江蘇省常州市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.己知復(fù)數(shù)z滿足/z=l-2i，其中i為虛數(shù)單位，則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.cos70°sin40°sin70°cos40°=（）

A.一巫B.二C.\D.必

2222

3.某校義工社團(tuán)共有80人，其中男生50人.若按男女匕例采取分層抽樣的方式，抽取16

人參加周末的馬拉松比賽志愿者工作，則女生應(yīng)抽取的人數(shù)是（）

A.3B.5C.6D.10

4.已知山，〃表示兩條不同的直線，a,夕表示兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若mua,n//a,則B.若〃?ua,m//n,則〃〃a

C.若〃?//a,aS則小，夕D.若mha,ml。,則aJ■夕

5.若將一個(gè)表面積為36兀小一的鐵球熔鑄成一個(gè)高為9cm的實(shí)心圓錐（熔鑄過程中損耗忽

略不計(jì)），則該圓錐的底面半徑為（）

A.2cmB.2\/3cmC.3cmD.3>/2cm

6.在V48。中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,S為V48C的面枳.若

2s=6（acos8+bcos4）,則4=（）

TC-不?，兀一兀

A.-B.—C.—D.—

6432

7.已知正四棱推產(chǎn)-45c。的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)相等，記異面直線F/l與。所成角為。，

側(cè)棱P4與底面488所成角為夕，側(cè)面尸48與底面/18C。所成的二面角為7,則（）

A.a>y>PB.a>P>yC.y>P>aD.p>a>y

8.已知平面向量。，b,F均為單位向量，若萬與石的夾角為60。，則伍-。伍-2/；）的最大

值為（）

A.2+GB.4C.2+V7D.5

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

二、多選題

9.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察向上的點(diǎn)數(shù).若連續(xù)拋擲兩次，則（）

A.事件”兩次點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)”與“至少有一次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”為互斥事件

B.事件”兩次點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)”與“至少有一次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”互為對(duì)立事件

C.事件“兩次點(diǎn)數(shù)之和大于6”與“兩次點(diǎn)數(shù)之和小于6”互為對(duì)立事件

D.事件“第一次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”與“第二次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”相互獨(dú)立

10.在V/1BC中，A>B,則下列不等式中一定正確的是（）

A.sinJ>sinZ?B.cosA<cosB

C.sin24>sin25D.cos2A<cos2B

H.如圖，圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和2,高為2五，點(diǎn)A為下底面圓周上一點(diǎn),

S為上底面圓周上一點(diǎn)，則（）

B.該圓臺(tái)的內(nèi)切球的半徑為夜

C.直線S4與直線RO2所成角的最大值為三

D.直線4Q與平面所成角的正切值最大為日

三、填空題

12.若（l+i）z=4i,其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的模為.

/\?/\

13.若cosa+J則sin2a+^的值為______.

k3J4I6J

14.若正方體力88-48CA的棱長(zhǎng)為I,則以A為球心，粵為半徑的球面與底面/BCQ

的交線長(zhǎng)為.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

四、解答題

15.已知四邊形44。。是平行四邊形，且力(2,3),5(-2,-1),C(4,2).

(1)求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)求平行四邊形ABCD的面枳.

16.在地平面上有一豎直的旗桿OP(O在地平面上)，為了測(cè)得它的高度，在地平面上取

一基線48,測(cè)得其長(zhǎng)為20m.在A處測(cè)得尸點(diǎn)的仰角為30。,在8處測(cè)得尸點(diǎn)的仰角為45。,

乂測(cè)得408=30°.

(1)求旗桿的高度人；

⑵求點(diǎn)A到平面尸08的距離;

17.某校為了了解高一新生的體質(zhì)健康狀況，在開學(xué)初進(jìn)行了一次體質(zhì)測(cè)試，共800人參加

本次測(cè)試，得到如圖所示的頻率分布直力圖.

(1)求。的值；

(2)試估計(jì)本次測(cè)試的平均成績(jī)(用各組區(qū)間中點(diǎn)的數(shù)值即“組中值”近似的表示每組的成績(jī));

(3)立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目每人有2次測(cè)試機(jī)會(huì)，若第一跳滿分，則不再進(jìn)行第二跳.假設(shè)小明同學(xué)每

一跳獲得滿分的概率均為0.8,求本次測(cè)試中，小明在立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目最終獲得滿分的概率.

