專題十一《立體幾何》講義

11.1空間幾何體

知識梳理.空間幾何體

1.直觀圖

(I)畫法：常用斜二測畫法.

(2)規(guī)則：

①原圖形中人一軸、)，軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，/軸、V軸的夾角為45。(或135°),/

軸與V軸和軸所在平面垂直.

②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸.平行于x軸和z軸的線段

在直觀圖中保持原長度不變，平行于)，軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?

1.簡單幾何體

(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱錐棱臺

圖形h

AB:稱

底面互相平行且相等多邊形互相平行且相似

側(cè)棱互相平行且相等相交于一點,但不一定相等延長線交于一點

側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形

(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺*

小

圖形

■*

互相平行且相長度相等且相交

母線延長線交于一點

等，垂直于底面于一占

全等的等腰三角

軸截面全等的電能全等的等腰梯形圓

側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)

4.空間幾何體的表面積與體積公式

名稱

表面積體積

幾何體

柱體（棱柱和圓柱）S表而枳=SM+2S庇V=Sh

錐體（棱錐和圓錐）S表面機=S向+S啖V=|s/z

臺體（枝臺和圓臺）S喪而機=S旭+S上+S下v=|（s上+s下力

3

球S=4TIR2V=1n/?

[]題型一.正方體的展開與折疊問題

I.如圖代表未折疊正方體的展開圖，將其折疊起來，變成正方體后的圖形是（）

A.C.

【解答】解:將其折疊起來，變成正方體后的圖形中，相鄰的平面中三條

線段是平行線，排除AC；相鄰平面只有兩個是空白面，排除。:

故選：B.

2.如圖是表示一個正方體表面的一種平面展開圖，圖中的四條線段A'CD、EF和GH在

原正方體中不相交的線段的對數(shù)為（)

3C.4D.5

【解答】解：平面展開圖還原成正方體:

G點與C點重合，

8點與尸重合.

觀察正方體中的線段不難發(fā)現(xiàn)：

GH與EF,GH與AF,CD與AF,CD與EF均不相交.

???在正方體中不相交的線段有4對.

故選：C.

3.如圖是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中（）

EA3

A.AE//CDB.CH//BEC.DGLBHD.BG1DE

【解答】解：還原正方體直觀圖如圖，可知AE與CD為異面直線，故選項A不正確;

由EHWC,可得CH〃BE,故選項B正確；

正方形中易得QG_L平面BC從所以有OG_LB〃，故選項C正確；

因為8G〃A〃，且QE_LA”，所以BG_LOE,故選項。正確.

故選：BCD.

題型二.多面體表面最短距離問題

1.如圖，正三棱錐S-ABC中，ZBSC=40a,S8=2,一質(zhì)點自點B出發(fā)，沿著三棱錐的

側(cè)面繞行一周回到點B的最短路線的長為（）

4%

最短距離（用x表示）.

VXZ+16

S

【解答】解：???底面半徑r=l,母線長，=4,

???側(cè)面展開扇形的圓心角a=90°

因此，將圓錐側(cè)面展開成一個扇形，從點M拉一繩子圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點A,最短距離

為RtZ\ASM中，斜邊AM的長度

SM=x,SA=4

???繩子的最短長度的平方/（x）=AM2=^+42=x2+16.

繩子最短時，定點5到繩子的最短距離等于RI/XA5M的斜邊上的高，設這個距離等于d,

SMAS

則心

AM

4X

故答案為

VX2+16

題型三.截面問題

1.如圖，若Q是長方體被平面EFG”截去幾何體EFGHBC1后得到的

幾何體，其中E為線段Ai8i上異于小的點，尸為線段BBi上異于Bi的點，且

則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.EH//FGB.EF//HGC.。是楂柱D.。是極臺

【解答】解：因為E，〃AIQI,A\Di//B\C\,

所以E"〃/力Cl,又EHC平面BCC曲,

所以EH//平面BCB\C\，乂石"u平面EFGH,

￥iEBCBQ=FG,

所以E”〃/G,故EH//FG//BC,

所以選項人、C正確，。錯誤；

因為平面4G平面EFGH=EF,

平面CDDiCiQ平面EFGH=GH,

平面/WBiAi〃平面COOICI,

所以E尸〃G”，故B正確.

