2.4函數(shù)的對稱性及應用

掌握一些函數(shù)的軸對稱和中心對稱公式和推論，會利用函數(shù)的對稱性解決相關(guān)問題.

住備知識回顧自主學習?基啾回扣

教材回扣

1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的對稱性

(1)奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)關(guān)于F軸對稱.

(2)若火x+〃)是偶函數(shù)，則函數(shù)｛丫)圖象的對稱軸為三；若.危+a)是奇函數(shù)，則函數(shù)人x)

圖象的對稱中心為

2.若函數(shù)y=/(x)滿足/(。一》)=/(。+》)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=n對稱；若函數(shù)y=

7(x)滿足J(a-x)=—J(a+x),則函數(shù)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱.

3.兩個函數(shù)圖象的對稱

(1)函數(shù)y=/(工)與y=fi—x)的圖象關(guān)于11軸對稱.

(2)函數(shù)y=./(x)與y=—/(x)的圖象關(guān)于x軸對稱.

(3)函數(shù)y=/(x)與y=—/(—x)的圖象關(guān)于盤點對稱.

基礎檢測

D----

1.判斷(正確的畫“J”，錯誤的畫“x”)

(1)函數(shù)少=危+1)是倡函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱.(V)

(2)函數(shù)y=/(x-l)是奇函數(shù)，則函數(shù)歹=/(4)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱.(X)

(3)若函數(shù)/(0滿足/(x-l)+/(x+l)=0,則/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱.(X)

(4)若函數(shù)/(》)滿足/(2+x)=/(2—x),則/(戈)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.(V)

r+I

2.函數(shù)/(x)=圖象的對稱中心為(B)

x

A.(0,0)B.(0,1)

C.(1,0)D.(1,1)

解析：因為火x)=x+l=l+1由y=J的圖象向上平移1個單位長度得到y(tǒng)=l+l的圖象，

XXXX

又的圖象關(guān)于點(0,0)對稱，所以及丫)=1+1的圖象關(guān)于點(0,1)對稱.故選B.

XX

3.(人教A版必修第一冊P87Tl3改編)已知函數(shù))=/(4+2)-3是奇函數(shù)，且/(4)=2,

則火0)=生

解析：方法一由y=/(x+2)—3是奇函數(shù)，?\/(—x+2)—3=—/(x+2)+3,令x=2,/(0)

一3=—/(4)+3,得火0)=4.

方法二由y=?r+2)-3是奇函數(shù)，得/(x)的圖象關(guān)于點(2,3)對稱，故人0)+/(4)=6,

即/(0)=4,

4.若偶函數(shù)1=段)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,且當x￡[2,引時，/(x)=2x—1,則人一

1)=5.

解析：???兀0為偶函數(shù)，.??火-1)=火1),由人工)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，可得｛1)=人3)

=2X3—1=5,所以/(-1)=5.

母鍵能力提升互動探究?考點林講

考點1函數(shù)的對稱性

【例1】(2024,新課標I卷T18節(jié)選)已知函數(shù)仆)=ln1+ax+b(x—1戶，求證：

2-x

曲線y=/")是中心對稱圖形.

【證明】證法一易知戈￡(0,2),

3

/(2—x)+/(》)=In之'+a(2—x)+b(1—x)+In'+ax+/?(x—1>=2訪

x2-x

所以火刈的圖象關(guān)于點(1,0中心對稱，即面線是中心對稱圖形.

證法二J(x)=\nX+ar+力(》一1)3的定義域為(0,2),

2—x

1+x-1-Y

/(1+x)+/(1—x)=In+a(l+x)+Z)(l+x—l>+ln'+a(l—x)+6(l—x

2—(1+x)2—(1—x)

|-f-y1-r

—l)3=ln+a(1+.r)+bx3+In+?(1—x)—/>x3=ln\-^-2a=2a,因此人》)的圖象關(guān)于

1—x1+x

點(1,a)對稱，所以曲線y=/(x)是中心對稱圖形.

