河南省南陽市六校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

I.若復(fù)數(shù)Z滿足i.z=I—2i,貝Ijz在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.下列說法正確的是（）

A.若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則該直線與這兩個(gè)平面的交線平行

B.若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行

C.若直線/上有兩點(diǎn)到平面a的距離相等，則〃/a

D.若直線/平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線，則〃/a

3.已知角a的終邊上有一點(diǎn)力tan—,cos—j,則。是（：

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

27r-

4.已知單位向量二方的夾角為一相，則;;與；;_/）的夾角為（）

nit一兀2n

A.—B?—C.lD.—

69A

5.將函數(shù)y=cosx的圖象先向左平移p（0<（p<it）個(gè)單位長度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫

坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼蘑冖?gt;0)倍(縱坐標(biāo)不變)，得到丁二85(2%+￡)的圖象，貝IJ()

4

itnInn1

A.(p=—,(D=2B.(/)~—.(!)=—C.(p=—.(i)=2D.(fl=—,(/)=—

4v47vR?

6.在V/8C中，內(nèi)角48c的對(duì)邊分別是dAc,若q=2.2ccoM=a（3—2cosC）,貝必二（）

49

A.2B.3C.-D.-

17

7.己知在Y/18C中，=3/C邊上的高為小,0是Y/18C的內(nèi)心，若

■■■--▼?,〃

AG=mAB+11AC牡〃七陽，則一二()

ni

A3RV5

A.-B.

4?

8.如圖（1）,函數(shù)/（x）=sin（&X+頌⑦>0,0<夕<兀）的圖象與歹軸交于點(diǎn)0,，將繪

試卷第I頁，共4頁

有該函數(shù)圖象的紙片沿x軸折成直二面角，如圖（2）,若折疊后彳、8兩點(diǎn)間的距離為、/11,

財(cái)（2025）=（）

BcGD?T

2二?

二、多選題

9.已如向量q=(cosl5°,sinl5')3=——,則()

、'22

\/

A.a-b=—B.Gb)=6CPC.%)D.a-2b\=yfj

9

10.如圖，在正方體X4CQ—48C"中，M，N分別為棱G2，GC的中點(diǎn)，AB=1,則()

A.AM!/BN

B.異面直線MN與HC所成的角為60°

—9

C.四邊形MN8小的面積為一

D.沿正方體的表面從點(diǎn)力到點(diǎn)N的最短路線的長度為妞

9

11.已知函數(shù)/）=|R+cosx|——|cosx|（?1>0）,則（）

A.火x+20267r）=八丫）B.當(dāng)才21時(shí)，人外的最大值為4+1

C.小）在區(qū)間一封上不可能有零點(diǎn)D.對(duì)任意的劉/2￡風(fēng)》（必）一/（不）|42

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.已知某扇形的圓心角為2弧度，弧長為6,則扇形的面積為.

13.已知zWC,且|z|二l,則|z+z—11的最大值是.

14.已知球。的半徑為1,48,。是球面上的三個(gè)點(diǎn)，若上力。8=：,二面角。一力〃一。的大

小為甘，則三棱錐C—W6的體積的最人值為.

四、解答題

15.已知一元二次方程px2+qx+I=O(p,qWR)的一個(gè)根是1+2i.

()求p?9的值；

(2)若復(fù)數(shù)Z[=1()/?sin——i與二2二G十(5c/cos8)i相等，求tan。的值.

16.已知函數(shù)/(x)=—26sinxcosx+cos2j-sin2x.

(1)求歡)圖象的對(duì)稱軸方程；

⑵若/佟4[=]求的值.

128/3I5)

17.如圖，在正三棱柱48C—481G中，48=2M4=4,。是棱力。的中點(diǎn)，戶是線段4名上

的動(dòng)點(diǎn).

(1)證明:平面4CQ_L平面44|GC；

(2)證明三棱錐產(chǎn)一8CQ的體積為定值，并求出該定值.

18.已知在V/4C中，內(nèi)角4民。的對(duì)邊分別為db,c,記的面積為S.

