實(shí)數(shù)?單元測試（提升卷）

建議用時：120分鐘，滿分：120分

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.如圖，在數(shù)軸上手掌處表示的數(shù)可?能是（）

C.6D.V7

【答案】B

【分析】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸的對應(yīng)關(guān)系以及無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是估算出各選項(xiàng)中無理數(shù)的取值

范圍，并結(jié)合數(shù)軸判斷.

先佶算出每個選項(xiàng)中數(shù)的大致范圍，再根據(jù)數(shù)軸上手掌遮擋點(diǎn)的位置判斷該點(diǎn)表示的數(shù)的范隹，最后對比

得出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意得：在數(shù)軸上手掌處表示的數(shù)大于-3和小于-2,

v1<3<4,4<7<9,

<舊<22<用<3,故C,D選項(xiàng)不符合題意；

，-2<-V3<-t-3<-V7<-2，故A選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)符合題意；

故選:B.

2.下列說法中正確的有（）

A.4的平方根是±2B.（-3）2的算術(shù)平方根是-3

C.負(fù)數(shù)沒有立方根D.帶根號的數(shù)都是無理數(shù)

【答案】A

【分析】本題考查平方根，立方根和無理數(shù)，根據(jù)平方根、算術(shù)平方根、立方根及無理數(shù)的定義逐一判斷

各選項(xiàng)的正誤即可.

【詳解】A、4的平方根是±2,壬確；

B、（-3）2的算術(shù)平方根是3,錯誤；

C、負(fù)數(shù)也有立方根，負(fù)數(shù)的立方根仍為負(fù)數(shù)，如-8的立方根是-2,錯誤，

D、帶根號的數(shù)都是無理數(shù)，錯誤，例如衣=2為有理數(shù)，故帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù).

故選：A.

3.若師是整數(shù)，則正整數(shù)〃的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】本題考查二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.要使質(zhì)為整數(shù)，需滿足24〃

是完全平方數(shù)，由屈=2疝，即可確定〃的最小值.

【詳解】解：???24=4x6,

二扃二2折

???424n=2\[6n，

???師是整數(shù)，且〃是整數(shù)，

則6〃是完全平方數(shù).

的最小值為：6.

故選：D.

4.下列運(yùn)算正確的是（）

A.>/2xV5=V7B.2>/3->/3=2

C.7（-3）2=-3D.小6=0

【答案】D

【分析】本題考查了二次根式的運(yùn)算

根據(jù)二次根式的乘法法則對A選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的減法運(yùn)算對B選項(xiàng)進(jìn)行判斷：杈據(jù)二次根式

的性質(zhì)對C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對D選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【詳解】解：A.V2xx/5=V10,所以A選項(xiàng)不符合題意；

B.2>/3-V3=>/3,所以B選項(xiàng)不符合題意；

C正豕=3,所以C選項(xiàng)不符合題意；

D.6+6=辰5=收，所以D選項(xiàng)符合題意；

故選：D

5.下列各根式中，是同類二次根式的是（）

A.6和囪B.亞和J；

C.y/a2b和>[ab2D.Ja+1和Ja-1

【答案】B

【分析】本題考查同類二次根式的概念，判斷同類二次根式需化簡為最簡二次根式后比較被開方數(shù)，對各

選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】A、百己是最簡，也=3,所以A選項(xiàng)不是同類二次根式；

B、V2已是最簡，=也,化簡后被開方數(shù)均為2,所以B選項(xiàng)是同類二次根式；

V22

C、4^b=a4b^^=6石，被開方數(shù)分別為人和〃，所以C選項(xiàng)不是同類二次根式；

D、g和疝工被開方數(shù)不同，所以D選項(xiàng)不是同類二次根式；

故選：B.

6.有下列實(shí)數(shù)：p-3.14159,瓜0,炎7,―,0.31（31循環(huán)），0.1010010001…（每兩個1之間多

一個0）,其中無理數(shù)的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】本題考查了無理數(shù)的定義，立方根，解題的關(guān)鍵是熟練掌握無理數(shù)的定義.