18.在等腰直角三角形ABC中，斜邊44=4,點(diǎn)P,。均在線段43上(不含端點(diǎn))，且

Z.PCQ=45°.

(I)若。尸=石，求力。的長(zhǎng)；

⑵求△PC0的面積的最小值.

19.如圖I,在直角梯形P8CO中，PB//CD,CD1BC,BC=PB=2CD,是26的中

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

《江蘇省常州市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)12345678910

答案BBCDBDACBDABD

題號(hào)11

答案ABD

1.B

【分析】求出復(fù)數(shù)z,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義確定正確選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)閕2N=l-2i=>-z=l-2i=>z=-l+2i,

所以更數(shù)N對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-1,2),位于第二象限.

故選：B

2.B

【分析】由兩角差的正弦公式逆用即可求解.

【詳解】cos700sin400-sin700cos40°=sin^O0-T)°)=sin(30°)=-

故選：B.

3.C

【分析】由分層抽樣的定義即可得解.

【詳解】女生應(yīng)抽取的人數(shù)是16x紇4=6.

故選：C.

4.D

【分析】以正方體的線面關(guān)系為例，說明ABC是錯(cuò)誤的.

【詳解】如圖,在正方體/出co—44GA中：

答案第1頁(yè)，共12頁(yè)

因?yàn)?4〃平面48CO,BCu平面48CQ,且力蜴與8c為異面直線，故A錯(cuò)誤；

因?yàn)?8u平面44。。，AB//CD,但COu平面48CZ),而非CO〃平面4600,故B錯(cuò)

誤；

因?yàn)?4〃平面力8。。，平面48co_L平面CQRC,但力用〃平面CQRG，而非同用平面

CDDg,故C錯(cuò)誤；

對(duì)D：若〃"/Q,〃…0,則故D正確.

故選：D

5.B

【分析】求出鐵球的半徑R,再結(jié)合等體積法即可求解.

【詳解】設(shè)所求為小鐵球的半徑為R,則4冗/?2=36兀，解得H=3,

所以g;rx33=gb2x9,解得,?=2Gcm.

故選：B.

6.D

【分析】由余弦定理、三角形面積公式得sin4=l,即可求解.

【詳解】02S=2x—besinA=Z>csinA,

2

,/,力/a2+c2-b2.b2+c2-a2}

blacosBD+bcosA)=aa---------+b---------=be,

I2ac2bc)

^2S=b(acosB+bcosA),則bcsin/l=bc,而bc>0,4w(O,7i),

答案第2頁(yè)，共12頁(yè)

所以sin彳=1,A=—.

2

故選：D.

7.A

【分析】根據(jù)異面直線所成角的概念，線面角，二面角的平面角的概念，構(gòu)造出夕，7,

求出它們的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較它們的大小.

【詳解】如圖：

不妨設(shè)力8=2.取和的交點(diǎn)為〃，力“中點(diǎn)連接力?,HE,PH.

則/￡=￡〃=1,PE=6HA=HP=y/2.

AP1

因?yàn)?B//CD,所以/88為異面直線與8所成的角，為。，所以85。=方=『

所以。=半

因?yàn)镻HJ_平面43C。，所以/P47為直線尸/I與底面力所成的角力，所以

aAHx/2的卜1Qn

cosD=-----=——，所以，=二.

AP24

因?yàn)?3_L￡77,AB1EP,所以NPEH為側(cè)面產(chǎn)力8與底面48co所成的二面角7,所以

HE16

cosy=-----=—,==——.

PEy/33

因?yàn)椋嫉?且y=cosx在（o,f|上單調(diào)遞減.

232k2；

所以

故選：A

8.C

【分析】根據(jù)伍一孫（1力）=2-1伍+2可，把問題轉(zhuǎn)化為求3R+的最小值,進(jìn)一步

轉(zhuǎn)化為求根+2q的值，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則求解即可.