」規(guī)律總結(jié)

對稱性的五個常用結(jié)論

(1)y=/(x+a)是偶函數(shù)鈍/(o+x)=/(a—x)=y=/(x)的圖象關(guān)于直線X=a對稱?

(2)y=/(x+a)是奇函數(shù)u/(q+x)=—/(a—x)=y=/(x)的圖象關(guān)于點(“，0)對稱.

(3)若函數(shù)y=/(x)滿足/(4+x)=/S—x),則y=/(x)的圖象關(guān)于直線x="+'對稱.

特別地，當〃=瓦即火。+幻=/(4一外或人工)=/(24—刈時，y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a

對稱.

(4)若函數(shù)y=/(x)滿足/(x)+/(24—x)=26則y=/(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱.

特別地，當b=0,即./(4+x)+/S—x)=0或/(X)+/(2G—X)=0時，y=/(x)的圖象關(guān)于點(m

0)對稱.

(5)函數(shù)y=/S+x)的圖象與函數(shù)y=/(b—x)的圖象關(guān)于直線》="1"對稱.

特別地，當a=6時，函數(shù)y=/(a+x)的圖象與函數(shù)y=/(a—x)的圖象關(guān)于直線工=0對稱.

；考教銜接

對稱的充要條件

1.教材母題：(人教A版必修第一冊P87Tl3)

我們知道,函數(shù)y=/")的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=/W為

奇函數(shù)，有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點P(a,與成中心對稱圖形的

充要條件是函數(shù)y=/U+a)一〃為奇函數(shù).

(1)求函數(shù)人工)=》3—3/圖象的對稱中心；

(2)類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)p=/(x)的圖象關(guān)于)，軸成軸對稱圖形的充要條件是函

數(shù)y=/(x)為偶函數(shù)”的一個推廣結(jié)論.

2.上述問題中第(2)題的結(jié)論為：函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線》=,成軸對稱圖形的充要

條件是函數(shù)歹=fix+c)為偶函數(shù).

yv-4-1

3.對于例1,由/(x)=ln4-axI)3,可知y=/(x+1)—a=ln,+”+以3為

2—x1—x

奇函數(shù)，故據(jù)教材結(jié)論可知，曲線y=/(x)關(guān)于點(1,a)成中心對稱.

【典例】(多選)已知函數(shù)y=人工)的圖象關(guān)于點P{a,與成中心對稱圖形的充要條件

是函數(shù)y=/(x+a)一〃為奇函數(shù)，函數(shù)/=/)圖象關(guān)于直線x=c成軸對稱圖形的充要條件是

函數(shù)y=7(x+。)為偶函數(shù)，則(ACD)

A.函數(shù)危)=產(chǎn)-2》的圖象有對稱軸

f-2x+2

B.函數(shù)兒t)=’一法的圖象無對稱軸

f-2x+2

C.函數(shù)/(刈=好一3.*2圖象的對稱中心是點(],-2)

D.若函數(shù)/(幻=3—332,則人一2()22)+人一2()23)一/(2()24)+/(2()25)=-8

—?￥—1

【解析】因為函數(shù)外)='的定義域為R,而/+1)=為偶函數(shù)，所以函

/一2丫+2f+l

工2-

數(shù)/W=；的圖象有對稱軸，即直線x=l,A正確，B錯誤：因為函數(shù)4丫)=》3—3/

/一2》+2

=。-1)3—3。-1)一2的定義域為R,而y=/(x+l)+2=/—3x為奇函數(shù)，所以函數(shù)./(;)=/

一3/圖象的對稱中心是點(1,一2),c正確；因為函數(shù)/[x)=x3—3/圖象的對稱中心是點(1,

-2),所以/(幻+/(2—戈)=一4,故/(-2022)+/-2023)+火2024)+/(2025)=—8,D正照.故

選ACD.

【對點訓練1】(2023?全國乙卷理T21節(jié)選)己知函數(shù)4x)=[+"]n(l+x),是否存

在。，b,使得曲線y=/0關(guān)于直線x=6對稱？若存在，求a,6的值：若不存在，說明理

由.

解:假設存在a,b,使得曲線y=/U關(guān)于直線x=b對稱.

