專題06解三角形培優(yōu)歸類

》煉壓軸-弒高度4

題型1三角形形狀判斷

100^0

正余弦定理：化角為邊型

\若式子中含有余弦的齊次式.優(yōu)先考慮余弦定理"角化功”;

j正余弦定理：化邊為角型

j若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”

】?（24?25高三?江蘇階段練習(xí)）在VA"中’已知曰*黑號(hào)貝W48C的形狀為

2.（24-25高三江蘇徐州?階段練習(xí)）在VA8C中，若acosB+〃cosC=Z?+c,則該三角形為三角

形.

3.（21-22高一下?北京?階段練習(xí)）已知AABC的三個(gè)內(nèi)角4及。所對(duì)的邊分別為”,尻j則下列條件能推

導(dǎo)出△A8C一定為銳角三角形的是.

ia2+b2>c2；（2）-^7-=-^7-=*?cos24+cos2B-cos2C=I；4tanA+tailB+tanC>0.

5o）

4.（24-25高三?上海?階段練習(xí)）在VA8C中，c-acosB=（2a-b）cosA（服b、c分別為角4、8、C的

對(duì)邊），則VA3c的形狀為.

題型2三角形幾解的判斷

判斷三角形解的個(gè)數(shù)有2種：

畫(huà)圖法：以已知角的對(duì)邊為半徑畫(huà)弧，通過(guò)與鄰邊的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷解的個(gè)數(shù)。

①若無(wú)交點(diǎn)，則無(wú)解；

②若有一個(gè)交點(diǎn)，則有一個(gè)解；

③若有兩個(gè)交點(diǎn)，則有兩個(gè)解；

④若交點(diǎn)重合，雖然有兩個(gè)交點(diǎn)，但只能算作一個(gè)解。

公式法：運(yùn)用正弦定理進(jìn)行求解。

①a=bsinA,△=0,則一個(gè)解；

②a>bsinA,△>0,則兩個(gè)解；

③a<bsinA,△<0,則無(wú)解。

1.（22-23高一下?湖北襄陽(yáng)期中）在V4AC中，A=60.BC=26,BC邊上的高為2,則滿足條件的

V48c的個(gè)數(shù)為.

6.（22-23高三上海階段練習(xí)）在AA8C中，角A8,。所對(duì)的邊分別為公b、c,已知。=4,5=30。,要使

該三角形有唯一解,則〃的取值范圍為.

2.（24-25高三北京階段練習(xí)）在△AAC中，。=4,8=30。,請(qǐng)給出一個(gè)力值_____，使該三角形有兩解

4.（24-25高三吉林模擬）V4EC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，〃，J且。=4,sinC=J,若

4

V48c有兩解，貝"的一個(gè)可能整數(shù)值為.

題型3解三角形求角度（范圍最值）

嫉

求三角形角度，要涉及到角的銳鈍的判斷，可以通過(guò)余弦值的正負(fù)判斷。如果不能直接判斷，那么借助

!其他角來(lái)判斷。如涉及到銳角三角形，則三個(gè)角都要轉(zhuǎn)化判斷銳鈍。

1'""（25-26高三上］匕秦開(kāi)單考試V4BC的內(nèi)角人;及々的對(duì)血分別為葦二反b=3~~

則/B的最大值是____.

2.（2025高一?全國(guó)?專題練習(xí)）已知G是VABC的重心，aGAbGB+—cGC=（）,其中內(nèi)角AB,C的對(duì)

3

邊分別為4。,c,貝lJ/4=.

3.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）若V48c的內(nèi)角A4滿足"0+2cosC=0,則當(dāng)角3取最大值時(shí)，角C

sia4

的大小為.

4.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）在V/WC內(nèi)，內(nèi)角A氏C的對(duì)邊分別為。也J若/+/之4而cosC,且

cos（A-B）=，，貝iJcosC的取值范圍是____.