(1)若4=(,。=Jj瓦6=2求S的值；

試卷第3頁，共4頁

《河南省南陽市六校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)12345678910

答案CADABBACBCDBC

題號(hào)11

答案ACD

1.C

【分析】先求出7的標(biāo)準(zhǔn)復(fù)數(shù)形式.再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何宣義確定所在的象限

【詳解】二=—1=與電=-2-i,所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z(—2,—1),位于第三象限.

故選：C.

2.A

【分析】由線面位置關(guān)系及面面位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,由直線與平面平行的性質(zhì)定理可知該直線與這兩個(gè)平面的交線平行，故A

正確：

對(duì)于B,當(dāng)一個(gè)平面內(nèi)的三點(diǎn)共線或三點(diǎn)在另一個(gè)平面的兩側(cè)時(shí)，這兩個(gè)平面可能相交，故

B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若直線/上有兩點(diǎn)到平面。的距離相等，則/與。可能平行、相交,

還可能/在a內(nèi)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若直線/平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線，貝或/「a,故D錯(cuò)誤.

故選：A

3.D

【分析】根據(jù)角的象限確定三角函數(shù)值正負(fù)即可判斷點(diǎn)的象限.

■4717TA7T八27r(7T17T-

【詳解】W^jtan—=tan^7c+jJ=tany>0,cos—=cos^n--jj=-cos-j<0.

所以a是第四象限角.

故選：D.

4.A

【分析】設(shè)；;與;;一%的夾角為6,根據(jù)向量夾角公式先求出cos，，再求夾角即可.

l-lxlx

【詳解】則，。杵Q_/3

l+i-2xlxlxf-l>|~2，

I2J

答案第I頁，共12頁

因?yàn)?W[O,句,所以6J即;;與1的夾角為搟.

n

故選：A.

5.B

【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)圖象變換求得答案.

【詳解】依題意，y=C0S(2x+?)的圖象可由函數(shù)y=COSX的圖象向左平移三個(gè)單位長度,

44

再將所得函數(shù)y=cos(x+當(dāng)?shù)膱D象橫坐標(biāo)縮短到原來的!得到(縱坐標(biāo)不變)，

42

所以。=1?

故選：B

6.B

【分析】根據(jù)正弦定理結(jié)合兩角和正弦公式化簡，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式及正弦定理計(jì)算求解.

【詳解】因?yàn)?CCOS/=Q(3—2cosC),所以由正弦定理得

2sinCcosJ=sinJ(3—2cosC)=3sinJ—2sirt4cosC,

所以2sin(/I+C)=3siM,

因?yàn)榱?C=n-B,所以sin(J+C)=si必，所以2siM=3siM,

又由正弦定理，可得2〃=3〃，故b=1Q=3.

7

故選:B.

7.A

【分析】由題意建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)三角形面積計(jì)算V48C內(nèi)切圓的半徑「，寫出坐

標(biāo)，根據(jù)題意列出方程組計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)/C的中點(diǎn)為。，因?yàn)?8=8。=3,所以/10_L/C,

由已知力。=石：所以力。二J48?-力。2=2所以/C=4,

以AC的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)V43。內(nèi)切圓的半徑為『，則S』8c=；x(3+3+4)r=；x4x石：解得廠=乎.

因?yàn)閂ABC為等腰三角形，所以VABC的內(nèi)心O在線段BD上，

所以。(0,苧)

,/l(-2,0),C(2,0),B(0,>/5)

答案第2頁，共12頁

則48=（2,石）,4C=（4,0）,ZO=2,年.因?yàn)轲?=相凝+外力，

2m+4〃=2

所以2,=（2，〃+4〃,石〃?）即,品=空

5

2

W=5j_35_3

解得《3：故丁歷X5二

n=一

10

故選:A.

8.C

【分析】過點(diǎn)力作/C_Lx軸，垂足為C,過點(diǎn)“作8Q_Lx軸，垂足為。，連接8C,推導(dǎo)

出/1C_L平面8CQ,可得出/1C_L8。，利用勾股定理可得出關(guān)于⑦的方程，解出。的值，

再由函數(shù)/（x）在y軸右側(cè)附近單調(diào)遞減，結(jié)合/（0）=母可求得尹的值，進(jìn)而可得出函數(shù)

/（A）的解析式，進(jìn)而可求得/（2025）的值.

