河南省南陽市第一中學(xué)校2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題。

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題紿出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合M=%—2V0｝,N=[x\y=V1—Inx｝,則MUN=()

A.1-8,e]B.(0,2)C.(-1,e]D.(-1,2)

2.已知更數(shù)2=擊-?2。24。為虛數(shù)單位)，則5的虛部為()

A.-gB.C.—^,iD.

3.己知乙h,Z均為單位向量.若言珞貝區(qū)與Z夾角的大小是()

A.?B.JC.§D號

b3Do

4.已知X?N(3,4)且P(X>4)=P(X<Q),則二項(xiàng)式-QX)，的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為()

A.-24B.-1C.ID.24

5.已知函數(shù)/(%)=sin觸+勻3>0)在區(qū)間(0,9內(nèi)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則3的取值范圍是()

A.居B-114)c-(rllD.[相)

6.設(shè)雙曲線嗒一營=1(。>0,匕>0)的右頂點(diǎn)為力，&C分別在兩條漸近線上,且瓦？=3AC,\AC\=當(dāng)a,

則該雙曲線的離心率為()

A.?B。C.<5D.W

7.已知函數(shù)/'(%)=2ae*與g(x)=Inx+1存在公切線，則實(shí)數(shù)”的最小值為()

A.iB.；C.；D.；

eZe4e6e

8.某廠家對其軟件進(jìn)行加密升級，現(xiàn)對軟件程序中的某序列4=｛的,。2，的，…｝重新編輯，編輯新序列為力?=

俘，M，?，…｝，它的第〃項(xiàng)為乎1?若序列⑷)*的所有項(xiàng)都是3,且。2=1，。5=27,則Q】=()

?2a3)an

AiBC.3D.9

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分,

部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得。分。

9.如圖，正方體ABC。一ABiGDi棱長為2,P是直線為。上的一個(gè)動點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是()

第1頁，共14頁

A.B尸的最小值為

B.PA+PC的最小值為2V2-72

c.三棱錐當(dāng)-4cp的體積不變

D.乂點(diǎn)〃為球心，度為半徑的球面與面八名。的交線長為孚〃

10.已知/?(%)是定義在R上的奇函數(shù)，g(x)=f'㈤，g(x+l)是有函數(shù)，且八；)=-1,則下列說法中正

確的有()

A.g(x)為偶函數(shù)B./(24-x)=/(x)

C.；(15)=lD.g(j1)+g短3)=o

11.如圖，曲線C是一條“雙紐線”，其C上的點(diǎn)滿足：到點(diǎn)F］(一2,0)與到點(diǎn)4(2,0)的距離之積為4,則下

列結(jié)論正確的是()

A.點(diǎn)D(24%0)在曲線C上

B.點(diǎn)M(x,l)(x>0)在。上，貝

C.點(diǎn)0在橢圓［+4=1上，若尸1QIF2Q,則QWC

O乙

D.過22作X軸的垂線交C于4B兩點(diǎn)，則1481V2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知函數(shù)/'(%)=Ye2x-1+Ina,g(x)=21nx+1,若f(x)>g(x)恒成立，則a的最小值是

13.已知△/18C的內(nèi)角力，B,C的對邊分別為a,b,c,且則也則生則竺焉端,若a+b=4,則

c的取值范圍是.

14.設(shè)(X1，%2，%3，%4，%)是1，2,3,4,5的一個(gè)排列，若日—孫4)(陽+1—陽+2)<0對一切iw｛1,2,3｝恒成

立，就稱該排列是“交替”的，則“交替”的排列共有種.(結(jié)果用數(shù)字表示)

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝中，%=2,滿足屣+i+an+ian-6成=0.

(1)求數(shù)列｛冊｝的通項(xiàng)公式；

an為偶數(shù),

(2)已知數(shù)列出“｝滿足以=｛2I/初求數(shù)列出j的前2〃項(xiàng)和72n.

