安康市2024—2025學(xué)年第二學(xué)期高二期末聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題

卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫

在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙

和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.在復(fù)平面內(nèi)，葭3一°對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運算化簡，即可求出在復(fù)平面內(nèi)點的坐標(biāo)，即可求解.

【詳解】由題意可設(shè)z=i（3—i）=l+3i.

故z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（1,3）,

其位于第一象限.

故選：A.

2.某汽車零件質(zhì)檢員對一批汽油機(jī)電火花零件進(jìn)行質(zhì)檢，記錄數(shù)據(jù)（單位：亳米）為3.56,3.58,3.59,

3.95,4.03,對于這五個數(shù)據(jù)，其第60百分位數(shù)為（）

A.3.59B.3.58C.3.76D.3.77

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的求法步驟即可求解.

【詳解】已知題干數(shù)據(jù)已從小到大排列.

由于5x0.6=3為整數(shù).

359+395

故第60百分位數(shù)為…[…=3.77.

2

故選:D.

3.設(shè)集合4={工|一1<工<2},8={x|avx<a+l},若BqA,則。的取值范圍是（）

A.[—1,1）B.[-1,1]C.[0,2]D.（—1,1]

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意和子集的概念列出不等式組，求解即可.

【詳解】由題意可得A={x|-l<x<2},B=^x\a<x<a+\>,且

因此,〃一,：,解得

[a-v\<2L」

故選：B.

2r-5

4.不等式二一Ml的解集是（）

x+2

A.{x|-2<x<7}B.1x|x<7}

C.{止2<xW7}D.{x|x>-2}

【答案】C

【解析】

【分析】先把給定不等式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換，解二次不等式即可.

2r-5r-7(X-7)(A+2)<0

【詳解】由題意可得——--1=——<0,等價于

x+2x+2x+2w0

解得一2cx<7,

故原不等式的解集為{x\-2<x<7].

故選:C.

5.設(shè)一個圓心在直線x-3y+4=0上的圓與兩條坐標(biāo)軸均相切，則這個圓的半徑為（）

A.IB.2C.1或2D.2或6

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出圓心坐標(biāo)，結(jié)合圓的切線列式求解.

【詳解】由圓心在直線x-3y+4=0上，設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,—),

〃+4

由該圓與兩條坐標(biāo)軸均相切，得該圓半徑＞=|。|=|二一I，整理得—2=0，

解得。=2或一1，所以這個圓的甘徑r=1或2.

故選：C

6.若VABC的面積S=A8.AC，則sinA=()

A2石R石「有D5a

5548

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三角形面積公式和平面向量數(shù)量積定義化簡即可求得.

【詳解】VA6C的面積S=g?八A,^.ABAC=|?|Ac|?cosA,

故;?AC?sinA=|AB|-|AC|-COSA,化簡得sinA=2cos.

又siifA+cos2A=1，故sinA=^^.

5

故選：A.

7.如圖，點?，。2分別為圓臺上、下底面的圓心，A3為下底面的一條直徑，且A。，B01.圓臺的

上、下底面圓半徑分別為3,6,點尸為下底面圓上不與A,8重合的一點，點。為aa靠近。?一端的三

等分點，則當(dāng)。為圓弧48的中點時，點A到平面3PQ的距離為()

I5MR24炳r576n7x/6

17171212

【答案】B

【解析】

P(lx<3)

故p(y?4|X21)=P(Xv3|X1)=-=2^=5

')P(XNl)0.66，

故選:D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知雙曲線4：4一)2=1(。>0)的一條漸近線為依+》=().將孰的實軸，虛軸長度均變?yōu)樵鹊?/p>

看，記得到的雙曲線為G，則()

A.a=6B.G的離心率為

c.G的一條漸近線為)'=xD.。2的焦點到漸近線的距離為G的*

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線G漸近線可求出。的值，再根據(jù)題中描述的變化，可求出雙曲線Gr

【詳解】選項A：因為雙曲線C|：W-y2=i(a>o)的一條漸近線為公+),二()

a

且根據(jù)雙曲線性質(zhì)可得：C；:[-=i(a>0)的漸近線為y=±-x.

aa

所以其一條漸近線辦+y=o等價于y=-",因為。>0,故-'=-〃，得到/=],解得a=i,故A

a

錯誤；

選項B：將。=1代入G方程，得至i」G：/—y2=i，所以G離心率為#=&，故B正確；

選項C：將G的實軸，虛軸長度均變?yōu)樵鹊?，則。2：1。0/一100>2=1.

