第09講函數(shù)的概念及其表示

【人教A版2019】

■內(nèi)首航

思維導圖

「模塊一：函數(shù)的概念

「題型1函數(shù)的概念的理解

一題型2求函數(shù)的定義域

?題型3求函數(shù)的值域

函數(shù)的概念及其表示

一題型4由函數(shù)的定義域或值域求參數(shù)

提升?必考題型歸納--題型5求函數(shù)值或由函數(shù)值求參

一題型6判斷兩個函數(shù)是否相等

一題型7函數(shù)的表示法

一題型8函數(shù)解析式的求解

I題型9分段函數(shù)

J課后作業(yè)（19題）

思維導圖

概念：一般地，設48是非空的實數(shù)集，如果對于集合H中的任意一個

數(shù)按照某種確定的對應關系/：在集合3中都有唯一確定的數(shù)r和它對

應，那么就稠?：d-3為從集合.倒集合8的一個函數(shù)，記作1寸x),

函數(shù)的概念函數(shù)的四個特征①非空性；②｛王意性；③單值性；④方向性

(1)定義域；(2)值域；(3)對應關系

函數(shù)的概念函數(shù)的三要素

數(shù)

(D求給定解析式的函數(shù)定義域的方法；(2)求抽象函數(shù)定義域的方法

的

I函數(shù)的定義域求函數(shù)值域的一般方法：(1)分離常數(shù)法；(2)配方法；(3不等式法；(4)

與值域單調(diào)性法；⑸換元法；(6激形結合法

概

念定義：只有當兩個函數(shù)的定義域和對應關系都分別相同時，這兩個函數(shù)

及

其

表

示

模塊一函數(shù)的概念

知識梳理

1.函數(shù)的概念

(1)一般地，設4,8是非空的實數(shù)集,如果對于集合A中的任意一個數(shù)X,按照某種確定的對應關系

f在集合B中都有唯一確定的數(shù))，和它對應,那么就稱￡￡2為從集合4到集合B的一個函數(shù)(funciion),

記作)=7"),x^A.

(2)函數(shù)的四個特征：

①非空性：A，8必須為非空數(shù)集,定義域或值域為空集的函數(shù)是不存在的.

②任意性：即定義域中的每二企元素都有函數(shù)值.

③單值性：每一個自變量有且僅有唯二的函數(shù)值與之對應.

④方向性：函數(shù)是一個從定義域到值域的對應關系,如果改變這個對應方向，那么新的對應所確定

的關系就不一定是函數(shù)關系.

2.函數(shù)的三要素

(1)定義域：函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍.

(2)值域：與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合伏x)|x￡A｝叫做函數(shù)的值域(range).

(3)對應關系：對應關系/是函數(shù)的核心，它是對自變量％實施“對應操作”的“程序”或者“方法”.

3.求給定解析式的函數(shù)定義域的方法

求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運算)有意義為準則，列出不等

式或不等式組求解：對于實際問題，定義域應使實際問題有意義.

4.求抽象函數(shù)定義域的方法

⑴若已知函數(shù)兀力的定義域為S⑼，則復合函數(shù)/［以刈的定義域可由不等式。身⑴劭求出.

(2)若已知函數(shù)力8(*)］的定義域為［“用，則?r)的定義域為磯丫)在—上的值域.

5.求函數(shù)值域的一般方法

(1)分離常數(shù)法;

(2)配方法;

(3)不等式法；

(4)單調(diào)性法；

(5)換元法；

(6)數(shù)形結合法.

題型歸納

【題型1函數(shù)的概念的理解】

【例1】(24-25而一上?貨州貴陽?階段練習)下列從集合A到集合8的對應關系，其中J，是x的函數(shù)

的是()

A.A=B=R,對應關系=(

B.A=B=R,對應關系/:%fy=2x

C.A=B=R,對應關系/:無7y=±x

D.A=B=N,對應關系=；

【變式1.2](24-25高一上?山東濰坊?期中)已知集合4={-1,1,2},B={-1，,1,2,4卜若％€A,yEB,

則下列對應關系為力上的一個函數(shù)的是()

A.y=x+1B.y-C.y=x2+1D.y=2X

【變式1.3](24-25高一上.山西大同?期中)下列關于％,y的關系中，y是'的函數(shù)的是()

A.y=Vx-34-V2-x

A.[—3,6]B.[-2,6]C.[2,10]D.[1,10]

【變式3.3】(24-25高一上?江西?階段練習)函數(shù)/?(%)=我式中-五一代i的值域為()

A.[-^,-1]B.[V2,2]C.[-V2,2]D.[-1，-^2]

【題型4由函數(shù)的定義域或值域求參數(shù)】

L」【例4】(23-24高一上.江西宜春.階段練習)已知函數(shù)/(父)=7aX?一2QX+1的定義域為R,則實數(shù)

Q的取值范圍是()

A.(0,1]B.(0,+8)C.[1,十8)D.[0,1]

【變式4.1](24-25高一下?廣東梅州?期中)已知函數(shù)/'⑺=：/一%+5在[科用上的值域為[4科4川，則

m4-n=()