----a---V).......-,n為奇數(shù).

log2n<io(/2an+2)

16.(本小題15分)

已知函數(shù)/"(%)=巴爐，其中aeR.

⑴當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=/(%)在(1,/(1))處的切線方程;

(2)當(dāng)a>0時(shí)，若f(x)在區(qū)間［0,a］上的最小值為:，求a的值.

第2頁，共14頁

17.（本小題15分）

某學(xué)校校慶時(shí)統(tǒng)計(jì)連續(xù)5天進(jìn)入學(xué)校參加活動的校友數(shù)（單位：千人）如下:

日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日

第X天12345

參觀人數(shù)），2.22.63.15.26.9

（1）由上表數(shù)據(jù)看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)〃加以說明（保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）；

（若網(wǎng)＞0.75,則認(rèn)為y與x的線性相關(guān)程度很強(qiáng)），并求出歹關(guān)于x的線性回歸方程；

（2）校慶期間學(xué)校開放1號門、2號門和3號門供校友出入，校友從1號門、2號門和3號門進(jìn)入學(xué)校的概率

分別為＜、!、且出學(xué)校與進(jìn)學(xué)校選擇相同門的概率為鼻選擇與入校不問兩門的概率各為幺假設(shè)校友從1

ZooJO

號門、2號門、3號門出入學(xué)?；ゲ挥绊?，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名校友于10月1日回母校參加活動，設(shè)X

為4人中從2號門出學(xué)校的人數(shù)，求X的分布列、期望及方差.

附：參考數(shù)據(jù)：￡：=/i%=72,蠟=55,y=4,2著久=95.86,<15^6?12.59.

參考公式：回歸直線方程，=Bx+6,其中B二E陶城-城2,a=y-bx.

相關(guān)系數(shù)r=I.

18.（本小題17分）

如圖，在四棱錐P-48co中，WPADABCD,△P力。是邊長為2的等邊三角形，底面/8CO為直

角梯形，其中ABLAD,48=BC=1,M為線段尸/中點(diǎn)，連接BM.

（1）證明：〃平面PCZ）；

（2）求M到平面PCD的距離；

（3）線段尸。上是否存在一點(diǎn)后使得平面4C與平面。力C夾角的余弦值為手？若存在，求出言的值；若

不存在，請說明理由.

19.（本小題17分）

2222

如圖，雙曲線的:a一方=1（。＞0,8＞0）的左、右焦點(diǎn)尸1，外分別為雙曲線Q：力一方=1的左、右頂點(diǎn)，

過點(diǎn)力的直線分別交雙曲線％的左、右兩支于4,8兩點(diǎn)，交雙曲線。2的右支于點(diǎn)M（與點(diǎn)七不重合），且

△80尸2與4力8出的周長之差為2.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：M={X\X2-X-2<0],即M=(-l,2),

由l-lnxNO,得0VxWe,

則〃={x\y=J1-Inx),即N=(0,e],

則MUN=(-l,e].

故選：C.

2.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閕4=l,所以i2024=04)506=1,

由Z='一[2024=1=四一1=一1+」，

R1+i(l+0(l-i)222

其虛部為一宗

故選：A.

3.【答案】C

【解析】解：由五二二十已得工2二(方十^)2,

即必=了2+■+2左七

則l=l+l+2xlxlxcos(b,c),

則cos(b,c)=-1,

又(5,Z)e[0,n],

則際)=亨.

故選：C.

4.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閄~N(3,4),所以P(X>4)=P(X>3+1)=P(X<3-1)=P(X<a),

所以Q=2,

所以二項(xiàng)式2x)4的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為：(4x(-2)2=6x4=24.

故選：D.

5.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及整體代換的技巧進(jìn)行處理..

【解答】

解：因?yàn)?>0,所以當(dāng)時(shí)，有搭+

LO04O

因?yàn)?■(%)在區(qū)間(0弓)內(nèi)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，

結(jié)合正弦函數(shù)圖象，得*兵+上斗，解得,

LL043J

第5頁，共14頁

所以3的取值范圍為(|5].