首先計(jì)算立方根，然后根據(jù)無理數(shù)的定義，分別進(jìn)行判斷，即可得到答案.

【詳解】的=3,

.??其中無理數(shù)有三，我，0.1010010001…（每兩個1之間多一個0）,共3個.

故選：C.

7.實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則‘差―百”卜+碼的值為（）

II?]?>

b-V30a73

A.-a-bB.-a+hC.a-bD.a+b

【答案】A

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，二次根式的性質(zhì).先判斷石<0,6+石<0,然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)

化簡即可.

【答案】D

【分析】本題考查算術(shù)平方根及立方根，根據(jù)“最美實(shí)數(shù)''的定義，可知&+4=0或0+4=1，求出。的值

即可.

【詳解】解：若拒+4是“最美實(shí)數(shù)”，

則有+4=0或\/2+4=1，

若拉+4=0，解得

若正+a=1，解得4=1-A/^，

綜上，。的值為-五或1-正，

故選：D.

10.用國表示不超過x的最大整數(shù),例如：[2.94]=2,卜3.89]=-4.已知〃?=2-6a=m-[m]f

b=-m+[-加]+5,則，+[=()

ab

A.4B.2GC.-4D.26+2

【答案】A

【分析】本題考查新定義、無理數(shù)的估算，二次根式的混合運(yùn)算，先估算出0<2-6<1,根據(jù)題中新定義

規(guī)定可求得㈤和卜向，進(jìn)而求出出的值，然后代入：計(jì)算可得答案.

ab

【詳解】解：百<〃，即i<百<2,

??--2<->/3<-1,

???〃?=2-G,

[用]=[2-6]=0,

Vfl=一(2--73)=V3-2,

??—1<>/3—2<0?

.0.[-w]=[G-2]=-1,

Aa==2-V3-0=2-\/3,b=++5=VJ-2+(-l)+5=G+2,

j_1112-62-用

，，，a+K-2-^+2+V3-（2-^）（2+>/3）+（2+>/3）（2-V3）=2+75+2-73=4

故選：A.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.比較大小：無里

【答案】＞

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小匕較，利用作差法比較實(shí)數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵.利用作差法比較實(shí)數(shù)的

大小即可得出答案.

【詳解】解：?.?正把_3=避二，石＞4=2,

444

布+13

???-------->—.

44

故答案為：>.

12.若26與最簡二次根式是同類二次根式，則。的值為

【答案】2

【分析】本題考查了同類二次根式的定義，同類二次根式的被開方數(shù)相等，據(jù)此列出方程求解.

【詳解】解：:2百與最簡二次根式5而I是同類二次根式,

Q+1=3,

解得。=2,

故答案為：2.

13.如圖，正方形4?CZ＞的面積為1（）,點(diǎn)A表示的數(shù)為1,以點(diǎn)A為圓心，力。的長為半徑畫圓，交數(shù)軸于

M,N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），則點(diǎn)”表示的數(shù)為.

【答案】i-Vw/-Vio+i

【分析】根據(jù)正方形的面積公式求出力。，從而求出4W,設(shè)點(diǎn)M表示的數(shù)為X,然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公

式列出關(guān)于X的方程，解方程求出X即可.

本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解題關(guān)鍵是熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式.

【詳解】解：由題意可知：AD=AM,

---正方形ABCD的面積為\0,

AM—AD—A/10,

設(shè)點(diǎn)M表示的數(shù)為x,

.-.i-x=Vio,

解得：x=i-Vio,

??.點(diǎn)M表示的數(shù)為：I-JE,

故答案為：

14.如圖，從一個大正方形中裁去兩個面積分別為f和/的小正方形，己知工=b-2,歹=6+2,則留下

的陰影部分的面積為.

n【答案】2

【分析】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，二次根式的運(yùn)算，由圖可知陰影部分是兩個長為卜，寬為x的長方

形，利用平方差公式求出2個，的隹即可求解，正確識圖是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由圖可知，陰影部分是兩個長為y,寬為x的長方形，

.?.陰影部分的面積=2k=2x（VJ-2）（指+2）=2x（5-4）=2,

故答案為：2.