【詳解】由題意：M=W=同=1,6Z=lxlxcos60°=^-1

答案第3頁(yè)，共12頁(yè)

因?yàn)椴芬?。?一2司-c+2aB-c.(a+2B)=2-c.(a+2，).

又c.(a+2可=’|.’+2..(：05《,4+24=p+2^|-cos(c^a+2^>-a+2b,

當(dāng)cos卜,a+23=兀時(shí)取"=

又|￡+2彳=(￡+2@2=藍(lán)+4/+4片=1+4乂3+4=7,所以歸+2%".

所以僅一可.僅一2?22+、/7.

故選：C

9.BD

【分析】利用互斥事件、對(duì)立事件、獨(dú)立事件的定義逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)椤爸辽儆幸淮吸c(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”包含恰有一次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)和恰有兩次點(diǎn)數(shù)為

偶數(shù)，

故事件”兩次點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)”與“至少有一次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”可能同時(shí)發(fā)生，

所以事件“兩次點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)”與“至少有一次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，不為互斥事件，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)椤爸辽儆幸淮吸c(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”包含恰有一-次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)和恰有兩次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，

所以事件“兩次點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)”與“至少有一次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”不會(huì)同時(shí)發(fā)生，

因?yàn)樵谝淮螌?shí)驗(yàn)中“兩次點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)”與“至少有一次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”必然有一個(gè)事件會(huì)發(fā)生，

所以事件“兩次點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)''與"至少有一次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”互為對(duì)立事件，故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)槭录皟纱吸c(diǎn)數(shù)之和等于6”發(fā)生時(shí)，事件“兩次點(diǎn)數(shù)之和大于6”與“兩次點(diǎn)數(shù)之

和小于6”均不會(huì)發(fā)生，

所以事件“兩次點(diǎn)數(shù)之和大于6”與“兩次點(diǎn)數(shù)之和小于6”不互為對(duì)立事件，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,連續(xù)拋擲?枚質(zhì)地均勻的骰子兩次共有6x6=36種不同的結(jié)果，

記”第一次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)''為事件A,則事件A包含3x6=18種結(jié)果，故P（力）=^=9

362

記”第二次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”為事件8,則事件8包含6x3=18種結(jié)果，故尸⑷吟=3，

事件4〃同時(shí)發(fā)生包含3x3=9種不同的結(jié)果，故外的==；=⑷P⑻，

所以事件“第一次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”與“第二次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”相互獨(dú)立，故D正確.

故選：BD.

10.ABD

【分析】利用邊角關(guān)系及正弦定理判斷A：利用余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷B：舉例說明判斷C：

答案第4頁(yè)，共12頁(yè)

利用二倍角公式結(jié)合選項(xiàng)A判斷D.

【詳解】對(duì)于A,在Y/8C中，力>Boa>b,由正弦定理得sin力,sin8,A正確;

對(duì)于B,顯然兀>力>8>0,因此cos/1<cos8,B正確；

對(duì)于C,取力=75°,3=60',滿足力>8,而sin21=4<且=sin28,C錯(cuò)誤；

22

對(duì)于D,由選項(xiàng)A知，sinJ>sinj?>0,則cos24=1—2sin?4<1—2sin?8=cos28,D正確.

故選：ABD

11.ABD

【分析】對(duì)于A,根據(jù)圓臺(tái)的體積公式，可得答案；對(duì)于B,研究圓臺(tái)的軸截面，結(jié)合等腰

體形存在內(nèi)切圓的判定，可得答案；對(duì)于C,根據(jù)異面直線夾角的定義，作圖，利用三角函

數(shù)的定義，可得答案；對(duì)于D,根據(jù)線面角的定義，作圖，利用線面垂直判定定理，結(jié)合函

數(shù)的單調(diào)性，可得答案.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)閳A臺(tái)。02的上、下底面半徑分別為I和2,高為2夜，

所以/=1(12+1*2+22)?2收=竽兀，則A選項(xiàng)正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)上底面半徑為4，下底面半徑為4,若同臺(tái)存在內(nèi)切球，

