專題9-定義新運算

小升初數(shù)學(xué)模塊化思維提升

（知識梳理+典題精講+專項訓(xùn)練）

知擁梳理

1、定義新運算是指用一個符號和已知運算表達式表示一種新的運算。

注意：（1）解決此類問題，關(guān)鍵是要正確理解新定義的算式含義，嚴格按照新

定義的計算順序，將數(shù)值代入算式中，再把它轉(zhuǎn)化為一般的四則運算，然后進行

計算.（2）我們還要知道，這是一種人為的運算形式.它是使用特殊的運算符

號，如：*、▲、★、◎、△、?、■等來表示的一種運算.（3）新定義的算式

中，有括號的，要先算括號里面的.

2、解決問題。

（1）解決此類問題，關(guān)鍵是要正確理解新定義的算式含義，嚴格按照新定

義的計算順序，將數(shù)值代入算式中，再把它轉(zhuǎn)化為一般的四則運算，然后進行計

算.（2）我們還要知道，這是一種人為的運算形式.它是使用特殊的運算符號，

如：*、▲、★、◎、△、?、■等來表示的一種運算.（3）新定義的算式中，

有括號的，要先算括號里面的.

I

典強楷餅

【典例一】小明編制了一個計算程序，當(dāng)輸入任一個數(shù)時，顯示屏的結(jié)果總

等于所輸入數(shù)的平方與1之和，若輸入0,并將所顯示的結(jié)果再次輸入，這時顯

示的結(jié)果應(yīng)當(dāng)是（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】當(dāng)輸入。時，顯示屏的結(jié)果是。2+1=1,再輸入1時，顯示屏的結(jié)

果是尸+1=2,由此做出選擇.

【解答】解：當(dāng)輸入0時，顯示屏的結(jié)果是0?+1=1,再輸入1時，顯示屏

的結(jié)果是產(chǎn)+1=2,

故選：A.

【點評】關(guān)鍵是根據(jù)“當(dāng)輸入任一個數(shù)時，顯示屏的結(jié)果總等于所輸入數(shù)的

平方與1之和”這個新的運算方法解決問題.

【典例二】對亍a、〃定義新運算：a★b=a(a-b)+\o比如5★

2=5x(5-2)+l=5x3+l=16o如果4*x=13,丹卜么x=

【分析】根據(jù)新的運算法則“a★〃=.(.-b)+l”,求出中1的值即可。

【解答】解：4*X=13

4(4一#+1=13

4(4-x)=12

4-x=3

x=l

故答案為：1。

【點評】定義新運算：這種新運算其實只是變了形的求式子值的問題，只要

弄清新的運算法則，然后再分步求值就可得出答案。

【典例三】仔細觀察，再計算。

規(guī)定：河,匕4,一

77891()

求+的值。(寫出計算過程)

23

［分析】根據(jù)規(guī)定/△3=1x2x3,a4=Lx2x3x3,可得，［△2=LX2

2234778910223

!△3」x2d,然后再進一步計算即可。

3345

【解答】解：-A2+-A3

23

1I

-+一

310

13

30

【點評】根據(jù)題意，找準規(guī)定的新定義的運算，然后按照這種運算進行解答

即可。

專項制稱

一.選擇題(共8小題)

1.規(guī)定aX〃=axS+2),則5X2=5X(2+2)=20,同理可得：3※8=()

A.24B.30C.26D.40

【分析】把a=3,力=8,代入a※/?=ax(/?+2),然后按照先算小括號里面的，

再算括號外的順序進行計算即可.

【解答】解：3X8

=3x(8+2)

=3x10

=30

故選：B.

【點評】解決本題關(guān)鍵是理解新運算表示的含義，把新運算轉(zhuǎn)化成四則運算,

從而解決問題.

2.如果⑶表示數(shù)x的整數(shù)部分，^[13.51=13,則當(dāng)x=6.51時，[m+[2幻十[3力

等于()

A.37B.38C.39D.40

【分析】根據(jù)題意，國表示數(shù)x的整數(shù)部分，根據(jù)這一新規(guī)定的運算進一步

解答即可.

【解答】解：根據(jù)題意可得：

[x]+[2x]+[3x]f

=I6.51]+I2x6.51]+|3x6.51],

=[6.51]+[13.02]+[19.53],

=6+13+19,

=38.