15.有三根長度分別為4。的木棒，已知〃=也,8=還,c為整數(shù)，若這三根木棒能圍成三角形，則c的

22

值為.

【答案】2

【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，無理數(shù)的估算，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，三角形中，任意兩邊之和

大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，據(jù)此可得血<c<2加，再證明2<2及<3即可得到答案.

【詳解】解：由三角形的三邊關(guān)系可知，逑一立<逑+且，即0vcv2jJ.

2222

vl<2<4,

1<N/2<2?

.-.l<V2<-,

2

二2<2后<3，

?"為整數(shù),

?"的值為2,

故答案為：2.

16.若一個實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根等于它的立方根，則稱這樣的數(shù)為“完美實(shí)數(shù)若G+機(jī)是“完美實(shí)數(shù)”，則

〃1=;若4+6與都是院美實(shí)數(shù)”，則畫的平方根為.

【答案】-石或1-百o或土;

【分析】本題考查了平方根，算術(shù)平方根，立方根的計(jì)算，掌握其計(jì)算方法是關(guān)鍵.

根據(jù)算術(shù)平方根，立方根的計(jì)算方法求解即可.

【詳解】解：一個實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根等于它的立方根，則稱這樣的數(shù)為“完美實(shí)數(shù)”，

???0,1的算術(shù)平方根是0,1,（）,1的立方根是（）,】，

二這個實(shí)數(shù)可以是0,1,

???當(dāng)6+m=0時，m--百，

當(dāng)?'萬+7M=1時?/>?=1—.

**-1)1=~y/3或〃?=1-；

若a+b與”人都是“完美實(shí)數(shù)”，

a+b=()、a+b=\、a+b=0{a+b=\

：''a-b=^\a-b=\^\a-b=\^\a-b=0

彳或1

a=-

a=0a=12

解得，J…或nV-

b=0

b=b=-

~22

???對應(yīng)的同=o或|羽=o或園=；或同=；,

???對應(yīng)的平方根為。或o或土g或土;，

綜上所述，的平方根為?；蛲痢?；

故答案為：①-6或1-6；②o或士;.

三、解答題（第17,18,19,20題，每題6分；第21,22,23題；每題8分；第24,25題，每題12分;

共9小題，共72分）

17.計(jì)算:

⑴房+我-

(2)\/24-i-y/l,-1).

【答案】（1）3五:

(2)6+3.

【分析】本題考杳二次根式混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式相關(guān)的運(yùn)算法則.

⑴先化為最簡一次根式，再合并同類一次根式即可;

（2）先算乘除，化為最簡二次根式后再算加減.

【詳解】（1）解：V32+V8-V18

=4x/2+2V2-3>/2

=3及；

(2)解：舊+0+6(75-1)

[24+2+3-石

=26+3-6

=8+3.

18.(1)計(jì)算：^+^27-\y/3-2\-y/3

（2）解方程：（程-1）2-16=9.

【答案】⑴4；（2）x=3或x=-2

【分析】本題考查了算術(shù)平方根與立方根、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、利用平方根解方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解

題關(guān)鍵.

（1）先計(jì)算算術(shù)平方根與立方根、化簡絕對值，再計(jì)算實(shí)數(shù)的加減法即可得；

（2）先將方程變形為（2x-1『=25,再利用平方根解方程即可得.

【詳解】解：⑴原式=9+（-3）-（2-石

=9-3-2+6-石

=4.

（2）（2X-1）2-16=9,

（2.1）'=9+16,

（2.X-1）2=25,

2x-l=±5,

2*=1+5或2%=1-5,

x=3或x=-2.

19.把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi)（填序號）.

①-；，②-百，③*，⑤-歷，⑤0，⑦-乃，⑧3.1010010001...（每相鄰兩個I之間。的個

數(shù)逐次加.

