n)2；(√3-2)2（拓展，可選講）。解答過程：(x+4)2：識別首=x，尾=4，符號為“+”；應(yīng)用公式：x2+2×x×4+42=x2+8x+16。(2a-3)2：首=2a，尾=3，符號為“-”；公式應(yīng)用：(2a)2-2×2a×3+32=4a2-12a+9。(-m+2n)2：變形為(2n-m)2（或直接看作(a+b)2，其中a=-m，b=2n）；方法1（變形后）：首=2n，尾=m，公式應(yīng)用=(2n)2-2×2n×m+m2=4n2-4mn+m2；方法2（直接應(yīng)用）：(-m)2+2×(-m)×2n+(2n)2=m2-4mn+4n2（結(jié)果一致）。(√3-2)2：首=√3，尾=2，符號為“-”；公式應(yīng)用：(√3)2-2×√3×2+22=3-4√3+4=7-4√3。解題關(guān)鍵：準(zhǔn)確確定“首”“尾”及符號，無論“首”“尾”是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，“首

2”“尾

2”均為正；中間項(xiàng)系數(shù)為“2×

首

×

尾”，符號與左邊“±”一致，避免漏寫或系數(shù)錯誤?；脽羝?：完全平方公式的應(yīng)用2——底數(shù)為多項(xiàng)式或復(fù)雜形式例題2：計(jì)算下列各題：(x+y+z)2（拓展：三項(xiàng)式的平方）；(2a-b+3)2；(a-1)2(a+1)2（完全平方與平方差結(jié)合）。分析與解答：(x+y+z)2：分組變形：將(x+y)看作一個整體，即[(x+y)+z]2；應(yīng)用完全平方和公式：(x+y)2+2×(x+y)×z+z2；展開(x+y)2：x2+2xy+y2+2xz+2yz+z2；結(jié)果：x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz（三項(xiàng)式平方規(guī)律：各項(xiàng)平方和+兩兩積的2倍）。(2a-b+3)2：分組變形：[(2a-b)+3]2；公式應(yīng)用：(2a-b)2+2×(2a-b)×3+32；展開：4a2-4ab+b2+12a-6b+9；整理結(jié)果：4a2+b2+9-4ab+12a-6b。(a-1)2(a+1)2：逆用積的乘方：[(a-1)(a+1)]2（先算平方差，更簡便）；計(jì)算(a-1)(a+1)=a2-1；再應(yīng)用完全平方公式：(a2-1)2=(a2)2-2×a2×1+12=a?-2a2+1。解題技巧：底數(shù)為多項(xiàng)式時，通過“分組”將其轉(zhuǎn)化為“(首

±

尾)2”的形式，再應(yīng)用公式；混合運(yùn)算中，優(yōu)先逆用運(yùn)算律（如積的乘方）簡化計(jì)算，再結(jié)合完全平方公式，提升效率?；脽羝?：完全平方公式的應(yīng)用3——簡便計(jì)算與實(shí)際問題例題3：用完全平方公式計(jì)算下列數(shù)字運(yùn)算：1022；992。解答：1022=(100+2)2：首=100，尾=2，符號為“+”；公式應(yīng)用：1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404。992=(100-1)2：首=100，尾=1，符號為“-”；公式應(yīng)用：1002-2×100×1+12=10000-200+1=9801。例題4：如圖，一個正方形花壇的邊長為(x+5)米，現(xiàn)將邊長增加3米，求擴(kuò)大后花壇的面積（用含x的代數(shù)式表示），若x=10，求擴(kuò)大前后面積的差值。解答：擴(kuò)大后邊長=(x+5)+3=(x+8)米；擴(kuò)大后面積=(x+8)2，應(yīng)用公式：x2+16x+64（平方米）；擴(kuò)大前面積=(x+5)2=x2+10x+25（平方米）；面積差值=(x2+16x+64)-(x2+10x+25)=6x+39；當(dāng)x=10時，差值=6×10+39=99（平方米）。幻燈片10：完全平方公式與平方差公式的對比辨析對比表格：對比維度完全平方公式平方差公式核心區(qū)別左邊形式二項(xiàng)式的平方（(a±b)2）兩個二項(xiàng)式的和與差相乘（(a+b)(a-b)）完全平方是“平方”運(yùn)算，平方差是“乘法”運(yùn)算右邊結(jié)果三項(xiàng)式（a2±2ab+b2）二項(xiàng)式（a2-b2）完全平方有三項(xiàng)（含中間項(xiàng)），平方差有兩項(xiàng)適用條件兩個相同二項(xiàng)式相乘兩個二項(xiàng)式，一項(xiàng)相同、一項(xiàng)互為相反數(shù)完全平方需“相同二項(xiàng)式”，平方差需“和與差”口訣記憶首平方，尾平方，積的2倍放中央首平方減尾平方，先看符號后計(jì)算完全平方多“積的2倍”，平方差無中間項(xiàng)易錯示例辨析：誤將(a+b)2