=4048+2

=2024

答：2023A2025=2024o

故選：Bo

【點評】掌握定義新運算的方法是解題的關(guān)就。

5.一種數(shù)學(xué)游戲，規(guī)則是這樣的：*=ad-bc。例如"=5x3-4x2。已知

bd43

42=8,則x的值是()

2.5x

A.1.25B.2C.3.25D.5

42

【分析】根據(jù)規(guī)則可知，=8,列方程：4x-2.5x2=8,解方程，即可求

2.5x

出x的值。

【解答】根據(jù)規(guī)則可知，42=列方程：4X-2.5X2=8,解方程，即可求

2.5x

出工的值。

故選：Co

【點評】解答本題的關(guān)犍是根據(jù)規(guī)則列出方程，再根據(jù)等式的性質(zhì)1、2解

方程。

6.已知aAb=axb+a+b,則(I△2)△(3△4)等于()

A.24B.10C.95D.119

【分析】根據(jù)題意，表示這兩個數(shù)的乘積再加上這兩個數(shù)的和，按照

定義，先把算式展開，再進行計算，計算時先算括號里的，再算括號外面的。

【解答】解：(1△2)△(3△4)

=(IX2+1+2)A(3X4+3+4)

=5A19

=5x19+5+19

=119

故選：。。

【點評】定義新運算的題目，關(guān)鍵是理解題目定義的新運算的含義，然后依

葫蘆畫瓢求解。

7.定義一種運算：+1,例如2*3=2x2-3+l=2,則(-5)*(-1)=(

)

A.10B?—80?-1()D912

【分析】由題意可得，4=(-5),〃=把這兩個數(shù)代入=%-8+1計算

即可。

【解答】解：(-5)*(-1)=2x(-5)-(-1)+1=-8

故選：Bo

【點評】此題考查定義新運算的知識°

8.現(xiàn)規(guī)定“*”是一種新的運算，A*B=3A-2B。那么7*6*5的值為()

A.17B.5C.21CD.18

【分析】】根據(jù)新的運算法則A*A=3A-2A,先求出7*6,再計算下一步即

可。

【解答】解:7*6

=3x7-2x6

=21-12

=9

9*5

=3x9-2x5

=27-10

=17

答：7*6*5的值為17。

故選：Ao

【點評】定義新運笄：這種新運算其實只是變了形的求式子值的問題，只要

弄清新的運算法則，然后再分步求值就可得出答案。

二.填空題(共8小題)

9.規(guī)定，A/\8=5A—48,如果。△0△2)=4,那么。=14.4。

【分析】根據(jù)所紿出的式子知道，新的運算方法是等于4乘5與8乘

4的差，由此用此方法把。△(5/\2)=4寫成方程的形式，解方程求出。值。

【解答】解：Z)△(5△2)=4

DA(5X5-2X4)=4

DA17=4

50—17x4=4

50=4+17x4

50=4+68

50=72

Z)=14.4

故答案為：14.4。

【點評】解答此題的關(guān)鍵是，根據(jù)所給出的式子，找出新的運算方法，利用

新的運算方法將要求的式子寫成方程的形式。

10.我們學(xué)過+、-、x、+這四種運算.現(xiàn)在規(guī)定“*”是一種新的運算.，4*3

表示2A—8.4口：4*3=4x2—3=5.那么9*6=12.

【分析】由題中條件”表示2A-8.如：4*3=4x2-3=5”，可依此類

推出9*6=9X2-6,算出結(jié)果即可.

【解答】解：9*6=9x2-6=12;

故答案為12.

【點評】此題是考查學(xué)生依此類推的能力，要注意找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律列式.

11.1!=1,2!=1x2,3!=1x2x3,4!=1x2x3x4,那么=20230

2022!----------

【分析】根據(jù)2023!=2022!x2023代入式子，再約分計算即可。

【解答】解:2023!

2022!

2022!x2023

2022!

=2023

故答案為：2023o

【點評】解答本題關(guān)鍵是明確新的運算方法和規(guī)律。

12.設(shè)“△”是一種新運算規(guī)則，2Z\3=2+3+4=9,5A4=5+6+7+8=26,

…，按此規(guī)則計算：745=45.