（1）無理數(shù)集合{…};

（2）分?jǐn)?shù)集合{…};

（3）負(fù)實(shí)數(shù)集合{…}.

【答案】（1）②③⑦⑧

（2）①④

⑶①②⑤⑦

【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的分類，熟知實(shí)數(shù)的分類方法是解題的關(guān)鍵.

（1）無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，據(jù)此可得答案；

（2）分?jǐn)?shù)是有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)的統(tǒng)稱，據(jù)此可得答案：

（3）負(fù)實(shí)數(shù)是小于0的無理數(shù)和有理數(shù)的統(tǒng)稱，據(jù)此可?得答案.

【詳解】⑴解：-場=-3,

無理數(shù)集合{②③⑦⑧}:

（2）解：分?jǐn)?shù)集合{①④};

（3）解：負(fù)實(shí)數(shù)集合{①②⑤⑦}.

20.己知：a>0口口的立方根是它本身，2。+3的算術(shù)平方根是3.

（1）直接寫出：。=_,b=_；

（2）求〃+2b的平方根；

（3）若疝的整數(shù)部分是x,小數(shù)部分是V,求號的值.

【答案】（1）1,3

（2）±"

⑶6-1

【分析】本題考查了平方根、立方根、算術(shù)平方根的定義，無理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分等知識，掌握相

關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)立方根、算術(shù)平方根的定義即可求解；

（2）根據(jù)平方根的定義即可求解；

（3）通過估算確定無理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分，代入即可求解.

【詳解】⑴解：???〃>（）且。的立方根是它本身，

?.?2方+3的算術(shù)平方根是3,

???J2H3=3,

.*./>=3,

故答案為：1,3.

（2）???。=1,6=3,

a+2Z?=1+2x3=7,

.?.a+2b的平方根為土近.

（3）???a=l,b=3,

/.\ab-Jlx3=>/3，

，1＜退＜2,

萬的整數(shù)部分x為i,小數(shù)部分y為百一1,

xy=1x(0-1j=也-1,

則孫的值為.

21.請觀察圖形并分析下列各式，然后解答問題.

0A,2=12+\2=2,S.=-；

2

OV=『+2=3,S,=—；

■2

OA~=12+3=4,S.=—;

2

(1)請用含有〃(〃為正整數(shù))的等式表示上述變化規(guī)律：04：=_,s”=_；

(2)若一個三角形的面積是2及，計(jì)算說明它是第幾個三角形？

2

(3)求出S：+SJ+53+…+S；的值.

【答案】⑴〃，A

(2)它是第32個三角形

喈

【分析】本題考查了勾股定理，圖形的規(guī)律探索，二次根式的性質(zhì)，二次根式的乘法，正確理解題意和熟

知勾股定理是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)勾股定理和三角形的面積求解即可；

(2)根據(jù)(1)中的規(guī)律計(jì)算即可；

(3)根據(jù)(1)的結(jié)論列出方程，解方程得到答案.

【詳解】（I）解：根據(jù)題中反映的規(guī)律可得：。片=1+（4=!『=〃，

則=—x1xyfn=近';

"22

故答案為：〃；g；

2

（2）解：?.?5“=正，一個三角形的面積是2五,

2

:0=2五,

2

n=32,

故它是第32個三角形:

(3)解：摩+邑2+532+.一+九2=02+［用+圖+.?.+(明

12310

=—+—+—+???+—

4444

_55

-T,

22.我們新定義一種三角形：兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫作奇異三角形.例如，某三

角形的三邊長分別是2,2&和茄，因?yàn)?2+（2&y=12=2x]〃『，所以這個三角形是奇異三角形.

⑴若△4?。的三邊長分別是3,5和J萬，判斷此三角形是不是奇異三角形，說明理由.

（2）若A48。是奇異三角形，且其中有兩條邊長分別為3、4,求出第三條邊長.