6

題型4復(fù)合型三角函數(shù)最值

復(fù)合型角或者三角函數(shù)范圍最值，

1.以給了函數(shù)值的角度為基角來(lái)拆角。

2.討論基角的范圍，確認(rèn)基角的正余弦值符號(hào)

3.所求復(fù)合型角的范圍，以及對(duì)應(yīng)的正（或者余）弦符號(hào)，確認(rèn)對(duì)應(yīng)復(fù)合型角度

1.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）在VA8C中，內(nèi)角A&C的對(duì)邊分別為。也J已知州=普;，且

c6sin?

c九、r-insin/4+sin^,,.^_,.

則的取值范f圍r為（）

2.（24-25高一下,湖南永州?期末）在銳角VABC中，角A,B,C所對(duì)應(yīng)邊分別為a,b,c,VA3C的面

,、2

積為￡25+=c2sinC,則lan（C-4）+而彳的可能取值為（）

A.25/2B.3C.4D.472

蕓=二三且〃=6,則銳角VA8C面積的取值范圍為（）

6cosB

A.（0,4x/3）B.心后響C.（6行9碼D.(0,66]

題型6邊角互化：周長(zhǎng)最值型

lg@點(diǎn)

解三角形中最值或范圍問(wèn)題，通常涉及與邊長(zhǎng)，周長(zhǎng)有關(guān)的范圍問(wèn)題，與面積有關(guān)的范圍問(wèn)題，或與

\角度有關(guān)的范圍問(wèn)題，

j常用處理思路：

i①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；

；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限

：制，通常采用這種方法；

:③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值

I?

丁.…②以產(chǎn)東產(chǎn)麗模版預(yù)湎》巨銳角三角舷Me的鹵角A氏而忌的近令另及j無(wú)「巨克8:2C.…

。=2,則〃+c的取值范圍是（）

A.（2,6+1）B.（百+L”）C.（2,2女+2）D.（x/5+l,272+2）

2.（24-25高一下,內(nèi)蒙古呼和浩特期中）在VA8C中,已知2"sinA=（26—c）sin8+（2c-b）sinC,

a=2,則VA3C周長(zhǎng)最大值為（）

A.4B.6C.幽D.她+2

33

3.（24-25高三貴州貴陽(yáng)?階段練習(xí)）在銳角三角形A8C中，角A、B、。的對(duì)邊分別為〃、b、c、

若c=6，且acos]=6sinA,則a+2〃+3c的取值范圍為（）

A.（4+3>/3,6x/3）B.卜+3"2萬(wàn)+3向

C.（4+36,2不+36]D,（6+3x/3,2x/7+3x/3]

4.（2425高二上?河北張家口開(kāi)學(xué)考試）在VA8C中，角A及。所對(duì)的邊分別為外力,。，若

cccsA-\f3cfiinA-b+2a=0,且c=3,則VABC周長(zhǎng)的最大值為（）

A.73B.迪C.6D.9

4

題型7邊角互化：比值范圍型

最值范圍：分式比值型

化邊為角型

1.通過(guò)正余弦定理，把邊轉(zhuǎn)化為角。

2.利用特殊角，消角，以分母角度為住元，消去分子角度，轉(zhuǎn)化為分母角度的單變量函數(shù)形式

3.對(duì)單變量（單角）求最值。

角化變型：

主要用余弦定理，然后再借助均值不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化

1.（23-24高三,陜西咸陽(yáng)期中）在銳角VA4C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為仆6,c,若8=],

si弋則一^的取值范圍是()

sinAaca+73b

JL-2P2lJ]。.扁(22J}

2.（24-25高一下,重慶萬(wàn)州期中）在銳角△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，〃，JS為△ABC