1

其漸近線為y=土芋入=±入，所以G的一條漸近線為y=x,故c正確；

1()

選項D：對于雙曲線C：二一二二](/Z〃>()),焦點(c,0)到漸近線，式一沖=()的距離為

n~

其中刀即為半虛軸K.

由FG的虛軸長為G的:，故G的焦點到漸近線的距離為G的:，故D正確.

故選：BCD.

10.已知tana+tan￡=-tan(a+￡)xO,則tana+tan￡的我值可以為()

3廠

A.13B.2C.—D.25/2

2

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)正切的和角公式可得tanatan夕=2,即可利用基本不等式求解范圍得解.

tana+tan8

【詳解】由題可得tana+tan/7=Tan(a+/7)=

1-tanatan夕

由干tano+tan//w0,整理得tanatan4=2,所以tana+tan〃=tana+----

tana

2I2

當(dāng)Iana>0時，lana+---->2./tancr-----=2夜，

tanczVtana

當(dāng)tana<0時，tana+----=--tana+------<-2.(-tana)-------=一2&,

tana\-tanaJVTana

所以tancr+tan/G(-8,-2拒]|j[272,-w),故可能取值有2夜,一3.

故選：AD.

11.設(shè)實數(shù)。滿足。＞0且,設(shè)/(尤)=log“x,g(x)=。,,則()

A.函數(shù))=/(g(x))與)，=g(/(x))的圖象均關(guān)于原點中心對稱

B.當(dāng)。＞1時，函數(shù)y=/(x)-雙戈)可能存在零點

C.當(dāng)Ovavl時，不等式/(￡Hg(x)＞0恒成立

D.當(dāng)4=6時，函數(shù))，=/5)?,式五)在(0,+8)上單調(diào)遞增

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)即可判斷選項求出答案.

【詳解】選項A：函數(shù)g(7(x))定義域為(0,+8)，故其圖象不可能關(guān)于原點中心對稱，故A錯誤:

選項B：)'=/(x)—g(x)存在零點等價于〃x)=log“j^g(x)="有交點，當(dāng)時，其恰有一

個交點(e,e),故B正確；

選項C：當(dāng)Ovavl時,不等式/'(x)+g(x)>0恒成立等價于y=優(yōu)的圖象恒在y二一log環(huán)的上方，

顯然當(dāng)/趨于正無窮時不成立，故。錯誤；

選項D：當(dāng)。=e時，函數(shù)y=〃x)?g(x)=tnxC,y'=lnx+j?，.

設(shè)力(/)=成+±力'")='一二二與，則〃(力在x=l處取得最小值〃(1)=1>0.

X.1X入

則y'>0在(0,+⑹上恒成立，故函數(shù))=/(x)?g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞墻故D正確.

故選：BD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知｛4｝為公差為1的等差數(shù)列，且4，生，4依次成等比數(shù)列，則4=.

【答案】1

【解析】

【分析】寫出等差數(shù)列的通項公式，得出。2，(的表達(dá)式，利用卬，。2，4成等比數(shù)列，即可求出4的值.

【詳解】由題意，〃wN*,在等差數(shù)列｛q｝中，公差為1,

an=q+(7?-1)=6/)+??-1,

<%=q+2—1=q+1,%=6+4—1=4+3,

??,q,4，4依次成等比數(shù)列，

/.a[aA=a｝>即4(3+aJ=(41+l)2,解得q=l.

故答案為：1.

13.從八個連續(xù)整數(shù)中任取三個數(shù)，若取出的三個數(shù)中任意兩個數(shù)之差不為1,則這樣的取法總數(shù)為

【答案】20

【解析】

【分析】先求出八個連續(xù)整數(shù)任選3個數(shù)的情況數(shù)，再分別求出三個連續(xù)數(shù)和三個數(shù)中只有兩個數(shù)連續(xù)的

個數(shù)，相減可得答案.