令g(x)=D=a+〃)lnb+J=(x+a)】nx+1,

因為曲線y=g(x)關(guān)于直線x=/)對稱，所以g(x)=g(2b—x),

A.0B.I

C.2D.3

解析：因為/(I+》)=/(1一戈)，所以/(1+(1+幻)=/(l-(l+.r)),即/(2+》)=/(一x),

又/(一x)=-/(x),函數(shù)義外的定義域為R,所以/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，所以/(0)=0,.危)

=-A2+x),所以人2+幻=一/(4+幻，故/(x)=-/(2+x)=/(4+x),所以｛x)是以4為周期的

周期函數(shù)，所以/(2024)=/(506X4+0)=/(0)=0.故選A.

考點3周期性、單調(diào)性與對稱性

［例3］(1)(多選)若函數(shù)./(x)是定義在R上的奇函數(shù),為=￡7,危)在W2

上單調(diào)遞增，則(ACD)

A../(0)=0

—0

B../(X)在2」上虺調(diào)遞減

C./⑴的周期為2兀

D.火x)在2,元上單調(diào)遞減

【解析】對于A,因為函數(shù)/(X)是定義在K上的奇圖數(shù)，所以｛0)=0,A正確：對于

o兀一兀0

B,因為46為奇函數(shù)，八式)在'2_1上單調(diào)遞增，所以人外在2?’」上單調(diào)遞增，B錯誤:

0兀

對于D,因為,所以用:)的圖象關(guān)于直線工=兀對稱，又因為仆)在「2」上

2

11

單調(diào)遞增，故/⑴在3勺上單調(diào)遞減，D正確；對于C

則/W=/S-x),

又人刈=一火_幻，所以HTT-r)：-/1一》)，即/(7i+x)=-/?,所以y(x+27c)=/U),結(jié)合.外制

的單調(diào)性可知4X)的周期7—2兀，C正確.故選ACD.

(2)已知函數(shù)壁)的定義域為R,段一2)為偶函數(shù)，｛L1)為奇函數(shù),當問1,2］時，兒0

=冰+6,若人2)+/(3)=；,則(A)

A.人外在區(qū)間［0,1］上是增函數(shù)，且有最小值一；

B.人功在區(qū)間［0,1］上是減函數(shù)，且有最大值;

C.人工)在區(qū)間［―2,—1］上是增函數(shù)，且有最大值;

D.人工)在區(qū)間［-2,—1］上是減函數(shù)，且有最小值一;

【解析】因為人x—2)為偶函數(shù)，所以火X—2)=/(-X—2XD,且函數(shù)負刈的圖象關(guān)于直

線》=—2對稱，又/(x-l)為奇函數(shù)，所以一兒L1)=/(一R-1)②，且函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(一

1,0)中心對稱，所以有一?0=火一工一2)=/-2)3/)=/(》+4),即｛x)的一個周期為7=4,

令x=0代入②得人-1)=0=/(3),即｛2)=；令x=3代入①得人1)=人-5)=/(3)=0,所以

a+6=0,C

2〃+力=1解得;1所以人工)=%_；?！辏?，2］),

"T",b=一,22

22

如圖所示，根據(jù)函數(shù)的對稱性與周期性可知，人月的國象關(guān)于直線x=2對稱，關(guān)于點(3,

0)中心對稱，可得火外在區(qū)間［-4,4］的圖象，易知兀0在區(qū)間［0,1］上是增函數(shù)，且有最小值

{())=一次-2)=一次2)=一；，故A正確，B錯誤；火幻在區(qū)間［-2,—1］上是減函數(shù)，E有最

大值，(-2)=/(2)=；,最小值/(-1)=0,故C,D均錯誤.故選A.

y

T規(guī)律總結(jié)'

解決函數(shù)性質(zhì)的綜合問題，一般要利用周期性與對稱性縮小自變量的取值范圍或轉(zhuǎn)換自

變量所在的區(qū)間，然后利用單調(diào)性比較大小或解不等式.