則必有軸截面的等腰梯形存在內(nèi)切圓，如圖(1)所示，梯形的上底和下底分別為2,4,高

為2夜，

易得等腰梯形的腰為"7還『=3，假設(shè)等腰梯形有為切圓，

則腰長(zhǎng)S\B=3=R\+R「所以梯形SQC4存在內(nèi)切圓，

故圓臺(tái)存在內(nèi)切球，且內(nèi)切球的半徑為&，則B選項(xiàng)E確：

對(duì)于C選項(xiàng)，如圖(2),過S作SO垂直于下底面于點(diǎn)ZK則QO//SD,

所以直線以與直線所成角即為直線SA與直線SD所成角，即NASD為所求,

而tan/力SZ)二次］,由圓的性質(zhì)得，144。43,

答案第5頁(yè)，共12頁(yè)

所以tanZJSZ)=7方=

因?yàn)殄?則C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

圖（2）

對(duì)于D選項(xiàng)，如圖（3）,平面SO.即平面SO.C,

過點(diǎn)、A做AHtBC交BC于點(diǎn)、H,因?yàn)镾Q垂直于下底面，而力H在底面內(nèi)，

所以又SDCBC=D,且8C,SOu平面SOQC，所以加/_L平面SOQC，

力〃

所以直線AOX與平面SOQC所成角即為，且tanNAOM=--.

設(shè)4/=xw[0,2],則02H=料-4H2=3一,

所以。#=ga+O"=業(yè)+4--=>/12-?,

當(dāng)x=0時(shí)，tanZAOiH=0,當(dāng)xe(0,2］時(shí)，,

2。冉=晨]、

因?yàn)楹瘮?shù),一可在（0,2]上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)x=2時(shí)，tan/力Q”有最大值，最大值為孝，所以D選項(xiàng)正確.

故選：ABD.

12.272

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求得復(fù)數(shù)z,進(jìn)而可求得目.

答案第6頁(yè)，共12頁(yè)

【詳解】由(/l+i、”=4i,可得.4i市二4i(島l-i)島=4丁+4i=2+%

所以卜=百壽=2亞.

故答案為：2起.

【分析】利用誘導(dǎo)公式可得sin(2a+tj=-cos(2。+看+5,再結(jié)合二倍角的余弦公式即

可求^■

【詳解】因?yàn)閏osa+，=-,

所以sin(2a+弓J=_cos2嗚)用72a3

3

=-2cos2-jj+1=-2xf-ij+1=(.

故答案為：

o

14.-/-7T

66

【分析】由題可得球面與底面的交線為以。為圓心，;為半徑的圓與正方形/SCO相交的一

段弧，即可求出.

【詳解】正方體力4。?！?4GA中，。。_1平面48。。，

所以平面14CQ與球的截面是以。為圓心的圓，且半徑為(亟］-12=1,

所以球面與底面相C。的交線為以。為圓心，g為半徑H勺圓與正方形48CO相交的?段弧,

該交線長(zhǎng)為Jx2兀x：=B.

436

故答案為：7-

6

15.(1)(8,6)

(2)12

【分析】(1)設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(”,y),結(jié)合方=比即可求解；

答案第7頁(yè)，共12頁(yè)

（2）根據(jù)題意，先求出劉，石的夾角余弦值，進(jìn)而得到其正弦值，再根據(jù)三角形的面積公

式求解即可.

【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（工,卜）.

由題意得而=（-4,-4）,DC=（4-x,2-y）.

因?yàn)檐?OC，所以［「解得K

2-y=-4U'=6

所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為（8,6）.

（2）由劉=（-4,—4）,而=（6,3）,

貝IJ而?而=-24-12=-36，,8卜,16+16=4拉,%4=,36+9=3后,

/-T5-Tri\雷而-363而

則儂四例二附同=赤荻=-TF，

所以sin（石，而）=J-cos?標(biāo)，通然器,

則平行四邊形ABCD的面積為

x|x|JD|xsin/15,/IZ）^x2=-^-x4x^2x3>/5x^^-x2=12.

16.（1）A=20m

（2）105/3m

【分析】（1）由題意AO=s5h,BO=h,結(jié)合余弦定理RI可求解；

（2）過點(diǎn)A作4C_L8O于點(diǎn)C,說明所求為線段4C的長(zhǎng)度，解三角形即可得解.