【詳解】八個連續(xù)整數(shù)不妨設(shè)為123,4,5,6,7,8,

先任選3個數(shù)，有C；=56種取法,

其中三個連續(xù)數(shù)有6種,分別為1,2,3；2,3,4；3,4,5；4,5,6；5,6,7；6,7,8；

三個數(shù)中只有兩個數(shù)連續(xù)，

比如1,2,剩余第三個數(shù)需從456,7,8中任選1個，有5種，

同理7,8,剩余笫三個數(shù)需從1,2,345中任選1個，有5種，

比如2,3,剩余第三個數(shù)需從5,6,7,8中任選1個，有4種，

同理,3,4；4,5：5,6；6,7均有4種,

所以此時共有5x2+4x5=30種，

綜上，從八個連續(xù)整數(shù)中任取三個數(shù)，若取出的三個數(shù)中任意兩個數(shù)之差不為1,

共有56-6-30=20種選法.

故答案為：20.

14.在V/WC中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,且從+/-/=一A，b=2,則/一/

的取值范圍為.

【答案】(4,也)

【解析】

【分析】利用余弦定理求出A=?,由正弦定理得到。=巫.。=主也，/_。2=2@+2,由于

3sinBsmBtanB

0<8<:，可得旭+2>4,得到答案.

3tanB

【詳解】由題意從+'2一々2=_兒,b=2,

—r組Ab~c2"-ci"-be

可得cosA=-----------=----

2bc2bc2

由于()<Av兀，

可得力=至，

3

2

由題意利用正弦定理可得.2兀sinBsinC，

sin——

3

可得。=巫2sinC

sinBsinB

sin2/?sin*

x/3D1.D

——cosB——sinB

222GsinBcosB+2sin?B

sin2B

由于OvBv=Tt，可得0<tan8<JLJ，可得---1->-71T?

3tanBJ3

可得也+2>4,

所以標(biāo)—。2的取值范圍為（4,+8）.

故答案為：（4,+8）.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.

15.為了比較兩種宣傳方式的宣傳效果，在人群中進(jìn)行調(diào)研，為84個人宣傳某傳統(tǒng)非遺文化［此前所有人

均未了解過），其中42人采用宣傳方法1,其余采用宣傳方法2.宣傳后的人群分為“比較了解”和“有

點了解”，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)宣傳方法1中的人群有30人“比較了解”，宣傳方法2的人群中僅有18人“比較了

解”.

（1）以頻率估計概率，現(xiàn)給2人以方法1宣傳傳統(tǒng)非遺文化（此前未了解過），記宣傳后“比較了解”的

人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）畫出列聯(lián)表，并依據(jù)a=0.01的獨立性檢驗，判斷是否可以認(rèn)為宣傳效果與宣傳方法是有關(guān)的？

附：

a0.010.0050.001

66357.87910.828

>>nyauc/c）、

X~---------------------------（其z中〃=a+/?f+c+d）f.

（a+b）（a+c）（h+d）（c+d）

【答案】（1）分布列見解析，^（X）=y

（2）宣傳效果與宣傳方法有關(guān)

【解析】

【分析】（1）易知X服從二項分布，利用二項分布的概率公式，分別計算出X的不同取值對應(yīng)概率，即可

得分布列及其期望值；

（2）作出列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表計算得出卜方的值，根據(jù)獨立性險驗即可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

305

依題意，方法1宣傳后“比較了解”的概率〃=—二一.

427

所以

I7J

則唳=。）=目看尸（＞叫=吟，啜,

分布列

X012

42025

P

494949

期望為￡（X）=2x,釁.

【小問2詳解】

列聯(lián)表

有點了比較了合

解解計

方法

123042

1

方法

241842

2

合計364884

零假設(shè)H。：宣傳效果與宣傳方法無關(guān),

2_84x(720-216了

Z-42x42x36x48=7>6.635,

所以依據(jù)a=0.01的獨立性檢驗，推斷““不成立，故可以認(rèn)為宣傳效果與宣傳方法有關(guān).

16.己知?（1,0）為橢圓C：二r一l（a>/>>o）的一個焦點，且c經(jīng)過點,設(shè)直線

a~b2

/:x=my+l與。交于/，，Q兩點,記直線OP,OQ的斜率分別為占，k「其中。為坐標(biāo)原點.