的面積，且3s=『-s-c）2,則2的取值范圍為（）

C

3.（24-25高三?山東棗莊?階段練習(xí)）在VA8C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若

c-b=2bcosA,則坐的取值范圍是（）

a-b

A.（-U）U（3,+^）B.（1,2+⑹C.（3,2+百）D.（3,仔）

4.（24-25高三上?河北期中）已知VAAC是銳角三角形，角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、b、c,s

為V極的面積,4s嗚的取值范圍為（）

題型8邊角互化：四邊形面積最值型

■（?■???■?????????■?????■?????■???????■?■?????????■?■?????????■?????????????■?■???■??????,????■???■?■?■?■???■?■?????????,??■?■??????■?■,??■?????■???■?■?，

四邊形面積最值型

四邊形面積最值型，i般用某一條對(duì)角線，把四邊形分為兩個(gè)三角形，有公共邊的兩個(gè)三角形個(gè)再各自

用余弦定理，構(gòu)建數(shù)量關(guān)系。如果是有外接圓，則要充分運(yùn)用對(duì)角互補(bǔ)這個(gè)隱形條件

1?(2025?浙江杭州,三模)如圖，在三角形4BC中，Ssin2A+sin2J?+sin2C=25/5sinAsinSsinC,

DB=2,DC=4,則四邊形的面積的最大值為

2.（2024?陜西安康模擬預(yù)測(cè)）如圖，平面四邊形A3CO中，AB=\AC=2BC,AD=DC,^ADC=90,

則四邊形八BCO面積的最大值為.

3.（2023?新整阿克蘇?一模）在如圖所示的平面四邊形A4CO中，AQ=3,AB=BC=CD=g,記

XABD、△比1。的面積分別為SS,則S；+S：的最大值為

4.（21-22高一下福建三明期中）如圖，平面四邊形4BCO中，AB_LADAB=AD,BC=2,CD=\,

則四邊形ABCD的面積的最大值為

?。@點(diǎn)題型9射影定理型

:射影定理

Ia=Z?cosC+ccosB

Ib=?cosC+ccosA

jc=acosB+bcosA

1.（24-25高三?河南?階段練習(xí)）在VA8C中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為b,J若

反osC+ccosl3=2dzeosA,b=2c,則C=（）

2.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）等邊VABC的邊長(zhǎng)為5,點(diǎn)A在平面。上，點(diǎn)8,C在。的同一側(cè)，且邊

ARAC在。上的射影長(zhǎng)分別為3,4,則邊8c在。上的射影長(zhǎng)為（）

A.V15B.26C.V2TD.25/6

3.（21-22高三,古林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）在VA4c中，角A&C所對(duì)的邊分別為a,Ac,S表示VA3C的面

n

積，若80S5+反03。=公1114,S=—（b2+a2-c2）,則N8=（）

12

A.90°B.60°C.45。D.30°

4.（24-25高三廣東佛山?階段練習(xí)）已知AA8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

acos13+bcosA=3,且sin?=b=3、則4=（）

A.-B.-C.3D.3G

題型10圖形解析型：中線型

中線的處理方法

AD=-(AB+AC)AM?=-（宿+2福而+旅）

1.向量法：2<=>4

2.補(bǔ)全為平行四邊形。再轉(zhuǎn)而在新三角形中用正余弦定理

1.(25-26高三上?河北衡水?開(kāi)學(xué)考試)設(shè)VA8C的內(nèi)角人仇。的對(duì)邊分別是。也J已知。=6,且

(/?+c)(sinZ?—sinC)=-tz(sinA+sin13).

(1)求角C；

⑵若。為A8的中點(diǎn)，求線段CD長(zhǎng)的取值范圍.

2.(25-26高三上?河北?開(kāi)學(xué)考試)在VA8C中，內(nèi)角A8,C所對(duì)的邊分別為J且

A/3sinCsinA+cosCsinA=sin4+sinC.

Q)求角A；

⑵若VA8C邊BC上的中線A。的長(zhǎng)度為2后，求VABC面積的最大值.