【對點訓練3］(1)已知定義在R上的函數(shù)人幻在(-8,2］上單調(diào)遞增，若函數(shù)1x+2)

為偶函數(shù)，且{3)=0,則不等式必《>0的解集為(B)

A.(0,3)

B.(一8,0)U(l,3)

C.(一8,o)U(3,+~)

D.(0,1)U(3,十叩

解析：由函數(shù)次式+2)為偶函數(shù)，可知函數(shù)次幻的圖象關(guān)于直線x=2對稱，又函數(shù)(X)在

(-8,2］上單調(diào)遞增，知函數(shù)人工)在(2,+8)上單調(diào)遞減，由次3)=0,知41)=0,作出函

數(shù)/(x)的大致圖象，如圖.

由圖可知,當—0時，/)<0,則劃")>0；當OvxvlE寸，Ax)vO,則研X)v();當183時,

段)>0,則歡丫)>0:當x>3時"x)O,則必(x)vo.所以不箏式狀x)>0的解集為(一8,O)u(l,

3).故選B.

(2)已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足./(x+6)=/(x),且歹=/(x+3)為偶函數(shù)，若/(”在(0,3)

內(nèi)單調(diào)遞減，則下面結(jié)論正確的是(B)

A.火一4.5)43.5)412.5)

B.85)飲一4.5削2.5)

C-2.5)43.5)十一4.5)

D--3.5)伏12.5)伏一4.5)

解析：由/(x+6)=/(x),可得/(x)的一個周期為6,叉y=/(x+3)為偶函數(shù)，/(x)的圖象關(guān)

于直線x=3對稱，所以/(3.5)=/(2.5),—4.5)=/(1.5),/(12.5)=火0.5).又/(x)在(0,3)內(nèi)單調(diào)

遞減，所以＜3.5)4—4.5)伏12.5).故選B.

課時作業(yè)9

▲;空基礎鞏固.

1.(5分)(2024?四”成都三模)函數(shù)^=3"與卜=31辦的圖象(D)

A.關(guān)于直線x=2對稱

B.關(guān)于直線x=l對稱

C.關(guān)于直線x=1對稱

2

D.關(guān)于直線x=l對稱

4

解析：因為曲線y=3,關(guān)于直線x=a的對稱曲線為y=32(2“r),即^=34。-〃，y=3如，與

了=3、2r對比系數(shù)可知4〃=1,解得4=1,所以函數(shù)箕=3標與p=3'2T的圖象關(guān)于直線x=1對

44

稱.故選D.

2.(5分)(2024?四川南充二模)已知函數(shù)及6=3,則函數(shù)y=/(x-|)+1的圖象

x

(A)

A.關(guān)于點(1,1)對稱

B.關(guān)于點(一1,1)對稱

C.關(guān)于點(一1,0)對稱

D.關(guān)于點(1,0)對稱

T.I7

解析：晶數(shù)4t)=的定義域為“以工0｝，又"一功=一=一九6,所以/(x)=為奪函數(shù)，

XXX

則函數(shù)/U)的圖象關(guān)于原點(0,0)對稱，又y=/(x—l)+l的圖象是由/(x)=3的圖象向右平移

X

1個單位長度，再向上平移1個單位長度得到的，所以函數(shù)y=/(x-l)+l的圖象關(guān)于點(1,1)

對稱.故選A.

3.(5分)(2024?湖南長沙二模)已知定義在R上的函數(shù)/W是奇函數(shù)，對任意xER都

有危+1)=火1一%),當八-3)=—2時，則人2023)=(A)

A.2B.-2

C.0D.-4

解析：定義在R上的函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，且對任意x￡R都有—x),故函數(shù)

/(X)的圖象關(guān)于直線x=l對■稱，???次外=/(2—x),故/(一x)=/(2+x)=-/(x),

?7/(x)=-/(2+x)=/(4+x),?\/(x)是周期為4的周期函數(shù)?則/(2023)=/(505X44-3)=/(3)

=一/(一3)=2.故選A.