A.4B.5C.8D.10

【變式4.2](24-25高一上?江蘇常州?期中)若函數(shù)/(幻=導=的定義域為R,則實數(shù)A的取值范圍是

'Vkx2+icx+l

()

A.(0,4)B.(0,4]C.[0,4)D.kV0或k>4

【變式4.3](24-25高一上?四川廣安?期中)若函數(shù)f。)=,22—mx+3的值域為[0,+8),則實數(shù)小的

取值范圍是()

A.(-8,-2網(wǎng)B.(-oo,-2V6]U[2V6,4-co)

C.[-2V6,2A/6]D.[2A/6,+00)

【題型5求函數(shù)值或由函數(shù)值求參】

【例5】(24-25高一上?江西宜春?階段練習)已知函數(shù)/(2義+3)=/-工+。，且/(5)=3,則。=

()

A.3B.-3C.17D.-17

【變式5.1](24-25高一上?陜西西安?期中)已知函數(shù)fa+l)=M-3%+5,則/'(3)=()

A.9B.7C.5D.3

【變式5.2](24-25高一上?全國?課后作業(yè))已知函數(shù)/'(%-1)=乎，f(rn)=1,則m=()

A.-1或3B.1或3C.-1D.3

(變式5.3](24-25高一上?安徽合把?階段練習)已知函數(shù)/'(%)的定義域為R,且/Xx)=x3/(1)(xe(-00,0)U

(。，+8)),/(x)+/(y)-2xy=/(x+y),則f(4)的值是()

A.-20B.-16C.-12D.-10

模塊二、\函數(shù)的相等]]

知識梳理

1.函數(shù)的相等

同一函數(shù)：只有當兩個函數(shù)的定義域和對應關系都分別相同時，這兩個函數(shù)才相篁，即是同一個函數(shù).

2.區(qū)間的概念

設小人是兩個實數(shù)，而且我們規(guī)定：

（1）滿足不等式。4x4b的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間,表示為他⑸：

（2）滿足不等式a<x<b的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間,表示為（a份：

（3）滿足不等式aSx<〃或a<XS〃的實數(shù)A的集所叫做半開半閉區(qū)間,分別表示為[%〃）、（&〃].

這里的實數(shù)a與b都叫做相應區(qū)間的端點.

題型歸納

【題型6判斷兩個函數(shù)是否相等】

童J【例6】（24-25面一上?四UI瀘州?階段練習）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（）

A.、=土與〉=巖B-、=%與丫=；

,2

C.y=|x|與y=D.y=|x|與y=（4）

【變式6.1]（24-25高一上?內(nèi)蒙古包頭?期中）下列各組中的兩個函數(shù)是同一函數(shù)的是（）

7

①yi="C）,y2=x-S；②/（x）=X,g（x）=Vx；

2

③h(x)=x,m(x)=Vx^；?/i(x)=(V2x-5),f2W=2%-5.

A.??B.②③C.(3)D.@?

【變式6.2]（24-25高一上?陜西渭南?期中）下列選項中表示同一函數(shù)的是（）

A.f(t)=H與g(%)=1

B./(幻=x+2與g(x)=A

尸，x>o仁，to

C.fW=與g⑴=iti

1—1>x<0(1,C=0

D.f(x)=J(x-2024/與g(x)=x_2024

【變式6.3](24-25高一上?江蘇鹽城?階段練習)下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的為()

A./(x)=2x2,g(x)=*B.f(x)=72x+2025,g(x)=|2%+2025|

C.fM=gW=D./(x)=5x,g(x)=A/5%2

模塊三N函數(shù)的表示法

知識梳理

1.函數(shù)的表示法

函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法和圖象法.

(1)解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系：

(2)列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系；

(3)圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系.

2.抽象函數(shù)與復合函數(shù)

(1)抽象函數(shù)的概念；沒有給出具體解析式的函數(shù),稱為抽象函數(shù).

(2)復合函數(shù)的概念：若函數(shù)"次。的定義域為A,函數(shù)的定義域為。，值域為C,則當CGA時，

稱函數(shù)度口⑴)為川)與g(x)在。上的復合函數(shù)，其中，叫做中間變量，/=g(x)叫做內(nèi)層函數(shù)，產(chǎn)小)叫做處

層函數(shù).