3.(24-25高三陜西西安?階段練習(xí))在VA8C中，內(nèi)角A,。所對(duì)的邊分別是。，b.c,且

sinC+GeosC=6，訪',

sinB

(1)求角8；

⑵若a+e=2,求邊AC上的角平分線3。長(zhǎng)；

⑶若VABC為銳角三角形，求邊AC上的中線跖的取值范圍.

4.(24-25高三江蘇常州?階段練習(xí))如圖，在平面四邊形/13C。中，NACB=m，若E是AS上一點(diǎn),

BC=CE.記a48C=c,4CE=(3.

A

BC

(1)證明：cos2a+sin//=O；

⑵若4C=G\E,CO=3,AQ=2.

(1)求夕的值；

(ID求線段8。長(zhǎng)度的取值范圍.

題型Ll圖形解析型：角平分線型

\V*

；三角形角平分線的處理方法：

上.

1BDC

S/UBC=S4^CD+S?BD

ABAC

閑平分線定理(大題中，需要證明，否則可能會(huì)扣過(guò)程分)：BDCD

丁:…②:25-高一三重慶五正期審)-左銳角VA8C申「內(nèi)角A,B,C而州而近分朝分〃,羨7且滿足

(sinA—sinA)?(sin4+sin/?)=sinC(sin4—sinC),

(1)求角8；

⑵求二￡1的取值范圍;

⑶當(dāng)〃=1時(shí)，角3的平分線交AC于M,求8W長(zhǎng)度的最大值.

2.(24-25高三吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí))已知V/A8C的內(nèi)角A,&C的對(duì)邊為a4c,且

sin/I-sinB_c-b

sinCa+b

(1)求角A；

(2)若\AtiC的面積為45/3.

①已知E為8c的中點(diǎn)，且〃+c=10,求VABC中線AE的長(zhǎng)；

@求內(nèi)角A的角平分線A。長(zhǎng)的最大值.

3.(24-25高三,河南平頂山階段練習(xí))在△ABC中，角A,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

a+b=\lc2+(il7-

⑴求C；

⑵已知C。為NC的平分線，且C。交A8于點(diǎn)。

(i)若8=2,求AC+AO的取值范圍；

(II)若點(diǎn)七’滿足麗=而=［而，求cosNZX芯的值.

4.(24-25高二下?貴州六盤(pán)水?期末)在VABC中，記內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,J已知

a=G且sin*+sin2c=sin2A+sinBsinC.

⑴求A；

⑵求〃+C的最大值；

⑶若A的角平分線交8c于點(diǎn)M,求八M的取值范圍.

題型12圖形解析型：三角形的高

三角形高的處理方法：

1.等面積法：兩種求面積公式

如S=—bcs'\nA--BCxAD=-c2

222

2.三角函數(shù)法：

在△BCD41，BD=ABcosNAB。,AD=A3sin/ABD,

1.(24-25高一下?河南鶴壁期末)已知在V48C中，內(nèi)角A,及C的對(duì)邊分別為〃也。，且

八bsinC

ccosB=a+——=—.

⑴求C；

⑵若48邊上的高為九求人的最大值.

c

2.(24-25高一下河南鄭州期末)如圖，在VA3c中，內(nèi)角A8,C所對(duì)的邊分別是j且

a24-c2-ac=lr.

⑴求角B的大小.

(2)若。=3,。=2,。是AC邊的中點(diǎn)，￡為邊44上一點(diǎn)，且CE工AB,CE與BD交于點(diǎn)、F

(i)求BO的長(zhǎng)度；

(ii)求conNCFD.

3.(2025?黑龍江哈爾濱模擬預(yù)測(cè))已知V/WC的內(nèi)角A,B.C的對(duì)邊分別為〃，4c.且

S：=；c(asinA+bsin8-csinC),

⑵如圖，邊4B的垂直平分線七。交48于E,交邊AC于。，AE=s/3,BC=7io,求A。長(zhǎng).

