專(zhuān)題12計(jì)數(shù)原理

一、單選題

1.(2022?全國(guó)?高考真題)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙

和「相鄰，則不同排列方式共有()

A.12種B.24種C.36種D.48種

【答案】B

【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解

【詳解】因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列，有3!種排列方

式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2科插空方式；

注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：31x2x2=24種不同的排列方式，

故選：B

2.(2022?北京?高考真題)若(24—1)4=心/+4標(biāo)3+。/2+。/+4),則―+。2+。4=()

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

【分析】利用賦值法可求/+%+%的值.

【詳解】令x=l,則。4+/+生+4+《)=1，

令工二一1，則一%+生一。1+《)=(-3)4=81，

1+81,,

故4+42+%==一=41，

故選；B.

3.(2021?黑龍江?大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試(理))己知C；=C：,設(shè)

n

(2A-3y=a0+a1(x-l)4-a2(x-iy+---4-aH(x-l),則《)+q+生+…+q,=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)得到，;=7,再利用賦值法求值即可.

【詳解】因?yàn)镃：=C：,所以由組合數(shù)的性質(zhì)得〃=7,

所以（2X—3）7=4）+q（x-l）+w（＞x—1）+…+%（-￥-1）,

令x=2,得（2x2-3）7=%+4+%+…+外,

即%+4+%+…+%=L

故選：C

4.（2022?河南洛陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)（理））一個(gè)電路中含有（1）（2）兩個(gè)零件，零件（1）含有A,8兩個(gè)元

件，零件（2）含有C,。，E三個(gè)元件，每個(gè)零件中有一個(gè)元件能正常工作則該零件就能正常工作，則該

電路能正常工作的線(xiàn)路條數(shù)為（）

A.9B.8C.6D.5

【答案】C

【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求得

【詳解】由分步乘法計(jì)數(shù)原理易得，該電路能正常工作的線(xiàn)路條數(shù)為2*3=6條.

故選：C.

5.（2022?湖北嚷陽(yáng)五中高三階段練習(xí)）二項(xiàng)式乎）的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則〃的最小值

等于（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令X的指數(shù)為0,再根據(jù)幾「的取值范圍可求得結(jié)果

【詳解】二項(xiàng)式2-（〃cN'）的展開(kāi)式為

&乎）=（一2）匕「一，

令5〃r=0,/?=（）,1,2,…,〃,〃wN',

2

則〃="|「，

因?yàn)椤?N'

所以當(dāng)，=2時(shí)，〃取得最小值3,

故選：B

6.（2022?廣東廣州?高三開(kāi)學(xué)考試）（l+xy+（l+x）3+…+（l+x）9的展開(kāi)式中/的系數(shù)是（）

A.45B.84C.120D.210

【答案】C

【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，組合數(shù)的性質(zhì)，求得含F(xiàn)項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】解：（l+x）2+（l+?+…+（1+4的展開(kāi)式中，

含/項(xiàng)的系數(shù)為G+C+C+…+《=%=120,

故選:C.

7.（2021?河南?高三開(kāi)學(xué)考試（理））+的展開(kāi)式中一的系數(shù)為（)

A.-60B.60C.12D.-12

【答案】D

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式a=2匕產(chǎn)”,令6-21,或6-2r=3,即可求得答案.

【詳解】因?yàn)椴?：）的展開(kāi)式的通項(xiàng)：Ts=C［（x）6r（：）=2,G/2，/=OJ2,L,6,

所以〃o)=C=i,

所以人力=C：+C>2+C>4+…+C尸+…+C：x'i,

則/()=c：+C+C+…+C+…+C；，

其中C：+C;：+C：+…+C：+…+C：=2"T,

所以r（i）=2"）

所以/'(1)+/(0)=2小+1；

故選:D

10.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)（文））偉大的數(shù)學(xué)家歐拉28歲時(shí)解決了困擾數(shù)學(xué)界近一世紀(jì)的“巴賽爾級(jí)

數(shù)”難題.當(dāng)〃工時(shí)，誓X-

,…1——…，乂根據(jù)泰勒展開(kāi)式可以得到

4乃9兀~)(n'n

/iV-'2n-\1111

x號(hào)干x+…，根據(jù)以上兩式可求得＜

sinx=x-------卜---+???+)

3!5!

0丁

【答案】A

/爐Zjy-l2?-!

【分析】由sin』=x-]7+：7+…，+…同時(shí)除以x,再利用展開(kāi)式中F的系數(shù)可求出.

，?J?1一〃~~1I?

【詳解】由sinX-x---+=+…+------+….兩邊同時(shí)除以.r.