4.(5分)(2024?四川內(nèi)江三模)已知函數(shù)/(》)的定義域為R,對任意實數(shù)x都有/(x+2)

=一/(x)成立，且函數(shù)/(x+1)為偶函數(shù)，/(1)=2,則/(1)+/(2)+…+A2024)=(B)

A.-IB.0

C.1012D.2024

解析：由./(x+2)=-/(x)弓兒x+4)=—/(x+2)=/(x),即人工)的一個周期為4,由人工一1)為

偶函數(shù)可知火幻的圖象關(guān)于直線x=l軸對稱，即/(2)=/(0),又./(工+2)=—/(戈)可知/(2)=—/(0),

所以大2)=/(0)=0,顯然義3)=一41)=-2,火4)=H0)=0,所以41)+.42)+???+逐2024)=

7074

：乂[/(1)+償)+./(3)+.4)]=().故選B.

5.(5分)已知函數(shù)/次)的定義域為(-8,+8),v.vGR,

X2>x^\時，[/(刈)-/3)]6—為)>0，/(0)=-/(2),則不等式/(幻(/+2工+3)>0的解集為(A)

A.(—8,0)U(2,4-°°)

B.(0,2)

C.(一8,0)U(l,2i

D.(0,1)U(2,+8)

P+x]-rl3+x+〔—x

解析：因為42'J=A2.J,所以/(x)的圖象關(guān)于直線.x=22=1對稱，所以*0)

=7(2),因為40)=一42),所以貝0)={2)=0,因為[A^)-AXI)](X2-XI)>0,故危)

在(1,+8)上單調(diào)遞增，所以人刈在(一8,1)上單調(diào)遞減，因為9+級+3=(》+1)2+2>0,

/(》)(/+2》+3)>0,所以人燈>0,當x>l時,/(x)>0=/(2),結(jié)合單調(diào)性可知x>2,當x<\時,的)>0

=/(0),結(jié)合單調(diào)性可知x<0,故/(幻(/+2工+3)>0的解奠為(-8,0)U(2,+8).故選A.

6.(5分)定義在R上的函數(shù)人入-)滿足/(一萬)=一/&+4),且當.02時，/(X)單調(diào)遞增，

若為+》2<4,(X|—2)(X2—2)<(),則4⑴+火功)的值(C)

A.恒為正值B.恒等于零

C.恒為負值D.無法確定

解析：因為/(—x)=-/(x+4),所以人幻的圖象關(guān)于點(2,0)中心對稱.又當x>2時，人幻

單調(diào)遞增，所以/(x)在R上單調(diào)遞增，如圖，又⑶一2)(刈-2)<0,所以巾，制位于點(2,0)

的兩邊，不妨設XiSH,又不+也<4,所以X]離點(2,0)更遠，由圖不難看出兒口)+/(》2)恒為

負值.故選C.

7.(6分)(多選)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,/(x+2)為奇函數(shù)，/(2x+l)為偶函數(shù)，則

(AD)

A.的圖象關(guān)于直線x=l對稱

B.的圖象關(guān)于點(1,0)對稱

C.火力的圖象關(guān)于直線x=2對稱

D.火幻的圖象關(guān)于點(2,0)對稱

解析：因為/(x+2)為奇函數(shù)，所以/(x+2)=-/(—x+2),所以函數(shù)道幻的圖象關(guān)于點(2,

0)對稱，又/(2x+l)為偶函數(shù)，所以/(2x+l)=/(-2x+l),所以函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=l

對稱.故選AD.

8.(6分)(多選)已知函數(shù)人外為R上的奇函數(shù)，在(0,1］上單調(diào)遞減，且滿足,")+

人2一功=0,則下列說法正確的是(AB)

A.,A2)=0

B.函數(shù)/(x)是以2為周期的周期函數(shù)

C.函數(shù)/(x)在［5,6)上單調(diào)遞增

D.函數(shù)加一1)為偶函數(shù)