故選：D.

2.（2018?全國1）已知正方體的樓長為1,每條樓所在直線與平面a所成的角都相等,則

a截此正方體所得截面面積的最大值為（）

3VI2百3加V3

A------B.-----C.-----D.—

4342

【解答】解：正方體的所有棱中，實際上是3組平行的棱，每條棱所在直線與平面a所

成的角都相等，如圖：所示的正六邊形平行的平面，并且正六邊形時，a截此正方體所

得截面面積的最大，

此時正六邊形的邊長口,

2

a截此正方體所得截面最大值為：6X乎X（寺二孥.

故選：4.

3.已知正△力8c三個頂點都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC的距離為1,點E

97r

是線段48的中點，過點￡作球。的截面，則截面面枳的最小值是一二.

【解答】解：設正△ABC的中心為Q,連結(jié)Oi。、OiC、O\E.OE,

是正AABC的中心，A、B、C三點都在球面上，

.\OiO_L平面A8C,結(jié)合OiCu平面48C,可得OiO_LOC,

二球的半徑R=2,球心。到平面ABC的距離為1,得。10=1,

???RtZ\OiO。中，。|。=邪2-。。］2=百

又???E為AB的中點，二正△ABC中,O\E=|oiC=y.

3

-+1

???段△。。記中，0E=Joe+oo/=4=727

???過E作球。的截面，當截面與0E垂直時，截面圓的半徑最小,

當截面與0E垂直時，截面圓的面積有最小值.

此時截面圓的半徑r=加一EO/=J2?-名y=I，

可得截面面積為S=m?=當.

97r

故答案為：—.

4

「」題型四.一般空間幾何體的表面積與體積

1.已知圓柱的上、下底面的中心分別為。，02,過直線。1。2的平面截該圓柱所得的截面

是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）

A.12V2nB.121TC.8V2TTD.10n

【解答】解：設圓柱的底面直徑為2R,則高為2R,

圓柱的上、下底面的中心分別為Oi,02,

過直線0102的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，

可得：4網(wǎng)=8,解得凡=魚，

則該圓柱的表面積為：n?（遮＞X2+2V2TTx2&=12n.

故選：B.

O

2.母線長為5的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于三，則該圓錐的體積為()

167187r

A.16nB.8TTC.-----D.

33

【解答】解：母線長為5的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于三，

所以側(cè)面展開圖的弧長為：/=5x等=8m

由弧長=底面周長，即8T[=2nr,r=4,

所以圓錐的高為h=付K=3,

所以圓錐體積V=ixnXJx/?=iXTTX42X3=16n.

OJ

故選：4.

3.已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB互相垂直，S4與圓錐底面所成角為30°.若ASAB

的面積為8,則該圓錐的體積為87r.

【解答】解：圓錐的頂點為S,母線SA,S3互相垂直，△SAB的面積為8,可得1s儲=8,

解得SA=4,

SA與圓錐底面所成角為30°.可得圓錐的底面半徑為：28，圓錐的高為：2,

則該圓錐的體積為：V=|xyrx(2V3)2x2=8n.

故答案為：8n.

4.已知邊長為百的正三角形ABC三個頂點都在球。的表面上，且球心O到平面A8C的距

離為該球半徑的一半，則球。的表面枳為坨.

3

【解答】解：如圖，設OO'_L平面44C,垂足是。，設球半徑為「，

???邊長為次的正三角形A8C三個頂點都在球O的表面上，

且球心O到平面ABC的距離為該球半徑的一半，

OA=r,00'=TTT,

八4

?