【詳解】如圖，過點(diǎn)力作4CJLx軸，垂足為C,過點(diǎn)8作8Q_Lx軸，垂足為。，連接8C.

因?yàn)椤肮ぃ┑淖钚≌芷?=所以==工,

又因?yàn)樗遭顀=J忸優(yōu)+口優(yōu)二

當(dāng)折成直二面角時(shí)，即平血力6_1.平面8c。，

因?yàn)槠珻_LCD,平面力CZ）n平面4。。=CD,ACC平面ACD，所以4C_L平面3CQ,

因?yàn)?CC平面3a），故/C_L8C,

所以|叫=+忸=尸+]2+（四=x/iT>

解得e=]（負(fù)值舍去），故/（x）=sin+

答案第3頁，共12頁

兀2兀

因?yàn)?（0）=sin0=],且0＜夕＜兀，所以0或W，

又因?yàn)?（》）在y軸右側(cè)附近單調(diào)遞減，所以0=g.則/（x）:sin&+當(dāng),

(33

如sin(675TT+—

I3J

9.BCD

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及垂直，夾角，模的公式，即可判斷選項(xiàng).

fV242]

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?=

S'2)二(cos45°,-sin45),

所以J.石=c°sl5°cos45"-sinl5,sin45°=cos(15+45J=cos60=-

故A錯(cuò)誤;

⑷2(⑻2

對(duì)于因?yàn)橥?向可手石訪

B,7=1,5=-----+-----------=1

22

-a?b1-

所以cos〈a,b〉=一一二三,即?瓦力?=60°,故B正確；

⑷1回2

對(duì)于C,因?yàn)椤?（。-25）=/一2。a二1-2x：=0所以刀_1_（￡一2"，故C正確；

對(duì)于D,\a-2b\=\la-4a-b+^i1=^1-4x|+4=x/3故D正確.

故選：BCD.

10.BC

【分析】根據(jù)線線平行，異面直線所形成的夾角，梯形面積分別計(jì)算判斷A、B、C選項(xiàng),

再將正方體的表面展開至面力取'力與面。RG共面，求得點(diǎn)4到點(diǎn)N的最短路線.

【詳解】對(duì)于A,取QR的中點(diǎn)E,連接AE,如圖（1）,由正方體的性質(zhì)可知4E//&M,

若4W//8N,PliJAE//AM,顯然這與力￡,4"相交于點(diǎn)力矛盾，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,連接CS,/12，如圖（1）,可得MN//CR,

答案第4頁，共12頁

所以上.4CQ為異面直線MN與AC所成的角，而上=60°，

所以異而直線MN與AC所成的角為6()。，故B正確:

對(duì)于C,易知四邊形MN84為等腰梯形,

且4B=e,MN=今,BN

+

2

則等腰梯形的高為

一4

I因此S梯形爾84=5X8+,故C正確:

對(duì)于D,如圖(2)，若將正方體的表面展開至面5CC|B|與面45/小共面,

則AN=ylAC'2+C'N2

若將正方體的表面展開至面ABCD與面CDDG共面,

則A'N=〃42+8記=1+?考<孚.故D錯(cuò)誤.

11.ACD

【分析】選項(xiàng)A：將x=x+2026冗代入小幻的解析式，利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡即可判斷；

選項(xiàng)B：對(duì)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)式子的正負(fù)分情況討論，從而去掉絕對(duì)值符號(hào)，分別化簡后進(jìn)行比

較，即可得到最大值：選項(xiàng)C：首先假設(shè)/U)在區(qū)間-四,過上有零點(diǎn)，并轉(zhuǎn)化為

_22_

|才+8$工|=|85》|在區(qū)間一5，5上有解，此時(shí)分為兩式相等或兩式相反的兩種情況，分別

討論兩種情況下/!的取值是否符合題意，即可判斷；選項(xiàng)D：分為才21和o<4<I兩種情況，

答案第5頁，共12頁

分別計(jì)算兩種情況下/(X)皿和外濡，即可得的最大值.