解析：對于A,B,:函數(shù)人x)為奇函數(shù)，

???人一幻=一?,{0)=0.???/)+火2-工)=0,??m一勸七/(2+工)=0,則一/(工)+火2+力=0,

即./(2+x)=/(x),故函數(shù)次丫)是周期為2的周期函數(shù)，火2)=/(0)=0,由此可知A,B正確：對

于D,令內(nèi)(%)=/一1),則2(一x)=/(-x-l)=-/(x+l),在/(x)+/(2-x)=0中，將x換為

x+1,得火*+1)+/(1—x)=0,.\/(x+1)=-/(1-v),

???產(chǎn)(一%)=—/+1)=#一%)=-/(X—1)=一向(x),則函數(shù)尺0=作-1)為奇函數(shù)，AD

不正確；對于C,由函數(shù)共制是以2為最小正周期的周期函數(shù)，則函數(shù)人用在［5,6)上的單

調(diào)性等價于函數(shù)人外在［-1,0)上的單調(diào)性，又奇函數(shù)次外在(0,1］上單調(diào)遞減，，函數(shù)人用

在［-1,0)上單調(diào)遞減，???C不正確.故選AB.

9.(5分)定義在R上的奇函數(shù)滿足Vx￡R,.危)+/(4—x)=0,且當00y2時，人外

2024

=＜一2',則E|/(/)1=1012.

/=1

解析：因為兒0是奇函數(shù)，且"x)+/(4—x)=0,所以/(x)=—/(4—x)=/(x—4),故(t)是

周期為4的周期函數(shù).火1)+{3)={1)+＜一1)=0,所以外3)=一{1)=1,令x=2,可得＜2)

+＜2)=0,所以＜2)=0,因為函數(shù)為奇函數(shù)且周期為4,所以＜4)=＜0)=0,則次1)|+火2)|

2024

+|/(3)|+1/(4)|=2|/(1)|=2,則E/(i)|=506-錯誤鞏i)|=506X2=l012.

/=1

10.(5分)(2025?八看聯(lián)考)已知曲線C：y=x3-2,兩條直線八，6均過坐標原點。

八和。交于M，N兩點，/2和。交于P,0兩點，若的面積為2,則△MV。的面積

為22.

解析：由于(x,y)和(一X,—y)都符合y=x3—：xK(),所以曲線C關(guān)于原點對稱，當x＞0

x

時，函數(shù)y=V-2單調(diào)遞增，由此大致畫出曲線。如圖所示，兩條直線/］,4均過坐標原點

x

(),所以A/,N兩點關(guān)于原點對稱，P,。兩點關(guān)于原點對稱，根據(jù)對稱性，不妨設M,N,

P,Q的位置如圖所示，可知|OP|=|O0|,|OM=I°N|，4PoM=4QON,際以40PMm4OQN,

所以、S^OQN=S*OPM=2,而和的面積相等，所以S&O0M=2,所以品HN0=

22.

11.(16分)函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)「坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=/U)

為奇函數(shù)，有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點尸(“，與成中心對稱圖形

的充要條件是函數(shù)y=/U+a)—/)為奇函數(shù).

(1)求函數(shù)y=/(x)=X3—6r圖象的對稱中心：

(2)根據(jù)第(1)問的結(jié)論，求/(-100)+/(—99)+…+/(1)+/(2)+{3)+…+/(103)+黃104)

的值.

解：(1)設函數(shù)y=/(A)=.v3—6x2圖象的對稱中心為P(a,h),

由于函數(shù)J，=/(x)的圖象關(guān)于點P(a,份成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=/(x+。)一力

為奇函數(shù).

即函數(shù)g(x)=/(x+a)—b為專函數(shù)，而g(x)=(x+a)，—6(x+—b=x3+(3a—6)x2+(34

—12a)x+〃3—6〃2—6,

由于x￡R,g(—x)=-g(x),即一/+(3〃-61必一(3M-12a)x+a3—6/-/?=—x3—(3。一

3a—6=0,

6)『一(3a2-]2a)x-(涼一6/一份，因為丁￡R,故

43—6〃一〃=(),

a=2,

解得

b=-\6,

即函數(shù)y=/W=V—6/圖象的對稱中心為點(2,-16).