得

解

，

+廣

甲=-

3

，球O的表面枳5=40/=

5.如圖，直三棱柱人8c-A\B\C\的六個頂點都在半徑為1的半球面上,A3=4C,側(cè)面BCC\B\

是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則側(cè)面ABBiAi的面積為()

A.2B.1C.V2D.—

2

【解答】解：球心在平面BCCIBI的中心。上,3c為截面圓的直徑，???NZMC=90°,

底面外接圓的圓心N位于BC的中點，

△41B1C1的外心M在BiCi中點上，

設正方形BCC\B\的邊長為x,

□△OMCi中，0M=今MG=*,OCi=R=l,

???6)2+(分2=1,

即x=&,WOAB=AC=1,

:\矩形ABBiA、=?*\=近

6.在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40cm,母線長最短50c〃?，最長80c7〃,

則斜截圓柱的側(cè)面面積5=2600TTcm2.

【解答】解：將相同的兩個幾何體，對接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開,

1個

側(cè)面展開圖的面積5=(50+80)X20HX2X1=2600TTCW2.

故答案為：2600n

7.已知正四棱臺的側(cè)棱長為3cm,兩底面邊長分別為2cm和4cm,則該四棱臺的體積為

28夕3

(7獷?

-3~

【解答】解：正四棱臺。，。是兩底面的中心,

,：A\C\=2y[2,4C=4V2,

A(9iO=V9^2=V7,

AV=ixV7X(4+16+8)=鷺&初3,

故答案為:

題型五.三棱錐的表面積與體積

1.(2019?全國3)學生到工廠勞動實踐，利用3。打印技術制作模型.如圖，該模型為長

方體4BC。-4陰。。1挖去四棱錐。-EFGH后所得的幾何體，其中。為長方體的中心，

E,F,G,”分別為所在棱的中點,AB=BC=6cm,A4=4°〃.3。打印所用原料密度為

0.9g/c〃戶.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為

【解答】解：該模型為長方體ABCD-A\B\C\D\,挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何

體，其中O為長方體的中心，

E,F,G,H,分別為所在棱的中點,AB=BC=6cm,AA\=4cmt

???該模型體積為：

匕88-力18送1。1—VO-EFGH

11

=6X6X4-|x(4x6-4x^x3x2)x3

O乙

=144-12=132(cm3),

???3。打印所用原料密度為0.9g/c〃P,不考慮打印損耗，

?..制作該模型所需原料的質(zhì)量為：132X0.9=118.8(g).

故答案為：118.8.

2.如圖，正方體ABC。-AIBICIDI的棱長為1,線段8IDI上有兩個動點E,F,且EF=1,

則四面體A-EFB的體積為（）

A.立BYc.立D.立

61242

【解答】解：???斯=1,的面積為定值］xMXl=1

設4CA/W=O,

???ACL平面BDDiBi,：.A0為棱錐A-BEF的高,

AO二孝

…1172>/2

??VA-BEF=可xax-y二適.

故選：B.

3.如圖，在正三棱錐4-8CO中，E、尸分別是48、的中點，EF1DE,且BC=1,則

正三棱錐A-BCD的體積是￡

-2T

E

B7J

【解答】解：???￡：、尸分別是人B、8C的中點，???EF〃/1C,又???七/_1_?！?/p>

：,ACS.DE,

取B。的中點。，連接A。、。。，???正三棱錐4-3。0,

C.AOLBD,COJ_8O,???8O_L平面40C,又ACu平面AOC,J.AC1BD,

又DECBD=D,???AC_L平面ABO：

：.ACA.AB,

設AC=AB=AD=x,則f+/=1=》=字

VC-ABD=^S^ABD*AC=蕓?

故答案是會

24

4.如圖所示，在多面體力8cOE/中，已知A8C。是邊長為1的正方形，且△4OE,ABCF

均為正三角形，EF//AB,EF=2,則該多面體的體積為g.

