期中數(shù)學試卷2025-2026學年蘇科版九年級數(shù)學上冊

（考試時間為100分鐘，滿分為120分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.若關(guān)于％的一元二次方程以2一6%+9=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（)

A.k>1B.kH0C.k<1D.k<1且k豐0

2.要得到二次函數(shù)y=-U-2）2+1的圖象,需將y=-%2的圖象（）

A.向左平移2個單位，再向下平移1個單位B.向右平移2個單位，再向上平移1個單位

C.向左平移1個單位，再向上平移2個單位D.向右平移1個單位，再向下平移2個單位

3.下列說法中，正確的是（）

A.平分弦的直徑必垂直弦且平分弦所對的弧B.三點確定一個圓

C.垂直十半徑的直線是網(wǎng)的切線D.同弧所對的圓周角相等

4.對于二次函數(shù)y=-（x-+4,下列說法正確的是（）

A.當3>1時，y隨x的增大而增大B.函數(shù)圖象的對稱軸是直線％=-1

C.這個函數(shù)有最大值1D.函數(shù)圖象與匯軸有2個交點

5.如圖，在O0中,弦48的長為4,圓心到弦48的距離OC為2,則圓。的半徑長是（

D.4

C

D

第第題

第13題

6.如圖，若AB是。0直徑，CD為是。。的弦，LABD=52。，則/BCD的度數(shù)為（

A.36°B.37°C.38°D.39°

7.拋物線y=2（%-+c過（-2,%），（0,月），（幺乃）三點，則y?、乃大小關(guān)系是（)

>為

A.y2>y3>%B.yi>y2C.y2>yi>%D.%>y?>%

2

8.若關(guān)于3的方程ax?+匕％+c=。的解為%i=-1,x2=3,則方程a(x+l)+b(x+1)+c=0的解為()

A.=0,%2=2B.=-2,x2=2

C.Xj=0,x2=4D.=0,次=一2

9.若實數(shù)x,y,Q滿足x+y+a=2,2x+y-a=4,則代數(shù)式2xy-1的值可以是()

A.3B.4C.0D.5

10.如圖，四邊形48。。是。。的內(nèi)接四邊形，^BAD=90。，AB=AD=4c,E為AC上一點,且1CD,

則1的最小值為()

A.2>n-2B.2<5-2C.4y[~2-4D.4/~5-

4

二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

11.直角三角形的兩直角邊長分別為6和8,它的外接圓的半徑是____.

12.三角形兩邊的長分別是2和4,第三邊的長是方程10%+24=0的根，則該三角形的周長為

13.如圖，這是用于液體蒸儲或分儲物質(zhì)的玻璃容器，其底部是圓球形.球的半徑為10cm,瓶內(nèi)液體的最

大深度CO=4cm,則截面圓中弦48的長為cm.

14.如圖，PA.PB分別與圓。相切于力、8兩點，點。為圓。上一點，連接力。、BC,若乙P=80。，則乙4cB的

度數(shù)為______.

15.如圖，直線y=kx+t(kH0)與拋物線y=ax2+bx+c(aH0)交于5(4,n),不等式ax?+(b—

k)x+c-t<0的解集是______.

16.如圖，點小B、C、D、E在。。上，麗的度數(shù)為40。，則乙5+40的度數(shù)是____.

17.

第14題第15題第16題

17.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a豐0）,圖象上部分點的坐標(x,y)的對應值如下表所示，則方程a/+

bx+2.52=0的根是_____.

X...0<56...

y...0.52—22...

18.已知拋物線y=ax2-2ax+b(a>0)經(jīng)過A(2n+(九一12)兩點，若48分別位于拋物線對稱軸

的兩側(cè)，且力<力，貝h的取值范圍是.

三、解答題：本題共8小題，共66分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

19.(本小題8分)解方程:

(1)X2-4X-1=0；

(2)x(%+2)=%+2.

20.(本小題8分)

如圖，在平面直角坐標系中，一段圓弧經(jīng)過格點力、B、C,其中點8坐標為(4,3).

(1)請寫出該圓弧所在圓的圓心。的坐標.