【解析】解.：由題設(shè)|OC|=77l,

由角平分線定理可得唱=黑=3,

則|0B|=3m,\AB\=3

|0川2+|C012TAe|2_Q2+**

在△。力C中，由余弦定理得cos/AOC=

2\OA\\CO\2am

|。川2+|08|2一|48|2_。2+9血2—2。2

在△084中，由余弦定理得cos乙1。8=

2\0A\\0B\6am

。2+巾2k2_Q2+9m22a2，解得血=￥0

由COSZTIOC=COSZJIOB得

2am6am

則COSZ.AOC=a+；二=-i=-,即￡=等,

2amV5ca2

所以雙曲線上的離心率為等.

故選：B.

7.【答案】B

【解析】解:設(shè)公切線與函數(shù)f(%)=2ae*及函數(shù)g(x)=ln%+1的切點(diǎn)分別為(njnn+1),且

廣(zn)=2aem,gf(n)=

故兩切線方程為y-2ae,n=2aem(x-m),y-(Inn+1)=^(x-n),

即丁=2aemx+(-m+l)2ae,n,y=+Inn,

7npm—1

n有解，消去機(jī)后得：ln2a=(n-l)lnn-l,

{(-zn+l)2aem=Inn

令人(x)=(x-l)lnx-l,/iz(x)=lnx-i+1,

易得h，(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且％E(0,1)時(shí),h/(x)<0；%￡(1,+8)時(shí)，/iz(x)>0,

故Mx)在區(qū)間(0,1)上遞減，在(1,+8)上遞增.

所以MMmin=h(1)=-1，;In2a的最小值為一1,即2a的最小值為L即實(shí)數(shù)a的最小值為;.

e/e

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故選：B.

8.【答案】C

【解析】解：因?yàn)閮?nèi)=卷*，最，…卜

設(shè)為含，則⑷*=招，篇卷7,

因?yàn)?4)的所有項(xiàng)都是3,所以2=3,設(shè)b1=m,

°n

所以｛4J是以m為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,所以瓦,二巾?3時(shí)1.

由本=m,a2=1=mai=1；

由詈=3m,a2=1=。3=3m；

2=2

由詈=3-m=>a49m-3m=27m：

由於=33?mn。5=27m-27m2=36?m3.

又的=27,所以36-m3=27=>m=

?J

所以Ql=3.

故選：C

9.【答案】ACD

【解析】【分析】

本題考查距離問題的確定，幾何體體積的求解，面與面交線長的求解，對空間想象能力要求比較高，難度

較大.

對,4,在△84D中邊長為面對角線2心，8P的最小值為△B4W的高，即可判斷；

對5,將△月勺。與矩形△481C0翻折到一個(gè)平面內(nèi)，然后可判斷；

對Ct因?yàn)閂%-4cp=Vj-BiPC，即可判斷；

對D,以點(diǎn)〃為球心與面人々。的交線為圓周即可判斷.

【解答】解：對人在△84。中邊長為面對角線2，I，8〃的最小值為力山的高，其值為、石，故4對;

對9,將△力公。與矩形△&BM。翻折到一個(gè)平面內(nèi)(如圖)，

在△4CD中，余弦定理可得，/1C2=4+4-2X2X2XCOS1353=8+4/2.

所以水=242+近，故4錯(cuò)；

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對C,因?yàn)閂BL4cp=%-B1PC，而.4到平面PBM的距離不變，而公/PC的面積也不變，所以三棱錐當(dāng)-力。戶

的體積不變，故C對；

對D,以點(diǎn)8為球心與面力為C的交線為圓周，該圓錐的母線長為2,高為半，底面半徑丁=

\(處2_(孚)2=是苧,所以交線長為苧小故。對；

綜上所述，選ACD.