4.(24-25高一下?廣西百色期末)已知VABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為。也j且這+02一改=//.

(1)求8的大??；

(2)若a=3c,A。是AC邊上的高，且人。=6，求V/1BC的面積.

題型13圖形解析型：雙余弦定比分點(diǎn)

三大線型引申：定比分點(diǎn)型

如圖，若BD二tBC型，稱D為定比分點(diǎn)，可以從以下思維入手:

1.雙三角形余弦定理：

(1)AABD中，AB2=BD?+AD2-2BDADCOS^

(2)AACD中，AC2=CD2+AD2-2CDADcos(n-)

\AD=(l-t).^+t.XC=>|^D|2=(l-t)2^24-t2.|AC|2+2t—祠|園cos/A

1'1■■■(24-25高二下湖北期末廠去V"C中，角人己所對(duì)的近分別為a工二「君V"C的面積

S=3仄痔而=6,且有39+厘=2*.

abc

⑵若麗=2反,求I而I.

2.(24-25高一下,云南昭通期末)已知VA4c中，三個(gè)內(nèi)角分別為

A,B,C,cosA+2sin(,+'cos(獲+1,且AH].

⑴若8C=1,求VA3C的外接圓面積；

⑵若防=4麗,NDA8=90。,△人80的面積為26，求VA4c的周長(zhǎng).

3.(24-25高一下河南南陽(yáng)期末)已知VABC的內(nèi)角A,B、C所對(duì)的邊分別是4仇。，向量

wz=(rt+Z?,sinC),H=(b-c,sinB-sinA),且初歷.

⑴求A；

⑵若加=35C,AO=1,求VA3C面積的最大值；

⑶若VA4C為銳角三角形，且。=3,求VA4C周長(zhǎng)的取值范圍.

4.(24-25高一下?湖南長(zhǎng)沙期末)在VABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為〃，b,c已知a=l,c=3,

0-c)(sinB+sinC)=(sinA-sinC)cz.

(1)求角B；

(2)若。為線段AC上一點(diǎn)，且4/5=3。3，求的長(zhǎng)度.

題型14圖形解析型：外心與外接圓

100a0

i三角形所在的外接圓的處理方法：

1.外接圓的圓心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。銳角三角形外心在三角形內(nèi)部。直角三角形外心在三

i角形斜邊中點(diǎn)上。

i鈍角三角形外心在三角形外。

I

fihc

產(chǎn)正弦定理：而r而廣而？=2R其中R為外接圓半徑

I

I

I

?！?泊]25-高M(jìn)而M南充模冊(cè)-亙?nèi)鏼z芬前為V48C=不內(nèi)角A：8丁下町而逅■且

2asin(c+1)=V3Z>.

(1)求A的值；

⑵若a=2"7,b>c,VA4C的面積為6&,求sin(A+8)的值；

(3)若匕=6,c=8,，為VA4C垂心，。為VA3C的外心，求而.質(zhì)的值.

2.(23-24高三廣東廣州?期末)已知VA4c的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為J〃，5且滿足

cosC+2cos/?cos[1+4)=0.

(1)求角8；

⑵已知VABC的外接圓的圓心為。，半徑R=6.

(口作角8的平分線交AC于。，BD=2,求V/WC的面積；

(ii)SOB=mOA+nOC(in,/?eR),求他+〃的取值范圍.

3.(24-25高三廣東肇慶?階段練習(xí))記V48C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為5>c,已知

4asin8=3Z?cosA.

⑴求sinA；

(2)若4=：,VABC的面積為二，求力；

45

⑶已知VABC的外接圓半徑為逑，-84C的平分線交8C于點(diǎn)Q,若人。=巫，求V/WC的周長(zhǎng).

66

4.(24-25高三?湖南?階段練習(xí))設(shè)VABC的內(nèi)角人B,。的對(duì)邊分別為44c,已知

acos