(2)的半徑為：

(3)求弧48。的長(結(jié)果保留九).

21.(本小題8分)

22.(本小題8分)

在平面直角坐標系中，設函數(shù)y=(%-a)(x-Q-5)+4,其中Q為常數(shù)，且QH0.

(1)當x=3,y=4時，求a的值.

(2)若函數(shù)的圖象同時經(jīng)過點(b,m),(4-b,m),求a的值.

(3)己知點(1,%)和(2/2)在函數(shù)的圖象上，且為＜力，求a的取值范圍.

26.(本小題10分)

如圖1,C,。是半圓AC8上的兩點，點P是直徑力B上一點，且滿足々1PC=48P。，則稱上CPD是曲的''相

望角”，如圖，

（圖1）（圖2）（圖3）

(1)如圖2,是。。的直徑，若弦CE_L48,。是弧BC上的一點，連接OE交力8于點尸，連接CP.

①求證：aPD是/的“相望角”；

②設弧CD的度數(shù)為n,請用含n的式子表示弧CD的“相望角”度數(shù)為；

(2)如圖3,若直徑48=10,弦CE13B,比的“相望角”為90。,

①求弦CD的長；

②當OE=7口時，則CE=_______.

答案和解析

1.【答案】D

解：???關(guān)于x的一元二次方程依2一6%+9=0有兩個不相等的實數(shù)根，

k*0且d=(-6)2-4x/cx9>0,

解得：k<1且％工0.

故選：0.

2.【答案】B

解：根據(jù)“左加右減，上加下減”規(guī)律：

二次函數(shù)y=一/的圖象向右平移2個單位，再向上平移1個單位即可得到二次函數(shù)y=-(x-2)2+1的圖象.

故選：B.

3.【答案】D

解：4、平分弦(非直徑)的直徑必垂直弦且平分弦所對的弧，原說法錯誤，該選項不符合題意；

以不共線的三點確定一個圓，原說法錯誤，該選項不符合題意；

C、過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，原說法錯誤，該選項不符合題意；

。、同弧所對的圓周角相等，該選項符合題意；

故選：D.

4.【答案】D

解：-1)2+%

???拋物線開口向下，對稱軸位置線x=l,最大值為4,當X>1時，y隨x的增大而減小，函數(shù)圖復與％軸有2個

交點，

故A,B,C錯誤，。正確，

故選：D.

5.【答案】C

解：?.?圓心到弦力B的距離0C為2,

A0C1AB,

???弦力8的長為4,

AC=^AB=2,

/.0A=VAC2+0C2=2/7,

即圓。的半徑長是2「，

故選：C.

6.【答案】C

解：連接AD，

???AB是。。的直徑，

:.Z.ADB=90

???ZABD=52°,

AZ.A=90°-52°=38°,

???乙BCD=AA=38

解：在二次函數(shù)y=2(%-1)?+c中，對稱軸％=1,

在圖象.上的三點(一2,%),(0/2)，《心)，點(-2,刈)離對稱軸的距離最遠，點亮2)離對稱軸的距離最近，

???71>72>丫3，

故選：B.

8.【答案】B

解：設方程a(x+I)?+8(無+1)+c=0中，t=x4-1,

則方程變?yōu)?2+血+c=0,

,??關(guān)于匯的方程Q*2+bx+C=0的解為=-1,x2=3,

?,?關(guān)于￡的方程磯2+bt+C=0的解為￡1=-1,t2=3,

.?.對于方程a(x+I)2+b(x+l)+c=0,x+1=-1或％+1=3,

解得：S=-2,x2=2,

故選:B.

9.【答案】C

解：依題意，楞工？：2

解得:

設w=2xy-1

w=2x(2a+2)x(-3a)—1=-12a2—12a—1

-l<0

??.w有最大值，最大值為江嘿導產(chǎn)主=2,

.??代數(shù)式2xy-l的值可以是0,

故選:C.