10.【答案】ACD

【解析】解：由于f(x)是定義在A上的奇函數(shù)，所以fa)=—f(-工)，

則廣(x)=/'(一％)，即g(%)=g(—無)，故/正確;

因?yàn)間(x+1)是奇函數(shù)，所以g(x+1)=-g(-x+1),即g(x)=-g(2—x),

所以f'(%)=—/'(2—?jiǎng)t/■(>)=/(2—;0+c,令x=1,所以c=0,

所以f(%)=/(2-x),即/(%)的圖象關(guān)于直線%=1對稱，

則/(一嗎=/(2+*)=-/■(%)，故8錯(cuò)誤；

/(1)=/(2+1)=-/(1)=1>故。正確;

g(一：)=g(；)=-g(g)，故。正確.

故選：ACD.

11.【答案】ACD

【解析】【分析】

本寇考查曲線與方程，考查橢圓的焦點(diǎn)、焦距，兩點(diǎn)間的距離公式等，屬于較難題.

對選項(xiàng)4根據(jù)“雙紐線”定義即可判斷力正確，對選項(xiàng)4,根據(jù)“雙紐線”定義得到再計(jì)算IMF/

即可判斷8錯(cuò)誤，對選項(xiàng)C,根據(jù)“雙紐線”定義和橢圓定義即可判斷C正確，對選項(xiàng)。，設(shè)4(2/),根

據(jù)勾股定理得到患=16+再解方程即可判斷。正確.

【解答】

解：對選項(xiàng)/,因?yàn)閨。尸illOBl=(2汽+2)(2心—2)=4,由定義知OWC,故彳正確；

對選項(xiàng)8,點(diǎn)在C上,

則=7[(x+2)2+l][(x-2)2+l]=4,

化簡得小一6%2+9=0,所以％=宿，+2尸+1工2心，4錯(cuò)誤；

對選項(xiàng)C,橢圓5+1上的焦點(diǎn)坐標(biāo)恰好為尸1(一2,0)與尸2。0),

則IRQI+IF2QI=2%,又FiQl&Q,所以FiQ『+|92Q『=16,

故|%Q|?|4QI=3把迎普/”心=4,所以Qec,C正確：

對選項(xiàng)。，設(shè)4(2,y),則|力8|=2|y|,

因?yàn)?WC,則|g|=皆又|叫|2=16+產(chǎn)，

所以患=16+y2,化簡得y4+I6y2-16=。故、2=4門一8,

所以丫2-1=4，百一9V0,故所以|48|<2,故。正確，

故選:ACD.

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12.【答案】-

e

【解析】解：/CONg(x)恒成立,即彳e2*T+inQZ21nx+l,即白?一之也乎，

即拉e2'N必加之=”片］口㈣，

aaa

令/(￡)=ter(t>0),則@(t)=(t+l)er>0恒成立，所以8(1)單調(diào)遞增，

(p(2x')>(p(111彳)=>2x>In^y-=>2x>2lnx+1—Ina=Ina>2\nx—2x+1,

令A(yù)(x)=21n為-2%+1,則h(x)=^—2,

令人(%)=(),解得X=1,當(dāng)％W(0,1)時(shí)，/i(x)>0,九(%)在(0,1)上單調(diào)遞增；

當(dāng)為6(1,+8)時(shí)，/i'(%)<0,h")在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以九(x)max=九⑴=一1，故InaN-l,即aN則4的最小值是:.

故答案為：:

13.【答案】［2,4)

【解析】【分析】

本題主要考查解三角形中正弦定理的應(yīng)用，還運(yùn)用了基本不等式，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中

檔題.

先利用正弦定理對已知等式進(jìn)行邊角互化的變形，并結(jié)合三角形內(nèi)角和定理與兩角和的正弦公式，推出次+

b*2-c2=ab,再結(jié)合基本不等式，即可得解.