【分析】根據(jù)題意可知，這種新的運算是從前面的數(shù)開始進行連續(xù)的自然數(shù)

相加，后面的數(shù)是連續(xù)相加的個數(shù)，然后再進一步計算即可.

【解答】解：根據(jù)題意可得：

7A5,

=7+8+9+10+11,

=45.

故答案為：45.

【點評】根據(jù)規(guī)定，找準規(guī)定的定義的運算，然后按照這種運算進行解答即

可.

13.如果規(guī)定“AO8=7A—58”，?1么702=39。

［分析］根據(jù)所給出是等式，知道AOB=等于7與A的積減去5與

B的積,用此方法計算702的結(jié)果是多少。由此解答即可。

【解答】解：702

-7x7-5x2

=49-10

故答案為：39。

【點評】解答此題的關(guān)鍵是，根據(jù)所給出的等式找出新的運算方法，再根據(jù)

新的運算方法解決問題。

14.為了確保通信安全，信息需要加密傳輸?，F(xiàn)規(guī)定加密規(guī)則：明文",

n)加密成密文后是(3府1,即)。按照這樣的加密規(guī)則，明文(2,5)加密后是

(7,10),密文(10,21)的明文是(3,7)o

［分析】求明文(2,5)加密后的密文，把m=2,n=5代入3如d和mn計

算即可；求密文(10,21)的明文是多少，可得3府1=10,求出m的值，再把加

的值代入m〃=21,求出〃的值。

【解答】解：把力=2,〃=5代入3/1和勿/;可得：

3X2+1

=6+1

=7

2X5=10

所以，明文(2,5)加密后是(7,10)o

密文(10,21)的明文是多少，可得：

30口=10

3ml-1=10-1

3/77=9

3/774-3=94-3

777=3

把m=3代入加=21可得：

3/7=21

3/74-3=214-3

n=7

所以，密文(10,21)的明文是(3,7)o

故答案為：7,10：3,7o

【點評】解答本題的關(guān)鍵是知道新運算的算;里及計算方法。

15.對于數(shù)。定義新運算：〃/,=絲2,那么.叩俗4)=x,則x=5o

2

【分析】根據(jù)規(guī)定的運算規(guī)則，先算小括號里面的，再把小括號里的結(jié)果代

入算式，解方程即可。

【解答】解：6[]4=6+4=5

2

,"八三x+5

x(64)=x5=---

2

x+5

------=x

2

x+5=2x

x=5

答：x=5o

故答案為：5o

【點評】解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)新運算方法，先算出小括號里的值。

16.規(guī)定運算的結(jié)果按照下述方式產(chǎn)生：在〃的倍數(shù)中找出大于少且最

小的一個，計算這個倍數(shù)與6的差，-ia7A15=7X3-15=6,9A6=9X1-6=3O那

么25△2023=2。

【分析】先從25的倍數(shù)中找出比2023大且最小的一個，然后計算這個倍數(shù)

與2023的差。

【解答】解：25A2023

=25x81-2023

=2025-2023

=2

【點評】定義新運算是指用一個符號和巳知運算袤達式表示一種新的運算C

三.解答題(共7小題)

17.定義一種新運算；a的=3〃+5"+幼，其中a和萬為任意兩個不為0的數(shù)，

火為常數(shù)，比如：2J7=3x2+5x2x7+74。

(1)如果轉(zhuǎn)2=73,8-與北8的值相等嗎?請說明理由。

(2)當(dāng)攵取什么值時，對于任何不同的a和3都有〃的與％4相等，即新運

算符合交換律？

【分析】(1)先根據(jù)轉(zhuǎn)2=73,求出我的值，然后分別求845與兄8的值，進

行比較，即可得出結(jié)論。

(2)根據(jù)計算法則，計算當(dāng)a的=b加時，求人的值即可。

【解答】解：(1)542

=3x5+5x5x2+&x2

=15+50+2&

=65+2%

65+2A:=73

24=8

k=4

監(jiān)5

=3x8+5x8x5+4x5

=24+200+20

=244

5J8

=3x5+5x5x84-4x8

=15+200+32

=247

244豐247

答：8」與5g8的值不相等。

(2)*b=*a

3a+5ab+kb=3/?+5cih+kci

3a-?>b=ka-kb

3(a—〃)=&(〃-/？)

k=3

答：A=3時，任何不同的a和“，都有a的與虻〃相等。

【點評】解答此題的關(guān)鍵是，根據(jù)所給出的等式找出新的運算方法，再根據(jù)