10.【答案】D

解：連接BD,作△4ED的外接圓，圓形為F,連接凡4,FD,FE,過點F作尸G1力。于G,rHJ.84交B4的

M

v/-BAD=90。，AB=AD=4xTL

二8。為。。直徑，Z-ABD=Z.ADB=45°,

/.Z.ACD=Z.ABD=45°,

vED1CD,

???Z.AED=^ACD+乙EDC=135°,

??懸F為△的外接圓的圓心,

；.FA=FE=FD,

vZ.AED=135°,

二優(yōu)弧R而的度數(shù)為270。,

???劣弧?的度數(shù)為：360°-270°=90°,

???圓心角Z4FD=90。,

為等腰直角二角形,

ALADV=Z.DAF=45°,

vFGim

：.FG=AG=^AD=2>T2,

由勾股定理得：FA=VAG24-FG2=J(2e)2+(2。/=4，

???FE=4,

v/.BAD=90°,

???乙HAD=90°,

又??-FH1BA,FGA.AD,

.屈邊形力HR；為矩形，

???FG=AG,

矩形/H/G為正方形，

:.AH=FH=AG=FH=24，

BH=AB+AH=4。+2c=6口

在小△B『H中，BH=6C，F(xiàn)H=2yJ~2>

由勾股定理得：BF=VBH24-FH2=J(6<^)2+(2<I)2=4門，

vBE>BF-EF,

:?蘭點、B,E,戶在同一條直線上時，BE為最短，其長度為BFEF=47-54.

二BE的最小值為415一4.

故選：D.

11.【答案】5

解：???直角邊長分別為6和8,

???斜邊是10,

???這個直角三角形的外接圓的半徑為5.

故答案為：5.

12.【答案】10

【解析】解：x2-10x+24=0,

(x-4)(x-6)=0,

所以修=4,x2=6,

而2+4=6,

所以三角形第三邊長為4,

所以此三角形的周長為2+4+4=10.

故答案為：10.

13.【答案】16

解：在Rt目力OC中，設04=10所，則。。=10-4=6cm,

由勾股定理得，AC=VOA2-OC2=，102-62=8cm,

???AB=2AC=16cm,

故答案為：16.

14.【答案】50°

【解析】解：連接04OB,

vPA.PB分別與圓。相切于48兩點，

:.Z.OAP=Z.OBP=90°,

AZ.AOB=360°-Z-OAP-Z.OBP-匕P=100°,

ALACB=\z-AOB=50°；

故答案為：50°.

15.【答案】l<x<4

解：由題意，；不等式ax?十(b—k)x十c一。<。的解集就是a-+bx+c<kx。的解集,

??.不等式的解集可以看作是在48之間的圖象拋物線在直線下方對應的自變量的取值范圍.

又；點A橫坐標為1,點B橫坐標為4,

1<x<4時，ax2+bx+cvkx+t,即Q/+(/)-k)x+c—<0.

故答案為：1<xV4.

16.【答案】160°.

解:連接A8,

c

~在

???卷的度數(shù)為40。，

Z.ABE=20°,

???匹邊形ABC。內(nèi)接于。0,

???/ABC+匕。=180°,

:.乙CBE+Z-D=180°-20°=160°,

故答案為160。.

17.【答案】C

解：把(0,0.52)代入y=ax2+bx+。得c=0.52,

方程a/+匕％+2.52=0化為a/+力％+。=-2,

???x=寸，y=-2,

:.V3為方程Q-+bx+o.52=一2的根，

故答案為；C.

18.【答案】一1<nV0

解：???y=Q/-2QX+b,a>0

拋物線的對稱軸為直線工=一產(chǎn)=1,開口向上，

2a

VA(2n+3/1),8(n-1,%)分別位尸拋物線對稱軸的兩側(cè),

假設點B在對稱軸的右側(cè)，則n—解得">2,

2n+3-(n—1)=n+4>0

???4點在8點的右側(cè)，與假設矛盾，則點A在對稱軸的右側(cè)，

,f2n+3>1

**U-1<1

解得：一1vV2

又??力<y2?

***|(2n+3)—11<|1—(n—1)|

2n+2<2—n.

解得：n<0

-1<n<0,

故答案為：一1V九<0.