【蟀答】

解：由正弦定理知，-T—T=-T-Z=

sinzlsin8sine

..sin27l+sin28-sin2c_sinAsinB

cacosB+bcosA'

...。2+0-。2=ab=6=.，

sinCsinAcosB+sinBcosAsin(4+3)sinC)

即a?+b2—C2=ab,

cz=a2+b2—ab=(aA-b)2—3ab>(a+b)2—3?("，=2x42=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，等號成

立，

?*.c>2,

又c<Q+匕=4,

2<c<4,

：?c的取值范圍是［2,4).

故答案為：［2,4).

14.【答案】32

【解析】解：解不等式(修-左+1)(々+1—xi+2)V0對ViW{1,2,3}恒成立得出即+i在修與小2之間，

第9頁，共14頁

其排列方式只能為：“小大小大小”或“大小大小大”的方式，這里的“大”與“小”指相比兩旁的數(shù)大

或小.

當(dāng)排列方式為“小大小大小”時(shí),如:35142,13254,…，

①當(dāng)1、2、3在小，4、5在大的位置時(shí)，排列方式有A*A名=12種；

②當(dāng)1、2、4在小，3、5在大的位置時(shí)，必須4、5在一邊，1、2、3在另一邊，排列方式有A，A；=4種,

合計(jì)16種;

當(dāng)排列方式為“大小大小大”時(shí)，同理也有16種，合計(jì)有不同的排列方式32種.

故答案為：32.

15.【答案】解：(1)由答+i4-0n十1?an-6底=0,得(a“+i—2%)(an+i+3?！?=0,

因?yàn)?n>0,所以%+i+30n>0.則%+i=2%,

所以｛即｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以%=2%

(2)方法一:

為偶數(shù)

由(1)知bn={2=1__1_為有數(shù)

n(n+2)-nn+2m力奇數(shù)

T2n=br+b2+b3+b4+…+b2n-i+b2n

=Z?i+%++b2n-i+^2+^4++b2n

1111174

=1II???I1c.I22I24I???I272n

o3o35cn2n-l2n+l

22n

1______1____I__2___-__2____x__4

=―2n+l1-4

n+1

—_4_____-_4__I____2_n___

-32n+l

方法二：

2nm為為數(shù)

由⑴知勾=｛擊，幾為奇數(shù)

設(shè)d=6=4〃，則可得含=4，

所以｛7｝是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)歹IJ,

4-4n+14n+1—4

所以｛金｝的前〃項(xiàng)和A”=

1-43

設(shè)％=Bn-l=(2n-l)(2n+l)=2n-l-2n+7

所以｛“的前〃項(xiàng)和8=1一打卜力???+---1-----1--=1.-----1--=---2-n-

nD。。2n—12n+l2九+12n+l

所以=4.+8n=+島.

【解析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案】

16.【答案】解：(1)當(dāng)Q=0時(shí)，/(%)=5，則/(1)=±/(%)=?，所以,(1)=3

所以曲線y=f(%)在處的切線方程為：=即x-ey=0.

(2)f(x)=-7\"2)”口=一缸2y一。),令/(%)=0,解得%?=2或％=a,

第10頁，共14頁

當(dāng)0va<2時(shí)，X€［0,a］時(shí)，f(x)<0,則/(x)在［0,a］上單調(diào)遞減，

所以f(x)min=/(a)=/=3考慮g(a)=卷,9(a)=黑,

當(dāng)a<1時(shí)，g(a)>0,g(a)單調(diào)遞增，當(dāng)a>1時(shí)，g(a)v0,g(a)單調(diào)遞減,

所以g(a)的極大值為趴1)=：，所以由專=；得。=1：

當(dāng)a>2時(shí),無E［0,2］時(shí)，f(x)<0,則/(x)在［0,2］上單調(diào)遞減,

x￡(2,a］時(shí)，f'(x)>0,則/(x)在(2,a］上單調(diào)遞增，

所以/Wmin=/(2)=上U3則Q=4-eV2,不合題意；

當(dāng)a=2時(shí)，％E［0,2］時(shí)，/(x)<0,則f。)在［0,2］上單調(diào)遞減,

所以=f(2)=捻工；，不合題意;

綜上，a=1.