3

【解答】解：過/I。做底面4BC。垂直的平面交石尸于G點

過BC做底面ABCD垂直的平面交EF于H點

則多面體4BCDE尸被分為三棱錐E?AOG,三棱柱ADG-BC”，三棱錐3c三個部

分

由A6CO是邊長為1的正方形，且△△￡>￡,△6C/均為正三角形，EF//AB,EF=1,

易得EG=HF=}GH=\

過點G作GO_LAO交于點。，連接E。，

易知。為AD中點且GOJ_ER

由勾股定理：G0=7E02—EG?=J（孚?一鈔=圣

S^ADG-S^BCH=?

?*^E-ADG=VF-HBC=24>^ADG-BCH=彳

???多面體ABCDEF的體積V=2x蕓+牛=孝

5.如圖，在多面體ABCDE/中，已知面A8CO是邊長為4的正方形，EF//AB,EF=2,

￡小上任意?點到平面A3CO的距離均為3,求該多面體的體積.

連接8區(qū)CE,則多面體ABCDE/的體積為:

v=Vn^E-ABCL)+V三楨梯匕BCF

=1X42X3+|X|X4X3X2

=20.

題型六?空間幾何體的最值問題

1.已知圓錐底面半徑為1,母線長為3,某質(zhì)點從圓錐底面圓周上一點A出發(fā)，繞圓錐側(cè)

面一周，再次回到A點，則該質(zhì)點經(jīng)過的最短路程為」^

【解答】解：圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，從A點出發(fā)繞側(cè)面一周,

再回到A點的最短的路線即展開得到的扇形的弧所對弦，

轉(zhuǎn)化為求弦長的問題如圖所示：

設展開的扇形的圓心角為a,

..?圓錐底面半徑r=\cm,母線長是0A=3cmf

???根據(jù)弧長公式得到2nxi=aX3,

，a二母，即扇形的阿心角是三~，

???NAOH=60°,

，動點尸自A出發(fā)在側(cè)面上繞一周到A點的最短路程為弧所對的弦長：

AA'=2AH=2XOAsin/AOH=2x3x字=3技

故答案為：3V3.

2.如圖，在正方體中，。為對角線雙）1的三等分點，則P到各頂點的距

離的不同取值有4個.

【解答】解：建立如接所示的空間直角坐標系，不妨設正方體的棱長|A8|=3,

則A(3,0,0),B(3,3,0),C(0,3,0),D(0,0,0),A\(3,0,3),B\(3,

3,3),Ci(0,3,3),Di(0,0,3),

工值=(-3,-3,3),設P(x,y,z),'：BP=(-I,1),：,DP=DB+

(-1,-1,I)=(2,2,1).

：,\PA\=\PC\=\PB]\=Vl2+22+l2=V6,

|PZ)|=|/^i|=|PCi|=V22+22+l2=3,

\PB\=V3,

\PD\\=V22+22+22=2^3.

故尸到各頂點的距離的不同取值有遍，3,x/3,2A共4個.

故答案為：4.

3.已知正方體八8。。?4|8］。。|的棱長為2,線段E凡G"分別在A&C。上移動，且

11

EF+GH=則三棱錐E-FGH的體積最大值為二；.

【解答】解：VEFGH=VH-EFC-VG-EFC

=^x^xEFxBCxCHEFxBCxCG

J乙3乙

=\EF-GH

.XEF+GH2

(-2-)

=卷（當且僅當痔=G”=1時取得最大值）.

4.已知一個三棱錐的六條棱的長分別為1,1,1,1,&,a,且長為。的棱與長為我的棱

所在直線是異面直線，則三棱錐的體積的最大值為（）

>/2V3V2V3

A.—B.—C.—D.一

121266

【解答】解：設四面體的底面是8C。，AD=a,AB=AC=BD=CD=},BC=版

則OVaV也

VABCD=VH-AED+VC-AED

=4SAAEDBC=^x^xaxJg)?-(^)2xV2

=Xyj—a4+2a2.

???當』即g時,三棱錐的體積的最大值為不.