3!5!(2/?-!)!

X2/(-廣尸

得"丫=1-----1-----J?…H--------------F…,

x3!5!-----------(2〃-1)!

又的

X…1一券

展開(kāi)式中一的系數(shù)為--1（j+g+g+i+Jr+i］，

JV'V1"2Jn~）

_,.1f111111

所以「Kmw…+h…尸一千

「「.illi病

所以F+-V+-7+…+r+—=——.

I22232n26

故選:A.

11.（2022?湖北?宜城市第二高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）設(shè)集合A={l,2,…,2022},集合S是集合A的非空子集，

S中最大元素和最小元素的差稱(chēng)為集合S的長(zhǎng)度，那么集合S所有長(zhǎng)度為73的子集的元素個(gè)數(shù)之和為（）

A.272-381949B.2741949C.273-371949D.270-761949

【答案】A

【分析】先考慮最小元素為1,最大元素為74的情況：{1,74}只有一種情況；{1,?,74},2M〃473且aeZ,

共有C1種情況；{1/C74},2W瓦cW73且b,ceZ,共有4種情況；以此類(lèi)推……{1,2,3,…73,74},有C；；

種情況，所以此類(lèi)滿(mǎn)足要求的子生元素個(gè)數(shù)之和朋=2/+34+4丁+…+73C；；+74C/計(jì)算可得：

4=38x2%再考慮可以分為{1,…,74},{2,...,75},{3,…,76},……，{1949,…,2022}等1949類(lèi)，可得

本題答案

【詳解】當(dāng)最小元素為1,最大元素為74時(shí)，集合有如下情況：

集合中只含2個(gè)元素；{1,74},只有1種情況；

集合中含有3個(gè)元素；{1.74},2?。473且〃eZ,共有C1種情況；

集合中含有4個(gè)元素；{1八c,74},24"cW73且"ceZ,共有（：為種情況；

以此類(lèi)推……

集合中含有74個(gè)元素;{1,2,...,73,74},有有C；；種情況;

所以此類(lèi)滿(mǎn)足要求的子集元素個(gè)數(shù)之和：

M=2c2+3C1+4C1十…十73C；J+74C；；①

M=74C；；+73C；；+…+3C1+2C?2（2）

vC；2=C^-\0<r<72,reZ

②兩式相加可得：

2M=76（C；2+J+…+C；；+C；；）=76x272

.?■=38x2*

同理可得：{2,…,75},{3,--,76},……，{1949,…,2022},所有子集元素個(gè)數(shù)之和都是38x272

集合S所有長(zhǎng)度為73的子集的元素個(gè)數(shù)之和為2%38?1949.

故選：A

12.（2022?湖北?宜城市第二高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）小林同學(xué)喜歡吃4種堅(jiān)果：核桃、腰果、杏仁、榛子，

他有5種顏色的“每口堅(jiān)果〃袋.每人袋子中至少裝1種堅(jiān)果，至多裝4種堅(jiān)果.小林同學(xué)希望五個(gè)袋子中所裝

堅(jiān)果種類(lèi)各不相同，且每一種堅(jiān)果在袋子中出現(xiàn)的總次數(shù)均為偶數(shù)，那么不同的方案數(shù)為（）

A.20160B.20220C.20280D.20340

【答案】A

【分析】設(shè)出核桃、腰果、杏仁、榛子為從匕X,乙分類(lèi)討金求出分堆情況，再進(jìn)行排列，求出最后答

案.

【詳解】依次記核桃、腰果、杏仁、榛子為從Y,X,Z,則每個(gè)字母出現(xiàn)2次或4次，分類(lèi)計(jì)算分堆可能：

（1）H,H；Y,匕X,X；Z,Z.

若是“8=4+1+1+1+1”,則其中的“4"必須是HFXZ,故1種可能;

若是“8=3+2+1+1+1”,則考慮（”>X）（史）（0）（0）,故有C：C；=12種可能；

若是“8=1+1+2+2+2”，則考慮（Z）（X）（20）（加）（釀），故有。：度=12種可能；

小計(jì)：1+12+12=25；

（2）諸如“從H,H,H；Y,KX,X：Z,Z'類(lèi)型

若是“10=4+3+1+1+1”，則四個(gè)“無(wú)論怎么安排，都會(huì)出現(xiàn)某兩個(gè)袋僅放”，故0種可能；

若是"10=4+2+2+1+1〃,則“1+1”中有一個(gè)是從“4+2+2”中各一個(gè)從"2+2"中除了一個(gè)H外,另一個(gè)互異,

故有C；=3種可能；

若是"10=3+3+2+1+1〃，則“1+1”中各有1個(gè)凡“3+3+2”中各一個(gè)，,可以考慮含國(guó)模式，(H00)(H00)(W0)