新的運算方法解決問題。

18.a和。都是正整數(shù)，設(shè)a※力表示從〃起△個連續(xù)正整數(shù)的和。例如2派

3=2+3+4,5^4=5+6+7+8o

(1)求6X7=63。

(2)用〃的代數(shù)式表示3派〃。

(3)若工※5=2015,求X。

【分析】(1)把從6開始的7個數(shù)相加即可。

(2)把從3開始的〃個數(shù)相加，求和即可。

(3)用含有x的式子表示出從工開始的5個數(shù)相加的和是2015,解含有x的

方程即可。

【解答】解：(1)6X7

=6+7+8+9+10+11+12

=63

答：67=63o

⑵3派〃

=3+4+5+.......+(3+72-1)

_n2+5/7

(3)x+(.r+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)=2015

5x+10=2015

5%=2005

x=401

故答案為：63o

【點評】本題主要考查定義新運算，關(guān)鍵根據(jù)新的運算法則計算。

19.表示一種新運算，規(guī)定x&y=^-+------..........,若2&1=—,求4的值。

孫(x+l)(y+1)12

【分析】根據(jù)新運算x&y=-+—--,把2&換算成

匯(x+l)(y+l)

I4《然后再求出入的值即可。

271(2+1)(1+!)

7

【解答】解:因為x&>'=—+---------------2-&1=—

外(x+l)(y+l)12

1A7

所以：-------1---------------------=----

2x1(2+l)x(l+l)12

1A7

—?—=—

2612

62A7

-----1------=—

121212

則2A=7—6

2A=1

4=0.5

【點評】解答此題的關(guān)鍵是，根據(jù)所給出新的運算方法把字母換算成數(shù)值,

再求出A的值即可。

20.對兩個自然數(shù)a和小，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差，定義為

b,?☆/?=[?,b]-(a.b)0比如，10和14的最小公倍數(shù)是70,最大公約數(shù)是

2,那么10^14=70-2=68。

(1)求12*21的值；

(2)已知6^x=27,求％的值。

【分析】(1)求出12和21的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)，再用最小公倍數(shù)

減去最大公約數(shù)即可解答；

(2)由于運算沒有直接表達式，解這個方程我們設(shè)法逐步縮小探索范圍，

即根據(jù)6與x的最小公倍數(shù)不小于(27+1),不大于(27+6),由此即可得數(shù)答案。

【解答】解：(1)12=2x2x3

21=3x7

所以12和21的最小公倍數(shù)是2x2x3x7=84,最大公約是3。

則12^21=84-3=81

(2)因為6與x的最小公倍數(shù)不小于27+1=28,不大于：27+6=33,而28

和33之間，只有30是6的倍數(shù)，可見6和x的最小公倍數(shù)是30,

因此，它們的最大公約數(shù)是30-27=3,由“兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約

數(shù)的積二這兩個數(shù)的積”得到：

30x3=6xx

6,r=9O

x=15

答：”的值是15。

【點評】解答本題的關(guān)鍵是：根據(jù)定義新運算，得出新的運算定義，再利用

新的運算定義和運算方法，解答即可。第二題可以先確定范圍，然后求出x的值。

21.我們知道，每個自然數(shù)都有因數(shù)，對于一個自然數(shù)4,我們把小于4的

正因數(shù)叫作a的真因數(shù)。如的正因數(shù)有1、2、4、8,其中1、2、4是8的真因數(shù)。

把一個自然數(shù)a的所有真因數(shù)的和除以叫所得的商叫做”的“完美指標”。如：

8的“完美指標”是(l+2+4)+8=Z,請試著計算9、16的“完美指標”。

【分析】根據(jù)定義的新的運算意義，分別找出9和16的正因數(shù)，再分別找

出它們的真因數(shù)，最后再由“完美指標”的意義，列式即可解答。

【解答】解：(1)9的正因數(shù)有：1,3、9,其中1是3的真因數(shù)。

9的