故選：4.

c

5.如圖所示，在棱長均為2的正三棱柱中，點。為棱AC的中點，點P是側(cè)

棱A41上的動點，求APB。面積的最大值.

則P8=4+~PD=I+?,BQ=3.

又BD2+PD2=PB2,

:.S=\BD-PD=1X3X（1+x2）,

當x=2H寸，S最大為蔡.

:3BD面積的最大值為日.

6.在棱長為6的正方體ABC。-A\B\C\D\中,M是8c的中點，點P是正方體的表面DCCQ

（包括邊界）上的動點,且滿足N4PD=NMPC,則三棱錐0-4C。體積的最大值是（）

A.126B.36C.24D.186

【解答】解：???在棱長為6的正方體AIBICIDI中，例是灰?的中點，

點P是面DCC\D\所在的平面內(nèi)的動點，

.且滿足N4PO=NM尸C,

ARtA/lDP^ARtAPAfC,

即PD=2PC,

設OO=x,PO=h,作尸。_LCD,

???〃2+）2=2,（6-x）2+h2,化簡得：3廬=-3/+48工-144,0WxW6,

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷：x=6時，3后最大值為36,

h最大值=2百,

???在正方體中POJ■面BCD,

...三棱錐P-BCD的體積最大俏：|x|X6X6X2V3=12V3.

7.若?個圓錐的母線長為4,高為2,則過這個圓錐的任意兩條母線的截面面枳的最大值是

8.

【解答】解：由題意：圓錐的母線長為4,高為2,

???圓錐的底面半徑r=2g.

任意兩條母線作截面（如圖）ACS,

則CS=SA=4,Z\ACS是等腰三角形.

S。是AACS的高，且是AC的中點.

設SD=h,AC=in,BC=n.

可得：后+/=]6

即4/i2+m2=64,

那么：64=4M+,724〃加（當且僅當2/?=小時取等號）

mhW16.

則SMCS==1x16=8

故答案為8.

8.唐朝著名的風鳥花卉紋浮雕銀杯如圖1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓

柱的組合體（如圖2）.當這種酒杯內(nèi)壁表面積（假設內(nèi)壁表面光滑，表面積為S平方厘

米，半球的半徑為R厘米）固定時，若要使得酒杯的容積不大于半球體積的2倍，則R

的取值范圍為（）

圖1圖2

A.。B.［展'+8）C.慮'匾】口.（離,帶

［解答］解:設圓柱的高度與半球的半徑分別為萬,R,則5=271巾+2n/?兒貝版RI=^-rr/?2,

所以酒杯的容積V=冊內(nèi)+nR2fl=3+（搟一nP.2）R=+￡/?<聶R3,

乂力>0,所以5—71/?2〉0,

乙

課后作業(yè).空間幾何體

1.已知圓柱與圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體枳分別為VI和丫2,則Vl:V2=（）

A.i：3B.1：1C.2：ID.3：1

【解答】解：設圓柱，圓錐的底面積為S,高為小

則由柱體，錐體的體積公式得：匕：V=（Sh）：=3.-1

2?J

故選：D.

2.已知底面半徑為1,體積為87r的圓柱，內(nèi)接于一個島為28圓錐（如圖），線段為

圓錐底面的一條直徑，則從點A繞圓錐的側(cè)面到點8的最短距離為（)

A.8B.4V3C.4V2D.4

【解答】解：如圖，

設圓柱的高為/?，則7rxi2x九=得力=8.

*：S0=2百，:.CD為4S0B的中位線，

：?0B=2,則S8=J（2V5）2+2?=4.

即圓錐的底面半徑為I,母線長為4,

47r

則展開后所得扇形的弧長為4m圓心角為:-=n.

???從點A繞圓錐的側(cè)面到點B的最短距離為4vL

故選：C.

3.已知一個圓臺的下底面半徑為r,高為人當圓臺的上底半徑/變化時，圓臺體積的變

1

化范圍是（!兀產(chǎn)9八，+8）.

【解答】解：VHa=（i^+rr+