（1）求C的方程;

11

（2）用機(jī)表示廠+廠的值.

&k2

【答案】（I）C：y+/=l

11

（2）—+—=4〃7

k\k?

【解析】

【分析】（1）把點代入到橢圓方程中，再結(jié)合焦點坐標(biāo)，可得到橢圓方程.

11

⑵聯(lián)立直線/與橢圓c的方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得y+%，X為，利用點坐標(biāo)寫出了+廠，再代入計算，

5

即可得到答案.

【小問1詳解】

cr-h2=\/_2

依題意可得《27，解得"，

4+4=8b2=\

底b2

從而可得。:三十）戶=1

2

【小問2詳解】

￡2-1

由題意，聯(lián)立<2.）一得0/+2）），2+2〃少-1二0,

x=my+1

△=8m2+8>0，

-i

設(shè)P（N，y），。（/，%）,所以y+%=，y%=

m2+2

1

所以3五=gu〃?+_L,；/=xi=〃？+—,

%y\>\>ih%%%

1111y.+y.,3“

所以一d----=2md-----d-----=2in+——=2m4-2m=4m

&k2y券y%

17.已知數(shù)列滿足4=1,%=2,且2%小，3%+2，44成等差數(shù)列.

（1）證明：｛。用-4｝為等比數(shù)列;

（2）求｛4｝的前〃項和S”.

【答案】（1）證明見解析

【解析】

【分析】（1）利用等差數(shù)列定義列式并變形，再利用等比數(shù)列定義推理得證.

（2）由（1）求出可，再利用分組求和法及等比數(shù)列前〃項和公式求解.

【小問1詳解】

122

依題意，6。g2=2。向+4%，即可+2=§4川+§〃”,則q+2-4川二一§（4川一凡），

2

又q=l,4=2,生-4=1,所以數(shù)列｛。川-4｝是以1為首項，為公比的等比數(shù)列.

【小問2詳解】

2

由（1）得，當(dāng)2時，4一*=（一5）"2,

7

1_(嚴(yán)

則an-a1=-q)+(/-〃,)+?-一+(?！?)=-----^―

Q3?Q3?

w1H1

cin------(—―)>4=1滿足上式,因此a”=-----(—―)?

553553

32

8引一匕力8

所以s“二1〃-------------=-n

1-(-|)5

18.如圖，直三棱柱ABC-中，AC_L平面ABC，M=ABC.

AB

w

G

（1）證明：B.C,±AC.；

（2）若;I=2,AB=3也,求三棱錐C-A&G的體積；

（3）若8c與平面A8c所成的用為求人

【答案】（1）證明見解析

（2）18（3）2=1

【解析】

【分析】（1）由線面垂直可得可得4G，平面ACG，從而可證1AG；

（2）由題意結(jié)合幾何知識可證明四邊形A4,CC是正方形，從而再求出=6,與G=3,

M=AG=6,再結(jié)合柱體的體積公式即可求解；

（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量法即可求解.

【小問1詳解】

由AC_L平面AB?,B?u平面MG,可得A,C1B,C,,

易知AG~LC￡,故由ccnac=CCGu平面ACG，ACU平面4CC，可得MG，平面ACG，

由A,C,c平面A,CC,,可得B,C,1AtC,.

【小問2詳解】

由AC_L平面ABC，AC|u平面A6IG可得A,C±AC,f

又因為四邊形AAGC是矩形，故四邊形A4CC是正方形，于是4G=AA，

而AA=2BC，故AG=2B.C,,由B1G±AG可得AC；+B&=AB：=45,解得AG=6,B,C,=3,

AA=AG=6,

故=；CG-5AA4G=2*x4CX8C=18，

故三棱錐C-A4G的體積為18.

【小問3詳解】

顯然CGJ?平面ABC，用故以C為坐標(biāo)原點，c田的方向為X軸正方向，c/的方向為y軸

UUU

正方向，C。的方向為Z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

不妨設(shè)&C|=1,則4(1,0,0),C(0,0,4),4(0,40)，故4C=(-1,(M).

易知平面A4G的一個法向量AC=（0,-％勾,

u.兀BCTC|分％122