【答案】（1）此三角形是奇異三角形，理由見解析；

⑵及或拽或后

2

【分析】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

（1）可證明3?+52=2（J/丫，據(jù)此可得結(jié)論：

（2）設(shè)第三邊為x,分邊長為4的邊是最長邊和邊長為x的邊是最長邊兩種情況，根據(jù)奇異三角形的定義

建立方程求解即可.

【詳解】（1）解：此三角形是奇異三角形，理由如下：

V3:+52=9+25=34,（V17）2=17,

.-.32+52=2（Vl7）2,

???此三角形是奇異三角形;

（2）解：設(shè)第三邊為x,

當(dāng)邊長為4的邊是最長邊時，

???△ABC是奇異三角形，

?0-4*+x2=2x3?或4?+3?=2x2,

解得x=0或工=一夜（舍去）；x=或工=-少生（舍去）;

22

當(dāng)邊長為x的邊是最長邊時，

???△48C是奇異三角形，

.-.32+X2=2X42,

解得x=萬或％=-何（舍去）:

綜上所述，第三邊的長為拉或還或后.

7

重十￥,像這樣通過分子、分母同乘

23.我們知道（4+⑹（4-6）=",因此昂飛_與7可

一個式子，把無理數(shù)的分母化成有理數(shù)的變形叫做分母有理化.請你通過分母有理化完成以上各小題.

⑴計(jì)算：號后；

23

⑵比較：回函二由與S5齒二酶的大小;

0）叱御：V9+V10+V10+^+7H+^++V2024+V2025,

【答案】（1）&+逐

23

@々2026-,2024<J2028

（3）42

【分析】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

（1）分子、分母同時乘以（指+石），進(jìn)行分母有理化即可求解：

（2）根據(jù)材料提示，先根據(jù)分母有理化化簡，再將兩數(shù)作差進(jìn)行比較即可；

（3）根據(jù)材料提示，分別進(jìn)行分母有理化，再根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算法則即可求解.

1巫+^y/6+y/5r~￡

【詳解】⑴解：不忑;而對所西==【=

⑵解.2______________3

眸J2026-J202472028-72025

2.2026+J2024)3.2028+J2025)

(>/20^-V2024)(72026+72024).2028-12025)(J2028+,2025)

2(72026+72024)3(,2028+J2025)

-23

=^2026+V2024-V2028-5/2025

=(x/2026-V2028)+(V2024-V2025)<0

2,3

??J2026-J2024J2028-J2025；

[[]]

(3)V9+VIo+VW+VH+VH+Vi2++J2024+J2025

(V9-V10)(Vio-ViT)(Vn-Vil)

(內(nèi)+炯心-Tio)(Vio+VH)(Vio-VTT)+(VH+V12)(x/iT-V12)+

_______J2024-J2025_______

(x/2024+V2025)(V2024-V2025)

=-(而啊-梃-而而-Vil)----(V2024-V2025)

=-V9+Vio-Vio+VH-VH+V12----J2024+J2025

=-x/9+V2025

=-3+45

=42.

24.觀察下列等式：

第I個等式

第2個等式

第3個等式

第4個等式：Ji+/+?=i+;q；……

按照以I:規(guī)律，解決下列問題：

(1)寫出第6個等式：；

(2)寫出第〃個等式：；(用含〃的等式表示)

⑶根據(jù)上面的結(jié)論計(jì)算：＞*系卜系/+卜*.+.??+卜募+壺

【答案】（1）J1+*最=1+]-;

(2)1+±+---r=1+-———

“7n2(〃+1)2〃〃+1

2024

(3)2024

2025

【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握運(yùn)算法則，得出規(guī)律是解此題的

關(guān)鍵.

（1）結(jié)合第1至第4個等式，即可得出答案;

（2）根據(jù)題目中所給式子呈現(xiàn)的規(guī)律，即可得出答案:

（3）根據(jù)（2）中得出的規(guī)律，計(jì)算即可得出答案.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可得，】十*1-3-；;

故答案為：小

vo/o/

（2）根據(jù)題意，可得第〃個等式：Jl+4+尸匚=1+，-一1：

Yn（//+!）nn+\