(2)由(1)的結(jié)論可知麻)+/(4一X)=-32,則./(一100)4-/104)=-32,./(-99)103)=-

32,…,<1)+火3)=-32,而/(2)=-16,故/(一100)+/(-99)+…+/(1)+/(2)+/(3)+…+火103)

+/(104)=[A-100)+A104)]+[/(-99)+/(103)]+-+[/(l)+/(3)]+X2)=(-32)X102+(-16)

=-3280.

ae*—2a+1

12.(16分)已知函數(shù)/(x)=(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)).

ex—1

(1)討論4?)的單調(diào)性.

(2)是否存在實數(shù)a使得火刈的圖象關(guān)于點(0,1)對稱？若存在，請求出實數(shù)a：若不存在,

請說明理由.

解：(1把，一1彳0,xWO,所以/(x)的定義域為{RxWO},

〃、這一2a+la(er-1)—I.1—a

/(x)===a+,

e'-1ex-1e'—1

當a=\時，/(x)=l(xWO),/(x)沒有單調(diào)性.

當。vl,1—。>0時，./(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,0),(0,+8).

當a>l,1—"0時，J(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,0),(0,+°°).

(2"(刈的定義域為{xKWO},

假設存在實數(shù)出使<x)的圖象關(guān)于點(()，1)對稱，此時./(x)+y(-x)=2,

aer—2a+1ae'-2。+12ae，+e；__<74_2aer-ev

小尸e—'八一”尸

l-ev

ae'-2a+l.—67+2?cv—ev(3rz—l)ev—(3a-1)(3rz—l)(ev-1)、,

人x)+./(—x)=十===M-1

c4-1ex—1

=2,67=1.

故存在實數(shù)〃滿足題意，且。=1.

理素養(yǎng)提升4

13.(5分)(2024?陜西安康模擬)己知函數(shù)j，=/(x)是定義在R上的函數(shù)，/(l+x)=/(l

-A),函數(shù)危+1)的圖象關(guān)于點(一1,0)對稱,且對任意的孫必￡［0,1］,Xl￥X2,均有取xi)

+例如)>對8)+功但)，則下列關(guān)于函數(shù)產(chǎn)危)的說法中，正確的個數(shù)是(C)

0/(x+2)=外-2)；

③函數(shù))，=危)在［2,4］上單調(diào)遞增；

④不等式/(x)N0的解集為［就，軟+2］/￡Z).

A.1B.2

C.3D.4

解析：由函數(shù)4r+l)的圖象關(guān)于點(一1,0)對稱，得/W的圖象關(guān)于點(0,0)對稱，印函

數(shù)危)是奇函數(shù),由｛l+x)=/(l—x),得兀r)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，火x+4)=,/［(x+3)+l］

=/［1-(x+3)］=A-x-2)=-Av+2)=-/［(x+1)+1］=-/［1-(.x+l)］=-A-x)=Xx),因此

,兒丫)是以4為周期的周期函數(shù)，①正確；對任意的H/2￡［0」］,XIWX2,均有R/(Xl)+xV(X2)>R/(X2)

+功(Q)，不妨設X1>X2,則(3—X?./1)>(xf—城)/(X2),即/(XI)次X2),因此.危)在［0,1］

上單調(diào)遞增，上;以—8以以1劇」『以出②正確；由函數(shù)

y(x)是R上的奇函數(shù)，在［0,I］上單調(diào)遞增，得函數(shù)Hx)在［-1,1］上單調(diào)遞增，在［1,3］上單

調(diào)遞減，在［3,5］上單調(diào)遞增，③錯誤；由/(2)=/(0)=(),人外在［-1,1］上單調(diào)遞增，在［1,

3］上單調(diào)遞減，得當工￡［-1,3］時，火幻20,則有工￡［0,2］,又函數(shù)4丫)是以4為周期的周

期函數(shù)，因此不等式火x)20的解集為［必，44+2］(左￡Z),④正確.故選C.

14.(5分)(2024?江西屯昌二模)已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足兒丫+2)=/(—x)=~/(x),

當(KrWl時，/(x)=log2a+l).若.加+1)>加)，則實數(shù)。的取值范圍是(D)

(-5+4Zr,-3+4A1

A.I22