寫成a2+b2（漏中間項(xiàng)2ab）；誤將(a-b)2

寫成a2-b2（混淆完全平方與平方差）；誤將(a+b)(a-b)寫成a2+2ab+b2（用錯公式）。幻燈片11：課堂練習(xí)——分層鞏固基礎(chǔ)練習(xí)1：計(jì)算下列各題：(m-2n)2=______（答案：m2-4mn+4n2）；(3x+1)2=______（答案：9x2+6x+1）；(-2y-3)2=______（答案：4y2+12y+9）。提升練習(xí)2：計(jì)算下列各題（混合運(yùn)算）：(a+2b)2-(a-2b)2（提示：用完全平方公式展開后合并，或逆用平方差公式）；方法1（展開合并）：(a2+4ab+4b2)-(a2-4ab+4b2)=8ab；方法2（逆用平方差）：[(a+2b)-(a-2b)][(a+2b)+(a-2b)]=4b×2a=8ab；(x-3)2+2(x-3)(x+3)-(x+2)2（答案：x2-10x-1）。拓展練習(xí)3：已知a+b=5，ab=3，求a2+b2

和(a-b)2

的值（提示：a2+b2=(a+b)2-2ab=25-6=19；(a-b)2=a2-2ab+b2=19-6=13）?；脽羝?2：課堂小結(jié)核心知識：完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；結(jié)構(gòu)特征：三項(xiàng)式，含“首

2”“尾

2”“±2ab”，幾何意義為正方形面積的分割與2024人教版數(shù)學(xué)八年級上冊授課教師：

.班級：

.

時間：

.

16.3.2完全平方公式第十六章

整式的乘法aiTujmiaNg1.通過學(xué)生自主探究理解完全平方公式，掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，了解公式的幾何意義，并能熟練運(yùn)用公式進(jìn)行簡單計(jì)算，提高學(xué)生解決問題的能力．2．利用去括號法則得到添括號法則，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力．3．讓學(xué)生經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號感和推理能力．4．通過探究過程，使學(xué)生了解“特殊—一般”的認(rèn)識規(guī)律，體會數(shù)形結(jié)合、類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．重點(diǎn)難點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．a(chǎn)2可以表示成什么？2．多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則是什么？a×a一般地，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加新課導(dǎo)入

一塊邊長為a米的正方形實(shí)驗(yàn)田，因?qū)嶋H需要將其邊長增加b米，形成四塊實(shí)驗(yàn)田，以種植不同的新品種.(如圖)用不同的形式表示實(shí)驗(yàn)田的總面積，并進(jìn)行比較.你有什么發(fā)現(xiàn)呢？新課導(dǎo)入一塊邊長為a米的正方形實(shí)驗(yàn)田，因需要將其邊長增加b

米.形成四塊實(shí)驗(yàn)田，以種植不同的新品種(如圖).用不同的形式表示實(shí)驗(yàn)田的總面積，

并進(jìn)行比較.aabb知識點(diǎn)1完全平方公式新課講解直接求：總面積=(a+b)(a+b)間接求：總面積=a2+ab+ab+b2你發(fā)現(xiàn)了什么？(a+b)2=a2+2ab+b2aabb新課講解計(jì)算下列多項(xiàng)式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？(1)

(p+1)2=(p+1)(p+1)=

.p2+2p+1(2)