【解析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案】

17.【答案】解：⑴依題意，1=1+2+；+4+5=3,而=72,=55,y=4,

則丁涕/尸72-5x3x41212

=F*，

/55-5x32^95.86-5x42V158.6

因?yàn)槎?0.95>0.75時(shí)線性相關(guān)程度高，所以y與x線性相關(guān)程度很強(qiáng)，可以用線性回歸模型擬合,

7_sL^y<-5xy_72-5x3x4_

E3_5/2-55-5x32-1一a=y—bx=4—1.2x3=0.4,

因此回歸方程為夕=1.2x+0.4；

(2)記“甲從2號門出學(xué)?！睘槭录?“甲從1號門進(jìn)學(xué)?！睘槭录?,

“甲從2號門進(jìn)學(xué)?！睘槭录﨏,“甲從3號門進(jìn)學(xué)?！睘槭录?。，

由題意可得P(B)=P(C)=I，P(D)=I

PU|B)=p(yi|D)=l,P(川c)=,

由全概率公式得：P(4)=P(BA+C4+DA)=P(BA)+P(CA)+P(DA)

=P(B)P(A\B)+P(C)P⑷G+P(D)P(川D)=|X|+|X|+|X1=P

同理乙、丙、丁從2號門出學(xué)校的概率也為本

X為4人中從2號門出學(xué)校的人數(shù)，由題意得X的所有可能取值為0,1,2,3,4,則X?8(4,勻,

NX=。)=(力=黑，P(X=i)=cj(1)i(|)3=舞=第

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P(X=2)=C沿)2(方=熊=孩,P(X=3)=既獷(?=裝=能

P(X=4)=(/金

故X的分布列為：

X01234

81272731

P

2566412864256

F(X)=4x11=1,D(.X)=4x/1x3*=*3

【解析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案】

18.【答案】解：(1)在四棱錐尸一ABC。中，取PO中點(diǎn)M連接

由M為口的中點(diǎn)，且40=2,BC=1,^MN//AD//BC,MN="D=1=BC,

則四邊形8cMV/為平行四邊形，BM〃CN,而CNu平面PCD,BM仁平面PCD,

所以BM〃平面PCD.

(2)取力。的中點(diǎn)O,連接尸O,OC,由△PA0為等邊三角形，得

而平面24。1平面ABCD,平面PADn平面ABC。=AD,P0u平面PAD,

則P01平面月8CQ,由力0=BC=l,A0〃8C,得四邊形月8c。是平行四邊形，

于是。C//4B，而則。C_L4。，直線。&0D,OP兩兩垂直，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線。&OD,OP分別為％y,z軸建立空間直角空標(biāo)系，如圖，

則4(0,-1,0),。(0,1,0),0(100),8(1,-l,0),P(0,0,C)，CP=(-1,0,<3),CD=(-1,1,0),

設(shè)平面PCD的法向量為濟(jì)=Qy,z),則#?二工+9=0,

n-CD=-x+y=0

取z=1,得運(yùn)=(V~3,y/~3,1),

乂近=(0,1,0),所以B到平面PCD的距離d=喘=工=手，

因?yàn)?M〃平面PCQ,所以“到平面尸CO的距離為8到平面PC。的距離，即號.

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(3)令而=APD=(0,A,-y/lX),AG[0,1],

AE=AP+PE=(0,1,+(0,九—V31)=(0,1+,AC=(1,1,0),

mAC=a+b=0

設(shè)平面EAC的法向量為記=(a,Ac),則

m?=(1+1)6+g-/3A)c=0

取力=/3(1-1),得沆=(/3(1-A),/3(A-1),A+1),

平面O/C的法向量為而=(0,0,b)，

干昂lrcq/布布I一I"同一6(2+