【詳解】對(duì)于A,

f(x+2026兀)=|A+cos(r+2026TT)|—|cos(.v+20267r)|二|才+cosx|—|cosx|=/(x),故A正確：

對(duì)于B，當(dāng)力21時(shí)，>1+cosx>0,所以/(x)=4+cosx—|cosx|,

若cosx>0,則/(x)=A+cosx—cosx=A,

若cosx<0,貝伏刈二才+cosx+cosx=A+2cosx<A,

故"t)的最大值為4,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,茍(X)在區(qū)間一上有零點(diǎn)，則I4+cosxI二IcosxI在區(qū)間一上有解，

?art

則。+COSX=COSX或4+cosx=—COSX在區(qū)間上有解,

_22_

若4+cosx=cosx,則4=0,與才>0矛盾，

若久+cosx=~,則CQSX=—"vO,與xe，:時(shí)cosxNO矛盾，

7L22_

故假設(shè)不成立，即人x)在區(qū)間一工二上不可能有零點(diǎn)，故C正確；

_22J

對(duì)于D,由B的分析過程可知，當(dāng)421時(shí)，風(fēng)“^=人Av)min=4一2,

此時(shí)/")-/")|皿=2,

-A,-l4cosx<-K

和<A<1時(shí)，/(A)=|Z+JU5A|一ICO5Al=<Z+2UUSA,-Z<UUSA<(,

4,0Vcosx<1

.AAm=../(X)min=一九此時(shí)1修)一人當(dāng)=24<2，

所以/(?)—/(GL42,故D正確.

故選：ACD.

12.9

【分析】記圓心角為a,弧長為/,扇形所在圓的半徑為，?，根據(jù)題中條件，由扇形面積公

式，即可求出結(jié)果.

【詳解】記圓心角為a,弧長為/,扇形所在圓的半徑為「，

由題意可得，a=2,/=6,所以「='=3,

a

因此扇形的面積為S=2>=9.

9

答案第6頁，共12頁

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題主要考查求扇形的面積，熟記公式即可，圍于基礎(chǔ)題型.

13.3

【分析】設(shè)2=。+/(。,6￡對(duì)，由題意得標(biāo)+〃=1,根據(jù)共規(guī)復(fù)數(shù)的概念得z-1|二|2。一1|,

結(jié)合。的范圍求解最大值即可.

【詳解】設(shè)z=a+6i(a)WR),由|z|=1,可得/+從=1,

因?yàn)?20,所以0W/W1,解得TWaWl,所以lz+z—1]=|2/-1|的最大值是3.

故答案為：3

14.石

【分析】不妨固定平面。44,取/仍的中點(diǎn)M,作OP_L平面/14C,則P是\Z8C'的外心，

根據(jù)題意CH的最大值為C'M，根據(jù)三棱錐體積公式計(jì)算即可.

2兀

【詳解】不妨固定平面0/8,由二面角。一44一C的大小為一相，

可知。為一個(gè)與平面。力3夾角為60。的球截而與球O的交線上一點(diǎn)(如圖(1),

點(diǎn)C在48的右側(cè)).取力3的中點(diǎn)M，作02_1_平面/8。，則上QW尸=60°,

P是V彳8c的外心.由題可知OM=顯,PM=B,OP=U

?44

在平面力3。內(nèi)，作C〃J_48于點(diǎn)〃，如圖(2).易知的最大值為C'M，

又因?yàn)镃'P=x/12—O尸=互、

4

所以匕?=%而=1s斯.?OP=1X，X/8XC〃X2V，XCM

"'C-(Zin(J-Am彳？24H

1x/7->/3幣-也

=-X-------=--------

8432

即三楂錐C一的體積的最大值為也二正.

故答案為：力一’3

答案第7頁，共12頁

【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，計(jì)算即可;

<2）由復(fù)數(shù)相等列出方程組，計(jì)算即可.