(叵)(，),故有種可能;

若是“10=3+2+2+2+1”,則可用下表進(jìn)一步分類(lèi)，有l(wèi)+C；+C；C；=10種可能;

YXZ//

加0

H

若是“10=2+2+2+2+2〃，則四個(gè)H至少有兩個(gè)出現(xiàn)搭配相同，故C種可能;

小計(jì)：GX(0+3+6+10+0)=76；

(3)諸如H,H,H；y,r,y,y：x,x；z,z"類(lèi)型

若是"12=4+4+2+1+1〃,則“4+4”必然重復(fù)，故。種可能;

若是"12=4+3+3+1+1〃，則枚舉"3+3"的情況，發(fā)現(xiàn)僅(HYXZ)(HYZ)(HYX)(Z)(X)可能；

若是“12=4+3+2+2+1”,則考慮CHYXZ)(77H3)(00)(00)(0)或CHYXZ)(XZI3)(盟)(00)(0),

故有C；C；=4種可能；

若是"12=3+3+3+2+1”,則有(”力0(HYZ)(ZXH)CHY)(V)或("KX)(HYZ)(ZXY)(HY)(H)

都成立，有2種可能；

若是“12=3+3+2+2+2”,則枚舉“3+3”的情況，發(fā)現(xiàn)(”YX)(HYZ)CHY)(加)(M3),有2種可能.

小計(jì)C：x9=54；

諸如“H,H,H,H；Y,Y,Y,V；X,X,X,X；Z,Z”類(lèi)型

若是“14=4+4+*+*+*〃，則“4+4〃必然重復(fù)，故。種可能；

若是“14=4+3+3+3+1〃，則“4+3+3+3”中至少有3個(gè)Z,故0種可能;

若是“14=4+3+3+2+2”,則“4+3+3〃至少有2個(gè)Z,考慮(”K￥Z)(HYX)(Z03)(膻)(00),其中北0

有C；=3種可能，故此小類(lèi)有3種可能；

若是"14=3+3+3+3+2〃，貝1」“3+3+3+3”中至少有3個(gè)乙故0種可能；

小計(jì)3C：=12；

（5）“H,H,H,H：Y,匕Y,Y：X,X,X,X；Z,Z,Z,Z'

只有"16=4+3+3+3+3〃的搭配，有1種可能；

綜上：共有25+76+54+12+1=168人分堆可能，故不同的方案數(shù)為168父=168x120=20160種.

故選：A

【點(diǎn)睛】比較復(fù)雜一些的排列組合問(wèn)題，要結(jié)合分類(lèi)加法原理和分步乘法原理進(jìn)行求解?，特別是分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，

要做到不重不漏，本題中，應(yīng)用的是把8,10,12,14,16分為5個(gè)數(shù)（從1到4）的和的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，可以做到不

重不漏.

二、填空題

13.（2022?全國(guó)?高考真題）（1-￡）（x+y）s的展開(kāi)式中產(chǎn)）,6的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

【答案】-28

【分析】可化為（x+），＞-￡（x+）y,結(jié)合二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解.

【詳解】因?yàn)椋?一￡|a+=%+?。┴?&+.v）s，

z\

所以1-2（1+力8的展開(kāi)式中含.06的項(xiàng)為d&6_上或。5=-28%2），6,

k）x

（1-q）（x+y）8的展開(kāi)式中的系數(shù)為.28

故答案為：-28

2y45

14.（2022?浙江?高考真題）已知多項(xiàng)式（x+2）（x-l）4=6/0+6/^+a:x+a3x+a4x+a5x,則％=,

a[+a2+a3+aA+a5=.

【答案】8-2

【分析】第一空利用二項(xiàng)式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令x=0求出4,再令x=l即可得出答案.

【詳解】含尤2的項(xiàng)為:xC^x(-l)A+2C；x2(-i)2=-4x2+12x2=8x2,故6=8；

令工=0,即2=%,

令x=l,即0=%+4+/+%+坦+外,

團(tuán)q+。2+%+%+%=-2,

故答案為：8：-2.

15.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))在1+：一1)的二項(xiàng)展開(kāi)式中含/項(xiàng)的系數(shù)為

【答案】21

【分析】將x+1作為一個(gè)整體，寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求出丁項(xiàng)的系數(shù).

x

【詳解】卜+_-lj的展開(kāi)式的通項(xiàng)為口=《0+：「(-1)，.

b-