【詳解】（1）由題意為。=6/1,8。=力，而"=20m,408=30'，

所以由余弦定理有400=3川:/一2/?.6/?乂立.即/=4oo.解得/?=20m：

2

（2）如圖所示，過點(diǎn)A作/1C_L8。于點(diǎn)C,

由題意PO_L平面480,又力Cu平面45。，所以4clp。，

又因?yàn)?C_L4O,BOD尸。=。8。/。<=平面戶以9,

所以力。，平面。80,

故所求為線段/C的長(zhǎng)度，

答案第8頁(yè)，共12頁(yè)

由（1）可知40=百分=20x/im,

所以4C=AOsin30°=106m?

17.（1）67=0.020；

⑵73；

⑶0.96.

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算即可：

（2）由頻率分布直方圖結(jié)合平均數(shù)的計(jì)算，即可求解；

（3）小明在立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目最終獲得滿分的概率包括第?次滿分和第?次沒有滿分但第二次

滿分兩種情況，根據(jù)概率計(jì)算即可.

【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，可得

0.008x10+^x10+0.032x10+0.024x10+0.016x10=1,

解得。=0.020；

（2）設(shè)本次測(cè)試的平均成績(jī)?yōu)镸，則根據(jù)頻率分布直方圖，可得

0.008x10x954-0.020x10x85+0.032x10x75+0.024x10x65+0.016x10x55=73,

即本次測(cè)試的平均成績(jī)?yōu)?3：

（3）設(shè)小明在立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目最終獲得滿分的概率為P,WJP=0.8+0.2x0.8=0.96,

即小明在立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目最終獲得滿分的概率為0.96.

18.（1）力尸=3或/P=l；

⑵4及-4

【分析】（1）根據(jù)余弦定理計(jì)算求解；

（2）根據(jù)面枳公式結(jié)合兩角和正切公式計(jì)算，最后應(yīng)用基本不等式得出最小值.

【詳解】（1）在等腰直角三角形月8。中，斜邊力8=4,點(diǎn)尸，。均在線段上（不含端

點(diǎn)），

所以NC/1P=45。，在△力。中，CP2=CA2+AP2-2CAxAPxcos450,

答案第9頁(yè)，共12頁(yè)

所以5=8+力02—4/1〃，

所以4P=3或/尸=1；

(2)

過C作Cr_L/6交46于T,則CT=2,

設(shè)NPCT=a,NQCT=/?,?+/?=45°,

所以?二tana,與=ta也所以△PC。的面積為工『c0=gx(Pr+Qr)x2=2(tana+lan/?),

因?yàn)閠an(?+/?)=1='an"+tan/7,所以tana+tan/=1-tanaxtan/，

1-tanaxtan/?

所以tanaxtan4=1-(tana+tan^)<(tana+tan/^),所以

(tana+tan/?)-+4(tan?+tan/7)-4>0,

所以tana+tan〃22及一2,當(dāng)且僅當(dāng)tana=tan/=五一1時(shí)，tana+tan/取最小值2及—2，

所以面積的最小值為4及-4.

19.(1)證明見解析：

(2)尸G與平面左后所成的角為￡；

6

^AG1

(3)---=一

AP4

【分析】(1)得到R1_L平面ABCD,根據(jù)四邊形4BCD為矩形,得至ljAEYED,又因?yàn)橐訽LE0

進(jìn)而得到EO_L平面可推得面面垂直；

(2)證明G///P8,連接點(diǎn)8與4。的中點(diǎn)，交力七與點(diǎn)O,證明801平面4￡,結(jié)合線

面角的定義求P8與平面加￡的夾角，由此可得結(jié)論；

(3)延長(zhǎng)。E,4B交于點(diǎn)N,結(jié)合線面平行性質(zhì)定理證明G產(chǎn)//PN,由此可求

AP

【詳解】(1)證明：宜角悌形P8CQ中，PB//CD,CD1BC,08=2CQ,力是P8的中

點(diǎn)，

故CD=AB,四邊形/BCD為矩形，所以

因?yàn)锳BQAD=A,46,/lOu平面月AC