(m+2)2=(m+2)(m+2)=

.m2+4m+4(3)

(p–1)2=(p–1)(p–1)=

.p2–2p+1(4)

(m–2)2=(m–2)(m–2)=

.m2–4m+4問題1：學(xué)生活動

【一起探究】新課講解根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能寫出下列式子的答案嗎？(a+b)2=

.a2+2ab+b2(a–b)2=

.a2–2ab+b2問題2：新課講解(a+b)2=

.a2+2ab+b2(a–b)2=

.a2–2ab+b2

也就是說，兩個數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍.這兩個公式叫做(乘法的)完全平方公式.簡記為：“首平方，尾平方，積的2倍放中央”完全平方公式新課講解你能根據(jù)下面圖形的面積說明完全平方公式嗎?新課講解設(shè)大正方形ABCD的面積為S.S=

=S1+S2+S3+S4=

.(a+b)2a2+b2+2abS1S2S3S4證明新課講解aabb=+++a2ababb2(a+b)2=

.a2+2ab+b2和的完全平方公式：幾何解釋新課講解a2?ab?b(a?b)=a2?2ab+b2.=(a?b)2a?ba?baaabb(a?b)bb(a?b)2(a–b)2=

.a2–2ab+b2差的完全平方公式：幾何解釋新課講解(a+b)2=a2+2ab+b2.(a–b)2=a2–2ab+b2.觀察下面兩個完全平方式，比一比，回答下列問題：(1)說一說積的次數(shù)和項(xiàng)數(shù).(2)兩個完全平方式的積有相同的項(xiàng)嗎？與a，b有什么關(guān)系？(3)兩個完全平方式的積中不同的是哪一項(xiàng)？與a，b有什么關(guān)系？它的符號與什么有關(guān)？問題4：新課講解

公式特征：公式中的字母a，b可以表示數(shù)、單項(xiàng)式和多項(xiàng)式.積為二次三項(xiàng)式；積中兩項(xiàng)為兩數(shù)的平方和；另一項(xiàng)是兩數(shù)積的2倍，且與兩數(shù)中間的符號相同.新課講解例1

運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：解:

(4m+n)2==16m2(1)(4m+n)2；(a+b)2=a2+2ab+b2(4m)2+2?(4m)?n+n2+8mn+n2；利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算(2)

(a–b)2=a2–2ab+b2y2=y2–y+解：=+–2?y?新課講解(1)1022；=(100–1)2=10000–200+1解：

1022=(100+2)2=10000+400+4=10404.(2)992.992=9801.

例2

運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：利用完全平方公式進(jìn)行簡便計(jì)算新課講解

新課講解

利用乘法公式計(jì)算：(1)982–101×99；(2)20162–2016×4030＋20152.＝(2016–2015)2＝1.解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1)(100–1)＝1002–400＋4–1002＋1＝–395；(2)原式＝20162–2×2016×2015＋20152新課講解例3已知x–y＝6，xy＝–8.求:(1)

x2＋y2的值；(2)(x+y)2的值.＝36–16＝20；解：(1)∵x–y＝6，xy＝–8，(x–y)2＝x2＋y2–2xy，∴x2＋y2＝(x–y)2＋2xy(2)∵x2＋y2＝20，xy＝–8，∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy＝20–16＝4.利用完全平方公式的變形求整式的值新課講解方法總結(jié)：本題要熟練掌握完全平方公式的變式：x2＋y2＝(x–y)2＋2xy＝(x+y)2–2xy，(x–y)2＝(x+y)2–4xy.新課講解添括號法則a+(b+c)=a+b+c;a–(b+c)=a–b–c.a+b+c=a+(b+c);

a–b–c=a–(b+c).去括號：把上面兩個等式的左右兩邊反過來，也就是添括號：知識點(diǎn)2新課講解

添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項(xiàng)都不變號;如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項(xiàng)都改變符號(簡記為“負(fù)變正不變”).添括號法則新課講解例

運(yùn)用乘法公式計(jì)算:(1)(x+2y–3)(x–2y+3);(2)(a+b+c)2.

原式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]解:(1)(2)原式=[(a+b)+c]2

=

x2