題型歸納

【題型7函數(shù)的表示法】

[例7](24-25高一上?廣東東莞?期中)已知力=(%I0$%$2},8={y|I￡y￡2},下列圖象能

表示以4為定義域，B為值域的函數(shù)的是(

【變式7.1](24-25高一」二?貴州遵義?階段練習)面積為S的長方形的某邊長度為％,則該長方形的周長L與

工的函數(shù)關系為()

A.A=x+^(%>0)B.L=x+^(0<x<S)

C.乙=2x+亍(x>0)D.L=2x+y(d<x<S)

【變式7.2X24-25高一上?廣東佛山?期中)已知函數(shù)/'(%)、g(x)列表法表示如下，則下列說法正確的是()

X1234

fM2341

X?234

gW2413

A./(/(D)=4B.g(g(D)=1

C.f(g(l))=3D.g(/'(1))=2

【變式7.3]（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）某同學坐公交車去上學，出發(fā)一段時間后他媽媽發(fā)現(xiàn)他忘記帶

文具盒，于是開車去追，在公交換乘時追上他，把文具盒交給他后便開車回家，忽略兩人見面的時間，以

下哪個圖象表示隨著時間變化兩人之間距離的變化（）

個兩人之間的距向

上兩人之間的距面

【題型8函數(shù)解析式的求解】

【例81（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）若/'（X）是一次函數(shù)，2/（2）-3/（1）=5,2/（0）-/（-I）=1,

則f(%)=()

A.3%+2B.3x-2C.2x+3D.2x—3

【變式8.1](24-25高一上?云南文山?期中)已知函數(shù)2,則/(%)的解析式為()

A.f(x)=x2-2x—1B.f(x)=x2-2(xH0)

C.f(x)=x2—2x—3(x*1)D.f(x)=x2—2x—l(x工1)

【變式8.2](24-25高一上?福建福州?期中)若函數(shù)f(%)是二次函數(shù),滿足/(0)=2,f(x+2)-f(x)=4x,

則f(%)=()

A.x2+x+2B.x2-2x+2C.x2-x+2D.x2+2x+2

【變式8.3]（24-25高一上?湖北?階段練習）已知/"（號3=詈，則/（%）=（）

A.2x—3(%W0)B.2%一3(%W2)

C.2x+3(x*0)D.2x+3(%*2)

【題型9分段函數(shù)】

【例】35高一上?江蘇南通?階段練習）設/⑺=｛綏；幡巳；。叫則/⑼的值為（

LJ9)

A.9B.11C.28D.14

【變式9.1]（24-25高一上?山西太原?階段練習）函數(shù)/（%）=e2-1'”￡，:：個的定義域為（）

（X.xG[0,2}

A.0B.{x|-l<x<2}C.{-1,04,2}D.{-1,0,1}

【變式9.2]（24?25高一上?廣東廣州?期中）已知函數(shù)八乃=].；%；*/],則/■[/《）]的值為（）

A.-B.-C.-D.--

2222

2TClY1

【變式9.3]（24-25高一上?江蘇?期中）已知實數(shù)QH0,函數(shù)/'（幻=''.若/（I一a）=

.-x-2a,x>1

/（l+2a）,則a的值為（）

A.1B.--C.-1D.二或一1

22

課后作業(yè)（19題）

一、單選題

I.（24-25高一上?陜西渭南?階段練習）函數(shù)/?（%）=JE+士的定義域是（）

A.(-co,-1)B.(1,4-co)C.[-1,4-00)D.[-l,l)U(l,+8)

2.（24-25高一上?江西贛州?開學考試）下列各組中的兩個函數(shù)是同一個函數(shù)的是（）

A./a)=：,g(x)=.B./(%)=M,gW=｛；氏°0

C.f(x)=l,gW=x°D./(X)=/,gQ)=(x+1)

2X-3

3.（24-25高一上?黑龍江哈爾濱?期中）函數(shù)/（%）=的值域（）

3x+l

A?（-喝）嗚+8）B?(-8,|)U(|,+8)

C.（一叫皿一2）D-(一8彳)陷+8)

霽鷲箕=則3=（）

4.（24-25高一上?浙江杭州?期中）已知函數(shù)/"（%）=

A.21B.-3C.-21D.3

5.(24-25高一上?遼寧鞍山?期中)已知函數(shù)/Ct+1)的定義域為[—1,3],則/(7)的定義域為()

A.[-2,2]B.[0,4]C.[1,9]D.[0,8]

6.(24-25高一上?福建福州?期中)若函數(shù)/(%)是二次函數(shù),滿足f(0)=2,f(x+2)-/(%)=4x,則f(%)=

()

A.x2+x+2B.x2—2x+2C.x2—x+2D.x24-2x4-2

7.（24-25高?上?安徽合肥?階段練習）已知函數(shù)f（x）的定義域為R,且f*）=x"C）（xe（一叫。）U（0,+co））,

fix')+/(y)-2xy=f(x+y),則f(4)的值是()

A.-20B.-16C.-12D.-10

8.(24-25高一上.湖北省直轄縣級單位.階段練習)已知/"(4+1)="+3,則f(x+l)的解析式為().

A.x+4(x>0)B.x2+3(x>0)

C.X2-2X+4(X>1)D.x2+3(x>1)

二、多選題

9.(24-25高一上?陜西渭南?階段練習)下列四個曲線中，可以作為函數(shù)圖象的有()

10.(24-25高一上?陜西西安?期中)下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是()

A./(x)=x+1,g{x)=Vx24-2x4-1B./(x)=%24-1,g(x)=Vx4+2x24-1

C./(x)=x2-x+1,g(t)=d_「+ID./(%)=%,^(r)=Vx^

II.(24-25高一上?吉林通化?階段練習)下列說法正確的是()

A.函數(shù)八%+