【詳解】（1）因?yàn)閘+2i是方程/1+"+1=0的一個(gè)根,

所以l—2i是該方程的另一個(gè)根,

1+21+1-21=2=--^1

PP二

所以《解得：M

2.

(l+2i)(l-2i)=5=-

Pq;

(2；由(1：可知二］二10psin0-i=2sin0-i,二，=6+(5qcos9)i=6-(2cos0)i.

2sin8=百

因?yàn)?=%,所以

一2cos。二-1

sin^=—

即《2

cos^=—

2

所以tan0=2^=>5.

cos。

16.⑴x=g一彳(AwZ)

【分析】（1）首先對(duì)函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行恒等變換，把函數(shù)關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，再根據(jù)對(duì)

稱軸方程計(jì)算即可;

（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步結(jié)合誘導(dǎo)公式二倍角公式計(jì)算即可.

【詳解】(1)=-2-^sin.rcos^+cos2x-sin2x

答案第8頁，共12頁

=-J3*in2x+co,2x

=2cos2x+—.

I3j

由2/+4=反(％wZ)可得x=@-N(AeZ),

?7

所以/(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x=@-4(AeZ)：

7A

(2；由(1：知/(X)=28S2X+2

IJ

可得cos0+^-=-

\'Z)5

所以sin(2”撲—cos26>-

=l-2cos2f^+—Kl-2xf-!-Y=-.

I12jUJ9

17.(1)證明見解析

(2)證明見解析，定值為空

【分析】3)根據(jù)面面垂直的判定定理證明即可:

(2)由‘P~~8CQ=Kf-SC^=%—,限；0可求出體積.

【詳解】(1)由題意知V/14C為等邊三角形，。是棱4C的中點(diǎn)，所以

因?yàn)槿庵?/8C-4&G為正三棱柱，所以CG-L平面48C,

又4OC平面48C,所以

因?yàn)?ICnCG=C^c,cc,C平面44CC，所以8。_/_平面44。。，

又8OC平面8CQ，所以平面8CQ_1_平面44CC

(2)如圖，連接&C,與3G相交于點(diǎn)N,連接DM力G.

因?yàn)樗倪呅?CG當(dāng)為矩形，所以N為當(dāng)。的中點(diǎn)，

又因?yàn)?。為彳。的中點(diǎn)，所以。N///14,

因?yàn)?。NC平面4G。,力與C/平面BG。，所以月&//平面8G。

又因?yàn)槭橇Ξ?dāng)上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)P到平面BG。的距離為定值，

答案第9頁，共12頁

所以三棱銖P-8G。的體積為定值.

點(diǎn)p到平面4G。的距離等于點(diǎn)力到平面4G。的距離，

所以%-明廣匕-貿(mào)3=xlx4xV§=~~]

（2）證明見解析，當(dāng)且僅當(dāng)V//8C為等邊三角形時(shí)等號(hào)成立

【分析】（1）由余弦定理計(jì)算得出c=5,再結(jié)合面積公式計(jì)算求解：

（2）應(yīng)用余弦公式結(jié)合輛助角公式計(jì)算+結(jié)合基本不等式計(jì)算求解.

<6）I2.

【詳解】（1）由余弦定理可知。2=〃+。2?2〃“0”，

即19=4+d-2c，解得c=5（負(fù)值舍去），

故S=—/>csin/1=—x2x5x—=：

79?9

12：因?yàn)镾=]bcsin4t/=從+/-2Z>ccosJ,

所以。2+從+。2—4屈=2（/+c2）-2bccos4-2?csin/i

=2（/>2+<?2）-2/>c（V3sinJ+cosJ）

=2（^2+c2）-4/>csin^J+^,

71717兀、

[因?yàn)?1W（O,兀），所以4+工￡—:

ovooy

所以sin彳+看卜,,

故—+/+。2-4而22伍*2）-4加川-好河

即/+/+/“石,

答案第10頁，共12頁

等號(hào)成立的條件為sin4+三=1,且公c,此時(shí)4+二=三，即4=：，

V07624

所以當(dāng)且僅當(dāng)力=1且6=c時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)且僅當(dāng)丫力4