19.【答案】【小題1】

解：X2—4x—1=0,

A=b2-4ac=(-4)2—4x1x(-1)=16+4=20,

一(-4)土/"25

：?x==2±y/~5,

2x1

解得：Xi=2+y/~5,x2=2-V-5；

【小題2】

解：x(x+2)=x+2,

x(x4-2)—(x+2)=0,

分解因式，得：(%+2)(%—1)=0,

x+2=?；騲-1=0,

解得：%i=-2,x2=

20.【答案】(1)。(2,-1)

(2)2V-5

(3)vDF=CG=2,乙AFD=4DGC=90°,AF=DG=4,

OGC(S/S),

:.Z.ADF=Z-DCG，

???/DCG+MDG=90°,

."ADF+乙CDG=90。,即44DC=90°,

則/Ac的長Z=華普二門".

loU

21.【答案】（1）證明：連接0C,

:.Z.ACB=90°,

即〃CO+48。。=90。，

???0C=0A,

???乙ACO=Z.A,

,:乙4=Z.DCB,

Z.ACO=Z.DCB,

:.Z.DCB+Z.BCO=90°,

Z.OCD=90°,

即0C1DC,

v0C為半徑，

??是。。的切線；

(2)解：???BD=2,OB=OC,

設0。=。8=%,則0。=%+2,

vZ.OCD=90%

A0C2+CD2=OD2,

X2+(2\T"5)2=(%+2)2,

解得％=2,

答：。。的半徑是2.

22.【答案】（1）解：???方程/-2%一。=0有兩個不相等的實數(shù)根,

??.4=（-2）2+4a>0,

解得Q>-1；

（2）解：?.?方程/—2X—Q=0的兩個實數(shù)根為與，乂2,

均+&=2,xxx2=-a,

..」+工=3±合=，，

占X2%1%23

2_2

耳二-F

解得Q=3,

經(jīng)檢驗，Q=3是方程的解，且4=（-2）2+4x3=16>0

***Q=3.

23.【答案】（1）解：DE與0。相切,

理由如下：

連接。D,如圖所示：

VOE//AB,

二Z.DOE=Z.BDO,Z.COE=乙B,

vOD-OB,

:.Z.ODB=Z.OBD,

???Z.DOE=Z.COE,

在IUDOE與團COE中,

OD=OC

乙DOE=乙COE,

OE=OE

.-.0DOE三團COE(SAS),

:.乙ODE=Z.ACB=90°,

???00是OO的半徑，

DE與與。相切;

(2)解：vBC=6,

OB=OC=3,

?"=30。，,ACB=90°,

???Z.B=60°,

:.乙COD=2乙B=120°,

:.乙COE=乙DOE=60°,

ACE=HOC=3C，

S陰影=S四邊形CODE~S國影D0C

=S?0DE+s回COE-S扇形DOC

1「1207rx32

2x—x3x3V3—

360

=9V-3—37r.

24.【答案】(1)

y=40-x

0<x<9

(2)解:根據(jù)題意得：(210+10x-30)(40-%)=7770

整理，得—22x+57=0,

解得：%1=3,%2=19(舍去)，

210+30=240(元)，

答：房價應該為240元；

(3)解：設賓館一天的利潤為w元，

???w=(210+10x-30)(40-x)

=-10x2+220%+7200

=-10（X-11）2+8410,

v-10<0,0<x<9,

當％=9時，w取得最大值，此時w=-10x（9-11尸+8410=8370（元），

房價為210+90=300（元），

答：房價為300元時，賓館的利潤最大，最大利潤是8370元.

25.【答案】（1）解：當％=3,y=4時，代入可得4=（3-。）（3-。-5）+4,

化簡得：（Q—3）（Q+2）=0,

解得：臼=3,a2=-2；

b+4-b

（2）解：函數(shù)的圖象同時經(jīng)過點（瓦m）,（4-瓦m）,根據(jù)函數(shù)圖象對稱性，可得到對稱軸為：直線x-2~

12，

因為V=（x-Q）（x-a-5）+4=x2-（2a+5）x+a2-5a4-4,即x=--（2：+5）_

解得a=

（3）解：點（1,%）和（2,乃）在函數(shù)的圖象上，

則力=I2—（2a+5）x1+a?—5。+4=a?